CC BY
53
2006
НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК МГТУ ГА серия Международная деятельность высшей школы
№ 102
УДК 378.1:341.95
ФОРМИРОВАНИЕ ЕДИНСТВА ТЕОРИИ И ПРАКТИКИ ПРЕПОДАВАНИЯ МАТЕМАТИКИ НА ПОДГОТОВИТЕЛЬНОМ ФАКУЛЬТЕТЕ
Т.И. КУЗНЕЦОВА
Статья представлена доктором педагогических наук, профессором Жаровым В.К.
Предлагается концепция оптимизации преподавания математики на подготовительном факультете вуза. В ее основе - методологические работы Г.П. Щедровицкого и Э.Г. Юдина. В свете идей синергетики используется теория «жестких» и «мягких» моделей В.И. Арнольда.
1. В основе наших поисков лежит метод познания, который представляет собой системный взгляд на практическое значение науки, на связь теории и практики, на подчинение теоретических изысков и усилий практическим интересам человека, в нашем случае, практике преподавания повторительно-подготовительного курса математики на уровне предвузов-ского образования. Будем руководствоваться представлениями по этим вопросам общепризнанных ученых и попытаемся развить их применительно к рассматриваемому объекту. По Аристотелю, основным способом доказательства утверждений должна быть дедукция [1]. Именно этот способ рассуждений является стержневым и в методе Декарта [2].
Учитывая специфику условий проведения наших исследований (достаточная образовательная база - номинальное знание уже изученного ранее курса математики средней школы, цель - через повторение этого курса подготовить обучаемых к получению высшего образования со всеми его необходимыми качествами, важнейшими из которых являются воспитание творческой личности, способной научно мыслить; возрастная психологическая подготовленность и т. п.), нами была выдвинута гипотеза о возможности реализации представлений Аристотеля и Декарта в преподавании повторительного подготовительного курса математики на подготовительном факультете. Следуя Эйнштейну, который в логике построения своей теории относительности использовал принцип единства физического знания [3, с. 82], в своей работе мы руководствовались принципом единства математического знания. Именно этот принцип позволил нам построить предложенную в настоящей работе модель выпускника подготовительного факультета, использование которой оптимизирует процесс разработки соответствующей стройной методики преподавания повторительно-подготовительного курса математики. С целью структуризации такого подхода мы воспользовались разработками отечественных философов Г.П. Щедровицкого [4] и Э.Г. Юдина [5], в результате чего были получены следующие результаты.
2. Подход к проблеме синтеза знаний, относимых к одному объекту, может быть совершенно иным, отличным от механического, так как абстракции не всегда выделяют части изучаемого объекта - они образуются иначе. Содержание знаний, получаемых при решении частных задач, можно сравнить с проекциями, которые «снимаются» с объекта при разных его «поворотах» [4, с. 74]. В работе [6] мы подробно иллюстрируем высказанные мысли на рассматриваемом нами объекте - методике преподавания математики на подготовительном факультете, при этом проекциями являются какие-то знания об этой методике, например, методики конкретных авторов для различных этапов обучения математике, частные методики.
Ясно, что чисто механическое объединение таких проекций не может дать представления о действительном, оптимальном, строении объекта. Но каким же образом осуществить синтез различных односторонних знаний об одном объекте? В этом и заключается наша проблема.
3. Обоснованный методологический подход к этой проблеме требует, прежде всего, четкого и резкого разграничения понятий объекта и предмета изучения. В контексте рефлексивного методологического исследования естественно рассматривать противопоставление объекта и знаний о нем как нечто реально существующее и весьма существенное для многих процедур и приемов научного и философского мышления. Понятие предмета изучения строится именно на этом отношении между объектом и знаниями о нем. Считается, что, если объект независим от исследования и противостоит ему, то предмет изучения, напротив, формируется самим исследователем. При этом характер предмета зависит не только от того, какой объект он отражает, но и от того, зачем этот предмет сформирован, для достижения какой цели.
Конкретизируем исследование нашего объекта на достижении следующей цели - обеспечить преподавателя возможностью самостоятельно разрабатывать методику преподавания математики на подготовительном факультете как стройной научной дисциплины. Успешное решение этой задачи является одним из основных звеньев организации написания соответствующих учебно-методических пособий по математике, а также организации исследовательской работы преподавателей, желающих самостоятельно разработать свою методику преподавания подготовительного курса математики. Объект и цель исследования определили предмет исследования - систему теоретических принципов, которые лежат в основе разработки соответствующей методики преподавания математики на подготовительном факультете.
Изучение работ по методике преподавания математики дало перечень дидактических принципов, которыми должен руководствоваться учитель средней школы при обучении математике [6, с.47 - 48].
4. Как решить такую сложную задачу: каким образом должен осуществляться синтез различных теоретических представлений и знаний, если они получены «хаотично», вне связи друг с другом и без всякой ориентировки на последующий синтез. Ясно, что в такой ситуации первый шаг должен состоять в том, чтобы перестроить сами исходные представления и знания, освободить их от одинаковых повторяющихся элементов содержания, дополнить другими представлениями, которые окажутся необходимыми с точки зрения задачи синтеза.
Попытка проделать такое движение сразу же наталкивается на видимый парадокс: чтобы новые (полученные в результате перестройки) исходные представления увязывались с задачей синтеза, исследователь должен уже в исходном пункте иметь представление о действительной структуре объекта, который он изучает и хочет воспроизвести, и, кроме того, он должен соотнести с этим представлением все существующие односторонние проекции - знания. Иначе говоря, построение сложного, системного знания об объекте предполагает в качестве своего предварительного условия знание структуры этого объекта. На первый взгляд кажется, что это требование содержит в себе противоречие. Но другого способа решить поставленную задачу нет, а более детальный анализ ситуации убеждает нас в том, что обнаруживаемое здесь противоречие - мнимое. Прежде всего потому, что искомое структурное представление объекта еще не есть теоретическое представление или теоретическое знание структуры этого объекта, оно лежит в особой плоскости представлений об объекте - методологической - и выполняет особую методологическую функцию в процессе исследования, являясь лишь средством для построения теоретического знания.
Такой вывод задает направление того движения, которое должно быть осуществлено для синтеза уже существующих знаний об объекте: он подчеркивает то, что нельзя получить решения этой проблемы, оставаясь в плоскости одних лишь имеющихся знаний. Он показы-
вает, что в это движение обязательно должен войти анализ тех процедур, посредством которых были получены существующие знания. Он показывает также, что нужно проделать особую работу по воссозданию структуры того объекта, проекциями которого являются уже имеющиеся знания.
Итак, решая задачу синтеза различных знаний об одном объекте, нужно, вместо того, чтобы искать какие-то связи между ними в их собственной плоскости, воспроизвести каким-то образом структуру объекта, а затем, исходя из нее, восстановить те «проекции», которые привели к имеющимся знаниям.
Проведенные рассуждения показывают, что процедуры анализа существующих знаний об объекте и их синтеза, полученные посредством абстрагирования представлений и знаний, должны быть органически связаны между собой, должны образовывать единый познавательный механизм. Этот принцип может быть применен к любым теоретическим знаниям и представлениям, которые мы хотим объединить.
В нашем случае представление объекта (обозначим его К) содержит дидактические принципы, которые мы считаем основополагающими для разработки методики обучения математике на подготовительном факультете. Из вышеприведенного перечня сюда вошли: генетичность, научность и связь с практикой. Конечно, все остальные принципы из того перечня важны и должны, разумеется, выполняться, однако они находятся в подчиненном положении по отношению к выбранным. К выделенным трем принципам мы прибавили еще два принципа построения методики преподавания математики, которые возможно учесть на уровне предвузовского образования в условиях глобального (широкого) повторения школьного курса математики: обзорность и алгоритмичность.
Так как предмет методики учебного предмета определяется как связь, взаимодействие преподавания и учения в обучении конкретному учебному предмету, т. е. конкретному содержанию, то форма связи преподавания и учения на конкретном содержании определяется характером изучаемой в данном содержании связи. Эта связь может быть объектной или мыслительной.
Мыслительная связь подчиняется законам формальной (математической) логики, поэтому преподавание и изучение этой связи определяется анализом и синтезом логических приемов мышления, применяемых при выводе одних умозаключений из других, т. е. при доказательстве теорем. Это подробно рассмотрено в [7]. При этом систематичность и последовательность преподавания (изложения) рассматриваемого содержания проверяется построением его генетического дерева и последующего восстановления его научного вывода методами математической логики.
Что касается объектных связей между элементами содержания, то они не могут быть полностью преподнесены только на основе формальной логики, поскольку, как говорит отечественный математик и логик Д. Бочвар, «математика не выводима из формальной логики, ибо для построения математики необходимы аксиомы, устанавливающие факты из области объектов, и прежде всего - существование в последней определенных объектов. Но такие аксиомы обладают уже внелогической природой» [8, с. 56].
Такое положение объясняет то, что при обосновании системы школьного курса используются не только знания по логике, но и из истории науки, науковедения [9, т. 1, с. 568]. При этом используется философская логика, которая существенно отличается от математической, формальной логики.
Философия настаивает на необходимости исследования конкретно-исторического содержания мышления и его принципов. Она раскрывает отношения между теорией и практикой в их возникновении и историческом развитии, взаимосвязи между различными приемами научного мышления, между ступенями его развития.
Формальная логика берет только определенную сторону мышления: законы получения новых истинных знаний, не прибегая в каждом конкретном случае к опыту и к истории по-
знания. Возникновение, становление и развитие мышления - это компетенция теории познания и философской логики, но никак не формальной логики.
Таким образом, философская и формальная логики - две разные науки, различающиеся как предметами своего исследования, так и используемыми методами. Обе они изучают, подобно целому ряду других наук, человеческое мышление, но берут разные его стороны. Формальная логика свое главное внимание направляет на выяснение структуры знания, на его «анатомирование» и описание формальных связей его элементов. Философская же логика трактует истину как процесс, как возникновение и развитие знания, последовательно проходящее в своем развитии определенные ступени [8, с. 59].
Высказанные мысли дают обоснование включения в предложенное нами представление еще двух принципов: историчности и логичности. При этом логичность здесь понимается в смысле логики науки. Именно эти знания, возникшие в результате исторического развития науки, могут объяснить объектные связи.
Примеры исследований, соответствующих этому представлению, подробно рассматриваются в наших работах например, [6]. Вообще этот процесс может быть и достаточно простым, если рассматриваемая методика соответствует системе принципов К, а может быть, естественно, и достаточно непростым, как например, в случае, если преподаватель должен рассматривать материал, который можно преподнести с использованием метода математической индукции, а в рассматриваемой методике доказательство ведется, в лучшем случае, так называемым «и т. д. - методом» (например, при выводе формулы общего члена арифметической или геометрической прогрессий или при доказательстве теоремы Фалеса [10].
5. Итак, результатом решения поставленной цели явилось выделение универсальной системы специфических теоретических принципов, которые лежат в основе самостоятельной разработки методики преподавания подготовительного курса математики, а затем обобщенного состава действий по этой работе [6, гл. 1], [11]. Ввиду особой важности последнего перечислим его основные этапы:
ОБОБЩЕННЫЙ СОСТАВ ДЕЙСТВИЙ ПО РАЗРАБОТКЕ МЕТОДИКИ ПРЕПОДАВАНИЯ МАТЕМАТИКИ НА ПОДГОТОВИТЕЛЬНОМ ФАКУЛЬТЕТЕ
А. Анализ ситуации, т. е. выявление и формулирование возникшей проблемы. Выделяем одну из четырех вариантов проблем, которые на данном этапе обучения являются специфическими и наиважнейшими:
1. Сомнение в характере и сути связи между элементами содержания. В этом случае необходимо провести анализ этой связи. Она может быть двух видов: а) мыслительная; в) объектная.
2. Целесообразность обзора.
3. Возможность алгоритмизации.
4. Желание ввести дополнительный материал.
Б. В соответствии с выявленной проблемой поступаем следующим образом:
1. В зависимости от вида связи выполнить следующий план дальнейших действий: а) если эта связь мыслительная, то она подчиняется законам формальной логики, которая может быть использована для обоснования этой связи и (или) для выявления генезиса связи (анализ с помощью составления генетического дерева), а также последующего его научного обоснования (синтез путем обоснования связи). Этот процесс возможен только при условии использования принципа единства генетичности и научности;
в) если связь объектная и вызывает какие-либо неудовлетворения (например, какие-либо противоречия), которые надо разрешить, и если они не снимаются средствами формальной логики (по методике предыдущего пункта), то необходимо обратиться к истории развития науки (анализ места рассматриваемого материала в соответствующей хронологической цепи) и, воспользовавшись логикой развития науки, попытаться разрешить создавшуюся проблемную ситуацию (синтез исторически обусловленного места этого материала в ло-
гически последовательной структуре математического знания). При этом, естественно, входит в действие закон единства исторического и логического в преподавании.
2. Если рассматриваемый материал состоит из нескольких частей, изучаемых в разных частях курса и связанных какой-либо общей линией, целесообразно попытаться выполнить всеобъемлющий (на реальном уровне) обзор этого материала.
3. Если рассматриваемый вопрос поддается алгоритмированию (провести анализ), попытаться разработать соответствующий алгоритм; исследовать вопрос выявления аналогов и обобщения полученного алгоритма, а затем сделать обзор (осуществить синтез), объемлющий все материалы на изученную тему, объединенные общим алгоритмом.
4. Если рассматриваемый материал является дополнительным и находится в плане его теоретического углубления или расширения, в плане развития межпредметных связей или в плане приложений изученных разделов математики, то для сохранения единой теоретической линии исследуем этот материал, используя методику предыдущих пунктов: 1) анализ генезиса этого материала; в случае сложностей, возникших при этом, - 2) анализ его места в исторической цепи развития математики и других предметов; 3) синтез путем обоснования связи; 4) анализ и синтез материала в соответствии с п. Б2, Б3, естественно, в рамках целесообразного всеобъемлющего взгляда на рассматриваемый материал.
Отметим, что обобщенный состав действий позволяет разрабатывать только схемы действий: для разработки методик преподавания конкретных фрагментов курса необходимо
хорошее владение предметно-специфическими знаниями и умениями из одной или нескольких областей знания.
6. Теперь должно быть ясно, что из предложенного представления предмета нашего исследования выводятся потом все уже существующие знания об объекте, и оно либо служит их основанием, либо заставляет их перестраивать. Поскольку именно на его основе строится новое синтетическое знание, которое затем используется в практической работе, постольку это представление является моделью объекта.
Так как эта модель объекта создается с совершенно особым назначением - специально для того, чтобы объединить уже существующие знания, она имеет специфический набор функций и совершенно особые характеристики формы и содержания, которые должны быть особым образом обозначены. В методологии такое представление объекта, создаваемое с целью описанного выше объединения и синтеза разных знаний, называют «конфигуратором», а процедуру этого объединения и синтеза, основывающуюся на специально созданном для этого представлении объекта, - «конфигурированием».
Таким образом, мы рассмотрели пример модели-конфигуратора - универсальной системы принципов разработки методики преподавания математики на подготовительном факультете, которая позволила осуществить конфигурирование соответствующих знаний по разработке методики преподавания повторительного курса математики. Это один из примеров практического применения научного метода восхождения от абстрактного к конкретному.
Учитывая специфику разработанной модели, назовем ее моделью выпускника подготовительного факультета, а точнее, моделью выпускника подготовительного факультета в пространстве предвузовского математического образования, и запишем соответствующую целевую функцию времени I обучения:
ДС; Р, Н, Ь, О, К, А, О, Рг, ^, (1)
где С - содержание, определенное соответствующей программой; параметр Р - система дидактических принципов, которыми должен руководствоваться учитель средней школы при обучении математике; параметры Н, Ь, О, К, А, О, Рг - выделенные нами принципы, причем, три из них - генетичность (О), научность (К) и связь с практикой (Рг) присутствуют и в сис-
теме Р, однако ввиду их исключительной важности на уровне предвузовского образования они заслуживают такого «удвоенного» внимания.
7. Предложенная концепция полностью соответствует идеям нелинейной динамики, синергетики, дает пример базовой модели с ее понятиями и методами, которые могут быть применены в конкретных ситуациях, а могут и не быть [12, с. 60 - 62]. Они могут стать основой построения новой нелинейной познавательной парадигмы, а могут остаться отдельными находками в отдельных частях курса. Излюбленный образ синергетики - бифуркационная диаграмма. В точках бифуркации происходит выбор и процессы другого уровня, не отраженные на диаграмме (шумы, случайности, управляющие воздействия), которые могут сыграть ключевую роль. Это значит, что путь развития не единственный, что можно в нужный момент вмешаться в ход событий и изменить его. Будущее оказывается не единственным.
Этот образ станет руководством к действию для тех, кто будет определять точку бифуркации и воздействовать на систему, либо окажется основой нового алгоритма или технологии - зависит от специалистов, которые будут применять общие идеи нелинейной динамики к своей конкретной области. В работе [6, гл. 2 и 3] приведен пример точки бифуркации в преподавании математики на подготовительном факультете и показаны варианты выхода из нее, один из которых достаточно долгое время был общепризнанным, однако, противоречит предлагаемой нами концепции, другой возвращает нас назад, к Евклиду, но на более высоком, с точки зрения научности, уровне изложения, подтверждая тем самым слова И.К. Андронова о большой ценности геометрии Евклида «для школьников всех народов и времен» [13, с. 141].
Нелинейная динамика отвечает на вопрос, почему иногда среди огромного множества сложных взаимодействующих факторов и сотен тысяч переменных удается выделить наиболее важные процессы и ключевые факторы? Ответ нелинейной динамики состоит в том, что во множестве случаев происходит самоорганизация, связанная с выделением параметров порядка. И нелинейную среду, потенциально обладающую бесконечным числом степеней свободы, удается описать динамической системой с конечным, а иногда и небольшим числом переменных» [12, с. 61].
В нашем случае модель выпускника подготовительного факультета, которая может быть описана целевой функцией (1), является ярким примером динамической системы с параметрами порядка - принципами обучения математике, выделенными в соответствии с задачами предвузовского математического образования. Настоящая концепция нова именно своей системной природой и, как ни странно это звучит, «необязательностью» ее использования, другими словами, использованием «по желанию» преподавателя. Определение точек бифуркации и выявление вариантов путей выхода из этих точек, а также обоснованный выбор оптимального варианта - вот задачи, с которыми может столкнуться преподаватель-методист, работающий по нашей концепции. Конечно, в полной мере использовать предложенную методику может только тот учитель, который, очевидно, обладает достаточной квалификацией и желанием этим заниматься.
8. Так или иначе, только учитель, владеющий ситуацией в достаточно полной мере, как никто другой, вправе решать вопрос о дозировании учебной информации разного характера в свете предлагаемой концепции в условиях непрерывного математического образования. При этом огромное значение имеет единение учителя и учащегося в процессе обучения. Лозунгом преподавателя должна быть фраза «Учащийся - соавтор преподавателя!». Развивая и уточняя эту мысль, обратимся к теории «жестких» и «мягких» моделей В.И. Арнольда, в которой большое значение придается введению обратной связи (т. е. зависимости принимаемых решений от реального состояния дел, а не только от планов), стабилизирующей систему обучения, «которая без обратной связи разрушилась бы при оптимизации параметров» [14, с. 14].
В рекомендациях к какой-либо новой системе совершенно необходима дополнительная информация о ней, а именно, информация о виде малых поправок, отступление от которых не ухудшает результатов внедрения системы. Без этой информации жесткая модель может привести к качественно ошибочным предсказаниям и, чаще всего, к неудачам. Это означает, что в выборе степени использования предлагаемой модели преподавания преподаватель должен ориентироваться как на объективные условия (например, недостаток времени, недостаток баз знаний студентов), так и на полуобъективные условия. Примером последнего может служить первоначальное отсутствие интереса студентов к углубленному изучению предлагаемого материала, который в процессе обучения может появиться, поэтому приобретает особое значение постоянная как положительная, так и отрицательная обратная связь преподавателя с учащимися, дающая возможность корректировать учебный процесс.
Таким образом, с точки зрения синергетики, в рамках предлагаемой нами концепции, можно уточнить модель выпускника подготовительного факультета (1), сделав ее «мягкость» очевидной за счет введения дополнительных параметров порядка:
M(F; T, U, Sp, Ii, I2, S, V) = М(С; P, H, L, G, N, A, O, Pr; T, U, Sp, I1, I2, S, V, t), (2)
где F -модель выпускника подготовительного факультета, описанная нами формулой (1); Т -общее время, отведенное на обучение на подготовительном факультете; U - уровни баз учащихся; Sp - будущая специальность обучаемых; I1 - их интерес к математике; I2 - интерес преподавателя к процессу преподавания; S - обратная связь ученика с преподавателем; V -предпочтения преподавателя. В соответствии с предложенной синергетикой классификацией процессов другого уровня, не учтенных при описании разработанной модели с помощью функции (1), шумами можно считать степени интересов учащихся к математике и степень интереса преподавателя к процессу преподавания, случайностями - обратную связь учащегося с преподавателем и предпочтения преподавателя, управляющими воздействиями - общее время обучения, уровни баз учащихся и будущую специальность обучаемых.
ЛИТЕРАТУРА
1. Яглом И.М. Математические структуры и математическое моделирование. - М.: Советское радио,
1980.
2. Descartes R. Discours de la Methode. Essais Dioptrique, Meteores, Geometrie. - a Leyde: De l’Imprimerie de Ian Maire, 1637.
3. Овчинников Н.Ф. К проблеме формирования творческой личности Эйнштейна // Вопросы философии, 1979. № 9. С. 70 - 84.
4. Щедровицкий Г.П. Синтез знаний: проблемы и методы. - В кн.: На пути к теории научного знания. -М.: Наука, 1984. С. 67 - 109.
5. Юдин Э.Г. Системный подход и принцип деятельности. - М.: Наука, 1978.
6. Кузнецова Т.И. Модель выпускника подготовительного факультета в пространстве предвузовского математического образования. Серия «Психология, педагогика, технология обучения». - М.: КомКнига, 2005.
7. Кузнецова Т.И. Методологические основы синтеза логических приемов мышления, используемых при разработке способов доказательства теорем. // Вестник ЦМО МГУ, № 1. 1997. Ч. 3. С. 31 - 40.
8. Ивин А.А. По законам логики. - М.: Мол. гвардия, 1983.
9. Российская педагогическая энциклопедия: В 2-х т. - М.: Большая Рос. Энциклопедия. 1993. Т. 1; 1999.
Т. 2.
10. Кузнецова Т.И. К вопросу о реализации принципа единства генетичности и научности на уровне предвузовской математической подготовки // Секции «Методика и педагогика» и «Проблемы высшего и среднего образования в XXI веке»; Труды XXXVII Всероссийской научной конференции по проблемам математики, информатики, физики, химии и методики преподавания естественнонаучных дисциплин. 22 - 26 мая 2001 г. -М.: Изд-во ПАИМС, 2001. С. 50 - 59.
11. Кузнецова Т.И. «Мягкая» модель выпускника подготовительного факультета // Фундаментальные физико-математические проблемы и моделирование технико-математических систем: Сборник научных трудов. Вып. 8; Под ред. Л. А. Уваровой. - М.: Янус-К, 2005. С. 240 - 250.
12. Капица С.П., Курдюмов С.П., Малинецкий Г.Г. Синергетика и прогнозы будущего. 2-е изд. - М.: Эдиториал УРСС, 2001.
13. Андронов И.К. Трилогия предмета и метода математики. В 3-х ч.; Под ред. И.И. Баврина. - М.:
МГОУ, 2004. Ч. III.
14. Арнольд В.И. «Жесткие» и «мягкие» математические модели. - М.: МЦНМО, 2000.
THE UNITY OF THEORY AND PRACTISE IN TEACHING OF MATHEMATICS ON A
PREPARATORY COURSE LEVEL
Kouznetsova T.I.
This article treats the optimization problems and the ways of its solution in case of the pre-higher mathematical education.
Сведения об авторе
Кузнецова Татьяна Ивановна, окончила МГУ им. М.В. Ломоносова (1968), кандидат педагогических наук, доцент ЦМО МГУ, автор более 60 научных работ, область научных интересов - проблемы предвузовской педагогики.
