Научная статья на тему 'ФОРМИ р-КОДІВ ФІБОНАЧЧІ I КОДІВ ЗОЛОТОЇ р-ПРОПОРЦІЇ'

ФОРМИ р-КОДІВ ФІБОНАЧЧІ I КОДІВ ЗОЛОТОЇ р-ПРОПОРЦІЇ Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
122
25
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Лужецький Володимир Андрійович

Показується, що, виходячи з М-форми р-кодів Фібо- наччі і кодів золотої р-пропорції, можна отримати набір різних форм цих кодів з певними визначальними властивостями. Описуються нові властивості відомих форм, а також нових форм, що пропонуються.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

The forms of

The classification of the forms of р-codes of Fibonacci and codes of a gold р-proportion is adduced, which one encompasses both known, and the new forms, which one are tendered. The ways of obtaining of these forms are described, outgoing from the basic form, which one is called as the M form, and also their properties are described.

Текст научной работы на тему «ФОРМИ р-КОДІВ ФІБОНАЧЧІ I КОДІВ ЗОЛОТОЇ р-ПРОПОРЦІЇ»

УДК 681.3.04

ФОРМИ р-КОДІВ ФІБОНАЧЧІ I КОДІВ ЗОЛОТОЇ р-ПРОПОРЦІЇ

ЛУЖИЦЬКИЙ В.А.______________________________

Показується, що, виходячи з М-форми р-кодів Фібо-наччі і кодів золотої р-пропорції, можна отримати набір різних форм цих кодів з певними визначальними властивостями. Описуються нові властивості відомих форм, а також нових форм, що пропонуються.

Вступ

В [1] описані позиційні системи кодування таких математичних об’єктів як комплексні числа, кватерніони, числа Келі (октави), вектори n-вимір-ного простору, поліноми і матриці. При цьому як базисні використовуються послідовності однойменних математичних об’єктів, що засновані на р -числах Фібоначчі. Кожному коду математичного об ’єкту можна поставити у відповідність числовий еквівалент, якщо розглядати цей код як р-код Фібоначчі або код золотої р-пропорції. Відомо [2], що ці коди є надлишковими і кожному числу відповідає множина їх різних форм. Однак до цього часу описані тільки три форми, а саме: М-форма, Z-форма і ЧР-форма. Тому виникає необхідність комплексного дослідження властивостей різних форм р-кодів Фібоначчі і кодів золотої р -пропорції.

1. “Фібоначчієві” системи кодування цілих чисел

Розглянемо кодування цілих чисел на основі базисних послідовностей, що задовольняють різницевому рівнянню:

Wi+p+1 -Wi+p -Wi = 0, i = 0,1,... (1)

при початкових значеннях w0 = 0,w1 =••• = wp = 1. Елементи таких послідовностей прийнято [2] позначати фр(ї) і називати p-числами Фібоначчі, тому далі будемо дотримуватись цього позначення.

Елементи послідовності фр для додатних індексів

обчислюються на основі рекурентного співвідношення

фр(ї + р +1) = Фр(ї + р) + Фр(і) (2)

при фр(0) = 0, фр(1) =• • •= фр(р) = 1, i = 0,1,...

Елементи послідовності фр для від’ємних індексів

обчислюються на основі рекурентного співвідношення

ФрО) = фр(і + р +1)-фр(і + р), i = -1,-2,...

Об’єднанням послідовностей фр і фр утворюються

розширені або двосторонні послідовності фр р-чисел Фібоначчі. Елементи таких послідовностей задовольняють співвідношенню (2).

Різницевому рівнянню (1) відповідає характеристичне рівняння

Хр+1 -Хр -1 = 0, (3)

яке має корені ар1, ар2,..., ар(р+1).

Корінь а р1 називають [2] золотою р-пропорцією. Кожен з коренів утворює свою базисну послідовність

виду ■ "(Хр ар ар ара р1ар2,• •

Елементи цієї послідовності можуть бути обчислені як р-числа Фібоначчі на основі рекурентного співвідношення, котре в даному випадку має вигляд:

ар+ р+1 =а р+р +ар. (4)

Будь-яке додатне ціле число можна зобразити у базисі Фр у вигляді:

П

N = £ ^ФрБХ (5)

i=1

де ai = {0;1}.

Послідовність аПаП-р-^аь що утворена представленням (5), називається p-кодом Фібоначчі числа N.

Існує множина представлень виду (5) для кожного цілого числа.

Послідовність аПаП _!•••а2а1 називається мінімальною формою (М-формою) р-коду Фібоначчі, якщо ai = 1 і анк = 0 для i = р + 1,р + 2,..,п, 1 < k < р.

Доведено [2, 3], що представлення (5), яке має М-форму p-коду Фібоначчі, є єдиним.

Теорема 1. Нехай ai є {0;1}, тоді будь-яке додатне ціле число N можна зобразити у вигляді

П

N = ^ aia1p . (6)

i=-m

Доведення. Представлення числа N= 1 очевидно, оскільки ар = 1

Число N=2 дорівнює сумі а р + а р . Замінимо одне ар згідно з (4) на арр +арр_1 +•••■тар2р, тоді

2= а р +арр + а рр_1 + — + а р2р. З урахуванням (4)

маємо 2 = ар + арр _1 н—ь ар2р.

Число 3 дорівнює ар +ар +а рр_1 +•••■та р2р.

Число 4 отримаємо, виконавши розгортку ар +арр_1 + — +ар2р і додавши а{°:

4 = ар +ар +ар1 +арр +арр 1 +арр 2 Н—Ьар3р 1.

Таким чином, виконуючи розгортки і згортки і додаючи ар , можна зобразити будь-яке додатне ціле число як суму степенів а р .

Теорема доведена.

РИ, 2000, № 4

101

Послідовність anan-i- • -aoa_i- • • a_m, що утворюється представленням (6), називається кодом золотої р-пропорції числа N.

Для цих кодів, як і для p-кодів Фібоначчі, існує М-форма коду.

Представлення (6) ізоморфне представленню нулю у вигляді: о = £ a;фр(і) •

i=-m

Лівий зсув даної суми забезпечує представлення будь-якого цілого додатного числа:

N = £ a;-i9p(i).

i=-m

Вираз (7) називається представленням Фібоначчі числа N у відповідності з псевдополіно-мом (6).

Форма р-коду Фібоначчі, що отримується при цьому, називається Z-формою (zero -нуль) [4].

Таким чином, будь-яке додатне ціле число можна зобразити за допомогою базисів фр, фр і ар .

Для представлення від’ємних цілих чисел потрібна додаткова цифра знаку.

Оскільки базисні послідовності, що породжують ці коди, описуються еквівалентними співвідношеннями, то і самі коди, з цієї точки зору, еквівалентні. Тому в подальшому, коли мова буде йти одночасно про р-коди Фібоначчі і коди золотої р-пропорції, будемо казати просто р-коди.

Ьазиси фр, фр і ар, є надмірними, тому при їх

застосовуванні необхідно враховувати кількісну оцінку їх надмірності, яка характеризує надмірність р-кодів. При використанні алфавіту {0; 1} як канонічний є базис {2і}, тобто порівняння здійснюється з позиційним двійковим кодом.

Чисельні значення надмірності базисів фр, фр і ар для різних р наведені в табл.1.

Таблиця 1

р 1 2 3 4 5

Нфр^ s(aр) 0,44 0,81 1,15 1,46 1,76

8(ф*р) 0,88 2,43 3,45 4,38 5,28

Оскільки різні форми р-кодів породжуються одним і тим же базисом, то їх надмірність однакова і дорівнює надмірності базису.

2. Класифікація форм р-кодів

Характерною особливістю р-кодів, що випливає з надмірності їх базисів, є наявність множини кодів (класу еквівалентності), яка відповідає кожному числу. Вибір представника класу еквівалентності здійснюється на підставі деякої визначальної вла-

стивості P(a). Пропонується як фундаментальну визначальну властивість P<^(a) використовувати властивість, яка дозволяє виділити з класу еквівалентності єдиний р-код, що має М-форму. Використовуючи М-форму як початкову, можна отримати ряд інших форм зі своїми визначальними властивостями. Виходячи з цього, пропонується класифікація форм р-кодів, що наведена на рис. 1.

Рис.1. Класифікація форм р-кодів

Уся множина форм розподілена на мінімальні, незвідні, скорочені та розгорнуті форми.

Якщо М-форми кодів такі, що кожній з них відповідає свій числовий еквівалент, який відрізняється від інших, то вони входять до підгрупи М-форм зі змінним числовим еквівалентом.

Такі форми кодів утворюються базисами фр, а1 і а 2 .

Якщо для представлення цілих чисел використовуються базиси ф* і ф2 , то кожному числу відповідає

своя М-форма коду, але числовий еквівалент усіх цих форм дорівнює нулю. Тому вони входять до підгрупи М-форм з постійним числовим еквівалентом. Ці форми кодів будемо називати MZ-формами.

Базиси фр і а р при р > 3 , у загальному випадку, не забезпечують отримання М-форм коду математичного об’єкта, тому виділяється форма р-коду, яка названа незвідною. Це така форма, в якій не можна виконати згортки, щоб отримати М-форму, її будемо називати Z-формою.

Скорочені форми отримуються з M- або MZ-форм шляхом відкидання деяких символів коду, що приводить до скорочення довжини коду.

Розгорнуті форми кодів отримуються шляхом виконання різних видів розгорток і в різних кількостях.

Повністю розгорнута форма утворюється як результат послідовного виконання усіх можливих розгорток одиниць коду М-форми.

Частково розгорнуті форми отримуються при “миттєвій”, або, інакше кажучи, при одночасній розгортці усіх одиниць коду М-форми.

Форми р-кодів

102

РИ, 2000, № 4

Виконуючи деяку кількість операцій розгортки М-форми коду, можна отримати для кожного числа код, який буде мати однакову кількість нулів і одиниць, тобто рівноваговий код.

Розгортки одиниць визначених розрядів М-форми дозволяють отримати для кожного числа таку форму коду, в якій один або декілька заданих розрядів мають або нулі, або одиниці. Ці форми названі константними.

Множина форм представлення одного й того ж числа дозволяє вибирати такі форми, які найбільш повно задовольняють вимоги конкретного застосування. У зв’язку з цим розглянемо властивості різних форм р-коду.

3. Мінімальні форми р-кодів

Характерною ознакою М- і MZ-форм р-кодів є наявність не менше р нулів праворуч від кожної одиниці, тобто у групі з p+1 розрядів може бути тільки одна одиниця і якщо виникає дві або більше одиниць, то це означає порушення ознаки форми коду. Якщо таке відбувається при зберіганні або передаванні р-кодів, то це свідчить про виникнення помилок.

Для n-розрядних кодів М-форми потенційний коефіцієнт знаходження помилок визначається за формулою:

SM = 1 -Фр(п + i)/2n+1 . (8)

В теорії надмірного кодування, крім потенційного коефіцієнта знаходження помилок, користуються коефіцієнтами знаходження помилок деякої кратності. Так, найбільш ймовірними помилками, які породжуються відмовами, є однократні помилки, тоді як збої призводять до багатократних помилок.

Розподілення коефіцієнта знаходження за кратністю помилок наведено на рис.2. З цих графіків випливає, що М-форма забезпечує найефективніше знаходження помилок великої кратності.

1 -Фр f 211+1 Для Р =1

Є MZ І V 2 У/

ЗН 1 -Фр ^пу7 У2п+1 для Р = 2.

MZ-форма має властивість не тільки М-форми, але й Z-форми, тому забезпечується знаходження помилок за ознаками М- і Z-форм. При цьому, частина помилок, що не знаходяться за допомогою ознаки М-форми, знаходяться за допомогою ознаки Z-форми, і навпаки. Є частина помилок, що відшукується за двома ознаками.

Ознакою Z-форми є рівність нулю числового еквівалента р-коду. Всі помилки будь-якої кратності, котрі приводять до того, що числовий еквівалент р-коду стає відмінним від нуля, знаходяться. Потенційний коефіцієнт знаходження помилок для Z-форми обчислюється за формулою:

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

SZh = 1 -Фр(1 + 23Р + 3У2п+1, р ^ 3.

Відзначимо ще одну властивість М-форми, яка полягає в тому, що кількість одиниць в ній завжди менша кількості нулів, за виключенням тільки одного випадку при p=1, коли кількості нулів і одиниць однакові: 10101010... Ця властивість забезпечує прискорення виконання арифметичних операцій, а також спрощення логічних схем.

Ймовірності Вр(а;) з’явлення одиниці в i-му розряді для різних p наведені в табл.2.

Таблиця 2

р 1 2 3 4 5

Вр(аі) 0,286 0,196 0,110 0,095 0,082

4. Скорочені форми р-кодів

Крім того, М-форма є ефективною при знаходженні пакетів помилок. М-форма n-розрядного р-коду Фібоначчі для р > 2 забезпечує знаходження всіх пакетів помилок довжини 3 < t < п .

Рис. 2. Залежність SM,,H.t від кратності помилок та розрядності кодів

Потенційний коефіцієнт знаходження помилок для MZ-форми обчислюється за формулою:

Використовуючи основну властивість мінімальних форм, можна зменшити надмірність р-кодів. Оскільки в М- і MZ-формах праворуч від кожної одиниці є р або більше нулів, то можна завжди відкинути р нулів тому, що вони не несуть інформації.

Означення 1. Форма коду, що отримана з М- або MZ-форм шляхом відкидання p нулів праворуч від кожної одиниці, називається С\-формою.

Перетворення М- або MZ-форми в Q-форму починається зі старших розрядів. Якщо i-й розряд має символ 0, то він зберігається і здійснюється аналіз наступного розряду. Якщо i-й розряд має символ 1, то наступні p нулів відкидаються і здійснюється аналіз (i+p+1)-ro розряду.

Зворотне перетворення також починається зі стар -тих розрядів. Якщо i-й розряд має символ 0, то переходять до аналізу наступного розряду. Якщо i-й розряд має символ 1, то після нього записують p нулів і переходять до аналізу наступного розряду початкового коду.

РИ, 2000, № 4

103

Оскільки середня кількість одиниць, що містяться в М-формі, дорівнює Bp(ai)n, то середнє скорочення розрядності - pBp(ai)n . Виходячи з цього, випливає, що Q-форма забезпечує відносне скорочення розрядності у порівнянні з М-формою, яке дорівнює pBp(aJ.

Оскільки Сі-форми різних кодів мають різну роз-рядність, то при їх перетворенні в М-форму виникає необхідність визначення початку або закінчення кожного коду. Це здійснюється таким чином. Починаючи зі старших розрядів, здійснюється лічба кількості розрядів з урахуванням записів p нулів після кожної одиниці. Як тільки підрахована кількість розрядів стане дорівнювати n, формується ознака закінчення одного коду і початок наступного.

Таким чином, С1-формі не потрібні спеціальні символи (розряди кодів) для відокремлення кодів один від одного при передаванні або зберіганні.

Означення 2. Форма коду, що отримана з М- або MZ-форм шляхом відкидання усіх нулів старших розрядів до першої одиниці, називається С2-формою.

Перетворення М- або MZ-форми в С2-форму починається зі старших розрядів. Якщо i-й розряд має символ 0, то він відкидається, і здійснюється аналіз наступного розряду. Якщо ж і-й розряд має символ 1, то перетворення закінчено. Перетворення також закінчується, якщо і=р і символ цього розряду 0.

Зворотне перетворення С2-форми в М- або MZ-форму починається з молодших розрядів. Здійснюється лічба кількості символів коду до його завершення. Якщо ця кількість менша кількості розрядів М- або MZ-форм, то до коду з боку старших розрядів дописується кількість символів 0, якої не вистачає.

Для різних кодів їх С2-форми будуть мати різну кількість розрядів, тому при перетворенні послідовно записаних С2-форм в М- або MZ-форми необхідно визначати кінець кожної С2-форми.

Оскільки С2-форма задовольняє ознаці М-форми, то на межі двох С2-форм необхідно розмістити групу символів, яка не задовольняє цій ознаці. Для цього пропонується записувати символ 1 в самий молодший розряд С2-форми р-коду і в додатковий молодший розряд. Тоді будемо мати такі набори символів на межі кодів:

для ненульових кодів

--- код 1---- — код 2 -----

...x x 0 0...01110.. .0x x...

p-1 p

------код 1---------код 2 ---

...x x 0...010...01110...0 x x...

p p-1 p

і для нульових кодів

код1 код 2 0П0П .

Таким чином, ознаками межі між двома кодами є наявність двох або трьох одиниць у сусідніх розрядах при р >1 і чотирьох одиниць при р=1.

Означення 3. Форма коду, що отримана з М- або MZ-форм шляхом відкидання усіх нулів молодших розрядів, крім одного, до першої одиниці, називається С3-формою.

Перетворення М- або MZ-форм в С3-форму починається з молодших розрядів. Якщо і-й і (і+1)-й розряди мають символи 00, то символ і-го розряду відкидається, і здійснюється аналіз наступної пари розрядів. Якщо ж і-й розряд має символ 0, а (/+1)-й - символ 1, то перетворення закінчено. Перетворення також закінчується, якщо (і+1) -й розряд має

0 і є найстаршим розрядом.

Для того щоб забезпечити відокремлення кодів, в і-й і додатковий молодший розряд записують символи 11. При цьому можливі такі випадки:

для ненульових кодів

---- код 1--- ----код 2 ---

...x x 0 0...011110...0 x x...

p p

---- код 1--- ----код 2____

...x x 0...0111010...0 x x...

p p

1 для нульових кодів

код 1 код 2

0ТТ0ТІ.

В першому випадку ознакою межі кодів є наявність чотирьох одиниць у сусідніх розрядах, у другому -наявність трьох одиниць, у третьому - двох.

Зворотне перетворення С3-форми в М- або MZ-форму починається зі старших розрядів. Здійснюється лічба кількості символів коду до знаходження межі між кодами. Якщо ця кількість менше за кількість розрядів М- або MZ-форми, то до коду з боку молодших розрядів дописується кількість символів 0, якої не вистачає.

5. Розгорнуті форми _р-кодів

Означення 4. Форма коду, що отримана з М- або МZ-форми шляхом послідовного виконання усіх можливих розгорток одиниць, називається повністю розгорнутою формою (ПР-формою).

Характерною ознакою ПР-форми є наявність не більше р нулів праворуч від кожної одиниці.

Зворотне перетворення ПР-форми в М-форму здійснюється шляхом послідовного виконання усіх можливих згорток одиниць.

Здатність ПР-форми щодо знаходження помилок така ж, як М-форми, тільки відрізняється вид помилок, які знаходяться. Якщо ознака М-форми дозволяє знаходити появу одиниць в коді, то ознака ПР-форми - появу нулів.

104

РИ, 2000, № 4

Означення 5. Форма коду, що отримана з М- або MZ-форми шляхом “миттєвої” (одночасної) роз-гортки усіх одиниць, називається частково-розгор-нутою формою ( ЧР-формою ).

Виходячи з основного рекурентного співвідношення для р-чисел Фібоначчі (2) і “золотої” р-пропорції (4), можна виконати різні розгортки одиниць і отримати р різних ЧР-форм.

При цьому k-а ЧРк-форма утворюється на підставі співвідношення

k—1

фрк)(і) = фр(і - k) + Еф^і - p -1 - j) (9)

j=o

Виходячи з цього, код ЧРк-форми буде містити однакові (р+1)-розрядні групи, кількість котрих дорівнює числу одиничних розрядів у М-формі. Будь-яка ЧР-форма має таку ж розрядність, як М-форма.

Крім того, кожен із кодів k-ї ЧР-форми містить кількість одиниць, що кратна к+1. Це ще одна ознака ЧР-форми. Виходячи з цього, пропонується другий варіант знаходження помилок, що виникають у ЧР-формі. У коді підраховується кількість одиниць за модулем к+1:

q =

fn-1 Л Z Xi

V i=0 )

mod(k+l)

і якщо q ф 0, то цей код містить помилки.

Така організація контролю дозволяє знаходити всі помилки, кратності яких не дорівнюють j(k +1), j = 1, 2,..., ]n/(k+1J . Але в цьому випадку вказується місце розташування помилок не в групі розрядів, а у всьому коді.

Таким чином, ЧР-форма описується двома ознаками: груповою і кодовою. Групова ознака має структурно-кількісний характер, а кодова - тільки кількісний характер.

ЧР-форми можуть містити однакові групи одного

3 двох видів: із симетричною і несиметричною структурою. При цьому вид структури залежить від значення к.

10 ... 01 1 .„1

Симетричні структури р_1 й —р утворю-

ються при к=1 і к=р, відповідно.

При 1 < k < р використовується несиметрична структура такого вигляду:

10... 01 .„1

p-k \Г~.

У випадку симетричного каналу мінімальна кодова відстань для ЧР-форм при р > 1 і к=1 або к=р дорівнює 2. З цього випливає, що такі форми забезпечують знаходження всіх помилок непарної кратності.

4 Р-форми при р > 3 і 2 < к< p мають такі мінімальні кодові відстані:

d _Г3 для k = 2;

dmin \4 для 2 < k < р.,

тобто вони забезпечують виправлення однократних помилок і знаходження помилок кратності 2 і 3 при к=2 і 2 < к<р , відповідно.

Таким чином, структура твірної кодової групи істотно впливає на здатності ЧР-форми щодо виправлення і знаходження помилок.

В асиметричних каналах к-а ЧР-форма забезпечує знаходження помилок кратності к.

Слід зазначити, що ЧР-форми дозволяють також знаходити деякі помилки, кратність котрих вище тієї, що визначається мінімальною кодовою відстанню. У n-розрядному коді може бути ]n/(p +1J (р+1)-розрядних груп, що мають структуру твірної групи або містять усі нулі. Якщо помилки виникають у кожній із цих груп, то вони знаходяться.

Можливості ЧР-форм щодо знаходження пакетів помилок наведені у табл.3.

Таблиця 3

Параметр ЧР-форми Симетричний канал Ас иметричний канал

p Довжина пакета p Довжина пакета

k = 1 2 t +2ip >2 2 < t < n

>3 2 <t <n

1<k<p >2 2 < t < n >2 2 < t < n

k=p >1 t + i (p+1) >1 t + i (p+1)

Порівняльний аналіз показує, що ЧР-форма більш ефективно знаходить пакети помилок, які виникають в асиметричному каналі.

При к<р ЧР-форми містять послідовності одиниць, довжина яких не перевищує к+1. Ця властивість є важливою для організації самосинхронізації при передаванні інформації.

Як вже відмічалося вище, в М- або MZ-формах кількість одиниць завжди менша, ніж кількість нулів. Але виконуючи розгортки одиниць, можна збільшити їх кількість так, щоб вона дорівнювала кількості нулів.

Отже, для будь-якої М-форми можна отримати рівновагову форму (РВ-форму).

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Перетворення М-форми в РВ-форму здійснюється таким чином. Підраховується кількість одиниць N. Якщо N=0,5n (n - розрядність коду), то маємо РВ-форму. Якщо N<0,5n, то виконується одна розгор-тка, і знов здійснюється підрахування N. При цьому може виникнути ситуація, коли жодна з одиниць, яка є в коді, не може бути розгорнута. Тоді здійснюється розгортка одиниці неіснуючого старшого розряду. Це ж виконується і у випадку нульового коду М-форми.

Зворотне перетворення РВ-форми в М-форму здійснюється шляхом виконання усіх можливих згорток.

РВ-форма має усі властивості відомих рівноваго-вих кодів.

РИ, 2000, № 4

105

Означення 6. Форма p-коду, що отримується з М-форми і яка має усі нулі в будь-якій наперед заданій групі р сусідніх розрядів, називається константною нульовою формою (КН-формою).

Можливість отримання КН-форми випливає з такої теореми.

Теорема 2. Базисна послідовність Фр залишається повною, якщо з неї вилучити не більше р будь-яких сусідніх чисел.

Доведення. Нехай є базисна послідовність

Фр(і), фр(2),..., Фр(п - р - ^. (10)

Визначимо суму усіх її елементів:

фр(і) = фр(р + 2-фр(р +1,

Фр(2) = Фр(р + 3-Ф^р + 3,

Фр(3) = фр(р + 3-фр(р + 3,

Фр(п - р - 3 = Фр(п -1 -фр(п - 3,

Фр(п - р - 3 = Фр(п)-фр(п -1.

Додавши усі ці рівності, отримаємо:

п-р-1

Ефр(0 =Фр(п)-Фр(р+1= Фр(п) -1,

і—1

тобто максимальне число, яке можна зобразити за допомогою Послідовності (10), дорівНЮЄ фр (п) -1.

Для представлення числа Фр(п) в послідовність необхідно ввести саме це число. Після цього виникає можливість представляти будь-яке число від 0 до 2фр(п) -1. При цьому 2фр(п) -1 >фр(п +1 -1, тобто є можливість зобразити усі числа до

Фр(п +1 -1. Це означає, що послідовність

Фр (4 Фр (4 - СІ фр (п “ р “ 3’ фр (п)

повна, але в ній немає таких р сусідніх чисел:

Фр(п - р), Фр(п - р + 4 Фр(п -1.

Таким чином, теорема 2 доведена.

Наслідок. Якщо з послідовності фр вилучити будь-які k<p сусідніх чисел, то вона залишається повною.

Перетворення М-форми р-коду в КН-форму виконується так. Аналізується група заданих р розрядів. Якщо ця група має усі нулі, то КН-форма збігається з М-формою. Якщо ж k-й розряд (k =1,2, ...,p) групи має одиницю, то виконується “миттєва” розгортка згідно з (2) для цього розряду і усіх розрядів, що розміщені праворуч від нього.

Відзначимо, що КН-форма р-коду має на p-1 розрядів більше, ніж М-форма.

Приклад. Перетворити М-форму 2-коду 01001001 0001000 в КН-форму, в якій 10-й і 11-й розряди є нульовими:

15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 Мформа

І___1±і

і m

і m

0 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 КН-форма

Зворотне перетворення КН-форми в М-форму здійснюється шляхом виконання усіх можливих згорток і відкидань р -1 наймолодших нулів у коді.

Означення 7. Форма р-коду, що отримується з М-форми і має усі одиниці в будь-якій наперед заданій групі p сусідніх розрядів, називається константною одиничною формою (КО-формою).

Перетворення М-форми р-коду в КО-форму здійснюється таким чином. Спочатку М-форма перетворюється у КН-форму, а потім усі символи коду КН-форми інвертуються.

При зворотному перетворенні КО-форми в М-форму спочатку здійснюється інвертування коду, а потім виконуються усі можливі згортки.

Властивість КН- і КО-форм забезпечує можливість правильного представлення інформації при наявності відмов апаратури.

Висновки

1. Існує множина різних форм р-кодів Фібоначчі

1 кодів золотої р-пропорції одного і того ж числа, серед яких можна виділити форми з певними визначальними властивостями, котрі забезпечують розв’язання різних задач, що виникають перед розробниками обчислювальної техніки.

2. М-, Z-, М2-, ПР- і ЧР-форми забезпечують найбільш ефективне знаходження помилок великої кратності, а також пакетів помилок.

3. КН- і КО-форми доцільно використовувати для побудови відмовостійких функціональних вузлів і пристроїв пам’яті.

4. В тих випадках, коли рівень завад незначний і не треба знаходити помилки, можна зменшити надмірність р-кодів, використовуючи їх скорочені форми.

Література: 1. Лужицький В.А. Адитивні системи позиційного кодування математичних об’єктів // Вісник ВПІ. 1996. № 3. С.28-36. 2. Стахов А. П. Коды золотой

пропорции. М.: Радио и связь, 1984. 152 с. 3. Carlitz L, Richard Scoville, Hoggatt V. E., Jr. Fibonacci Representations // The Fibonacci Quarterly. 1972. Vol. 10, № 1. P. 1-28. 4. Стахов А.П. Алгоритмическая теория измерения и основания компьютерной арифметики // Измерение. Контроль. Автоматизация. 1988. № 2. С. 6-12.

Надійшла до редколегії 23.06.2000

Рецензент: д-р техн. наук, проф. Хаханов В.І.

Лужецький Володимир Андрійович, канд. техн. наук, доцент кафедри обчислювальної техніки Вінницького державного технічного університету. Наукові інтереси: рекурентні послідовності й їх застосування в обчислювальній техніці, цифрова обробка сигналів, ущільнення інформації, криптографічний захист інформації. Захоплення: поезія. Адреса: Україна, 21021, Вінниця, вул. Келецька, 84, кв. 196, тел.(0432)-43-30-93.

РИ, 2000, № 4

106

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.