CC BY
68
PHYSICO-MATHEMATICAL SCIENCES
Formalism of procedure of Kollatts 3N+1
Makarov L. (Russian Federation) Формализм процедуры Коллатца 3N+1 Макаров Л. М. (Российская Федерация)
Макаров Леонид Михайлович /Makarov Leonid - кандидат технических наук, профессор, кафедра автоматизации предприятий связи, Санкт-Петербургский государственный университет телекоммуникаций им. проф. М. А. Бонч-Бруевича, г. Санкт-Петербург
Аннотация: натуральный ряд чисел обладает замечательными свойствами, для которых известны аксиоматические правила создания счетных множеств. Использована процедура Коллатца, преобразования натурального числа. Предложен алгоритм формального исполнения процедуры.
Abstract: the natural number sequence possesses remarkable properties for which axiomatic rules of creation of calculating sets are known. Kollatts's procedure, transformations of natural number is used. The algorithm offormal execution ofprocedure is offered.
Ключевые слова: натуральный ряд чисел, гипотеза Коллатца, алгоритм трансформации натуральных чисел.
Keywords: natural number sequence, Kollatts's hypothesis, algorithm of transformation of natural numbers.
Натуральные числа известны давно. Это обстоятельство отражено в различных научных дисциплинах. Гипотеза Коллатца формирует представление о возможности преобразования любого натурального числа в некоторую последовательность элементов, наделенных определенными значениями.
Процедура Коллатца оперирует набором понятий: начальным элементом натурального ряда чисел и набором актов, получаемых при трансформации избранного числа. Процедуру Коллатца для трансформации элемента числового ряда запишем в виде:
п/2 ^ Если п четное
■г 1 (1)
3п +1
• Если п нечетное
2
Где ап - натуральное число с порядковым номером п.
Естественная направленность развертки значений числового ряда хорошо согласуется с физической парадигмой установлением потока событий. Такая физическая модель пространственно-временного континуума устанавливает возможность фиксации элементарных актов как проявлений сложных - составных событий.
Положим, что любое натуральное число отождествляется с некоторым событием, свершение которого осуществляется за определенное время. В таком случае интерпретация процедуры Коллатца, представленная набором актов, получает физическое обоснование, хорошо наблюдаемое на практике.
Можно допустить, что если все элементы натурального ряда взаимно связаны и существует правило перечисления, то должна быть связь между сериями актов, соотносимых с конкретным числом натурального ряда. Другими словами, процесс
произвольного выбора числа натурального ряда и серии актов, соотносимых с этим числом, должен:
1) устанавливать возможность применить выражение (1) к любому натуральному числу;
2) устанавливать наличие набора элементарных актов, позиционируемых по выражению (1), обладающих единичным финишным элементом для любого натурального числа;
3) устанавливать свойство бесконечности суммы наборов элементарных (событий) актов.
Представленные три тезиса определяем в качестве постановки проблемы Коллатца.
Рассмотрим первый тезис. Используя введенные понятия, констатируем: номер элемента соответствует значению а = п. Применим выражение (1) к начальным элементам числового ряда. Установим правило нумерации элементарных актов Г. , численные значения которых определяют последовательно, посредством
трансформации натурального числа А по выражению (1). Особенностью процедуры
(1) является формирование финишного элемента со значением единица. Для набора актов, полученных по выражению (1), введем показатель:
к
чп = Е г (2)
] = 2
Где ] - номер акта.
Принимаем в качестве аксиомы возможность воспроизведения любого элемента натурального ряда чисел [4]. Отмечаем, что применение к любому элементу числового ряда выражения (1) не имеет ограничений. К основным действиям над числами относят сложение, вычитание, умножение и деление. Все арифметические операции допустимы. Это постулируется набором аксиом арифметики Пеано [3]. В таком случае, если нет ограничений на трансформацию натурального числа, то выражение (1) применимо, а, следовательно, имеется возможность реализовать выражение (2). В таком случае констатируем, что для любого натурального п всегда найдется параметр Ч .
Первое положение гипотезы доказано.
Рассмотрим второй тезис. Представленные результаты позволяют констатировать, что для любого натурального Ап всегда найдется значение Ч , пара которых
формируют ряд: 2тап = (ап_х + Чп_х), где п = [1,2,3,....}; и т = [0,1,2,3,......}.
Аналогичное правило конструируется для нечетных чисел натурального ряда. Выделим нечетные элементы ряда:
ап ^ аи ^ /(аи ) ^ Ь }к ^ Чи .
Тогда имеем:
аи = и;
Чи = ((3и + 1) + Чзи+1) где и = [1,3,5,7,.........,}.
Общим заключением по этой позиции является то, что установленные формальные правила обнаружения наличия численного значения параметра q гарантируют существование набора элементарных актов, обязательно содержащих финишный элемент, равный единице.
Второе положение гипотезы доказано.
Рассмотрим третий тезис. По условию рассматривается натуральный ряд чисел. Сумма натуральных чисел бесконечна. Такой ряд расходится. Каждое натуральное число посредством итерационной процедуры трансформируется в набор актов -элементарные события. Тогда имеем набор параметров, такой что:
lim ап = да ; lim qn = да ; lim аи = да ; lim qu = да.
п^да n ^да u ^да u ^да
Данные выражения свидетельствуют, что ряды значений расходятся. В таком случае суммы наборов элементарных актов бесконечны.
Третье положение гипотезы доказано.
Полученные результаты устанавливают формальные правила применения процедуры Коллатца к любому элементу натурального ряда чисел. Сущность представленной Колатцем процедуры трансформации натурального числа можно рассматривать как декларацию существования элементарных событий. Физическая сущность такого явления, как событие, неразрывно связано с пространственно-временным континуумом. Событие и элементы события, взаимно связанные понятия, которые в иллюстративной и наглядной форме давно известны и позиционируются натуральным числовым рядом.
Представленный материал устанавливает возможность создать бесконечные серии событий на основе произвольно выбранного натурального числа. Формализм итерационного правила построения серии событий декларирует наличие возможности использования процедуры Коллатца для всех элементов натурального ряда чисел без исключения.
Литература
1. Коллатц Л. Функциональный анализ и вычислительная математика. М., Мир, 1969.
2. Фихтенгольц Г. Основы математического анализа. М., 2008 г.
3. Электронный ресурс. Gerhard Opfer An analytic approach to the Collatz 3n + 1 Problem. Режим доступа: http://preprint.math.um-hamburg.de/public/papers/hbam/hbam2011-09.pdf.
4. Макаров Л. М. Имплицитная модель базы знаний, 64 Международная научно-техническая и научно-методическая конференция, Изд-во СПбГУТ, 2012, С. 67-69.
