CC BY
33
УДК 539.3
ФОРМИРОВАНИЕ ЛИНИИ СКОЛЬЖЕНИЯ В ВЕРШИНЕ ТРЕЩИНЫ ПРИ ЕЕ ОСТАНОВКЕ
© Ю.И. Тялин, В.А. Тялина
Ключевые слова: разрушение; вершина трещины; пластическая зона; линия скольжения.
Выполнено динамическое моделирование формирования дислокационной структуры в вершине трещины. Определены число и кинетика в одиночной линии скольжения, развивающейся под углом 45° к плоскости трещины.
В [1, 2] была рассмотрена статическая модель формирования дислокационной структуры в вершине трещины. Конечное распределение дислокаций в пластической зоне определялось в результате расчета последовательности ее равновесных конфигураций с увеличивающимся числом дислокаций. Эмиссия дислокаций прекращалась, когда напряжения, инициирующие пластическое течение, становились меньше обратных напряжений, создаваемых испущенными дислокациями. Такой подход позволяет рассчитать основные параметры пластической зоны - длину и число дислокаций в линиях скольжения. Однако в некоторых случаях интерес представляют не только конечные, но и временные характеристики процесса пластической деформации, например, при рассмотрении акустической или электромагнитной эмиссии.
Статические уравнения равновесия в этом случае необходимо заменить на уравнения движения дислокаций [3]:
йхг =^Ь'3(Хг ^ а(Х’ ) ~Т° ’
* I 0, ст(хг) <тх
і = 1, 2,
(1)
где - координаты дислокаций, п - число дислокаций в линии скольжения, а(х,) - напряжения, действующие на г-ю дислокацию, Ь - вектор Бюргерса дислокаций, В - константа торможения, т^ - напряжение трения решетки. Движение дислокаций считается вязким, так что их скорость прямо пропорциональна действующим напряжениям.
В качестве расчетной схемы была выбрана одиночная линия скольжения в плоскости, наклоненной к плоскости трещины под углом 45о Она соответствует дислокационной структуре, характерной для щелочно-галоидных кристаллов [4] (рис. 1). Для выбранной схемы пластического течения напряжения ст(х,), действующие на г-ю дислокацию, будут равны:
А
і = 1,2,.
. . . .X - X,
і =1,З ^і 3
(2)
где А = ОЬ/2п (1-у), О - модуль сдвига, V - коэффициент Пуассона, тс - напряжения от трещины, т, - напряжение изображения.
В случае призматического образца напряжения от трещины создают в плоскости скольжения дислокаций касательные напряжения [1]
л/3
аа . ж
Т =----------------------------— 81П —,
где ц - расклинивающее усилие, а - длина трещины, ю - ширина, 2к - высота образца. Численное значение ц может быть рассчитано по критерию Гриффитса, если принять, что условия остановки и старта трещины совпадают. Тогда, следуя [5], получим
где Е - модуль упругости, у - величина поверхностной энергии.
Напряжения изображения в плоскости движения дислокаций даются формулой [6]
Рис. 1. Типичная дислокационная структура в вершине остановившейся трещины
п
+ тс -т
п
А
Т, =------С08 ф,
і 2і
где ф - угол между вектором Бюргерса Ь и перпендикуляром к свободной поверхности, <і - кратчайшее расстояние до нее. Для схемы на рис. 1 (ф = п/4,
<і = УІ2х /2 ) справедливо
А
ті (х) = т~.
2 х
Входящее в (1) напряжение трения считается постоянным и принимается равным стартовому напряжению движения дислокаций.
Уравнения (1) решались численно методом Рунге-Кутта [7]. Начиная с ґ = 0, последовательно находились число, координаты и скорости дислокаций скопления в моменты ґк = кАґ, где Аґ - временной шаг, к = 1, 2, .... Процесс движения дислокаций прекращался, когда напряжения а(хі), действующие на і-ю дислокацию со стороны остальных, становились меньше напряжения трения.
Для определения числа испущенных дислокаций п использовались те же соображения, что и в [1]. Анализ величины напряжений (2), действующих на (п+1)-ю пробную дислокацию, в этом случае позволяет либо увеличивать число дислокаций п в пластической зоне, либо останавливать процесс их эмиссии, как и в статическом варианте расчета, но условие запирания трещины как источника дислокаций проверялось на каждом временном шаге.
Процесс формирования линий скольжения разделялся на две стадии. Первая соответствовала нагруженному образцу, вторая - образцу с трещиной после разгрузки. На второй стадии часть дислокаций выходит на поверхность трещины за счет взаимного отталкивания дислокаций и напряжений изображения, трещина частично закрывается.
Величины, входящие в расчетные выражения, имели
м,
следующие значения: О = 5,15^ 1010 Н/м2, Ь = 2,85^ 10V = 0,187, q = 2Н, ю = 0,004 м, к = 0,01 м, а = 0,01 м, В = 510-5 кг/м-с.
Для таких характеристик скопления, как число дислокаций и длина линии скольжения, динамическая модель дает те же результаты, что и статическая. В наших расчетах величина п менялась от нескольких десятков до «200, а длина линий - от долей до единиц («2,5) миллиметров.
Некоторое представление о временных параметрах формирования пластической зоны дают данные на рис. 2 и 3. На рис. 3 приведена зависимость площади Р (отнесенной к единице длины дислокаций)
Р(г) =е х (О,
г=1
заметаемой дислокациями, от времени их движения. Аналогично будут меняться и другие характеристики дислокационного скопления, например, создаваемая им деформация образца или дипольный момент в случае заряженных дислокаций [8].
Видно, что характерные времена движения дислокаций на стадиях нагрузки и разгрузки образца зани-
мают приблизительно (50-200) мкс. Причем основная доля дислокаций испускается трещиной в первые моменты времени после ее остановки (рис. 2). Интенсивность эмиссии дислокаций особенно велика в момент образования линии скольжения, а затем быстро убывает примерно на порядок за время, составляющее «20 % от времени протекания первой стадии. Общее время формирования линии скольжения составляет «100 мкс и более.
При этом время нарастания величины Р менее чувствительно к изменению нагрузки. Длительность второй стадии изменяется более сильно, хотя число дислокаций с ростом усилий q увеличивается как на первой стадии формирования линии скольжения, так и на второй. Связано это может быть с более низкими значениями напряжений, действующих на движущиеся дислокации после разгрузки образца.
На первой стадии напряжения от трещины не изменяют своей величины в течение всего времени движения дислокаций. На второй же стадии на дислокации в линии скольжения действуют напряжения, сравнимые с напряжением от трещины и существенно превосходящие напряжения трения, только в первые моменты движения дислокаций (рис. 4). При этом область высоких напряжений локализована в хвостовой части линии
Рис. 2. Зависимость интенсивности эмиссии дислокаций от времени ґ
Рис. 3. Изменение во времени величины Р при различных нагрузках: 1) q = 2,0, 2) q = 2,2, 3) q = 2,4
Рис. 4. Напряжения в линии скольжения непосредственно после разгрузки образца
Рис. 5. Зависимость времени движения дислокаций от нагружающего усилия: 1 - стадия нагрузки; 2 - стадия разгрузки
скольжения, примыкающей к трещине. По мере смещения хвостовых дислокаций и выхода их на поверхность трещины величина напряжений, действующих на дислокации, будет убывать. Вместе с ними будет уменьшаться и скорость движения дислокаций. Это и приводит к увеличению времени движения дислокаций после разгрузки образца. Причем длительность второй стадии будет тем больше, чем больше дислокаций в линии скольжения. Для выбранной геометрии пластического течения общее число дислокаций в линии скольжения будет определяться в основном двумя факторами. Это величина нагрузки, приложенной к образцу в момент остановки трещины, и напряжения трения, препятствующие движению дислокаций.
Более подробная информация о времени движения дислокаций представлена на рис. 5.
На первой стадии время движения t1 растет в первом приближении линейно от нагрузки. Аналогичная зависимость t2 от q является более выраженной. При изменении q примерно в полтора раза величина t2 возрастает более чем на порядок. Таким образом, чем больше дислокаций будет образовываться при пластической деформации в вершине трещины, тем больше будет протекать во времени вторая стадия пластического течения - реверсивное движение части дислокаций в сторону трещины.
В частности, электрический сигнал, связанный сдвижением скопления, будет нарастать на стадии эмиссии дислокаций, и незначительно уменьшаться на стадии обратимого движения дислокаций. Результирующий сигнал, таким образом, будет представлять собой ступеньку с длительностью фронта порядка десятков микросекунд. Она будет меняться в зависимости от уровня нагрузки в момент остановки трещины и характеристик кристалла.
ЛИТЕРАТУРА
1. Тялин Ю.И., Федоров В.А., Плужникова Т.Н., Куранова В.А. Дислокационная пластичность в вершине самозалечившихся трещин // Вестник Тамбовского университета. Серия Естественные и технические науки. Тамбов, 1999. Т. 4. Вып. 1. С. 23-27.
2. Тялин Ю.И., Федоров В.А., Плужникова Т.Н., Куранова В.А. Аналитическая оценка распределения дислокаций в вершине остановившихся трещин // Физика твердого тела. 2000. Т. 42. № 7. С. 1253-1255.
3. Тялин Ю.И. Нестационарные электрические процессы при движении скоплений заряженных дислокаций // Вестник Тамбовского университета. Серия Естественные и технические науки. Тамбов, 2003. Т. 8. Вып. 4. С. 772-775.
4. Тялин Ю.И., Тялина В.А., Золотова Д.В., Бутягин А.А., Осипова Е.Н. Структура полос скольжения, формируемая в вершине трещины при ее остановке // Деформация и разрушение материалов. 2008. № 3. С. 23-26.
5. Gilman J.J. Surface energies of crystals // J. Appi. Phys. 1960. V. 31. № 12. P. 2208-2218.
6. Хирт Дж., Лоте И. Теория дислокаций. М.: Атомиздат, 1972. 600 с.
7. Крылов В.И., Бобков В.В., Монастырный П.И. Вычислительные методы. М.: Наука, 1977. Т. 2. 398 с.
8. Тялин Ю.И., Тялина В.А. Электрические эффекты при пластической деформации и разрушении кристаллов. Тамбов: Издат. дом ТГУ им. Г.Р. Державина, 2011. 87 с.
Поступила в редакцию 26 декабря 2011 г.
Tylin Yu.I., Tyalina V.A. FORMATION OF SLIDING LINE AT POINT OF CRACK DURING STOP
Dynamic modeling of formation of dislocation structure at point of crack is made. Number and kinetics in single line of sliding at 45° to crack flat are determined.
Key words: destruction; point of crack; plastic zone; sliding
line.
