CC BY
146МАТЕМАТИКА, ЛОГИКА И СЕМИОТИКА
Я.Г. Дорфман, В.М. Сергеев ФОРМАЛЬНАЯ ЛОГИКА КАК ЗНАКОВАЯ СИСТЕМА
В.М. Сергеев Необходимые вступительные пояснения1
Эта статья была написана ровно 30 лет назад, в 1983 г. В течение ряда лет мы безуспешно пытались опубликовать ее, но явно мешала ее очевидная междисциплинарность. Специалисты по математической логике слышать ничего не хотели о семиотике, семиоты сомневались в своей компетенции по части математической логики, помимо прочего всех пугала общая ориентация на когнитивную науку, о которой в СССР в эти годы только пробивались кое-какие слухи. Получить разрешение Главлита на вывоз текста для публикации за границей представлялось весьма проблематичным.
В 1986 г. безвременно скончался Я.Г. Дорфман - исключительно талантливый биолог, занимавшийся биологией развития, и, в частности, сильно интересовавшийся ее логическим описанием, что неудивительно, так как он закончил МФТИ.
Вскоре настали иные времена, и жизнь преподнесла множество парадоксов, для большинства читателей гораздо более интересных, чем парадоксы математической логики. Мысли о публикации статьи, наряду с публикациями многих других работ, мне пришлось оставить, да и печатать статью стало негде (первоначально она предназначалась для «Ученых записок Тартуского университета» - журнала где я печатал тогда большинство своих статей).
В марте этого года М.В. Ильин предложил мне на пару выступить на Роккановском семинаре в ИНИОНе, посвященном возможностям применения семиотики в социальных науках. В своей части выступления я упомянул о предлагаемой читателю статье, коротко изложив ряд ее тезисов,
1 См. также дискуссию [Математика и семиотика...]
44
после чего Михаил Васильевич любезно предложил мне ее наконец опубликовать.
Перечитав статью, я убедился что она, на мой взгляд (как это ни странно после 30 лет забвения), выглядит достаточно свежо, и не потеряла новизны. Я надеюсь, что и читатель найдет в ней кое-что интересное.
... Темнота, отмечаемая у него обычно, является следствием нескольких ревниво соблюдаемых им правил, приблизительно так же, как в области наук мы видим, что логика, аналогия и забота о последовательности приводят к представлениям, весьма отличным от тех, которые непосредственное впечатление делает для нас привычным - вплоть до выражений, легко переходящих за пределы нашей способности к воображению.
Поль Валери «Письмо о Малларме»
Введение
Одной из основных тенденций современной логики является построение формальных систем, состоящих из аксиом и правил вывода, позволяющих механически получать следствия. Обычно в качестве основы формальной системы выбирается одно или несколько логических отношений, экстрагированных из естественно-языковых рассуждений1.
В течение долгого времени формальная логика рассматривала преимущественно системы связанные с отношением включения элемента множества в класс и отношением предикации, которому легко дать теоретико-множественную интерпретацию, что позволяет получить теоретико-множественное обоснование формальной логики и рассматривать ее фактически как часть математики .
Наивная уверенность в том, что формализация одного или двух отношений выделенных из естественного языка позволит создать универ-
1 Одним из ярких примеров такого подхода к логике является различение Г. Фреге и Б. Расселом трех смыслов (бытие, тождество и предикация) естественно-языковой связки «есть» [Хинтикка, 1980]. Б. Рассел даже счел, что это «первый серьезный успех в реальной логике со времен греков» [Russell, 1914, p. 50].
2 Д. Гильберт и В. Аккерман начинают свою известную книгу [Гильберт, Аккерман, 1947] следующей фразой: «Теоретическая логика, называемая также математической или символической логикой, есть применение формального метода математики к области логики».
45
сальные средства получения нового научного знания (а ведь именно в этом качестве мыслилось функционирование математической логики в рамках программы, намеченной Д. Гильбертом, а также Б. Расселом и А. Уайтхедом в [Whitehead, Russell, 1910; 1912; 1913] стала исчезать после доказательства К. Геделем теоремы о неполноте арифметики и привело в настоящее время к существенно иному пониманию места формальных систем в исследовании принципов человеческого мышления1. Параллельно происходил процесс осознания роли семантики и прагматики в исследовании формальных систем [Семантика... 1981], что привело к построению огромного числа модальных логик [см., например: Фейс, 1974; Неклассическая... 1970]. Отметим, однако, что интуитивно приемлемая теоретико-множественная интерпретация модальных логик существенно отличается от теоретико-множественной интерпретации логики классов [Сергеев, 1984], а построение такой интерпретации в ряде случаев является весьма нетривиальной задачей.
Выбор такого отношения, как предикация, в качестве основы построения логики отнюдь не исчерпывает всех возможностей и, по-видимому, приводит к сильному обеднению ее содержания. А в рамках неевропейских культурных традиций известны логические системы, основанные на выделении других логических отношений в качестве базисных.
Особенно богатой в этом смысле является индийская логическая традиция2.
По-видимому, целесообразно рассматривать любую формальную логическую систему как «знаковую систему». Эту систему можно представить себе как результат применения своего рода «гомоморфизма», упрощающего систему отношений, существующую в естественном языке, т.е. искусственный язык с более простой грамматикой и семантикой, снимающей некоторые неопределенности и неоднозначности, существующие в естественном языке. Ряд выразительных возможностей естественного языка при этом утрачивается.
Естественно-языковую аргументацию можно рассматривать как средство трансформации знаний3, выраженных естественно-языковыми средствами [Сергеев, 1984]. Соответственно правила вывода в формальной системе трансформируют знания, выраженные средствами формальной системы, аксиомы же представляют из себя «базисное знание». Однако нетрудно заметить, что при таком подходе к формальной логике в центре внимания оказываются вопросы семантики и концептуального анализа (в
1 См. получившую очень большой резонанс и в определенном смысле подводящую итоги исследованиям в области формальных систем и искусственного интеллекта книгу А. Хофштаттера [Hofstadter, 1979].
2 Так, например, логическая система «навья-ньяя» основана на исследовании отношения «проникновения» [Инголс, 1975].
3 О фундаментальной роли понятий «знание» и «представление знания» в когнитивных науках см.: [Bobrow, Collis, 1975].
46
смысле Р. Шенка), которую традиционная математическая логика вообще пыталась изгнать из рассмотрения.
Отсутствует в традиционной математической логике и понятие модальности, т.е. способа существования объекта. Между тем логика существования является весьма сложным и запутанным предметом, уже в древности порождавшим самые разнообразные взгляды1. Способ существования математических объектов - по сей день весьма темный вопрос; ведь именно с ним связаны столь острые дискуссии об основаниях математики - например, борьба между «интуиционистами» и «формалистами» [Representation... 1975]. Разрубание «гордиева узла» путем признания только двух способов существования оппозиций «истина» - «ложь» существенно примитивизирует эту проблему.
Задачей настоящей работы является исследование формальных логических систем, в также возникающих в этих системах парадоксов с точки зрения семиотики.
Формальная логика и семиотические различения
Как для современной математической логики так и для семиотики основополагающими являются работы Г. Фреге [Фреге, 1977; Фреге, 1978]. Именно в этих статьях и была произведена чрезвычайно важная работа по логической семантике, сделавшая возможной быстрый прогресс математической логики, здесь же были выработаны и обоснованы основные понятия семиотики. На основании анализа естественно-языковых примеров Фреге сумел привести ясные логические аргументы для различения смысла, имени и денотата слова, провести разделение в логическом употреблении слов «вещь» и «понятие», однако это разделение не нашло в полной мере отражения в формальной логике. Основой формализма, исчисления предикатов, и исчисления высказываний стала другая идея Фреге.
В работе «Смысл и денотат» Фреге рассмотрел вопрос о денотате предложения. Он писал: «Итак, мы установили, что вопрос о денотате предложения тесно связан с вопросом о денотатах его частей, а этот вопрос можно ставить тогда, когда нас интересует истинно предложение или ложно. Мы вынуждены, таким образом, признать, что денотатом предложения является его истинностное значение - "истина" или "ложь", других_истинностных значений не бывает» [Фреге, 1977, с. 190]. Эта идея, представлялась в высшей степени спорной уже в то время, когда Фреге писал свои статьи.
Другой немецкий логик В. Виндельбандт высказывал следующие, как представляется, незаслуженно забытые, мысли по поводу логического анализа предложений: «Все предложения, в которых мы выражаем наши взгляды, разделяются, несмотря на видимое грамматическое их тождество,
1 Ср. например, «неподвижное бытие» Парменида, «диалектику пустоты» Нагард-жуны, «Эйдосы» Платона.
47
на два резко различающихся класса: на суждения и оценки. В первых высказывается связь двух содержаний сознания, в последних выражается отношение оценивающего сознания к представляемому явлению...» Виндель-бандт рассматривает оценку как приписывание суждению онтологического статуса. Кроме того, он обращает внимание на относительность различия между понятием и суждением: «Всякое соединение представлений, которое должно быть совершено в суждении, может в готовом виде быть сформулировано в понятии. А ведь в таком случае связующая функция в предложении и понятии одна и та же. При этих условиях традиционное деление на понятия и суждения оказывается несостоятельным с точки зрения обычной задачи логики, именно установления нормативной системы "форм мышления": это есть грамматическое, а не логическое деление». [Виндельбандт, 1904, с. 364]. Несмотря на то, что Виндельбандт не делал некоторых тонких различий, введенных Фреге, высказанные им мысли в соединении с аргументацией самого Фреге относительно различения денотата, смысла и имени делают в высшей степени неестественным качественное различие между денотатом имени и денотатом предложения. В конце концов, предложение - это имя объектной ситуации, которую естественно считать его денотатом, в то время как утверждение об истинности или ложности предложения есть оценка. Забегая вперед, отметим, что в математической логике наблюдается тенденция игнорировать различие между двумя указанными выше типами суждений. Подобная ситуация как и наличие всякого логически значимого, но не эксплицированного семантического различения открывает дорогу разнообразным парадоксам.
И наоборот, экспликация семиотических элементов, скрытых в естественно-языковом высказывании, делает невозможным их смещение, часто происходящее даже в естественно-языковых текстах. В частности подобная экспликация существенно проясняет проблемы, связанные с «парадоксами математической логики», которые во многом оказываются следствием слишком простой семиотической модели, лежащей в основе математической логики, модели не производящей даже полученных Фреге семиотических различений.
Можно сформулировать следующий семиотический принцип, на который, как нам кажется, должно опираться любое логическое исчисление: каждое различение смыслов знака, считающееся существенным при семиотическом анализе логической системы, должно быть эксплицировано в обо-значениях1.
В противном случае при формально логической записи не только не происходит прояснения естественно-языковых высказываний, но, напротив, смысл этих высказываний чрезвычайно затемняется. Дело в том, что в текстах на естественном языке правильное понимание смысла слова,
1 Весьма вероятно, что сколько-нибудь общая формальная система такого рода мало чем отличалась бы от естественного языка.
48
включая и ту его часть, которая определяет логику умозаключения, достигается погружением слова в соответствующий контекст, либо в текст добавляется метатекст (естественно-языковые фрагменты, управляющие способом понимания высказывания). И то, и другое в формальных текстах отсутствует. В идеале они являются контекстно-свободными (хотя в действительности это не всегда так, иногда используются неэксплицирован-ные правила понимания формальных текстов).
Семиотический анализ логических формализмов представляется нам весьма актуальной задачей, однако полный анализ такого рода чрезвычайно громоздок даже для простых формализмов. Здесь мы приведем лишь некоторые наиболее простые и очевидные примеры.
Парадоксы сокращенных обозначений
Хорошо известен широко употребляемый в математической логике способ обозначений, согласно которому простое написание некоторой формулы (например Р (х)) есть одновременно утверждение о ее истинности. Таким образом, с самого начала в формуле не отражены необходимые, вообще говоря (см. цитиров. выше работу Виндельбандта), различения суждения и оценки. Это не значит, что указанное различения полностью игнорируется. Однако отсутствие его явной экспликации приводит к заведомой двусмысленности, так как иногда необходимо использовать формулы безотносительно к утверждениям об их истинности (не говоря уже о том, что такое употребление формулы противоречит интуиции).
В случае достаточно сложного текста следить за различением подобных двусмысленностей без наличия большой практики становится очень трудно, да и при наличии таковой возможны логические ошибки. Контекстную зависимость смысла слов естественного языка можно рассматривать, таким образом, как механизм, эффективно препятствующий возникновению подобных трудностей. Кроме того, в естественных языках существуют специальные средства для необходимых семиотических различений, имеющие грамматический (например, артикль) или прагматический характер.
Представляет интерес на нескольких примерах проанализировать с семиотической точки зрения функционирование формально-логических систем. Рассмотрим фрагмент текста работы Гильберта и Аккермана, в котором вводятся аксиомы узкого исчисления предикатов [Гильберт, Ак-керман, 1947, с. 97].
«К этим аксиомам мы присоединим теперь в качестве второй группы две аксиомы для "все" и "существует"»:
е) (х) Б (х)^ (у); Б (у) ^ (Ех) Б (х).
49
Первая из этих аксиом означает «Если предикат Б выполняется для всех х, то он выполняется также для любого у».
Вторая формула читается так: «Если предмет Б выполняется для какого-нибудь у, то существует х, для которого выполняется Б».
Этот текст особенно интересен по следующим причинам:
1. В нем вводятся аксиомы.
2. Поясняется их естественно-языковое содержание, т.е. вводится способ понимания знаковой системы.
По замыслу основателей математической логики «. чего удалось достичь благодаря языку формул в математике, то же должно быть получено с его помощью и в теоретической логике, а именно: точная научная трактовка ее предмета. Логические связи, которые существуют между суждениями, понятиями и т.д. находят свое выражение в формулах, толкование которых свободно от неясностей, какие легко могли бы возникнуть при словесном выражении» [Гильберт, Аккерман, 1947, с. 17].
Именно поэтому особенно интересно сопоставить знаковое и словесное выражение для аксиом формальной системы.
Рассматривая приведенный выше фрагмент логического текста нетрудно заметить следующие его особенности:
знак Г (у) в формулах е) и А) трактуется по-разному и имеет два смысла. В е) - Г выполняется для любого у. В А) Г выполняется для какого-нибудь у.
По-видимому, различение этих смыслов связано с местом Б (у) в формулах - в одном случае - на месте консеквента, в другом - на месте антицедента. Различие в смысле, однако, очень велико и никак специально не оговорено.
Совершенно неясно, что имеется в виду в этих текстах под х и у. То ли это объекты, принадлежащие области индивидуумов, то ли это имена объектов, то ли имена ролей [Дорфман, Сергеев, 1983]. Неясно, различны ли объекты, обозначенные разными именами, а также какие из них потенциальны, а какие актуальны. По-видимому, х обозначает потенциальный объект, а у - актуальный.
Уже такой поверхностный анализ показывает, что чтение указанных формул предполагает определенный способ понимания формул, о котором в тексте ничего не говорится, хотя этот текст вводит аксиомы, т.е., обязан содержать интуитивно исчерпывающее описание способа понимания формул. Аналогичные примеры в [Гильберт, Аккерман, 1947] можно с легкостью умножить.
К сожалению, подобное пренебрежение семиотическими различениями и даже сознательная эксплуатация возникающих двусмысленностей заметно не только в «Основах теоретической логики» [Гильберт, Аккер-ман, 1947], являющейся одной из первых работ по математической логике.
50
В качестве другого примера рассмотрим язык SELF, предложенный Шмульяном для формализации феномена «самоописания», присутствующий в известном логическом «парадоксе лжеца» [Манин, 1979, с. 78].
«Алфавит SELF: E, * * (симметричные кавычки).
r (отношение ранга I); -)(отрицание).
Синтаксис SELF. К отмеченным выражениям принадлежат: ярлыки, экспонаты, формулы и имена.
Ярлык любого выражения Р - это *Р* (Р в кавычках).
Экспонат любого выражения Р - это Р *Р* («вещь с ярлыком»).
Формулы - это выражения вида r E... E *P* и - r E ... E *Р*.
Здесь Е стоит на К > 0 местах после r. Сокращенная запись:
r ек *Р* или - r Ек *Р*. Наконец, введем бинарное отношение на множестве всех выражений «быть именем». Оно определяется рекурсивно:
1. Ярлык Р является именем Р.
2. Если Р - имя Q, то ЕР - имя экспоната Q, т.е. имя выражения Q *Q*».
После этих определений утверждается, что «Е*Е* является одним из двух своих имен. Точно так же формула r Е* r Е говорит о самой себе» [Манин, 1979, с. 79]. Язык SELF представляется в семиотическом плане намного более продвинутым, чем формальный язык узкого исчисления предикатов. Он эксплицирует ряд семиотических различий, позволяющих описывать весьма тонкие логические конструкции.
Семиотический анализ приведенного текста, однако, немедленно выявляет тот факт, что символ Е в этом языке употреблен в двух совершенно различных смыслах:
1. Как семиотический оператор действующий на имя, т.е. выражение *Q*, и превращающий его в Е *Q* - имя экспоната Q в соответствии с (b)).
2. Как индивидуум, являющийся «отмеченным выражением» (его можно заключать в скобках).
Ясно, что в первом смысле Е как семиотический оператор является элементом метатекста, а во втором смысле - элементом текста.
Только эта двойственность смыслов символа Е и дает возможность получить «самоописывающееся» выражение r Е* r Е*, которое потом используется для доказательства упрощенного аналога теоремы Тарского о невыразимости истинности1. Заметим, что применение сформулированного выше семиотического принципа построения формальных систем исключает возможность написания в рамках идей, положенных в основу языка SELF, «самоописывающихся» выражений, которые получаются только путем введения знаковой двусмысленности.
1 При таком доказательстве теорема Тарского остановится теоремой о связи двух семантических неразличений в формальной системе: неразличение текста и метатекста и неразличение оценки «истина - ложь».
51
Семантические парадоксы
Хорошо известно [см., например: Фрейденталь, 1969], что «парадокс лжеца» парадоксом содержательной логики не является, т.е. может быть снят анализом прагматической стороны высказывания, именно, выяснением того, является ли данное высказывание элементом текста или «метатекста».
Появляется он лишь в рамках формальных систем, не эксплицирующих прагматику высказываний. Уже в работе «Основы теоретической логики» [Гильберт, Аккерман, 1947, с. 92) совершенно справедливо отмечалось, что так называемые «семантические парадоксы», к которым принадлежит «парадокс лжеца», «не затрагивают нашего исчисления (расширенного исчисления предикатов. - Я.Д., В.С.), так как оно не в состоянии выразить их чисто логический характер».
Остается только задать вопрос, насколько полезно формальное логическое исчисление, которое не в состоянии выразить логический характер утверждений, представляющихся важными с точки зрения содержательной логики и, как представляется, не содержащих никаких логических понятий выходящих за рамки этого исчисления.
Мы, таким образом, ясно видим семиотический недостаток, общий для многих систем формальной логики - отказ от полной экспликации смысловых различений вплоть до семиотических. Собственно говоря, это было бы совсем нестрашно, если бы формальные тексты рассматривались не как язык, а просто как сокращенная запись, сопровождаемая по мере надобности естественно-языковыми комментариями, как это имеет место в большинстве математических работ. Однако, такое употребление формализма, разрушило бы цель, ради которой он был построен, привело бы к отказу от «идеала» - построения формального языка, не зависящего от естественно-языковой интерпретации символики.
Фактически же, в силу того что идеальный формализм построить очень трудно, «неидеальные» формализмы использовались так, как будто они являются идеальными, т.е. естественно-языковые фрагменты доказательств опускались, становясь частью устной традиции, что делает работы по математической логике почти абсолютно герметичными для людей не принадлежащих к находящимся в неформальном общении между собой специалистам, которые именно при этом неформальном общении устанавливают единый способ понимания публикуемых ими текстов. Таким образом, вопрос о природе формальных логических систем естественно переносится из плана семиотики в план социолингвистики. К этому вопросу мы еще вернемся ниже.
Продолжим, однако, обсуждение парадоксов математической логики. Существуют весьма различные точки зрения на их роль в развитии этой науки. Одна из этих точек зрения приведена выше и отрицает позитивную роль парадоксов. Существует и прямо противоположное мнение [Н^аЛег,
52
1979], подчеркивающее их решающую роль в развитии математической логики.
Что касается проблемы разрешения парадоксов, то они не могут, по-видимому, быть «разрешены» в рамках существующих формальных систем, а вопрос о пользе построения формальных систем, в которых подобные парадоксы не возникают, зависит от доказательных возможностей подобных систем [Френкель, Бар-Хиллел, 1966].
Рассматривая «парадокс лжеца»1, можно заметить, что с точки зрения содержательной логики возможны различные подходы к его пониманию и, следовательно, устранению.
1. Последовательное различение текста и метатекста в высказывании.
2. Признание грамматически правильными только те высказывания, все элементы которых контекстно согласованны. В наиболее яркой форме контекстная несогласованность проявляется в следующей форме записи «парадокса лжеца»: «Высказывание, следующее за данным, истинное. Высказывание, предшествующее данному, ложно».
3. Последовательное различение структуры и оценки в высказывании в духе упомянутой выше работы В. Виндельбандта. При этом оценка не может рассматриваться как предикат, а именно такая ситуация имеет место в «парадоксе лжеца».
4. Принять «самоописывающиеся» выражения как интуитивно допустимый, особый класс выражений и попытаться научиться производить с ним формально-логические операции. Именно эта точка зрения принята в «Gjdel, Escher, Bach» и «Доказуемое и недоказуемое» [Hofstadter, 1979; Манин, 1979].
Мы видим, таким образом, что «разрешение» парадоксов зависит от научной позиции, занимаемой в рамках содержательной логики. Именно эта позиция и должна определять в соответствии с высказанным выше принципом 1 выбор формализма, в котором соответствующие парадоксы не возникают.
Логические парадоксы
Рассмотрим теперь пример так называемого «логического», а не «семантического» парадокса. Наиболее известен он в своей естественноязыковой форме: «Деревенский брадобрей бреет тех и только тех жителей деревни, которые не бреются сами», однако, имеет и теоретико-множественную формулировку [Френкель, Бар-Хиллел, 1966]. Хорошо из-
1 Критянину Эпимениду (VI в. до н.э.) приписывается высказывание: «Все критяне -лжецы».
53
вестно, что это выражение является не логическим парадоксом, а логически противоречивым определением1.
Смысл парадокса, по-видимому, не в логической противоречивости высказывания, а в чем-то еще. Френкель и Бар-Хиллел пишут «.это (логическое противоречие. - Я. Д., В. С.) мало способствует уменьшению парадоксальности полученного результата: тот факт, что не может существовать множества, состоящего в точности из всех объектов, удовлетворяющих четко определенному условию, отнюдь не кажущимся каким-то исключительным, а именно не содержащих себя в качестве элемента - пожалуй не менее противоречит здравому смыслу, чем прямое противоречие» [Френкель, Бар-Хиллел, 1966, с. 17].
Отметим в этом тексте критерий соответствия интуиции: «множество, состоящее в точности из всех объектов, удовлетворяющих четко определенному условию» и «не кажущемуся каким-то исключительным».
Вряд ли можно считать четко определенным условием «все множества, не содержащие себя в качестве элемента». Условие «несодержания себя» крайне слабое и опирается на семантически сомнительное использование одного и того же объекта актуально в двух взаимоисключающих ролях - части и целого. Что же касается «не кажущемуся чем-то исключительным», то это утверждение, по-видимому, следует принимать как признание того, что автор не видит этой сомнительности.
Далее в этой же работе подчеркивается: «С самого начала следует уяснить, что в традиционной трактовке логики и математики не было решительно ничего, что могло бы служить в качестве основы для устранения антиномии Рассела». Этот пассаж следует рассматривать как ясное указание на то, что парадокс Рассела носит не логический, а семантический характер. Действительно, и в приведенном выше фрагменте, он рассмотрен как не соответствующее интуиции противоречие, что, пожалуй, говорит о неразработанности интуиции в этом вопросе, а не о пороках логики, иными словами об отсутствии необходимых семантических категорий для его
1 В «Основании теорем множеств» [Френкель, Бар-Хиллел, 1966, с. 17] это сформу-лированно так: «Нет такого жителя деревни, который бреет всех тех и только тех жителей деревни, которые не бреются сами - результат, хотя может быть и несколько неожиданный для неподготовленного слушателя, но не более парадоксальный, чем, скажем, тот факт, что нет такого жителя деревни, который был бы одновременно и старше и моложе пятидесяти лет». Заметим, что это легко доказать, используя простую логическую формулу: пусть «у бреет х» выражено как хЯу, тогда логическая запись утверждения такова: л[{(- xRx) ^ жРр} л {(xRx)^- (xRp}] ¡ей
где и множество жителей деревни, Реи - брадобрей. Легко видеть, что формула является точным логическим эквивалентом естественно языковой записи и тождество ложно, так как содержит тождественно ложное выражение (-А^А) л (А^-А) в качестве одного из члена конъюнкции где А=рЯр.
54
понимания. Точно такую же критику мы наблюдали выше при рассмотрении «парадокса лжеца». Таким образом, вряд ли целесообразно разделять парадоксы на логические и семантические - все они, по нашему мнению, семантические, т.е. могут быть устранены разработкой семантики, что, однако, является задачей не формальной логики, исследующей формальные системы, а содержательной логики, вырабатывающей новые смыслы и правила работы с ними.
Для содержательной логики парадокс свидетельствует о необходимости выработки некоторых новых различений смысла. После того как такое различение выработано, построение формальной системы, учитывающей это различение, может быть осуществлено в духе принципа 1 и является технической задачей. Каковы бы, однако, ни были смысловые различения в рамках логической семантики, лежащей в основе некоторой формальной системы, могут найтись выражения не интерпретируемые в рамках этой семантики, т.е. воспринимаемые как парадокс. Такие случаи должны служить побудительным мотивом не просто для построения новых формальных систем, в которых подобные парадоксы не появляются, но и, главным образом, для прояснения и уточнения семантики понятий, на которой строится парадокс. Без разработки новой семантики оперирование с формальными системами превращается в некий род «гадания», т.е. в средство стимулирования интуиции.
Мы видим, таким образом, что на первый план в исследованиях по формальной логике выдвигается вопрос о зависимости доказательных возможностей формальной системы от ее выразительных средств, т.е. от ее базисной семантики и эксилицированных в рамках построенного формализма различений смысла.
Парадоксы логического вывода
Мы можем констатировать, что в основе построения формальной логики лежит идея, состоящая в том, что строгость в рассуждениях может быть достигнута упрощением семантики и неполным различением используемых смыслов, но скомпенсированных механичностью вывода. При этом под правилами вывода понимаются правила знаковой подстановки.
Существенное упрощение семантики знака импликации как истинностной таблицы по сравнению с его естественно-языковой интерпретацией «если - то» немедленно привело к появлению парадоксов материальной импликации, замеченных Льюисом и с тех пор многократно обсуждаемых. Однако все эти обсуждения касались в основном построения формальных систем с правилами логического следования, уничтожающими парадоксы материальной импликации, и лишь в малой степени касались вопросов собственно семантических. Так, например, неклассическая теория логиче-
55
ского следования, рассмотренная в «Общей теории логического следования» [Сидоренко, 1973] рассматривает высказывания как логические атомы, обладающие истинностными значениями «истина» или «ложь», а сама теория строится с помощью некоторых ограничений, наложенных на структуру формул. «Формула хьу является доказуемой: 1. В если и только если х^у - тавтология двузначной логики, такая, что в у нет пропозициональных переменных, отсутствующих в х (сильное следование); 2. В 82 если и только если х^ у - тавтология и при этом х и у имеют по крайней мере одну общую переменную (ослабленное следование); 3. В 83 если и только если х^ у тавтология и при этом в х нет переменных, отсутствующих в у» [Сидоренко, 1973, с. 26].
В теории логического следования утверждение хьу верно, если и только если истинность х суть достаточное условие истинности у, а истинность у - необходимое условие истинности х. Теория логического следования избавляет от некоторых парадоксальных формул материальной импликации, но некоторые интуитивно-парадоксальные формулы все же остаются.
Вместе с тем существующие «неклассические» теории логического следования несвободны от того же недостатка, что и классические. Они пренебрегают исследованием семантики естественно-языковой связки «если. то». Между тем такое исследование показывает наличие модальности в этой связке, а также наличие в ней не только оценочной, но и концептуальной связи. Вывод в математических рассуждениях - это утверждение о правилах трансформации семантических структур, или структур знания. Распространения же оценки с одного математического выражения на другое без анализа его содержания - чисто формальный прием, на основе которого нельзя ожидать получения хотя бы минимального соответствия формального вывода с интуитивным пониманием результативного умозаключения. Это в настоящее время стало совершенно очевидным в связи с развитием теории искусственного интеллекта.
Суммируя сказанное, мы можем обнаружить в использовании формальных языков следующие особенности:
1. Стремление к упрощению знаковых средств.
2. Переход от знаковой «избыточности» по отношению к смыслу к знаковой недостаточности, резко поднимающее важность знания «имплицитных» способов понимания существенной зависимости знака от контекста.
3. Значительная аграмматичность.
4. Тенденция рассматривать формальную логику как «междисциплинарный язык науки» особенно четко проявившаяся у последователей «Венского кружка».
Формальная логика и социолингвистика
Интересно рассмотреть социолингвистические корреляты описанного явления. Нам представляется, что процесс распространения формальных
56
логических систем в качестве «междисциплинарных языков науки» имеет много общего с хорошо известным в социолингвистике процессом появления «пиджин-языков»1. Пиджин-языки характеризуются крайним упрощением структуры. Развитие их приводит к образованию так называемых «изолирующих структур». Утрачиваются морфологические элементы, различающие числа и падежи в именах, местоимениях и прилагательных, видо-временные отношения в глаголах. Это упрощение, однако, не приводит к упрощению коммуникации. Скорее, наоборот, в креольских языках, развившихся из пиджинов, редуцированная грамматика, фонология и лексика с необходимостью несут ту же семантическую нагрузку, что и в «полных» языках за счет совмещения значений. Возрастает, например, роль тона, который начинает нести грамматическую и семантическую нагрузку.
На наш взгляд, процессы пиджинизации в естественных языках сильно напоминают то, что происходит при формализации логики. Стремление использовать максимально простую знаковую систему привело к пиджинизации концептуальной логики. Некоторые принципиально важные концептуальные и семантические различения не нашли своего выражения в знаковой системе языка, что чрезвычайно затрудняет его понимание. Само по себе это было бы совсем не страшно, если бы выражения формальных логических систем использовались только в той области, где существует достоверный контроль над ними со стороны «логической интуиции», т.е. неосознанно интерпретированной концептуальной логики. К сожалению, весьма часто выражения формальных систем используются далеко за пределами логической интуиции. В качестве примера приведем рассмотренное в работе Крипке выражение:
~ □ ((АА0~А) " (~А*«А))2,
относительно которого автор пишет, что оно «не общезначимо в но не имеет контрмодели с конечным деревом» [Крипке, 1974, с. 290].
Логическая интуиция, связанная с модальностями «возможно» и «необходимо» вообще развита весьма слабо. Для ее развития необходима значительная работа в области лингвистической семантики и естественноязыковой логики, без этого мы просто не в состоянии приписать смысл подобным выражениям3.
1 Язык пиджин - это язык с интуитивно ограниченными коммуникативными функциями и редуцированной структурой, язык не родной ни для кого их говорящих на нем. Образуются языки пиджин естественным путем, в результате пиджинизации какого-либо языка, т.е. ломки и редукции его.
2 Здесь □ - необходимо, 0 - возможно, — отрицание.
3 Интересно заметить, что существуют естественные языки, предложения которых настолько многозначны, что они непонятны без сопровождающих текст танцев (язык аранту).
57
Аксиомы формальных систем являются экспликацией логической интуиции и, вообще говоря, проверять их следует не по их следствиям (получающиеся формулы легко оказываются неинтерпретируемыми, лежащими за пределами логической интуиции), а путем создания концептуальных моделей логики [Ригер, 1980]. В противном случае деятельность по развитию формальных систем начинает приобретать характер «гадания», в которой получающиеся формальным выводом выражения рассматриваются как средство для стимулирования логической интуиции. Семантические модели такого рода деятельности построены в «Описание иной семиотической системы с простым синтаксисом» [Лекомцева, Успенский, 1965]. Заметим, однако, что подобная деятельность имеет весьма слабое отношение к логике. Фактически образуется нечто вроде «сакрального языка»1.
Концептуальная логика
Возникает, однако, вопрос: где собственно искать концептуальные модели и как с ними работать? На наш взгляд, существует два основных источника концептуальных моделей: естественный язык и научные теории.
Заметим, что в некотором смысле можно было бы говорить об одном источнике, ведь научные теории являются некоторым расширением естественного языка, кроме того, как одно, так и другое - средства описания мира. Действительно следует в конечном счете именно мир рассматривать как источник концептуальных моделей. Однако в процессе развития естественного языка огромное количество операционных моделей способов действия, функциональных смыслов оказалось интериоризиро-ванным сознанием человека, так сказать, застыло в языке, оказалось его действенной, но неосознанной частью. Такова грамматика языка, таковым являются множество абстрактных понятий, которые мы постоянно употребляем, но эксплицировать точный смысл которых представляется весьма сложной задачей (ср. приведенные выше примеры, связанные с модальностями).
Язык оказывается огромным запасом знаний, аккумулированных в результате интериоризации способов человеческой деятельности. В этом смысле каждый естественный язык является огромной «библиотекой знаний», носителем уникальных логических средств. Именно поэтому такой большой интерес представляет исследование грамматической и логической структур малых языков, на которых иногда говорят всего десятки человек.
1 Известно, что пиджин-язык вообще легко «сакрализуется». Так, хотя язык ток-писин, распространенный в Папуа - Новой Гвинее, появился всего 50-60 лет назад, уже были записаны мифы, согласно которым этот язык бог-орел принес героям папуасского эпоса.
58
Так, например, принципиально новый взгляд на грамматику естественных языков возник в результате изучения языка «лису», имеющего в основе грамматики не отношение «подлежащее» - «сказуемое», а отношение «топик» - «комментарий» [Ли, Томпсон, 1982]. Выше мы видели, что создание формальных логических систем тесно связано с экспликацией логических отношений из естественных языков. Так, предикативность есть по существу превращение в основное логическое отношение грамматического отношения «подлежащее» - «сказуемое». Наличие языков с совершенно иной грамматической структурой наводит на мысль, что использование предикативности в качестве основного отношения логики является далеко не таким естественным, как этого можно было ожидать, изучая, скажем, только индоевропейские языки. В настоящее время исследование логики естественного языка стало хорошо оформившимся научным направлением, которое можно рассмотреть как одно из составных частей логики. Однако извлечение логических концепций из естественных языков, являющееся, по преимуществу, лингвистической работой, не исчерпывает возможных способов построения концептуальных моделей. Существуют внутренние возможности развивать концептуальные модели, исходя из уже имеющихся. Именно такой способ используется обычно при построении новых физических теорий. Некоторые из них требуют радикального отказа от ставших привычными концептуальных моделей, что заставляет некоторых ученых говорить о «непредставимости» явления. Следует решительно возразить мнению, что какое-либо явление может быть «непредставимо», «непредставимость» - это отсутствие соответствующей концептуальной модели или отказ ее принять. Именно так следует понимать, например, споры происходившие вокруг интерпретации квантовой механики в 20-х годах ХХ в. Отказ А. Эйнштейна признать результаты квантовой механики и его утверждение, что «Бог не играет в кости», были неприятием разработанной в рамках квантовой механики логической по существу концепции двухуровневой реальности, одним из уровней которой являлся набор возможных состояний системы, ее потенций (волновая функция), а другим - набор актуальных состояний прибора, рассматриваемого как классическая система.
Разработанный Бором «принцип дополнительности» являлся логическим открытием [Мусхелишвили, Сергеев, 1983], скачком в новый мир концептуальных моделей. Изобретенные логические средства оказываются крайне полезными не только при рассмотрении физических систем, но и при описании живых объектов [Дорфман, Сергеев, 1983], при объяснении психических явлений. Такие концептуальные модели, как принцип дополнительности, принцип соответствия, принцип относительности, обладают внутренней динамикой развития. Будучи очищеными от семантики конкретных систем, к которым они применялись, эти принципы становятся логическими средствами чрезвычайной общности, которые могут быть положены в основу формальных логических систем. Таким образом, наряду
59
с логикой естественного языка, существует концептуальная логика. Существует также теория формальных логических систем. На наш взгляд, если рассматривать ее как часть логики, а не как часть математики (во втором случае в центре внимания оказываются теоремы формальной системы) то основной задачей этой области знания является изучение вопроса о взаимосвязи между средствами выражения и различения данной системы смыслов и возможностью доказательства в ее рамках различных классов утверждений. Именно таково содержание наиболее известных теорем математики (например, первой и второй теорем Геделя, теоремы Тарского и т.п.). При этом необходимо проводить различие между формальным и концептуальным выводами. Формальный вывод - это подстановка, а концептуальный вывод - это трансформация концептуальной или семантической структуры утверждения по определенным правилам, принадлежащим концептуальной, а не формальной логике.
Путем, ведущим к концептуальной логике, является построение семиотических моделей. Семиотические модели - это структурные представления о том, как связаны и взаимодействуют друг с другом такие сущности, как знак, объект и смысл; суждение об оценке; текст и мета-текст и т.п. Еще раз подчеркнем, мысленное оперирование семиотическими структурами, так же как и вообще оперирование понятийными, концептуальными структурами, подчиняется законам и правилам, имеющим мало общего с законами и правилами преобразования в формальных системах.
Таким образом, в соответствии с основным семиотическим различением «знак-смысл-объект» представляется целесообразным различать также логику формальных знаковых преобразований, концептуальную логику и логику оперирования конкретным образами объектов. В естественно-языковом рассуждении эти три логики совместно, хотя и не на равных правах, управляют потоком умозаключений. В каждом конкретном случае соответствующие слои мышления могут быть нагружены и эксплицированы в большей или меньшей степени. Однако попытки для сколько-нибудь широкого класса рассуждений обойтись лишь одним из этих семиотически различимых средств представляются несостоятельными и неизбежно ведут к парадоксальным и неинтерпретируемым, т.е. бессмысленным результатам.
Литература
Виндельбандт В. Прелюдии. - СПб.: Издание Д.Е. Жуковскаго, 1904. - 374 с. ГейтингА. Интуиционизм. - М.: Мир, 1965. - 200 с.
Гильберт Д., Аккерман В. Основы теоретической логики. - М.: Гос. изд-во иностранной литературы, 1947. - 306 с.
60
Дорфман Я.Г., Сергеев В.М. Морфогенез и скрытая смысловая структура текстов // Вопросы кибернетики. Логика рассуждений и ее моделирование / Под ред. Поспелова Д. А. -М: ВИНИТИ, 1983. - C. 137-147.
ДьячковМ.В., Леонтьев А.А., Торсуева Е.И. Язык Ток-Писин. - М.: Наука, 1981. - 72 с.
ИнголсД.Г.Х. Введение в индийскую логику навья-ньяя. - М.: Наука, 1975. - 238 с.
Крипке С.А. Семантический анализ модальной логики // Фейс Р. Модальная логика. - М.: Наука, 1974. - 520 с.
ЛекомцеваМ.И., Успенский Б.А. Описание одной семиотической системы с простым синтаксисом // Ученые записки Тартусского гос. ун-та. - 1965. - Вып. 181: Труды по знаковым системам: Вып. 2. - С. 94—106.
Ли Ч.Н., Томпсон С.А. Подлежащее и топик: новая типология языков // Новое в зарубежной лингвистике. - М.: Прогресс, 1982. - Вып. 11. - С. 193-235.
Манин Ю.И. Доказуемое и недоказуемое. - М.: Советское радио, 1979. - 168 с.
Математика и семиотика: Две отдельные познавательные способности или два полюса единого органона научного знания? // Настоящее издание.
Мусхелишвили Н.Л., Сергеев В.М. Контекстная семантика понятий и зарождение логических парадигм // Текст: семантика и структура. - М.: Наука, 1983. - С. 285-295.
Неклассическая логика / Отв. ред. П.В. Таванец. - М.: Наука, 1970. - 384 с.
Ригер Ч. Концептуальная память и умозаключение // Концептуальная обработка информации / Под ред. Р. Шенк. - М.: Энергия, 1980. - С. 152-277.
Семантика модальных и интенсиональных логик / Под ред. В.А. Смирнова. - М.: Прогресс, 1981. - 424 с.
Сергеев В. М. Структура диалога и неклассические логики // Ученые записки Тартусского гос. ун-та. - 1984. - Вып. 641: Труды по знаковым системам: Вып. 17. - С. 24-32.
Сидоренко Е.А. Общая теория логического следования // Теория логического вывода. - М.: Наука, 1973. - С. 14-50.
Фейс Р. Модальная логика. - М.: Наука, 1974. - 520 с.
Фреге Г. Понятие и вещь // Семиотика и информатика. - М., 1978. - Вып. 10. - С. 188-201.
Фреге Г. Смысл и денотат // Семиотика и информатика. - М., 1977. - Вып. 8. - С. 181-210.
ФрейдентальХ. Язык логики. - М.: Наука, 1969. - 135 с.
Френкель А., Бар-Хиллел И. Основания теорем множеств. - М.: Мир, 1966. - 557 с.
Хинтикка Я. Связка есть, семантические пары и семантическая относительность // Логико-эпистемологические исследования. - М.: Прогресс, 1980. - С. 310-354.
Hofstadter D. Godel, Escher, Bach: An eternal golden braid. - N.Y.: Basic books, 1979. - 777 p.
Representation and understanding: Studies in cognitive science / D. Bobrow, A. Collis (eds.). -N.Y.: Academic press, 1975. - 427 p.
Russell B. Our knowledge of the external world. - L.: Allen and Unwin, 1914. - 251 p.
WhiteheadA.N., Russell B. Principia mathematica. - Cambridge: Cambridge univ. press, 1910. -Vol. 1. - 666 p.
WhiteheadA.N., Russell B. Principia mathematica. - Cambridge: Cambridge univ. press, 1912. -Vol. 2. - 772 p.
Whitehead A.N., Russell B. Principia mathematica. - Cambridge: Cambridge univ. press, 1913. -Vol. 3. - 491 p.
61
