Формирование инвестиционного портфеля частного инвестора на основе теории сожалений Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 336.761.6

В.Е. Зямалов1,2, С.С. Студников3,2 1 Московский физико-технический институт (государственный университет)

2 Российская академия народного хозяйства и государственной службы при Президенте РФ 3 Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова

Формирование инвестиционного портфеля частного инвестора на основе

теории сожалений

Теория ожидаемой полезности является инструментом, повсеместно используемым для описания поведения экономических агентов в ситуации неопределённости. Однако существуют свидетельства того, что эта теория не вполне корректно описывает поведение реальных экономических агентов. В данной статье строится модель, которая описывает формирование инвестиционного портфеля инвестора с учётом подобной некорректности.

Ключевые слова: инвестиции, неопределённость, нерациональность, теория ожидаемой полезности, теория сожалений.

Основной предпосылкой многих экономических моделей является идея о том, что действия экономических агентов рациональны. Обычно о рациональности говорят с точки зрения теории ожидаемой полезности, которая определяется небольшим числом аксиом, сформулированных в работах фон Неймана и Моргенштерна [1, 2].

Однако действия агентов часто нерациональны и нарушают их. Каннеман и Тверски в своей работе приводят эмпирический пример подобных нарушений [4].

Теория сожалений, разработанная с целью объяснения установленных ранее фактов, нашла довольно широкое применение при описании процессов формирования различных инвестиционных портфелей. Например, Мишено и Солник [6] применили эту теорию при описании инвестиционного выбора при оперировании с валютными активами. Моэрман, Митчелл и Фолькман использовали её для описания выбора оптимального пенсионного плана [7]. Вагнер при помощи данной теории построил эффективное множество инвестиционных портфелей, но его подход кажется авторам излишне сложным [8]. В данной статье авторы предлагают максимально близкий к исходной теории способ описания искажений при формировании инвестиционного портфеля с минимальным количеством дополнительных предположений. Следует отметить, что Голье и Са-ланье получили похожие результаты, но в своей работе они основывались не на теории сожалений, а на теории Эрроу-Дебре [3].

I. Теория сожалений

Теория сожалений была предложена Лумесом и Сагденом в 1982 году [5]. В целом она строится на схожих предположениях с теорией ожидаемой полезности, и, с одной стороны, её можно рассматривать как расширение данной теории. Тем самым теорию сожалений корректно применять тогда, когда корректно применять теорию ожидаемой полезности.

Предположим, что мы находимся в ситуации, при которой существует N различных состояний

-1

природы, каждое из которых может реализоваться с вероятностью р-, причём 2.^=1 Рз = 1.

Рассмотрим две функции. Первая названа авторами «безальтернативной» функцией полезности С(х). Значение этой функции имеет смысл полезности, которую получит агент от некоторого блага при условии, что у него не было права его выбирать. Вторая функция представляет собой так называемую функцию «удовлетворения-сожаления». Эта функция показывает, насколько увеличится или уменьшится полезность некоторого блага в зависимости от безальтернативной полезности другого — отвергнутого — блага.

Понятия безальтернативной полезности и «удовлетворения-сожаления» объединяются воедино в «модифицированной» функции полезности. Представим, что агент выбирает между двумя альтернативами: А и Ак. Допустим также, что агент выбрал альтернативу А и, кроме того, реа-

лизовалось ]-е состояние природы. Тогда агент получит некоторый выигрыш х—. При этом если бы он выбрал альтернативу Ак, то он бы получил выигрыш х—. Для краткости будем обозначать С (х—) = с—.

Введём модифицированную функцию полезности:

тк = М (х—; хкз).

Функция назначает некоторое числовое значение каждой паре альтернатив. Отличие значений с— и т— может быть проинтерпретировано как изменение полезности под влиянием сожаления о неправильно сделанном выборе или удовлетворения от правильного решения. Отсюда можно предположить, что если с— = с—, то т— = с—. Приняв допущение, что отличие значений с— и т— зависит только от безальтернативных полезностей сравниваемых альтернатив и не зависит от каких-либо иных характеристик, можно сделать следующие предположения:

дт— дт—

> 0 и —< 0.

дс— д ск—

Первое из них означает, что при прочих равных условиях модифицированная полезность растёт с увеличением безальтернативной полезности выбранной альтернативы — эффект удовлетворения. Второе означает, что при прочих равных условиях модифицированная полезность не возрастает с увеличением безальтернативной полезности отвергнутой альтернативы — эффект сожаления. Последнее неравенство следует рассматривать как нестрогое, так как возможен случай, при котором агент в принципе не будет испытывать сожаления.

Для того чтобы сделать выбор между двумя альтернативами, следует перейти к функции ожидаемой модифицированной полезности:

N

к

Ек = £ Р—

т— •

Агент предпочтёт альтернативу А» альтернативе Ак, если значение будет больше, чем значение

Е.

Предположим, что степень удовлетворения-сожаления зависит только от разности безальтернативных полезностей выбранной и отвергнутой альтернатив. Тогда

т — = с— + Щ(с— - Ск—),

где Д(х) — функция удовлетворения-сожаления, которая ввиду вышеизложенных предположений о поведении функции модифицированной полезности обладает следующими свойствами: Щ(0) = 0, Д'(х) ^ 0 Ух.

Тогда условие выбора для агента примет следующий вид

АгУАк тогда и только тогда, когда ^^=1 р— [с»— - с— + Я(с— - с—) - Щс— - с—)] ^ 0.

Удобно ввести возрастающую и нечётную функцию ^(х) = х + Щ(х) - Щ(-х). Тогда условие выбора примет вид

АгуАк тогда и только тогда, когда ^N=1 р— Q(cij - ск—) ^ 0.

Можно сделать три предположения относительно внешнего вида функции Q(x) [5]:

1. Q(x) — линейная или, что эквивалентно, Л/;(х) = Л/;(-х) для любого х > 0.

2. Q(x) — вогнутая для всех положительных х или, что эквивалентно, Л//(х) < Л//(-х) для любого х > 0.

3. Q(x) — выпуклая для всех положительных или, что эквивалентно, Л//(х) > Л//(-х) для любого х > 0.

На первый взгляд, кажется, что нет никаких причин предпочитать какое-либо из этих трёх предположений другим. Однако авторы отмечают, что все случаи отклонения от рационального поведения, приведённые в работе Каннемана и Тверски, удачно описываются моделью, удовлетворяющей третьему предположению; также существуют теоретические причины ожидать того, что третье предположение будет чаще удовлетворяться, нежели остальные [5].

II. Модификация модели

Исходная модель, построенная в рамках теории сожаления, используется только для обоснования выбора между двумя альтернативами. Однако эту модель можно применить и для обоснования выбора из некоторой группы альтернатив. Допустим, что есть некоторая альтернатива A*, с которой при выборе происходит сравнение всех альтернатив. Например, если альтернативы представляют собой инвестиционные портфели, то альтернатива A* может представлять собой вложение денежных средств в банковский депозит.

Рассмотрим некоторое непрерывное пространство из активов и портфелей. Портфель характеризуется в этом пространстве набором чисел wi, ..., wk, являющихся весами активов, входящих в состав портфеля; таким образом, считая невозможными короткие продажи, 0 ^ Wk ^ 1 Vk, £K=1 Wk = 1. Далее введём в рассмотрение безальтернативную функцию полезности C(wi, ..., wk), которая принимает значения c1(w1, ..., wk), ..., cn(w1, ..., wk) в зависимости от реализовавшегося состояния природы. Данная функция сопоставляет некоторому активу или портфелю число, которое и принимается за безальтернативную полезность. Будем считать, что полезность актива A* равна с*.

Введём в рассмотрение функцию R(x), удовлетворяющую всем условиям, накладываемым на функцию удовлетворения-сожаления в исходной модели, и рассмотрим задачу агента:

E = Yjj=1 pjQ(cj - с*) ^ maxw!,...,wK,

EK.1 Wk -1 = о, U)

wk ^ 0 Vk.

Функцию E можно рассматривать как измеритель благосостояния инвестора, показывающий его выгоду от вложения в альтернативу A по отношению к выгоде от вложения в альтернативу A*. Решая задачу (1), получаем следующее выражение для предельной нормы замещения:

MRSregret = £ф=1 Рз&[1 + R/(Cj - с*) + RV - Cj)] (2)

m,n j pj dj [1 + R/(Cj - с*) + R/(c* - Cj)] ’

dc •

где ~dWr — производная безальтернативной функции полезности по весу wn при условии, что реализовалось состояние природы sj, pj — вероятность реализации состояния природы sj. Это выражение имеет смысл предельной нормы замещения для предпочтений агента, подверженного влиянию эффекта сожаления, и показывает, от какого количества актива n готов отказаться агент при увеличении количества актива m на единицу.

При этом если предположить отсутствие нерациональности в действиях агента (R(x) = 0) и решить аналогичную (1) задачу, то можно получить следующее условие:

yN p dcj

MRgrational __ /-—/j=^ j dwrn (3)

m,n N dcj . ( )

j pjdj

Здесь используются те же обозначения. Это выражение имеет смысл предельной нормы замещения для предпочтений рационального агента. Проведём сравнение этих условий, вычтя из выражения (2) выражение (3):

spN p. dcj [ 1 spN dcj

M R Qregret m R S rational Z—/j=1tJj dwmt" *-—'j=1 dwm

MRSm,n MRSm,n = n dc,■ г n N dcj =

2-/7=1 pjdwn [...]j z2j=1 pjdwn

Vм п- 9с1 [ 1-у Vм п- 9с1 Vм п дсз Vм п- 9с1 [ ]•

2^=1 п7дтт 1-1^ Х 2^7=1 п7д-шп 2^7=1 п7дтт Х 2^7=1 р дтп ^"Ь

7РЁМ; X ЕМ=1

Vм Р дсз 1 1.^м п. дсз Vм п дс^ м дсз 1 1

_ 2-^г=1 п7д^т Ь-Ь 2-47=1 п7д^п 2_;г=1 пгд^т 2^=1 п7д^п [...Ь _

_ 7 Р'£ М; X Е5=1 _

дс, дсз [ 1 ,

Л„.. Л„.. I ... I 7

V 0.

Vм Vм пп- дсз дс, 1 1._ п„. дс, дсз 1 1

2^{=1 2^ 1=1 Р'ъР1 д'шп д'шт 2^г=1 2^ 1=1 РгР7 д'шт д'шп Ь"11

Vм п-^с± 1 1.х Vм п-^сз-

2-47=1 п1дадп ^"Ь х 2^1=1 п1дадп

Здесь 1...17 _ 1 + К’(с7 — с*) + К’(с* — 7). Так как знаменатель полученного выражения больше нуля, то можно перейти к рассмотрению:

мм о о мм по

дс, ОСг , , ОСг ОС! . ,

Х^РгР' я— я-----------1...1г — РгР7я я—1...1, V 0. (4)

^ ^ д-Шп д-тт ^ ^ д-тт Оад„

г=1 7=1 г=1 7 = 1

Проведём замену переменных в (4):

дс дс

Ргт—^ _ аг, Ргтт^ _ вг, 1 + К’(с — с*) + К’(с* — о) _ 1г.

д^т д^п

В итоге получим следующее выражение:

м м

^ ^ агв711г — 171 V 0. г=1 7=1

Для упрощения выкладок рассмотрим случай двух возможных состояний природы. Будем также считать, что состояния природы проиндексированы в соответствии с увеличением значения С (ж):

а1в2111 — 121 — а2в1112 — 111 V 0. (5)

Окончательный вывод зависит в конечном счёте от вида функции К(ж). Если принять гипотезу Лумеса и Сагдена, то тогда 11 — 12 < 0. Действительно,

^1 — ^2 < 0,

К’(с1 — с*) + К’(с* — с1) — К’(с2 — с*) — К’(с* — с2) < 0.

С учётом того, что состояния природы проиндексированы в соответствии с увеличением значения С (ж), получим

К’(с* — с1) — К’(с* — с2) < К’(с2 — с*) — К’(с1 — с*)

с2 — с1 с2 — с1 ’

К’(с* — с2) — К’(с* — с1) К’(с2 — с*) — К’(с1 — с*)

с1 — с2 с2 — с1

Введём следующее обозначение:

с2 — с1 _ А.

Тогда получим

К’(с* — с1 — А) — К’(с* — с1) ^ К’(с1 + А — с*) — К’(с1 — с*)

—А < А .

Так как значения с1 и с2 были взяты произвольно, то тогда если А ^ 0, то К’’(с*—с1) < К’’(с1—с*). Зная это, из формулы (5) получим

а^2 Л а^въ

ТРУДЫ МФТИ. — 2011. — Том 3, № 2 Информатика, управление, экономика 101

а1 а2 в1 Л в2 , мК^т п л мК^т ,п.

Здесь МК^т п — предельная норма замещения, рассчитанная для безальтернативной функции полезности. Следовательно, если МК^т>п < МК^т>п, то МК^тП"6* > МК^тП0^. То есть в состоянии равновесия агент будет покупать несколько больше актива т, нежели в случае рациональности, и наоборот.

Естественно, что более точное описание зависит от конкретного вида функций С(ад1, ..., тк) _ С(г7-(ад1, ..., тк)) и К(ж), где г7-(ад1, ..., тк) — доходность инвестиционного портфеля в состоянии природы _/. Пусть функция безальтернативной полезности С(г7-) обладает следующим свойством: С’(г7-) > 0. Тогда, зная, что г7-(т, ..., тк) _ ^к=1 , имеем

dcj = С/ (rj )- dr

r = r = С/(rj к ■

дтп дтп

Здесь гП — доходность актива п в состоянии природы 1. Пусть МК^т п < МК^т п. Тогда

c/(r1)rm < c/(r2)rt

c/(r1)rn c/(r2)rn

r2 r2

' n < ' m r1 r1

nm

Таким образом, агент будет склоняться в сторону актива с большим темпом прироста доходности при переходе от худшего состояния природы к лучшему.

Построенная модель показывает, что если поведение экономического агента будет подчиняться теории сожалений, то будут наблюдаться устойчивые сдвиги при формировании его инвестиционного портфеля.

Литература

1. Интрилигатор М. Математические методы оптимизации и экономическая теория / пер. с англ.; под ред. А.А. Конюса. — М.: Издательство «Прогресс», 1975. — 606 с.

2. Нейман Дж. фон., Моргенштерн О. Теория игр и экономическое поведение / пер. с англ.; под ред. и с доб. Н.Н. Воробьёва. — М.: Главная редакция физико-математической литературы издательства «Наука», 1970. — 708 с.

3. Gollier C., Salanie. B. Individual decisions under risk, risk sharing and asset prices with regret // Tolouse School of Economics, 2006. — P. 25.

4. Kahneman D., Tversky A. Prospect Theory: An Analysis of Decision under Risk // Econometrica. — 1979. — V. 42, N 2. — P. 263-292.

5. Loomes G., Sugden R. Regret Theory: An Alternative Theory of Rational Choice under Uncertainty // The Economic Journal. — 1982. — V. 92, N 368. — P. 805-824.

6. Michenaud S., Solnik B. Applying Regret Theory to Investment Choices: Currency Hedging Decisions // Journal of International Money and Finance. — 2009. — V. 27. — P. 677-694.

7. Muermann A., Mitchell O.S., Volkman J.M. Regret, Portfolio Choice, and Guarantees in Defined Contribution Schemes // Insurance: Mathematics and Economics. — 2008. — V. 42. — P. 1050-1061.

8. Wagner N. On a model of portfolio selection with benchmark // Journal of Asset Management. — 2002. — V. 3. — P. 55-65.

Поступила в редакцию 28.11.2010.