Формирование детализированной экономико-математической модели динамики управления инновационными процессами предприятий АПК при наличии рисков Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»

БАБЕНКО Виталина Алексеевна

Кандидат технических наук, доцент кафедры экономической кибернетики

Харьковский национальный аграрный университет им. В. В. Докучаева

62483, Украина, Харьковская область, Харьковский район, п/в «Комушст-1» Контактный телефон: +38-067-570-35-73 e-mail: vitalina_babenko@meta.ua

Формирование детализированной экономико-математической модели динамики управления инновационными процессами предприятий АПК при наличии рисков

Ключевые слова перерабатывающее предприятие АПК; инновационный процесс; экономико-математическая модель; риски; динамическая модель оптимизации; процесс управления.

Исследованы подходы экономико-математического моделирования и динамической оптимизации управления инновационными процессами при влиянии фактора неопределенности, разработана детализированная экономико-математическая модель управления инновационными процессами перерабатывающего предприятия АПК в условиях рисков.

Будущее Украины, имеющей значительную долю аграрного сектора экономики, одной из ресурсообеспеченных стран в мире, во многом зависит от эффективного управления сельским хозяйством. С каждым годом нарастает глобальный продовольственный кризис, распространяется экономический и финансовый кризис в Украине и за рубежом, мировые природные ресурсы истощаются, наблюдается общее ухудшение экологической ситуации, о чем свидетельствует динамика изменения климата и ухудшение здоровья и жизни населения Земли. Эти и другие причины свидетельствуют о необходимости внедрения новых подходов к ведению сельского хозяйства на основе научной концепции и использования инновационных технологий. Именно от инновационных знаний и их реализации на практике зависит качество жизни людей как в Украине, так и на всей планете. Украина находится на стадии комплексного государственного реформирования всех сфер народного хозяйства и законодательной сферы, что отражается и на отношении к инновационным процессам (ИП).

Лидирующие промышленно развитые страны разрабатывают и реализуют инновационные программы в приоритетных научных и технологических направлениях (биотехнология, микроэлектроника, компьютерные технологии, генная инженерия, сельское хозяйство и т. п. ), которые способны обеспечить высокие темпы прибыли. В современном мировом пространстве уровень инновационной деятельности становится решающим в определении экономического уровня государства.

Специалист в области инноваций Б. Санто приводит следующие данные: 25% прироста производства в развитых странах обусловлено прямыми материальными инвестициями капитала, около 35% - повышением квалификации рабочей силы, и 40% 3 экономического роста этих стран является результатом внедрения научных идей, изобретений, использования технологических инноваций [1]. «

О

В Европе действует Стратегия инновационного развития до 2020 г. и создается ^

О)

Инновационный союз. Российской Федерацией также представлена подобная страте- ^ гия по созданию Евразийской инновационной системы 2]. Аналогичные шаги делают ©

Беларусь, Казахстан, другие государства СНГ. На сегодняшний день Украина занимает 67-е место в Глобальном инновационном рейтинге среди 125 стран мира. На более высоких позициях в этом рейтинге расположены абсолютно все страны ЕС, а также Россия, Казахстан и другие важные торговые партнеры Украины. Причем рейтинг -это не просто вопрос престижа. Более низкое инновационное качество отечественной экономики сравнительно с другими - это прямые потери для бюджета государства и украинских компаний. Например, Украина тратит на приобретение прав на объекты интеллектуальной собственности в 7-8 раз больше, чем зарабатывает от продажи собственных лицензий за границу. За все годы независимости доля инвестиций в высокие и средние технологии в объемах прямых иностранных инвестиций ежегодно не превышала 2-4%, во внутренних инвестициях - 3-8% [3]. Необходимо изменение структуры производства, формирование тенденции беспрерывного увеличения объема и удельного веса наукоемкой продукции.

Кризисная ситуация и конкуренция на международном и внутреннем рынках сель-хозпроизводства обостряется, что и определяет необходимость повышения внимания руководителей агрохолдингов, сельскохозяйственных предприятий к инновационной деятельности, поскольку только ее результаты дают возможность создать продукцию, способную удовлетворить возрастающие конкурентные требования рынка и обеспечила высокий уровень прибылей сельхозпроизводителям. Более того, необходимость повышения эффективности использования финансовых ресурсов и стремление получать высокие прибыли побуждают ведущих производителей сельскохозяйственной продукции развивать инновационную деятельность, которая нуждается в ускорении и эффективном управлении инновационными процессами в агропромышленном комплексе (АПК).

Эффективное решение связанных с этими процессами задач невозможно без соответствующего математического аппарата, включающего экономико-математические модели, методы и алгоритмы решения задач оптимизации адаптивного управления в условиях риска и неопределенности с использованием современных информационных технологий.

Методы оптимизации в сочетании с применением современных информационных технологий, получившие развитие в последние годы, позволили по-новому подойти к решению задачи оптимального управления ИП на предприятиях по переработке сельскохозяйственной продукции. Такой подход открывает новые возможности повышения производительности и гибкости технологического оборудования, улучшения качества инновационной продукции и совершенствования организации труда, что позволяет использовать все преимущества производственных мощностей, особенно в условиях выпуска новой продукции.

Исследование и решение задачи управления инновационными процессами перерабатывающих предприятий (УИПП) АПК требует разработки динамической экономико-математической модели, учитывающей наличие управляющих воздействий, неконтролируемых параметров (рисков, погрешностей моделирования и др.) и дефицита информации. Существующие подходы к решению подобных задач базируются главным образом на статических моделях и используют аппарат стохастического моделирования, для применения которого требуется знание вероятностных характеристик основных параметров модели и специальных условий реализации рассматриваемого процесса 4-8]. Отметим, что для использования аппарата стохастического моделирования необходимы условия, которые на практике обычно выполнить непросто. В связи с этим предлагается использовать детерминированный подход для моделирования и решения исходной задачи в форме динамической задачи программного минимаксного управления (оптимизации гарантированного результата) УИПП АПК на заданный момент времени с учетом наличия рисков.

Так, для предприятий АПК необходимо учитывать специфику сельскохозяйственного производства, основным признаком которого является отраслевая направленность, что влечет появление «аграрных» рисков. В качестве основного источника рисков в сельскохозяйственном производстве выступают природно-климатические условия и погодные колебания, приводящие к потере продукции, а также изменения в процессах органогенеза (роста и развития растений). Существенно и то, что в ряде случаев сельскохозяйственное сырье является в основном скоропортящимся продуктом, быстро теряющим свои полезные питательные свойства, и это нужно принимать во внимание при его переработке, транспортировке и хранении [9].

Сформулируем содержательную постановку исследуемой задачи: перерабатывающее предприятие АПК осуществляет переход к выпуску продукции на основе инновационной технологии. Технологический процесс включает различные виды производственных факторов, сырья, промежуточных и конечных продуктов и может состоять из р технологических способов организации производства. Необходимо осуществить оптимальное управление на заданном временном промежутке Т выбором предлагаемых (возможных) управляющих воздействий таким образом, чтобы выполнялись требования максимизации (или минимизации) критериев оптимизации [10].

1. Формирование экономико-математической модели динамики управления инновационными процессами перерабатывающего предприятия АПК

На заданном целочисленном промежутке времени 0,Т = {0, 1, ..., Т} (Т > 0) рассматривается процесс УИПП при наличии рисков, для экономико-математического моделирования которого предлагается использовать динамическую модель, описываемую системой линейных дискретных рекуррентных уравнений [11]. Для формирования экономико-математической модели процесса УИПП введем следующие обозначения: п - общее количество видов готовой продукции предприятия;

т - общее количество типов ресурсов, из которых можно произвести данную продукцию;

q - общее количество фактор-рисков, влияющих на выпуск продукции; х(0 = (х^), х2^), ..., хп(£)) е Rn - вектор объемов остатков готовой продукции, хранящейся на складах предприятия в период времени t (V е 0, Т -1), у которого каждая )-я координата х.(0 есть значение объема продукции_/-го вида (, е 1, п) ; здесь и далее для к е N , Rk есть к-мерное евклидово векторное пространство векторов-столбцов, а знаки <, >, = и Ф используются для обозначения операций сравнения между его элементами, которые определяются естественным образом - путем соответствующего покоординатного сравнения; N есть множество всех натуральных чисел.

Отметим, что если в начале периода времени t ^ е 0, Т -1) на складе имелись запасы готовой продукции в количестве х(0, то к концу этого периода для использования

(продажи) будет годна только их часть, равная А (0х(0, где Ап^) = \\а ,,^) _ есть диа-

п II " ||,е1,п

гональная матрица порядка п, характеризующая «старение» продукции за этот период, (а(£) - коэффициент, характеризующий особенности условий хранения продукции_/-го вида; ] е 1, п , а, ^) е [0,1]);

и^) = (и1 (0,и2(0,...,ип(0) еRn- вектор инновационного управления интенсивностью производства готовой продукции в период времени t (V е 0, Т -1), у которого каждая ,-я координата и,(0 есть значение объема производства продукции ,-го вида

( е 1, п);

з^) = (), ), ..., зп(0) еRn - вектор объемов спроса на готовую продукцию, выпускаемую в период времени t (V е 0, Т -1), у которого каждая ,-я координата 5(О

есть значение величины спроса на готовую продукцию .'-го вида (. е 1, п) в момент времени £

y(t) = (y1(t), у2 (t),..., ут(t)) е Ят - вектор объемов остатков производственных ресурсов, хранящихся на складах предприятия в период времени t (t е 0, Т -1), у которого каждая г-я координатау.(0 есть значение объема ресурса г-го вида (г е 1, т);

) = (м1 (0, м2(t),..., wm(0) е Ят - вектор интенсивности пополнения складских ресурсов в период времени t (t е 0, Т -1), у которого каждая г-я координата ж(0 есть значение объема ресурса г-го вида (г е 1, т); причем реализация управления и(0 е Яп

определяет реализацию = W(и^)) = (^1(ы^)), W2(u(t))), ..., (и(0) е Ят, где ^: Яп ^ Ят есть вектор-функция интенсивности пополнения складских ресурсов; В(0 = В(и^)) = р.. ^) _ _ - технологическая матрица рассматриваемого про-

^ ' II 1ие1, т, .е1,п

цесса, соответствующая фиксированной реализации управляющего воздействия

и^) е Яр в период времени t (t е 0, Т -1) (Ь.(?) - нормы затрат ресурса г-го типа, необходимого для изготовления единичного объема продукции .-го вида, соответствующие реализации и(0 (г е 1, т;. е 1, п));

у^) = (у^), у2^), ..., у9(t)) еЯ9 - вектор рисков (рисков, неопределенности или погрешности моделирования процесса), влияющих на выпуск единицы произведенной продукции каждого вида в период времени t ^ е 0, Т -1), (9 е К);

С^) = \ск ^) _ _ - матрица, состоящая из коэффициентов пересчета уровня

II . Н.е1, п, ке1, 9

влияния вектора рисков на единицу произведенной продукции каждого вида в период времени t ^ е 0, Т -1);

у'(1) = (у'(), v2(t), ..., у' (0) е Я - вектор рисков, влияющих на состояние единицы имеющихся ресурсов каждого вида в период времени t ^ е 0, Т -1), (I е К);

С' ^) = |\с'к (0|| Ие— - матрица, состоящая из коэффициентов пересчета уровня влияния вектора рисков на состояние единицы ресурсов каждого вида в период времени t ^ е 0, Т -1).

Тогда динамика рассматриваемого процесса УИПП будет описываться системой линейных дискретных рекуррентных уравнений вида:

п 9

х) а +1) = ^ )х. (t) + и. (t) - $. (t) -£ Скк (t у а), х. (0) = 0, $. (0) = в.,

.=1 п ^ (1)

У. а+1)=у, а)+ж а) (0и . а) -£с; ак (t), у, (0)=р

!=1 к=1

^ е 0, Т -1; г е 1, т; .е1, п; к е 1, 9; к е 1, I), где приняты следующие обозначения:

х^ +1) = (х1 (t +1),х2 ^ +1),..., хп ^ +1)) е Яп - вектор объемов остатков готовой продукции, образовавшихся на складах предприятия к началу периода времени ^ + 1);

у^ +1) = (у1 ^ +1),у2(t +1),..., ут(t +1)) е Ят - вектор объемов остатков производственных ресурсов, оставшихся на складах предприятия к началу периода времени ^ + 1);

в = (в1,в2,...,вп) еЯп - вектор начального объема спроса на готовую продукцию при реализации процесса управления в начальный момент времени (при t = 0), у которого каждая .-я координата в. есть значение величины спроса на готовую продукцию .-го вида (.' е 1, п) в начальный момент времени;

Ь = (Ь1, Ь2,..., Ьт ) е Я.т - вектор начального объема производственных ресурсов при реализации процесса управления в начальный момент времени (при t = 0), у которого каждая г-я координата Ь. есть значение производственного ресурса г-го вида (г е 1, т), расходуемого в начальный момент времени. Тогда в векторной форме система (1) имеет вид:

[х^ +1) = А^)х^) + и(0 - 5^) - С^)v(t), х(0) = 0 , з(0) = 5,

1 П - (2)

[у^ +1) = у(0 + ) - Б^)u(t) - С ^)v'(t), у(0) = Ь, t е 0, Т -1,

где нулевой вектор 0п е Rn.

Аналогично запасам готовой продукции для запасов производственных ресурсов к концу периода t для использования в производстве будет годна только их часть, равная Лт(0у(0, где Ят) = ||гй )||,е— - диагональная матрица порядка т, характеризующая «старение» производственных ресурсов за соответствующий период.

В этом случае система уравнений (2), описывающая динамику рассматриваемого производственного процесса, будет иметь вид:

[х^ +1) = А^)х^) + u(t) - 5^) - С^^), х(0) = 0 , з(0) = 5,

1 --(3)

[у^ +1) = )у^) + w(t) - ) - С'(t^'(t), у(0) = Ь, t е 0, Т -1.

Рассмотрим вектор ¡^) = ((Ь1(t),и(0^ Ь2(^,u(t^ ,...,(Ьт(t),и(0^ ) еRm, где Ьг^) -

вектор соответствующих строк матрицы Б(0 (г е 1, т); здесь и далее для к е N символом (а, Ь^ будем обозначать скалярное произведение векторов а и Ь в пространстве Rk (к еN), где вектор а(1)(t) = (аа^), а2^),..., аы(t)) еRn (г е 1, т).

Обозначим через Z(t) общие суммарные издержки предприятия за период времени

t (V е 0, Т -1), тогда уравнение для Z(t + 1) в векторной форме запишется следующим образом:

Z(t +1) = Z(t) + ), ¡^))т + (г^), х^))п + (р(t), y(t))т, t е 0, Т -1, (4)

где q(t) = ^ (t), q2 (t),..., qm ^)) е Я.т - вектор реальных цен на используемые ресурсы, необходимые предприятию для производства продукции в период времени

t (t е 0, Т -1), у которого каждая г-я координата q¡(t) есть значение цены единицы производственного ресурса г-го вида (г е 1, т);

г(0 = (г1 (t), г2(t),..., гп(t)) е Яп - вектор затрат предприятия на хранение на складе остатков готовой продукции в период времени t (t е 0, Т -1), у которого каждая ,-я координата г(:) есть значение объема затрат на единицу продукции_/-го вида (, е 1, п);

р(0 = (р1 (t), р2 (t),..., рт (t)) е Я.т - вектор затрат предприятия на хранение на складе остатков производственных ресурсов в период времени t ^ е 0, Т -1), у которого каждая г-я координата р,(0 есть значение объема затрат на единицу ресурса г-го вида (г е 1, т) .

Пусть финансовые средства на инвестиции в расширение производства в начальный момент периода управления (при t = 0) предприятие предполагает формировать на основе банковского кредита в объеме С и собственных финансовых ресурсов С0, отчисляемых от чистой прибыли и направляемых на расширение производства. Тогда динамика рассматриваемого процесса дополнится еще одним линейным дискретным рекуррентным уравнением вида:

Ш +1) = к(£) + Х Я,«)В, (t) - Z(t) -а.£ (£ )5; (£) - в(£) - Уа) -X сК(0, (5)

ч / ; ч / ч /

,=1 ,=1

к(0) = О + О0,

где для £ е 0, Т -1 введены следующие обозначения:

к(£), к(£ + 1), к(0) - количество доступных финансовых средств, образовавшихся к началу периода к началу периода £ + 1, на начальный момент времени £ = 0 соответственно;

а - коэффициент, учитывающий долю налоговых отчислений от продажи товаров (услуг);

у(0 - другие налоги;

Я(£) = (Я1 (0, Я2(£), •••, Яя(£)) е Я" - вектор реальных закупочных цен на реализованную продукцию, произведенную предприятием в период времени (£ е 0, Т -1), у которого каждая ,-я координата £,(£) есть значение цены единицы продукции ,-го вида ( е 1, ") ;

V"(£) = (у"(0, V'(£), •••, у" (£)) е Яг - вектор финансовых рисков, влияющих на единицу суммарных издержек предприятия в период времени £ (£ е 0, Т -1; г е N );

с " (£) = (с|(), с2'(£), •••, с'' (£)) е Яг - вектор, состоящий из коэффициентов пересчета уровня влияния вектора финансовых рисков на единицу суммарных издержек предприятия в период времени £ (£ е 0, Т -1);

в(£) - объем отчислений, связанных с кредитом^

ра)=(г /100)/12. ^. о+рд а),

здесь г - годовая процентная ставка за пользование кредитом; Рд (£) - доля возвращаемого кредита в период £ •

вд а)=(О / Ткр) • £ кр,

где Ткр - общий срок кредитования, мес; £ - период возврата кредита, мес

Тогда уравнение для выражения к(£ + 1) в векторной форме запишется следующим образом:

к(£ +1) = к(1) + (£(£), ^)}-Z(t) -а.(я(£), ^ )}п -в(£) -у(0 -(с " (£), V " (О)г,

к(0) = О + О0, £ е 0, Т -1 (6)

На основании выражений (3), (4) и (6) сформируем следующую систему линейных дискретных рекуррентных уравнений, описывающую в полном объеме динамику рассматриваемого процесса:

х(£ +1) = Л(0*(0 + и(0 - 5(£) - С(£)у(0, х(0) = 0п, 5(0) = 5,

у(£ +1) = )7(0 + пЦ) - £(£)и(г) - С '(£)у '(£), 7(0) = Ь,

Z(t +1) = Z(t) + ), /(О)т + ), х(0)п + (р(£), у(0)и,

^0) = (*(0), х(0))п + (р(0), у(0)}и,

к(£ +1) = к(£) + (£("), 5(£))п -Z(t)-а.(£(0, *(0)п -в(£) -у(0 -(с " (£), V " (0)г,

к(0) = О + О0, £ е 0, Т -1

Отметим, что полученная система позволяет моделировать динамику многошагового процесса УИПП в зависимости от заданных начальных условий и выбора конкретных реализаций управляющих воздействий

Причем в сформированной дискретной динамической системе (7) технологическая матрица В(£) = В(м(0) = \Ь, (£) _ _ и вектор интенсивности пополнения складских

II * 1ие1, т, ,е1,п

=1

ресурсов ц^) = W(u(t)) явно зависят от реализации управляющего воздействия

и^) е Rn в период времени t (t е 0, Т -1).

2. Формирование ограничений модели управления инновационными процессами предприятия при наличии рисков

Вектор управляющего воздействия и(0 = (и1 (0, и2^),..., ир^)) е Rn интенсивнос-тей производства готовой продукции в динамической системе (7) должен удовлетворять следующему заданному ограничению:

и^) еи^) = {и(^): и^) е Rn, и^) < u(t) < ит^)}, (q(t), < k(t), Б(0и(0 < у(0 + )}, (8)

где Цт^О = (Uminl(t), ит]п2(),..., ит,,п(0)е Rn - вектор минимально приемлемого объема производства готовой продукции, у которого каждая )-я координата и (0 есть значение минимально приемлемого объема производства продукции_/-го вида () е 1, п) (например, точка безубыточности для каждого вида продукции);

^пах^) = (итах1(1:X и,тх2^), ..., Цтахп (0) е Rn - вектор верХНего предела выпуска пр°-

дукции, у которого каждая _/-я координата итах.(0 есть значение максимально приемлемого объема производства продукции )-го вида () е 1, п) (например, максимальная емкость рынка по каждому наименованию продукции, максимальная мощность производства и др.). Здесь и далее операции сравнения векторов понимаются в покоординатной форме.

При этом для всех периодов времени t ^ е 0, Т -1) должны также выполняться следующие заданные фазовые ограничения:

^) > 0, () е 1, п), _ у ^) > 0, (г е 1, т), к^) > 0, Z(t) > 0.

На основании использованных в системе (7) векторов рисков

v(t) = (^(0, V2(t), ..., Vq(t))' еRq, V'(t) = (V'(0, v2(t), ..., V'(t))' еR¡ и V "(t) = (v1"(t), v2' (t), ..., V'' (t))' е Rr, отвечающих периоду времени t (t е 0, Т -1) , введем в рассмотрение обобщенный вектор рисков v(t) = (v(t),V'(0,V"^)) е Rq х R¡ х Rr, который в процессе УИПП для каждой допустимой реализации управляющего воздействия и^)еи^) должен удовлетворять следующему заданному ограничению:

V(t) е V(u(t)) = {у^): ) = МО,V '^),V '' (0) е Я хЯ1 х , К(и(0) < v(t) < V *(и^))}, V:(u(t)) < v'(t) < V\иШ, V*'' (и()) < V" (t) < V' *(и(0)}, (10)

где V:(u(t)), V*' (u(t)), V* ' (и^)) и V*(и^)), V'*(и^)), V'' (и(0) есть соответственно нижние и верхние ограничения на допустимые реализации векторов рисков в период времени ^ соответствующие реализации управляющего воздействия и(0, которые определяются на основании истории реализации процесса УИПП.

Отметим, что в процессе УИПП учет ограничений (8), (9) и (10) является необходимым условием, которому в дискретной динамической системе (7) должны удовлетворять оптимальные управляющие воздействия, порожденные ими параметры состояния этой системы, а также допустимые реализации векторов рисков.

(9)

Разработанная динамическая модель оптимизации УИПП АПК позволяет решить задачу формирования оптимальной инновационной производственной программы и ценовой политики конкретного предприятия АПК На основе предлагаемой динамической экономико-математической модели оптимизации УИПП возможно разрабатывать различные численные методы решения соответствующей задачи и создавать компьютерную информационную систему поддержки принятия оптимальных управленческих решений 12; 13]^

Моделирование процессов управления ИП, их анализ и последующее совершенствование с целью оптимизации ИП - основной резерв для повышения конкурентоспособности и эффективности работы перерабатывающих и других агропромышленных предприятий Кроме того, необходимы инструментальные средства, позволяющие собирать и обрабатывать наиболее полную и достоверную информацию о деятельности всех подразделений агропромышленного предприятия в рамках предлагаемой единой методологии

Источники

1. Санто Б. Инновация как средство экономического развития : пер. с венг. / общ. ред. и вступ. ст. Б. В. Сазонова. М. : Прогресс, 1990.

2. Инновационный союз Российской Федерации (Проект). Межгосударственная программа Евразийского экономического общества «Создание системы развития инновационного предпринимательства государств-членов Евразийского экономического общества (Евразийской инновационной системы)». Режим доступа: http://www•sovnet• ги/ир1оа(1/8§1/8с^аше_8181ету_ innovacionnogo_predprinimatelstva_EvrAzES•pdf•

3. Правительственный портал. Режим доступа: http://www.kmu.gov.ua/contro1.

4. Красовский Н. Н. Теория управления движением. М. : Наука, 1968.

5 Красовский Н. Н., Субботин А. И. Позиционные дифференциальные игры. М. : Наука, 1974.

6 Лотов А. В. Введение в экономико-математическое моделирование. М. : Наука, 1984.

7. Пропой А. И. Элементы теории оптимальных дискретных процессов. М. : Наука, 1973.

8 Тер-Крикоров А. М. Оптимальное управление и математическая экономика. М. : Наука, 1977.

9 Бабенко В. А., Шориков А. Ф. Экономико-математическая модель и общая схема оптимизации управления инновационными процессами в условиях рисков // Разработка и создание инновационной инфраструктуры Санкт-Петербургского гос. аграрного ун-та в целях повышения качества подготовки специалистов агропромышленного сектора : материалы Междунар. науч.-практ. конф. СПб. : Изд-во СПГАУ, 2011.

10. Бабенко В. А., Шориков А. Ф. Оптимизация программного управления инновационными технологиями на предприятиях АПК // Современные проблемы экономики, менеджмента и маркетинга : материалы XVIII Междунар. науч.-практ. конф. Нижний Тагил : НТИ(ф) УрФУ 2012.

11. Шориков А. Ф., Рассадина Е. С. Динамическая оптимизация комплексного адаптивного управления структурой товарного ассортимента предприятия // Экономика региона. 2013. № 2.

12. Шориков А. Ф. Алгоритм решения задачи оптимального терминального управления в линейных дискретных динамических системах // Информационные технологии в экономике: теория, модели и методы : сб. науч. тр. Екатеринбург : Изд-во УрГЭУ, 2005.

13. Шориков А. Ф. Минимаксное оценивание и управление в дискретных динамических системах. Екатеринбург : Изд-во Урал. ун-та, 1997.