CC BY
32
ИЗВЕСТИЯ
ПЕНЗЕНСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО ПЕДАГОГИЧЕСКОГО УНИВЕРСИТЕТА имени В. Г. БЕЛИНСКОГО ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ И ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ № 18 (22) 2010
IZVESTIA
PENZENSKOGO GOSUDARSTVENNOGO PEDAGOGICHESKOGO UNIVERSITETA imeni V. G. BELINSKOGO PHYSICAL, MATHEMATICAL AND TECHNICAL SCIENCES № 18 (22) 2010
УДК 371.31:51
ФОРМИРОВАНИЕ ДИВЕРГЕНТНЫХ УМЕНИЙ НА УРОКАХ АЛГЕБРЫ И НАЧАЛ АНАЛИЗА
© О. В. ЮТКИНА, М. А. ГАВРИЛОВА Пензенский государственный педагогический университет им. В. Г. Белинского, кафедра теории и методики обучения математике e-mail: Jill-R@yandex.ru, margogavr@freemail.ru
Юткина О. В., Гаврилова М. А. - Формирование дивергентных умений на уроках алгебры и начал анализа // Известия ПГПУ им. В. Г. Белинского. 2010. № 18 (22). С. 240-243. - Главной идеей статьи является раскрытие проблемы формирования дивергентных умений на уроках алгебры и начал анализа в школе. В статье выделены дивергентные умения, показано формирование некоторых умений в процессе работы над устными упражнениями. Ключевые слова: дивергентное мышление, дивергентные умения, учебный диалог, устные упражнения.
Yutkina O. V., Gavrilova M. A. - The formation of divergent skills at algebra and the beginning of analysis // Izv. Penz. gos. pedagog. univ. im.i V. G. Belinskogo. 2010. № 18 (22). P. 240-243. The main idea of the article is to show the problem of the formation of divergent skills at algebra and the beginning of analysis at school. The concepts of divergent skills, the formation of some skills in the course of work on oral exercises are shown in the article.
Keywords: the divergent thinking, the divergent skills, the educational dialogue, the oral exercises.
Современное общество предъявляет высокие требования к выпускникам общеобразовательных учреждений: быть способными и готовыми принимать решения в изменяющейся ситуации, что требует достаточного уровня сформированности некоторых мыслительных качеств, в частности дивергентности. В процессе обучения математике развитие дивергентного мышления достигается через формирование дивергентных умений.
В педагогических исследованиях [1, 2, 3], дивергентное мышление трактуется следующим образом.
По Дж. Гилфорду, дивергентное мышление есть мышление, направленное на поиск разнообразных логических возможностей, мышление, идущее в различных направлениях. Основанием дивергентного мышления является порождение множества решений на основе однозначных данных. Дивергентные способности (divergence), дивергентные операции, дивергентное мышление - термины, раскрываемые Дж. Гилфордом для описания процесса выдвижения различных и в равной мере правильных идей относительно одного и того же объекта или при решении одной и той же задачи.
К. В. Дрязгунов определяет «дивергентное мышление - самостоятельное, поисковое, оригинальное, продуктивное, характеризующееся инверсионностью и дискретностью» [2, с. 32]. В его работе выделены следующие характеристики дивергенции: 1) расхождение как дискретность признаков (свойств); 2) расхождение как снижение связности и возрастание дифференцированности признаков (свойств); 3) расхождение как сосуществование и функционирование признаков (свойств) в параллельном, альтернативном, взаимодополняющем (или взаимоисключающем) режиме; 4) расхождение, приводящее к росту неопределенности и многообразия.
В педагогическом словаре дается следующее определение: «мышление дивергентное - особый вид мышления, который предполагает, что на один и тот же вопрос может быть множество одинаково правильных и равноправных ответов. Считается, что мышление дивергентное является одним из компонентов творчества» [4, с. 199].
А. Н. Иванов в своем исследовании пришел к выводу, что понятие «дивергентное мышление» в самом общем виде отражает способность к видению альтернатив, а дивергентность есть особое качество мышления, позво-
ляющее видеть несколько путей решения проблемы. Собственно «дивергентность мышления - это умение найти несколько способов решения задачи, способность увидеть вариативность ответов и решений» [3, с. 97].
Обобщая указанные дефиниции и учитывая специфику обучения математике в школе, дивергентные умения можно охарактеризовать быстротой поиска разнообразных путей решения задачи и высказывания идей, допускающих различные неожиданные ассоциативные переходы, гибкостью, оригинальностью и точностью, лаконичностью итоговой мысли. К дивергентным умениям в контексте работы с математическими задачами относим: умение анализировать исходные данные задачи и верно их интерпретировать; умение изменять направление поиска в процессе нахождения ответов на различные вопросы; умение генерировать различные пути решения проблемы, что может приводить к неожиданным результатам; умение находить альтернативные по отношению к приведенным пути решения проблемы; умение самоопределяться в ситуации неопределенности; умение системно и целостно подходить к решению поставленной проблемы и др.
Например, данная задача ЕГЭ-2010 имеет как минимум четыре способа решения: «На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см х 1 см изображена трапеция. Найдите её площадь в квадратных сантиметрах»:
Первый характерен для учеников начального звена и 5-6 классов средней школы - «по квадратикам» (графический способ): подсчитывается сколько целых квадратиков (их 26), затем сопоставляются остальные «неполные» квадратики так, чтобы получились «полные» (таких 2,5+4=6,5). В итоге получаем 32,5 см2.
Второй - геометрический: дополняем трапецию до прямоугольника со сторонами 5 см и 9 см. Площадь полученного
прямоугольника легко находится и равна 45 см2. Остается отнять от этой площади площади двух треугольников, равных соответственно /*1*5=2,5 (см2) и '/2*4*5=10 (см2). Таким образом получаем: 45 - 12,5=32,5 (см2).
Третий - аналитический: просто подставить в формулу вычисления площади трапеции соответствующие значения оснований и высоты (9 см, 4 см, 5 см). В ответе 32,5 см2.
Четвертый - алгебраический: вводим систему координат, например, следующим образом:
Находим уравнения сторон трапеции в прямоугольной системе координат, получаем соответственно: у1 = - 5х - 10 и у2 = 1,25х - 2,5. В итоге получаем следующее выражение для вычисления площади криволинейной трапеции 6 -2 6
£ =| 5dx - | (-5х - 10^х -1(1.25х - 2.5)dx, которое равно 32,5 см2.
-3 -3 2
Приведенное задание способствует формированию умения самоопределяться в ситуации неопределённости, поскольку в условии задания не оговаривается, каким именно способом требуется решить данную задачу, что создает простор для анализа условия задачи и поиска различных путей её решения, после чего требуется самоопределиться с путем достижения ответа. Если данную задачу переформулировать следующим образом: «На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см х 1 см изображена трапеция (см. рис.). Вычислите её площадь несколькими способами», то задача становится направленной на формирование именно поиска различных одинаково правильных и равноправных путей решения, т.е. формированию дивергентных умений. В этом случае ни одно из решений не отверга-
ИЗВЕСТИЯ ПГПУ ♦ Физико-математические и технические науки ♦ № 18 (22) 2010 г.
ется, так как основная цель - предложить как можно больше путей решения данной задачи, а не сравнивать их по степени трудности.
Например, в задании: «Разложите на множители х2 + ху - 6у2», - изначально заложена множественность путей решения.
Так, для достижения поставленной цели можно дополнить данное выражение до полного квадрата, полу-
( 2 „1 1 2 ^ 1 2 ^ 2 ( 1 V 25 2
чим: I х + 2• — ху + —у \-—у - 6у =1 х + — у I - — у . Затем полученную разность квадратов представим в
виде произведения: ^x + 1y j - 25y2 = ^x + 2y - 5y) x + 2У + 2Уj = (* - 2y) • (x + 3y).
5
2") 4 ' { 2" 2" j ^ 2" 2‘
Другим путем выполнения задания может стать следующий: рассмотрим данный многочлен как квадратный трехчлен относительно х с параметром у, представим его в виде произведения двучленов x2 + xy - 6y2 = = (х - х1)(х - х2), где х1 и х2 - корни уравнения x2 + xy - 6y2 = 0. Найдем его корни: D = у2 + 24 y2 = 25y2, х1 = -3у и х2 = 2у. Тогда x2 + xy - 6у2 = (х - 2у)(х + 3у).
Третьим способом решения может быть группировка слагаемых: x2 + xy - 6y2 = (x2 - 4y2) + (xy -2y2) = = (x - 2 y)(x + 2y) + y (х - 2у). Выносим за скобку множитель (х - 2у), получаем (x - 2 y)(x + 2y + y) = (x - 2 y)(x + 3y ).
Основной формой организации учебного процесса с целью формирования указанных умений мы видим учебный диалог, поскольку в процессе поиска пути решения проблемы в диалоговой форме умения применяются не хаотично, а в определённой последовательности, включающей чередование индивидуального и группового поиска, а также чередование дивергентных умений.
Организация учебного диалога эффективна при использовании устных задач. Отметим, что в подобную систему задач следует включить задачи различного типа. Так, в начале урока целесообразно использование многовариантных задач, задач на проведение аналогий, на приведение примеров из реальной жизни. В процессе урока -задачи-образы, задания на поиск закономерностей, задачи практического содержания, многовариантные задачи, задачи на поиск различных путей решения, на варьирование существенных признаков понятий. В конце занятия -задания на приведение примеров из реальной жизни, на проведение аналогий.
Приведем пример: Даны графики производных некоторых функций (рис. 1). Для каждой произво-
x2 х х
дной функции укажите её первообразную: 1) y = sin x, 2) y = cos x - 15, 3) y = —, 4) y = 2 sin —, 5) y = 2 cos —,
1 x x3 x2 1 X2 6) y = — cos — + p, где peQ, 7) y = —, 8) y = — - m, где meZ, 9) y = — cos x + 4, 10) y = cos x - 10, 11) y = — - 2, x2 x2 x2 12) y = — - k, 13) y = cos x + 10000051, 14) y = y - 5, 15) y = y +100, 16) y = x2 + 4.
А)
Б)
В)
У'
-А- - тс
-п/ X ? / 1 ►
/ 71 0 \ 1 Л 1 /
2 -
Рис. 1. Графики некоторых производных функций.
В процессе диалога по поиску решения данного упражнения выделяем два пути: первый - найти производные от функций аналитически и сопоставить их с имеющимися графиками; второй - определить какие стандартные функции изображены на приведенных графиках, затем интегрированием найти множество функций, производной от которых являются приведенные на графиках функции, сопоставить данные в условии функции и полученные множества.
Второй путь работы над задачей способствует формированию умений анализировать условие задачи, строить разнообразные связи между рассматриваемыми объектами, делать выводы из принадлежности рассматриваемого объекта группе объектов, искать различные одинаково правильные и равноправные решения, устанавливать взаимнооднозначные и множественные связи.
Таким образом, нами установлено, что устные упражнения являются эффективным средством формирования дивергентных умений. Разработанные наборы устных упражнений по различным темам школьного курса математики могут использоваться на различных этапах урока.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Guilford J. The nature of human intelligence. New York: Graw Hill, 1968. 334 pp.
2. Дрязгунов К. В. Формирование дивергентного мышления учителей в системе повышения квалификации. Дис. ... канд. пед. н. Калуга, 2002. 142 с.
3. Иванов А. Н. Система специальных заданий как дидактическое средство развития дивергентного мышления младших школьников. Дис. ... канд. пед. н. Мурманск, 2007. 121 с.
4. Коджаспирова Г. М., Коджаспиров А. Ю. Словарь по педагогике. М.: ИКЦ «МарТ», 2005. 448 с.
