Динамическая оптимизация комплексного управления технологическими процессами на предприятии Текст научной статьи по специальности «Математика»

Андрей Фёдорович Шориков

Доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой информационных систем в экономике Уральского государственного экономического

Екатерина Юрьевна Виноградова

Аспирант кафедры информационных систем в экономике Уральского государственного экономического университета

Динамическая оптимизация комплексного управления технологическими процессами на предприятии1

Современные предприятия представляют собой сложно организованные системы, отдельные составляющие которых - основные и оборотные фонды, трудовые и материальные ресурсы, готовая продукция и запасы на складах - постоянно изменяются и находятся во взаимодействии. В связи с этим функционирование предприятий различного типа в условиях рыночной экономики вызвало к жизни новые задачи по совершенствованию их управленческой деятельности на основе комплексной автоматизации управления всеми производственными и технологическими процессами, а также трудовыми ресурсами. При этом деятельность российских предприятий в условиях усиления конкуренции приводит к возрастанию объема и усложнению задач, решаемых на каждом конкретном предприятии в области организации производства, процессов анализа, планирования, управления, связей с поставщиками и потребителями продукции и др. Эффективное решение таких задач невозможно без разработки и создания соответствующей компьютерной системы информационного обеспечения оптимизации комплексного управления технологическими процессами на предприятии, базирующейся на экономико-математическом моделировании и адекватном реализующимся процессам информационном обеспечении.

В данной статье рассматриваются статическая и динамическая экономико-математические модели [1; 2] оптимизации комплексного управления технологическими процессами,

базирующиеся на авторских исследованиях [3-6], а также предложен критерий анализа безубыточности, который может быть использован в качестве алгоритма анализа безубыточности реализации конкретных наборов допустимых технологических процессов на предприятии.

1. Статическая модель оптимизации комплексного управления технологическими процессами на предприятии

1 Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант № 0701-00008).

В данном разделе приведены экономико-математическая модель задачи оптимизации комплексного управления технологическими процессами на предприятии и общий алгоритм ее решения.

Для формализации данной задачи введем следующие обозначения: п - общее количество видов продукции;

Q(t) = ), Q2(t), . ., Qn (ґ)) є Rn - вектор объемов остатков продукции, хранящейся на

складах предприятия в период времени ґ (ґ є 0, Т — 1), у которого каждая к-я координата Qk(t) есть значение объема продукции к-го вида (к є 1, п);

{^(ґ), Q(t)^ - значение всего объема затрат на хранение готовой продукции на складах

предприятия в период времени ґ (ґ є 0, Т — 1) в объеме, описываемом вектором Q(t) при векторе затрат г(ґ) = ^(ґ),г2(ґ),..., гп(ґ)} є Rn, у которого каждая к-я координата zk(t) есть объем затрат на хранение единицы продукции к-го вида (к є 1, п); здесь и далее ^ - k-мерное векторное пространство; для любых векторов а, Ь є Rk выражение (ак, Ьк) есть их скалярное произведение;

1, п = {1,2, ..., п};

ё('\ґ) = {^(ґ), ^2('2)(ґ), ..., ё(п‘п40}є Rn - вектор всех затрат предприятия на производство единичного объема продукции при использовании 7-го технологического способа с вектором интенсивности и (,)(ґ) = Ц00^), и2'2)(0, ..., иП‘п )(t)}є Rn в период времени ґ (ґ є 0, Т — 1), где

7 = {71,72, ., іп}, есть набор целочисленных индексов, определяющий 7-ю технологию; для каждого k є 1, п : 7к є 1к = {1,2, ..., 7*} 7* есть количество допустимых технологий для производства продукции к-го вида; и(к)(ґ) є{0;1} есть значение интенсивности технологии производства продукции к-го вида, отвечающей индексу 7к є 1к, причем значение и{кк)(ґ) = 0 в случае, когда эта технология не используется, и и{кк)(ґ) = 1 в случае, когда она используется; ёкк)(ґ) есть объем затрат на единицу продукции к-го вида при использовании технологии 7к є їк;

Q(р)(ґ) = ^р)(ґ), Q2р)(ґ), ..., Q(np)(t)) є Rn - вектор плановых объемов производства всей продукции предприятия в период времени ґ (ґ є 0, Т — 1);

(с(ґ), Q(р) (ґ)^ - значение планового объема дохода от реализации всей продукции

предприятия в период времени ґ (ґ є 0, Т — 1) при производстве продукции в планируемом объеме, определяемом вектором Q(р)(ґ) = ($хр)(ґ), Q2р)(ґ), ..., Q(np)(t)), при векторе цен на продукцию

предприятия с(ґ) = {с1(ґ), с2(ґ),..., сп (ґ)}є Rn, в котором для каждого к є1, п значение координаты ск(ґ) есть прогнозируемая цена за единицу продукции к-го вида на этот же период времени;

Z(iр)(ґ) = р)(ґ)d(('()(t), Q2(р)^2(‘2)(ґ), ., Q(nр)ё(п)(ґ)} є Rп - вектор объема всех затрат предприятия при использовании 7-го технологического способа, определяемого вектором и (,)(0 = ),и272)(ґ), ..., и(^п\ґ)}є Rn, для производства планового объема продукции

Q(р)(ґ) = (Q((р)(ґ), Q2р)(ґ),..., Q1l;p>(t)) в период времени ґ (ґ є 0, Т — 1);

р)(ґ), и (‘)(ґ)^ - объем всех затрат предприятия при использовании 7-го технологического способа, определяемого вектором и(')(ґ) = {и^ґ), и272)(ґ), ..., и(^п}(ґ)}, при векторе объема всех затрат предприятия Z{iр)(ґ) в период времени ґ (ґ є 0, Т — 1).

Тогда общий объем прибыли от производства и реализации продукции предприятия в период времени ґ, ґ +1 (ґ є 0, Т — 1) при фиксированных векторе Q(t) = ^(ґ), Q2(t),..., Qn(ґ)) - объемов остатков продукции на складе, векторе Q(р)(0 = ^^(О, Q2P)(t),...,Q,(p)(t)) - плановых объемов производства всей продукции предприятия на данный период времени, векторе и(,)(0 = {d(('()(t), и272)(ґ),..., и(п>(ґ)}, определяющем 7 = {71,72, ..., 7п}-й технологический способ производства всей продукции на предприятии, векторе с(ґ) = {с1(ґ), с2(ґ),..., сп(ґ)} -

прогнозируемых цен, векторе z(t) = {z1(t), z2(t), ..., zn(t)} - объемов всех складских затрат

предприятия, векторах d(/)(1) = {d1('l)(t), d2'2)(t),..., 1^пЧЭДе Rn - всех затрат предприятия на производство единичного объема продукции и Z((!’)(1) = )d1('l)(t), Q20p)d2('2)(t), ..., Qnp)d0n)(1)} -

объемов всех затрат предприятия при использования /-го технологического способа для производства планового объема продукции можно определить как значение следующего линейного функционала:

Ф^(и(/)(0) = (с(0, Q(p)(t))я - (z(t), Q(t))n -(Z\p)(t), и,

где / = {/1, /2, ... ,/п} е I = {/: / = {/1, /2, ... ,/п} е R1,Ук е 1, я, /к е 1к}, и все компоненты векторов Q (p)(t), Q(t), Z{i p)(t) и и(/)(t) являются целочисленными.

При этом для всех к е 1, я и t е 0,Т -1 должны выполняться неравенства:

Qk (1) > 0; Qkp)(t) > 0, (2)

а значения векторов и (/)(1), которые определяют интенсивность использования /-го технологического способа производства продукции на предприятии, должны выбираться из некоторой допустимой области и * (1) с Rn, т.е. удовлетворять заданному ограничению

и «(1) = {и^,), и^(Т),..., и^ )(t)} е и * (t), (3)

где множество и * (1) определяется следующим образом:

и * (1) = {и(/ )(1): и(/ )(t) = К-ЧО, и( 2)(t), ., uЯ/n )(t)} е R1, (4)

Уке 1, я, и(к)(t) е {0; 1}}.

Решение задачи 1 оптимизации комплексного управления технологическими процессами на предприятии (при заданных плановых объемах производства, остатках продукции на складе, всех затратах на хранение продукции, всех технологических затратах и прогнозируемых цен на

продукцию) будет состоять в нахождении оптимального вектора и(/( )^)еи*(1) (оптимальных интенсивностей технологических способов производства), при котором значение общего объема прибыли от производства и реализации продукции предприятия в период времени t,t +1, вычисляемого согласно (1), будет максимальным (за счет минимизации всех издержек предприятия), т.е. для вектора и(/( ))(1) должно выполняться следующее условие оптимальности:

Ф— (и(/(,))(0) = с(1), Q^(1)-^(1), Q(t))п - ^(0, и^(О^ = = тах тах* |с(1), Q{р) (1)) - (z(t), Q(t)) - /^р) (t), и(/) (г05) }=

/е1 и^Ц-)еи (1Л /п ' /п

= (с(1), Q^(о) -(), Q(1))п -тш тш* (Z/(p)(t), и°°(0)

' /п ' /П /е1 и .)е и (1) /п

при выполнении ограничений (2).

Отметим, что задача 1 есть статическая задача целочисленного линейного

программирования, решение которой может быть найдено, например, с помощью

соответствующей модификации симплекс-метода для решения задач линейного целочисленного программирования или направленным перебором допустимых вариантов.

Предположим, что на основании соотношения (5) выполняется следующее условие:

и*(е) (1) = {и (/1>))(1): и(/(е))(1) е и*(1), Ф— (и (/1>))(1)) > 0} *0,(6)

т.е. существует вектор и ^^(О = {и ^^(О, и272( ))(ґ), ..., ип<п( ))(ґ)} є и * (ґ), определяющий интенсивность использования 7^-го технологического способа производства продукции на предприятии, при реализации которого производство является безубыточным.

Отметим, что выполнение соотношения (6) есть обобщенный критерий безубыточности производства продукции на предприятии в плановом объеме относительно существующих технологических процессов при возможности ее реализации по прогнозируемым ценам.

Тогда на основании приведенной формализации экономико-математическая модель задачи оптимизации комплексного управления технологическими процессами на предприятии описывается соотношениями (1)-(5). Используя эту модель, авторы данной работы предлагают алгоритм решения задачи 1, общая схема которого состоит из реализации следующих основных этапов.

Алгоритм 1

Этап I. Формирование исходных данных

1.1. Формируется вектор Q(t) = ^(ґ), Q2(t),..., Qn(ґ)) є Rn - вектор объемов всех остатков

продукции на складе в период времени ґ (ґ є 0, Т — 1).

1.2. Формируется вектор Q(р)(ґ) = р)(ґ), Q<2р>(ґ),..., Q,(p>(t)) є Rn - вектор плановых объемов производства продукции предприятия в период времени ґ (ґ є 0, Т — 1).

1.3. Формируется вектор затрат г(ґ) = {^(ґ), г2(ґ),..., гп(ґ)}є Rn, у которого каждая к-я координата гк(ґ) есть затраты на единицу продукции к-го вида (к є 1, п), хранящейся на складе в

период времени 1 (1 е 0, Т -1).

1.4. Из результатов маркетинговых исследований формируется вектор цен на продукцию предприятия с(1) = {с1(1), с2(1),..., сп (1)} е Rn, в котором для каждого к е 1, я значение координаты ск(1) есть прогнозируемая цена за единицу продукции к-го вида в период времени 1,1 +1.

1.5. Формируется допустимая область и * (1) с Rn всех возможных /-х технологических

способов производства продукции, описываемых соответствующим вектором интенсивности и(/)(1) = {и1(/1)(1), и'2г) (1),..., ия/п)(1)} е и * (1), где

/ = {/'l, /2- ..., /я} е 1 = {/- / = {/'l, 12- ... /я }, Ук е 1 я, /к е 1к }.

1.6. Формируются вектор d(/) (1) = {d'0‘i) (1), d2/2) (1), ., dяn) (1)} е Rn - всех затрат предприятия

на производство единичных объемов продукции и на его основе Z(ip)(1) = p)(1 )d10/l)(1), Q2р)d2/2)(1), ..., Qnp>d<n'n)(1)} е Rn - вектор всех затрат предприятия при

использовании /-го технологического способа, определяемого вектором

и(/) (1) = К0 (1), и2/2) (1), ., и'/я) (1)} е и * (1), для производства планового объема продукции

Q(p)(1) = ^ p)(1), Q2p)(1),..., Q(np)(1>) в период времени 1 (1 е 0, Т -1).

Этап II. Построение целевой функции

2.1. В соответствии с формулой (1) формируется линейный функционал Ф11+1, каждое значение которого Ф—1 (и(/)(1)) есть объем прибыли от производства и реализации продукции

предприятия в период времени 1,1 +1 (1 е 0, Т -1) при фиксированных векторе

Q(t) = ^(1), Q2(1),..., Qn(1)) - объемов всей продукции на складе, векторе

Q(^(1) = ^(1),Q2^(1),..., Q(np)(1)) - плановых объемов производства всей продукции

предприятия на данный период времени, векторе и(/)(1) = {u10/l)(1),u!,/2)(1),..., иПя)(1)}, определяющем / = {/, /2,., 1я} -й технологический способ производства продукции на предприятии, векторе с(1) = {с1(1),с2(1),..., ся(1)} - прогнозируемых цен, векторе

z(1) = ^(1), z2(1), ..., zn(1)} - всех складских затрат и векторе

Z/( p)(1) = ш^К^Чо, Q2p) d 2/2)(1),..., Qnp) d":n )(1)} - всех затрат предприятия при использовании /го технологического способа для производства планового объема продукции.

Этап III. Решение статической задачи оптимизации технологических способов

4 производства

3.1. С помощью модифицированного симплекс-метода, предназначенного для решения задачи линейного целочисленного программирования, решается задача 1 оптимизации технологических процессов на предприятии (при заданных плановых объемах производства всей продукции, остатках продукции на складе, затратах на хранение продукции, всех технологических затратах и прогнозируемых цен на продукцию) с линейным функционалом Ф —, которая описывается

соотношениями (1)-(4). В результате решения этой задачи формируется множество и {е)(1) с и * (1)

оптимальных векторов и(/ ))(1) е и*е)(1) (оптимальных интенсивностей технологических способов производства), для которых значение общего объема прибыли от производства и реализации продукции предприятия в период времени 1, 1 +1 является максимальным, т.е. они удовлетворяют соотношению (5).

Этап IV. Отображение результатов

4.1. Полученные на предыдущем этапе III результаты формируются в виде схем технологических процессов, соответствующих значениям оптимальных векторов и (/( )(1) е и(е)(1), и отображаются в форме, удобной для лиц, принимающих решения на предприятии.

Отметим, что конкретные выражения значений всех параметров, фигурирующих в данном алгоритме, рассчитываются в соответствии со стандартными методиками.

2. Критерий оценки безубыточности производства относительно реализуемого технологического процесса

В рассматриваемом периоде времени (1, 1 +1) зафиксируем (задача 2) следующие параметры производства: вектор Q0t) = 0Q\01), 02(1),. ., 0я (1)) - объемов всех остатков продукции на складе; вектор Q0p)01) = 0Ql0p)01), Q2^(О,..., p)01)) - плановых объемов производства продукции

І2 \ ••• ’ ііп

предприятия; вектор и('>(і) = {ё^^), и22/І(і>, ..., и(,пп>(і)} определяет 7 = {1,72, ..., 7п}-

й

технологический способ производства продукции на предприятии; вектор с(ґ> = {с1(ґ>, с2(ґ>,..., сп(і>} - прогнозируемых цен; вектор г(ґ> = {г1 (і>, г2(ґ>,..., гп(і>} - всех

складских затрат предприятия и вектор і7(р>(і> = {6<ір>(і>d1('(>(t>, 62(р>^2('2>(і>, ..., 6"р>й{^п>(ґ>}- всех затрат предприятия от использования 7-го технологического способа.

Тогда справедливо следующее:

1) пусть выполняется условие неотрицательности значения минимального объема прибыли:

Л‘( 1 >>ҐЛ\-/ґ,ҐЛ п(р>ҐЛ\ ПҐЛ\ _ /у(р>^Л *>>

^(и")> = >, б“(())_ — (г(0, б(/»п — (г,1 р’(»>, и"('”'(>^

= тіп тії, {{С(0, б))п— (г(/>, б(ґ)>„), и"'(^}=

7єІ и(‘>(»єи"(» >'

= (с(І>, 6<Р)(І>) -(г(ІX >}п — тІІП (і>тіп, (Z,(P>(t), и^О) ^ 0

' /п ' 'п єІ и(7\ґє (і>' /п

тогда для любого набора целочисленных индексов / = {/1, /2, . ..,/п}е I и соответствующего ему

вектора и(/)(1) = {d10/l)(1), и2/2)(1), ..., игя/я)(1 )}еи*(1) интенсивностей технологических способов

производства при заданных значениях его параметров производства выполняется неравенство

( -О

Ф^и «(1)) > > Ф^и"(1)) > 0, т.е. в этом случае любой допустимый технологический способ производства является безубыточным, где значения функционала Ф^+ вычисляются по формуле (1) (условие гарантированной безубыточности производства - прибыльности производства);

2) пусть для соотношения (5) выполняется условие Ф—(и(/( ))(1)) = = Ф^ > 0

(положительности значения максимального объема прибыли), а для соотношения (7) выполняется

( я)

условие Ф—(и(/' )(1)) = < 0 (отрицательности значения минимального объема прибыли);

тогда, если для наборов целочисленных индексов / = {/1, /2, ..., / }е I и соответствующих им

векторов и(()(1) = {d10/l)(1), и^2>(1),..., и<п'п)(1)} е и*(1) интенсивностей технологических способов

5 производства при заданных значениях его параметров производства выполняется неравенство

Ф^ = Ф_(и (/'1>))(1)) > Ф—^(и(/ )(1)) > 0, то в этом случае соответствующие им допустимые технологические способы производства являются безубыточными (условие безубыточности производства); если для наборов целочисленных индексов / = {/1, / 2,., /я} е I и соответствующих

им векторов и(/)(1) = )(1), и2(/2)(1), ..., и(^п>(1 )}еи*(1) интенсивностей технологических

способов производства при заданных значениях его параметров производства выполняется

(я) '

неравенство Ф0^st^ = Ф—(и(/ )(1)) < < Ф—-(и(/)(1)) < 0, то соответствующие им допустимые

технологические способы производства являются убыточными (условие убыточности производства);

3) пусть вектор и(/( )) (1) е и*е) (1) есть вектор, определяющий оптимальные интенсивности технологических способов производства при заданных значениях его параметров производства, т.е. удовлетворяет условию оптимальности (5), и для него выполняется неравенство

Ф—(и(/е)\1)) = Ф^ > 0 , то в этом случае технологический способ производства, определяемый этим вектором, является безубыточным с объемом прибыли, равным значению Ф^ (условие оптимальной безубыточности - оптимальной прибыльности производства); в противном случае, если Ф—(и(/0e))01)) = Ф(^^ < 0, то делается вывод, что любой допустимый технологический способ производства, определяемый соответствующим вектором и(/)(1) = {d10/l)(1), и2/2)(1), ..., и(^п)(1)} е *

е и (1), является убыточным (условие гарантированной убыточности производства).

Проверка условий, определяемых пунктами 1-3, является критерием безубыточности производства на предприятии относительно множества допустимых технологических процессов.

Отметим, что проверка данного критерия может быть реализована с помощью следующего алгоритма, общая схема которого представляет собой реализацию ряда основных этапов.

Алгоритм 2

Этап I. Формирование исходных данных

Формируются те же исходные данные, что и в алгоритме 1.

Этап II. Решение задачи минимизации объема прибыли

2.1. В соответствии с формулой (1) формируется линейный функционал Ф^, каждое

значение которого Ф—(и (/)(1)) есть общий объем прибыли от производства и реализации

продукции предприятия в период времени 1,1 +1 (1 е 0, Т — 1) при фиксированных значениях параметров производства (исходных данных), соответствующий допустимому технологическому

способу производства, определяемому вектором и^) = {d10/l)(1), и^/2)(1), •••, и<п‘п)(1 )}еи*(1).

2.2. С помощью, например, модифицированного симплекс-метода, предназначенного для решения задачи линейного целочисленного программирования, решается задача минимизации

объема прибыли, т.е. нахождения вектора и^ ^ е и (1), удовлетворяющего условию (7).

Этап III. Решение задачи максимизации объема прибыли

3.1. С помощью, например, модифицированного симплекс-метода, предназначенного для решения задачи линейного целочисленного программирования, решается задача максимизации

объема прибыли, т.е. нахождения вектора и^ ^ е и (1), удовлетворяющего условию (5).

Этап IV. Анализ условий безубыточности производства

( я )

4.1. Вычисляется значение функционала Ф0->л = Ф^т^и(/ )(1)) и осуществляется его

( я)

проверка; тогда, если Ф—(и(/ )(1)) > 0, то в этом случае делается вывод, что для заданных параметров производства любой допустимый технологический способ производства, определяемый допустимым вектором и (/)(1) = {d10/l) (1 ),и^2>(1), ..., и"п )(1 )}еи * (1), является безубыточным; вычисляется значение функционала ф0^tLl = Ф__0u)), которое является оптимальным (максимальным) значением объема прибыли, соответствующим вектору

и())(1) е и*6'*(1), определяющему оптимальные интенсивности технологических способов производства.

4.2. Вычисляется значение функционала Ф^ = Фу^^и^ ))(1)) и осуществляется его

проверка; тогда, если Ф—(и ^ ))(1)) < 0, то в этом случае делается вывод, что любой допустимый технологический способ производства является убыточным.

4.3. Пусть выполняются условия Ф—(и(/( ))(1)) = Ф0e>^l > 0 и Ф—(и^ >)(1)) = Ф(^ < 0; тогда, если для наборов целочисленных индексов / = {/1,/2,.,/}еI и соответствующих им векторов и(7) (1) = Ц® (1), ир (1), ., ип7я) (1)} е и * (1) интенсивностей технологических способов производства выполняется неравенство Ф^ = Ф—(и(/(' ))(1)) > Ф^^и(‘ ( ))(1)) > 0, то в этом случае соответствующие им допустимые технологические способы производства являются безубыточными, а значение функционала Ф^ = Ф^^и^ ))(1)) является оптимальным

(максимальным) значением объема прибыли, соответствующим вектору и^ ))(1) е U!,e)01); если для наборов целочисленных индексов / = {/1, /2, ..., /я} е I и соответствующих им векторов и(/) (1) = {^°/1) (1), и^2) (1), ., ип/я) (1)} е и * (1) интенсивностей технологических способов

(я) "

производства выполняется неравенство Ф0^t^ = = Ф^(и(/ )(1)) < Ф—(и(/)(1)) < 0, то в этом

случае соответствующие им допустимые технологические способы производства являются убыточными.

Этап V. Отображение результатов

5.1. Полученные на предыдущих этапах П-1У результаты формируются в виде рекомендаций по анализу имеющихся данных о параметрах производства и соответствующих ему технологических процессах для лиц, принимающих решения на предприятии.

Следует отметить, что данный алгоритм можно использовать в качестве эффективного инструмента для анализа безубыточности допустимых на предприятии технологических процессов.

3. Динамическая модель оптимизации комплексного управления технологическими процессами на предприятии

Предположим, что для каждого периода времени 1 е 0, Т — 1 в процессе управления технологическими процессами на предприятии выполняется обобщенное условие безубыточности производства, определяемое соотношением (6). Тогда для формирования динамической модели введем следующие обозначения: Q(1 +1) = ^(1 +1), Q2(1 +1),..., Qn(1 = 1)) е Rn - вектор объемов

продукции, образовавшейся на складе в период времени 1 +1(1 е 0, Т — 1), т.е. запасы в период (1 +

1), у которого каждая к-я координата Qk (1 +1) есть значение объема продукции к-го вида (к е 1, я);

А(1) = \а И (1) _ — есть диагональная матрица, характеризующая «старение» продукции на

II М II^'е!, я

складе за период времени 1 (1 е 0, Т — 1);

р)(1) = (R!0р’/)(1), R2р’/)(1), ..., RI0P,/)(1)) е Rn - вектор объемов реализованной плановой

продукции в период времени ґ(ґ є 0, Т -1), произведенной при использования 7-го технологического способа производства продукции на предприятии, соответствующего значению вектора его интенсивностей и(,)(ґ) = {d1('l)(^), и^‘2)(7),..., и(^п)(ґ)}єи*(ґ), а каждая к-я координата

R{kp’ ‘\ґ) есть значение объема продукции к-го вида (k є 1, п);

с(г)(ґ) = {сіг)(ґ), с2г)(ґ), ..., сП)(ґ)}є Rn - вектор реальных цен на продукцию предприятия в период времени ґ(ґ є 0, Т -1), в котором для каждого к є 1, п значение координаты с(к) (ґ) есть

реальная цена за единицу продукции к-го вида на этот же период времени.

Тогда сформируем следующую рекуррентную систему уравнений:

Ш +1) = A(ґ)Q(ґ) + Q( р)(ґ) - ^ р)(ґ),

|Р(ґ +1) = Р(ґ) + (с«(ґ), ІЇр>(ґ)}п -^(ґ), Q(ґ))n -^(ґ), и((ф)п,

где Q(ґ) = ^(ґ), Q2(ґ),..., Qn(ґ)) є Rn - вектор объемов остатков продукции, хранящейся на

складе в период времени ґ(ґ є 0, Т -1); Q(р)(ґ) = = (Q1(p,')(ґ), Q22р'')(ґ),..., Q(nр'')(ґ)) є Кп - вектор

плановых объемов производства продукции предприятия в период времени ґ(ґ є 0, Т -1), произведенной при использования 7-го технологического способа производства; Р(ґ) - величина объема прибыли предприятия за период времени 0, ґ; z(ґ) = ^(ґ), z2(ґ),..., zn(ґ)}- вектор

складских затрат в период времени 1 (1 е 0, Т — 1) и вектор

Zi.р)(1) = ^1-р)(1 )d!0/l)(t), Q20p)d2/2)(1),..., Qnр)d"n)(1)} - вектор всех затрат предприятия при

использования /-го технологического способа в период времени 1 (1 е 0, Т — 1).

Для оценки эффективности решения динамической задачи оптимизации управления технологическими процессами на предприятии в рассматриваемый период времени

0,1 +1(1 е 0, Т — 1) на основании (1) введем функционал , значения которого для всех векторов

и+1 (•) = {и^ (т), Ут е 0,1, и^ (т) е и * (1)} интенсивностей /-го технологического способа производства продукции вычисляются по следующей формуле:

(и^О) = £ [(Ф)б (р)(т^п —{2(т), 0(т)) я — ^(т), и^)))

и равны общему объему прибыли предприятия в этот период времени.

Отметим, что параметры соотношения (9) должны удовлетворять ограничениям (2), (3), и все координаты векторов являются целочисленными.

Предположим, что для всех периодов времени вектора 1 е 0, Т — 1 для данной задачи выполняется условие (6), т.е. существует и(/)(1) = и )(1), и 2/) (1), ..., ип/)(1)} е и * (1), определяющий интенсивность использования /-го технологического способа производства продукции на предприятии, при реализации которого производство является безубыточным.

Тогда решение задачи 3 динамической оптимизации комплексного управления технологическими процессами на предприятии (при заданных плановых объемах производства, остатках продукции на складе, всех затратах на хранение продукции, всех технологических затратах и прогнозируемых цен на продукцию) будет состоять в нахождении оптимальной

последовательности векторов {и(/())(^)}те0~^, Ут е 0,1, и^ >>(т) е и*(т) (оптимальных

интенсивностей технологических способов производства) и соответствующих ей целочисленной траектории {2(е>(0),Р(е>(0)},{2(е>(1),Р(<’>(1)},...,{2(<’>(1), Р(е) (1),&е) (1 +1), Р(е>(1 +1)}, определяемой из системы рекуррентных уравнений (8), и удовлетворяющей системе ограничений вида (2), которые в совокупности доставляют максимальное значение целевой функции вида (9), формируемой для каждого момента времени 1 е 1, Т, т.е. значение общего объема прибыли от производства и

реализации продукции предприятия в период времени 0,1 +1, вычисляемого согласно (9), будет максимальным (за счет минимизации всех издержек предприятия).

Отметим, что формирование входных данных для динамической модели оптимизации комплексного управления технологическими процессами на предприятии базируется на имеющихся статистических данных и ежеквартальной бухгалтерской отчетности конкретного предприятия.

Для компьютерной реализации решения задачи 3 разработан алгоритм динамической оптимизации в рамках формализованной модели (8), (9), (2), (3). Общую схему алгоритма решения задачи 3 - оптимизации комплексного управления технологическими процессами на предприятии

для каждого момента времени 1 е 1, Т можно представить в виде решения следующих основных подзадач:

1. Формирование исходных данных из алгоритма 1.

2. Формирование множества всех допустимых управляющих воздействий и (1).

3. Решение статической задачи 1 по максимизации линейного функционала Ф^(и >(1),

заданного формулой (1), при и(/>(1) еи * (1) (с помощью соответствующей модификации симплекс-метода для решения задачи линейного целочисленного программирования), в результате которого формируется вектор и(/ >>(1)еи(е>(1) и соответствующее ему оптимальное (максимальное)

( ) ( е) >

значение функционала Ф^ = Ф77+ (и >(1)).

4. Формирование набора векторов {К(р) (1), с(г>(1)} .

На основании системы рекуррентных уравнений (8) формируем набор векторов {б(е)(1 +1), Р<е)(1 +1)}, где

Q0e) (1 +1) = А(1 )б(1) + е(р>> (1) — (1);

Р(е) (1 +1) = Р(1) + (с(г> (1), (1 ))п — (2(1), Q(1)}п — (Z/<op) (1),и^ (1)

Производим вычисление по формуле (9) значения функционала Фб—10ut(_+(:! >> (•)) при

и^ (•) = иГ> (•), с(1) = с> (1), б(р> (1) = К(р) (1).

5. Отображение результатов решения задачи в форме, удобной для лиц, принимающих решения на предприятии.

Отметим, что приведенный алгоритм представляет собой реализацию решения динамической (многошаговой) задачи оптимизации комплексного управления технологическими процессами на предприятии путем формирования оптимальных управлений, являющихся решениями соответствующих одношаговых (статических) задач оптимизации комплексного управления технологическими процессами в рассматриваемых периодах управления.

Полученные в данной работе результаты могут быть использованы для экономикоматематического моделирования решения динамических задач оптимизации технологических процессов на предприятии и для разработки соответствующих компьютерных систем поддержки принятия управленческих решений.

Литература

6. Лотов, А. В. Введение в экономико-математическое моделирование / А. В. Лотов. М.: Наука, 1984.

7. Пропой, А. И. Элементы теории оптимальных дискретных процессов / А. И. Пропой. М.: Наука, 1973.

8. Шориков, А. Ф. Минимаксное оценивание и управление в дискретных динамических системах / А. Ф. Шориков. Екатеринбург: Изд-во Урал. гос. экон. ун-та, 1997.

9. Виноградова, Е. Ю. Проблема управления планированием на предприятии и пути ее решения / Е. Ю. Виноградова // Сборник трудов Всероссийск. конф. молодых ученых по институциональной экономике. Екатеринбург: Ин-т экономики УрО РАН, 2004.

10. Шориков, А. Ф. Методика разработки системы поддержки принятия экономических решений для оптимизации управления предприятием / А. Ф. Шориков, Е. Ю. Виноградова // Человеческий потенциал и конкурентоспособность России // Материалы XXII Международной науч.-практ. конф. Челябинск: Урал. соц.-экон. ин-т; АТиСО, 2005. Ч. VI.

11. Шориков, А. Ф. К вопросу об алгоритмическом моделировании экономических систем и

процессов / А. Ф. Шориков, Е. Ю. Виноградова // Новые тенденции в развитии российской экономики: сб. науч. тр. Екатеринбург:

Изд-во Урал. гос. экон. ун-та, 2005. Вып. 8.

•к •к •к •к •к