CC BY
25
УДК 681.3.04
ФОРМИ р-КОДІВ ФІБОНАЧЧІ I КОДІВ ЗОЛОТОЇ р-ПРОПОРЦІЇ
ЛУЖИЦЬКИЙ В.А.______________________________
Показується, що, виходячи з М-форми р-кодів Фібо-наччі і кодів золотої р-пропорції, можна отримати набір різних форм цих кодів з певними визначальними властивостями. Описуються нові властивості відомих форм, а також нових форм, що пропонуються.
Вступ
В [1] описані позиційні системи кодування таких математичних об’єктів як комплексні числа, кватерніони, числа Келі (октави), вектори n-вимір-ного простору, поліноми і матриці. При цьому як базисні використовуються послідовності однойменних математичних об’єктів, що засновані на р -числах Фібоначчі. Кожному коду математичного об ’єкту можна поставити у відповідність числовий еквівалент, якщо розглядати цей код як р-код Фібоначчі або код золотої р-пропорції. Відомо [2], що ці коди є надлишковими і кожному числу відповідає множина їх різних форм. Однак до цього часу описані тільки три форми, а саме: М-форма, Z-форма і ЧР-форма. Тому виникає необхідність комплексного дослідження властивостей різних форм р-кодів Фібоначчі і кодів золотої р -пропорції.
1. “Фібоначчієві” системи кодування цілих чисел
Розглянемо кодування цілих чисел на основі базисних послідовностей, що задовольняють різницевому рівнянню:
Wi+p+1 -Wi+p -Wi = 0, i = 0,1,... (1)
при початкових значеннях w0 = 0,w1 =••• = wp = 1. Елементи таких послідовностей прийнято [2] позначати фр(ї) і називати p-числами Фібоначчі, тому далі будемо дотримуватись цього позначення.
Елементи послідовності фр для додатних індексів
обчислюються на основі рекурентного співвідношення
фр(ї + р +1) = Фр(ї + р) + Фр(і) (2)
при фр(0) = 0, фр(1) =• • •= фр(р) = 1, i = 0,1,...
Елементи послідовності фр для від’ємних індексів
обчислюються на основі рекурентного співвідношення
ФрО) = фр(і + р +1)-фр(і + р), i = -1,-2,...
Об’єднанням послідовностей фр і фр утворюються
розширені або двосторонні послідовності фр р-чисел Фібоначчі. Елементи таких послідовностей задовольняють співвідношенню (2).
Різницевому рівнянню (1) відповідає характеристичне рівняння
Хр+1 -Хр -1 = 0, (3)
яке має корені ар1, ар2,..., ар(р+1).
Корінь а р1 називають [2] золотою р-пропорцією. Кожен з коренів утворює свою базисну послідовність
виду ■ "(Хр ар ар ара р1ар2,• •
Елементи цієї послідовності можуть бути обчислені як р-числа Фібоначчі на основі рекурентного співвідношення, котре в даному випадку має вигляд:
ар+ р+1 =а р+р +ар. (4)
Будь-яке додатне ціле число можна зобразити у базисі Фр у вигляді:
П
N = £ ^ФрБХ (5)
i=1
де ai = {0;1}.
Послідовність аПаП-р-^аь що утворена представленням (5), називається p-кодом Фібоначчі числа N.
Існує множина представлень виду (5) для кожного цілого числа.
Послідовність аПаП _!•••а2а1 називається мінімальною формою (М-формою) р-коду Фібоначчі, якщо ai = 1 і анк = 0 для i = р + 1,р + 2,..,п, 1 < k < р.
Доведено [2, 3], що представлення (5), яке має М-форму p-коду Фібоначчі, є єдиним.
Теорема 1. Нехай ai є {0;1}, тоді будь-яке додатне ціле число N можна зобразити у вигляді
П
N = ^ aia1p . (6)
i=-m
Доведення. Представлення числа N= 1 очевидно, оскільки ар = 1
Число N=2 дорівнює сумі а р + а р . Замінимо одне ар згідно з (4) на арр +арр_1 +•••■тар2р, тоді
2= а р +арр + а рр_1 + — + а р2р. З урахуванням (4)
маємо 2 = ар + арр _1 н—ь ар2р.
Число 3 дорівнює ар +ар +а рр_1 +•••■та р2р.
Число 4 отримаємо, виконавши розгортку ар +арр_1 + — +ар2р і додавши а{°:
4 = ар +ар +ар1 +арр +арр 1 +арр 2 Н—Ьар3р 1.
Таким чином, виконуючи розгортки і згортки і додаючи ар , можна зобразити будь-яке додатне ціле число як суму степенів а р .
Теорема доведена.
РИ, 2000, № 4
101
Послідовність anan-i- • -aoa_i- • • a_m, що утворюється представленням (6), називається кодом золотої р-пропорції числа N.
Для цих кодів, як і для p-кодів Фібоначчі, існує М-форма коду.
Представлення (6) ізоморфне представленню нулю у вигляді: о = £ a;фр(і) •
i=-m
Лівий зсув даної суми забезпечує представлення будь-якого цілого додатного числа:
N = £ a;-i9p(i).
i=-m
Вираз (7) називається представленням Фібоначчі числа N у відповідності з псевдополіно-мом (6).
Форма р-коду Фібоначчі, що отримується при цьому, називається Z-формою (zero -нуль) [4].
Таким чином, будь-яке додатне ціле число можна зобразити за допомогою базисів фр, фр і ар .
Для представлення від’ємних цілих чисел потрібна додаткова цифра знаку.
Оскільки базисні послідовності, що породжують ці коди, описуються еквівалентними співвідношеннями, то і самі коди, з цієї точки зору, еквівалентні. Тому в подальшому, коли мова буде йти одночасно про р-коди Фібоначчі і коди золотої р-пропорції, будемо казати просто р-коди.
Ьазиси фр, фр і ар, є надмірними, тому при їх
застосовуванні необхідно враховувати кількісну оцінку їх надмірності, яка характеризує надмірність р-кодів. При використанні алфавіту {0; 1} як канонічний є базис {2і}, тобто порівняння здійснюється з позиційним двійковим кодом.
Чисельні значення надмірності базисів фр, фр і ар для різних р наведені в табл.1.
Таблиця 1
р 1 2 3 4 5
Нфр^ s(aр) 0,44 0,81 1,15 1,46 1,76
8(ф*р) 0,88 2,43 3,45 4,38 5,28
Оскільки різні форми р-кодів породжуються одним і тим же базисом, то їх надмірність однакова і дорівнює надмірності базису.
2. Класифікація форм р-кодів
Характерною особливістю р-кодів, що випливає з надмірності їх базисів, є наявність множини кодів (класу еквівалентності), яка відповідає кожному числу. Вибір представника класу еквівалентності здійснюється на підставі деякої визначальної вла-
стивості P(a). Пропонується як фундаментальну визначальну властивість P<^(a) використовувати властивість, яка дозволяє виділити з класу еквівалентності єдиний р-код, що має М-форму. Використовуючи М-форму як початкову, можна отримати ряд інших форм зі своїми визначальними властивостями. Виходячи з цього, пропонується класифікація форм р-кодів, що наведена на рис. 1.
Рис.1. Класифікація форм р-кодів
Уся множина форм розподілена на мінімальні, незвідні, скорочені та розгорнуті форми.
Якщо М-форми кодів такі, що кожній з них відповідає свій числовий еквівалент, який відрізняється від інших, то вони входять до підгрупи М-форм зі змінним числовим еквівалентом.
Такі форми кодів утворюються базисами фр, а1 і а 2 .
Якщо для представлення цілих чисел використовуються базиси ф* і ф2 , то кожному числу відповідає
своя М-форма коду, але числовий еквівалент усіх цих форм дорівнює нулю. Тому вони входять до підгрупи М-форм з постійним числовим еквівалентом. Ці форми кодів будемо називати MZ-формами.
Базиси фр і а р при р > 3 , у загальному випадку, не забезпечують отримання М-форм коду математичного об’єкта, тому виділяється форма р-коду, яка названа незвідною. Це така форма, в якій не можна виконати згортки, щоб отримати М-форму, її будемо називати Z-формою.
Скорочені форми отримуються з M- або MZ-форм шляхом відкидання деяких символів коду, що приводить до скорочення довжини коду.
Розгорнуті форми кодів отримуються шляхом виконання різних видів розгорток і в різних кількостях.
Повністю розгорнута форма утворюється як результат послідовного виконання усіх можливих розгорток одиниць коду М-форми.
Частково розгорнуті форми отримуються при “миттєвій”, або, інакше кажучи, при одночасній розгортці усіх одиниць коду М-форми.
Форми р-кодів
102
РИ, 2000, № 4
Виконуючи деяку кількість операцій розгортки М-форми коду, можна отримати для кожного числа код, який буде мати однакову кількість нулів і одиниць, тобто рівноваговий код.
Розгортки одиниць визначених розрядів М-форми дозволяють отримати для кожного числа таку форму коду, в якій один або декілька заданих розрядів мають або нулі, або одиниці. Ці форми названі константними.
Множина форм представлення одного й того ж числа дозволяє вибирати такі форми, які найбільш повно задовольняють вимоги конкретного застосування. У зв’язку з цим розглянемо властивості різних форм р-коду.
3. Мінімальні форми р-кодів
Характерною ознакою М- і MZ-форм р-кодів є наявність не менше р нулів праворуч від кожної одиниці, тобто у групі з p+1 розрядів може бути тільки одна одиниця і якщо виникає дві або більше одиниць, то це означає порушення ознаки форми коду. Якщо таке відбувається при зберіганні або передаванні р-кодів, то це свідчить про виникнення помилок.
Для n-розрядних кодів М-форми потенційний коефіцієнт знаходження помилок визначається за формулою:
SM = 1 -Фр(п + i)/2n+1 . (8)
В теорії надмірного кодування, крім потенційного коефіцієнта знаходження помилок, користуються коефіцієнтами знаходження помилок деякої кратності. Так, найбільш ймовірними помилками, які породжуються відмовами, є однократні помилки, тоді як збої призводять до багатократних помилок.
Розподілення коефіцієнта знаходження за кратністю помилок наведено на рис.2. З цих графіків випливає, що М-форма забезпечує найефективніше знаходження помилок великої кратності.
1 -Фр f 211+1 Для Р =1
Є MZ І V 2 У/
ЗН 1 -Фр ^пу7 У2п+1 для Р = 2.
MZ-форма має властивість не тільки М-форми, але й Z-форми, тому забезпечується знаходження помилок за ознаками М- і Z-форм. При цьому, частина помилок, що не знаходяться за допомогою ознаки М-форми, знаходяться за допомогою ознаки Z-форми, і навпаки. Є частина помилок, що відшукується за двома ознаками.
Ознакою Z-форми є рівність нулю числового еквівалента р-коду. Всі помилки будь-якої кратності, котрі приводять до того, що числовий еквівалент р-коду стає відмінним від нуля, знаходяться. Потенційний коефіцієнт знаходження помилок для Z-форми обчислюється за формулою:
SZh = 1 -Фр(1 + 23Р + 3У2п+1, р ^ 3.
Відзначимо ще одну властивість М-форми, яка полягає в тому, що кількість одиниць в ній завжди менша кількості нулів, за виключенням тільки одного випадку при p=1, коли кількості нулів і одиниць однакові: 10101010... Ця властивість забезпечує прискорення виконання арифметичних операцій, а також спрощення логічних схем.
Ймовірності Вр(а;) з’явлення одиниці в i-му розряді для різних p наведені в табл.2.
Таблиця 2
р 1 2 3 4 5
Вр(аі) 0,286 0,196 0,110 0,095 0,082
4. Скорочені форми р-кодів
Крім того, М-форма є ефективною при знаходженні пакетів помилок. М-форма n-розрядного р-коду Фібоначчі для р > 2 забезпечує знаходження всіх пакетів помилок довжини 3 < t < п .
Рис. 2. Залежність SM,,H.t від кратності помилок та розрядності кодів
Потенційний коефіцієнт знаходження помилок для MZ-форми обчислюється за формулою:
Використовуючи основну властивість мінімальних форм, можна зменшити надмірність р-кодів. Оскільки в М- і MZ-формах праворуч від кожної одиниці є р або більше нулів, то можна завжди відкинути р нулів тому, що вони не несуть інформації.
Означення 1. Форма коду, що отримана з М- або MZ-форм шляхом відкидання p нулів праворуч від кожної одиниці, називається С\-формою.
Перетворення М- або MZ-форми в Q-форму починається зі старших розрядів. Якщо i-й розряд має символ 0, то він зберігається і здійснюється аналіз наступного розряду. Якщо i-й розряд має символ 1, то наступні p нулів відкидаються і здійснюється аналіз (i+p+1)-ro розряду.
Зворотне перетворення також починається зі стар -тих розрядів. Якщо i-й розряд має символ 0, то переходять до аналізу наступного розряду. Якщо i-й розряд має символ 1, то після нього записують p нулів і переходять до аналізу наступного розряду початкового коду.
РИ, 2000, № 4
103
Оскільки середня кількість одиниць, що містяться в М-формі, дорівнює Bp(ai)n, то середнє скорочення розрядності - pBp(ai)n . Виходячи з цього, випливає, що Q-форма забезпечує відносне скорочення розрядності у порівнянні з М-формою, яке дорівнює pBp(aJ.
Оскільки Сі-форми різних кодів мають різну роз-рядність, то при їх перетворенні в М-форму виникає необхідність визначення початку або закінчення кожного коду. Це здійснюється таким чином. Починаючи зі старших розрядів, здійснюється лічба кількості розрядів з урахуванням записів p нулів після кожної одиниці. Як тільки підрахована кількість розрядів стане дорівнювати n, формується ознака закінчення одного коду і початок наступного.
Таким чином, С1-формі не потрібні спеціальні символи (розряди кодів) для відокремлення кодів один від одного при передаванні або зберіганні.
Означення 2. Форма коду, що отримана з М- або MZ-форм шляхом відкидання усіх нулів старших розрядів до першої одиниці, називається С2-формою.
Перетворення М- або MZ-форми в С2-форму починається зі старших розрядів. Якщо i-й розряд має символ 0, то він відкидається, і здійснюється аналіз наступного розряду. Якщо ж і-й розряд має символ 1, то перетворення закінчено. Перетворення також закінчується, якщо і=р і символ цього розряду 0.
Зворотне перетворення С2-форми в М- або MZ-форму починається з молодших розрядів. Здійснюється лічба кількості символів коду до його завершення. Якщо ця кількість менша кількості розрядів М- або MZ-форм, то до коду з боку старших розрядів дописується кількість символів 0, якої не вистачає.
Для різних кодів їх С2-форми будуть мати різну кількість розрядів, тому при перетворенні послідовно записаних С2-форм в М- або MZ-форми необхідно визначати кінець кожної С2-форми.
Оскільки С2-форма задовольняє ознаці М-форми, то на межі двох С2-форм необхідно розмістити групу символів, яка не задовольняє цій ознаці. Для цього пропонується записувати символ 1 в самий молодший розряд С2-форми р-коду і в додатковий молодший розряд. Тоді будемо мати такі набори символів на межі кодів:
для ненульових кодів
--- код 1---- — код 2 -----
...x x 0 0...01110.. .0x x...
p-1 p
------код 1---------код 2 ---
...x x 0...010...01110...0 x x...
p p-1 p
і для нульових кодів
код1 код 2 0П0П .
Таким чином, ознаками межі між двома кодами є наявність двох або трьох одиниць у сусідніх розрядах при р >1 і чотирьох одиниць при р=1.
Означення 3. Форма коду, що отримана з М- або MZ-форм шляхом відкидання усіх нулів молодших розрядів, крім одного, до першої одиниці, називається С3-формою.
Перетворення М- або MZ-форм в С3-форму починається з молодших розрядів. Якщо і-й і (і+1)-й розряди мають символи 00, то символ і-го розряду відкидається, і здійснюється аналіз наступної пари розрядів. Якщо ж і-й розряд має символ 0, а (/+1)-й - символ 1, то перетворення закінчено. Перетворення також закінчується, якщо (і+1) -й розряд має
0 і є найстаршим розрядом.
Для того щоб забезпечити відокремлення кодів, в і-й і додатковий молодший розряд записують символи 11. При цьому можливі такі випадки:
для ненульових кодів
---- код 1--- ----код 2 ---
...x x 0 0...011110...0 x x...
p p
---- код 1--- ----код 2____
...x x 0...0111010...0 x x...
p p
1 для нульових кодів
код 1 код 2
0ТТ0ТІ.
В першому випадку ознакою межі кодів є наявність чотирьох одиниць у сусідніх розрядах, у другому -наявність трьох одиниць, у третьому - двох.
Зворотне перетворення С3-форми в М- або MZ-форму починається зі старших розрядів. Здійснюється лічба кількості символів коду до знаходження межі між кодами. Якщо ця кількість менше за кількість розрядів М- або MZ-форми, то до коду з боку молодших розрядів дописується кількість символів 0, якої не вистачає.
5. Розгорнуті форми _р-кодів
Означення 4. Форма коду, що отримана з М- або МZ-форми шляхом послідовного виконання усіх можливих розгорток одиниць, називається повністю розгорнутою формою (ПР-формою).
Характерною ознакою ПР-форми є наявність не більше р нулів праворуч від кожної одиниці.
Зворотне перетворення ПР-форми в М-форму здійснюється шляхом послідовного виконання усіх можливих згорток одиниць.
Здатність ПР-форми щодо знаходження помилок така ж, як М-форми, тільки відрізняється вид помилок, які знаходяться. Якщо ознака М-форми дозволяє знаходити появу одиниць в коді, то ознака ПР-форми - появу нулів.
104
РИ, 2000, № 4
Означення 5. Форма коду, що отримана з М- або MZ-форми шляхом “миттєвої” (одночасної) роз-гортки усіх одиниць, називається частково-розгор-нутою формою ( ЧР-формою ).
Виходячи з основного рекурентного співвідношення для р-чисел Фібоначчі (2) і “золотої” р-пропорції (4), можна виконати різні розгортки одиниць і отримати р різних ЧР-форм.
При цьому k-а ЧРк-форма утворюється на підставі співвідношення
k—1
фрк)(і) = фр(і - k) + Еф^і - p -1 - j) (9)
j=o
Виходячи з цього, код ЧРк-форми буде містити однакові (р+1)-розрядні групи, кількість котрих дорівнює числу одиничних розрядів у М-формі. Будь-яка ЧР-форма має таку ж розрядність, як М-форма.
Крім того, кожен із кодів k-ї ЧР-форми містить кількість одиниць, що кратна к+1. Це ще одна ознака ЧР-форми. Виходячи з цього, пропонується другий варіант знаходження помилок, що виникають у ЧР-формі. У коді підраховується кількість одиниць за модулем к+1:
q =
fn-1 Л Z Xi
V i=0 )
mod(k+l)
і якщо q ф 0, то цей код містить помилки.
Така організація контролю дозволяє знаходити всі помилки, кратності яких не дорівнюють j(k +1), j = 1, 2,..., ]n/(k+1J . Але в цьому випадку вказується місце розташування помилок не в групі розрядів, а у всьому коді.
Таким чином, ЧР-форма описується двома ознаками: груповою і кодовою. Групова ознака має структурно-кількісний характер, а кодова - тільки кількісний характер.
ЧР-форми можуть містити однакові групи одного
3 двох видів: із симетричною і несиметричною структурою. При цьому вид структури залежить від значення к.
10 ... 01 1 .„1
Симетричні структури р_1 й —р утворю-
ються при к=1 і к=р, відповідно.
При 1 < k < р використовується несиметрична структура такого вигляду:
10... 01 .„1
p-k \Г~.
У випадку симетричного каналу мінімальна кодова відстань для ЧР-форм при р > 1 і к=1 або к=р дорівнює 2. З цього випливає, що такі форми забезпечують знаходження всіх помилок непарної кратності.
4 Р-форми при р > 3 і 2 < к< p мають такі мінімальні кодові відстані:
d _Г3 для k = 2;
dmin \4 для 2 < k < р.,
тобто вони забезпечують виправлення однократних помилок і знаходження помилок кратності 2 і 3 при к=2 і 2 < к<р , відповідно.
Таким чином, структура твірної кодової групи істотно впливає на здатності ЧР-форми щодо виправлення і знаходження помилок.
В асиметричних каналах к-а ЧР-форма забезпечує знаходження помилок кратності к.
Слід зазначити, що ЧР-форми дозволяють також знаходити деякі помилки, кратність котрих вище тієї, що визначається мінімальною кодовою відстанню. У n-розрядному коді може бути ]n/(p +1J (р+1)-розрядних груп, що мають структуру твірної групи або містять усі нулі. Якщо помилки виникають у кожній із цих груп, то вони знаходяться.
Можливості ЧР-форм щодо знаходження пакетів помилок наведені у табл.3.
Таблиця 3
Параметр ЧР-форми Симетричний канал Ас иметричний канал
p Довжина пакета p Довжина пакета
k = 1 2 t +2ip >2 2 < t < n
>3 2 <t <n
1<k<p >2 2 < t < n >2 2 < t < n
k=p >1 t + i (p+1) >1 t + i (p+1)
Порівняльний аналіз показує, що ЧР-форма більш ефективно знаходить пакети помилок, які виникають в асиметричному каналі.
При к<р ЧР-форми містять послідовності одиниць, довжина яких не перевищує к+1. Ця властивість є важливою для організації самосинхронізації при передаванні інформації.
Як вже відмічалося вище, в М- або MZ-формах кількість одиниць завжди менша, ніж кількість нулів. Але виконуючи розгортки одиниць, можна збільшити їх кількість так, щоб вона дорівнювала кількості нулів.
Отже, для будь-якої М-форми можна отримати рівновагову форму (РВ-форму).
Перетворення М-форми в РВ-форму здійснюється таким чином. Підраховується кількість одиниць N. Якщо N=0,5n (n - розрядність коду), то маємо РВ-форму. Якщо N<0,5n, то виконується одна розгор-тка, і знов здійснюється підрахування N. При цьому може виникнути ситуація, коли жодна з одиниць, яка є в коді, не може бути розгорнута. Тоді здійснюється розгортка одиниці неіснуючого старшого розряду. Це ж виконується і у випадку нульового коду М-форми.
Зворотне перетворення РВ-форми в М-форму здійснюється шляхом виконання усіх можливих згорток.
РВ-форма має усі властивості відомих рівноваго-вих кодів.
РИ, 2000, № 4
105
Означення 6. Форма p-коду, що отримується з М-форми і яка має усі нулі в будь-якій наперед заданій групі р сусідніх розрядів, називається константною нульовою формою (КН-формою).
Можливість отримання КН-форми випливає з такої теореми.
Теорема 2. Базисна послідовність Фр залишається повною, якщо з неї вилучити не більше р будь-яких сусідніх чисел.
Доведення. Нехай є базисна послідовність
Фр(і), фр(2),..., Фр(п - р - ^. (10)
Визначимо суму усіх її елементів:
фр(і) = фр(р + 2-фр(р +1,
Фр(2) = Фр(р + 3-Ф^р + 3,
Фр(3) = фр(р + 3-фр(р + 3,
Фр(п - р - 3 = Фр(п -1 -фр(п - 3,
Фр(п - р - 3 = Фр(п)-фр(п -1.
Додавши усі ці рівності, отримаємо:
п-р-1
Ефр(0 =Фр(п)-Фр(р+1= Фр(п) -1,
і—1
тобто максимальне число, яке можна зобразити за допомогою Послідовності (10), дорівНЮЄ фр (п) -1.
Для представлення числа Фр(п) в послідовність необхідно ввести саме це число. Після цього виникає можливість представляти будь-яке число від 0 до 2фр(п) -1. При цьому 2фр(п) -1 >фр(п +1 -1, тобто є можливість зобразити усі числа до
Фр(п +1 -1. Це означає, що послідовність
Фр (4 Фр (4 - СІ фр (п “ р “ 3’ фр (п)
повна, але в ній немає таких р сусідніх чисел:
Фр(п - р), Фр(п - р + 4 Фр(п -1.
Таким чином, теорема 2 доведена.
Наслідок. Якщо з послідовності фр вилучити будь-які k<p сусідніх чисел, то вона залишається повною.
Перетворення М-форми р-коду в КН-форму виконується так. Аналізується група заданих р розрядів. Якщо ця група має усі нулі, то КН-форма збігається з М-формою. Якщо ж k-й розряд (k =1,2, ...,p) групи має одиницю, то виконується “миттєва” розгортка згідно з (2) для цього розряду і усіх розрядів, що розміщені праворуч від нього.
Відзначимо, що КН-форма р-коду має на p-1 розрядів більше, ніж М-форма.
Приклад. Перетворити М-форму 2-коду 01001001 0001000 в КН-форму, в якій 10-й і 11-й розряди є нульовими:
15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 Мформа
І___1±і
і m
і m
0 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 КН-форма
Зворотне перетворення КН-форми в М-форму здійснюється шляхом виконання усіх можливих згорток і відкидань р -1 наймолодших нулів у коді.
Означення 7. Форма р-коду, що отримується з М-форми і має усі одиниці в будь-якій наперед заданій групі p сусідніх розрядів, називається константною одиничною формою (КО-формою).
Перетворення М-форми р-коду в КО-форму здійснюється таким чином. Спочатку М-форма перетворюється у КН-форму, а потім усі символи коду КН-форми інвертуються.
При зворотному перетворенні КО-форми в М-форму спочатку здійснюється інвертування коду, а потім виконуються усі можливі згортки.
Властивість КН- і КО-форм забезпечує можливість правильного представлення інформації при наявності відмов апаратури.
Висновки
1. Існує множина різних форм р-кодів Фібоначчі
1 кодів золотої р-пропорції одного і того ж числа, серед яких можна виділити форми з певними визначальними властивостями, котрі забезпечують розв’язання різних задач, що виникають перед розробниками обчислювальної техніки.
2. М-, Z-, М2-, ПР- і ЧР-форми забезпечують найбільш ефективне знаходження помилок великої кратності, а також пакетів помилок.
3. КН- і КО-форми доцільно використовувати для побудови відмовостійких функціональних вузлів і пристроїв пам’яті.
4. В тих випадках, коли рівень завад незначний і не треба знаходити помилки, можна зменшити надмірність р-кодів, використовуючи їх скорочені форми.
Література: 1. Лужицький В.А. Адитивні системи позиційного кодування математичних об’єктів // Вісник ВПІ. 1996. № 3. С.28-36. 2. Стахов А. П. Коды золотой
пропорции. М.: Радио и связь, 1984. 152 с. 3. Carlitz L, Richard Scoville, Hoggatt V. E., Jr. Fibonacci Representations // The Fibonacci Quarterly. 1972. Vol. 10, № 1. P. 1-28. 4. Стахов А.П. Алгоритмическая теория измерения и основания компьютерной арифметики // Измерение. Контроль. Автоматизация. 1988. № 2. С. 6-12.
Надійшла до редколегії 23.06.2000
Рецензент: д-р техн. наук, проф. Хаханов В.І.
Лужецький Володимир Андрійович, канд. техн. наук, доцент кафедри обчислювальної техніки Вінницького державного технічного університету. Наукові інтереси: рекурентні послідовності й їх застосування в обчислювальній техніці, цифрова обробка сигналів, ущільнення інформації, криптографічний захист інформації. Захоплення: поезія. Адреса: Україна, 21021, Вінниця, вул. Келецька, 84, кв. 196, тел.(0432)-43-30-93.
РИ, 2000, № 4
106
