CC BY
12
УДК 372.8
ФОРМАЛИЗАЦИЯ И КОСНОСТЬ МЫШЛЕНИЯ ПРИ ПРЕПОДАВАНИИ КЛАССИЧЕСКИХ ДИСЦИПЛИН
12 3
С.А. Лившиц , С.С. Усачев , Д.Т. Суючева
казанский государственный энергетический университет, г. Казань, Россия 2Национальный исследовательский университет «Московский Энергетический Институт (Технический Университет)», г. Москва, Россия 3Казанский инновационный университет имени В.Г. Тимирясова (ИЭУП),
г. Казань, Россия semen19772004@mail.ru
Резюме. Статья посвящена современной системе высшего образования и новым требованиям, предъявляемым к профессии преподавателя высшей школы в связи с присоединением России в 2003 году к Болонскому процессу. Авторы анализируют возможности решения вопросов, связанных с преподаванием дисциплины «математика», и вопросами, связанными с адаптацией школьных знаний к системе высшего образования. В статье на примерах рассматриваются различные решения математических задач с учетом многообразности форм и вариантов.
Ключевые слова: дисциплина математика, единый государственный экзамен, вариативность решения математических задач.
FORMALIZATION AND BONTH OF THINKING IN TEACHING CLASSICAL
DISCIPLINES
S.A. Livshits1, S.S. Usachev2, D.T. Suyucheva3
JKazan State Power Engineering University, Kazan, Russia 2National Research University "MEI", Moscow, Russia 3Kazan State University of Innovation named after V.G. Timiryasova (IEUP),
Kazan, Russia
semen19772004@mail.ru
Abstract. The article is devoted to the modern system of higher education and new requirements for the profession of a teacher of higher education in connection with the accession of Russia in 2003 to the Bologna process. The authors analyze the possibilities of solving problems related to the teaching of the discipline "mathematics" and the questions connected with the adaptation of school knowledge to the system of higher education.
In the article, by examples, various solutions of mathematical problems are considered taking into account the diversity of forms and variants.
Keywords: discipline of mathematics, uniform state examination, variability of solving mathematical problems.
Введение. С учетом необходимости интеграции национальной образовательной системы в мировую Россия в 2003 году присоединилась к Болонскому процессу, в связи с чем в национальном образовании произошли изменения, связанные с
103
переориентацией на индивидуализацию учебного процесса, усилением междисциплинарной интеграции и необходимостью адаптации вузов к рыночной среде. Переход средней школы на единый государственный экзамен предъявляет новые требования к преподаванию, что в свою очередь отражается на конечных знаниях абитуриентов высших учебных заведений. В свою очередь, повышение качества образования у выпускников высшей школы ставит перед профессорско -преподавательским составом новые цели. В наше время преподавательская деятельность в высшем образовании совмещает в себе высокую степень автономности, повышенную степень профессиональной ответственности, и сочетание функций педагога и исследователя, то есть предполагает способность студентов к самостоятельному изучению материала. Преподаватель в данном случае высту пает в роли консультанта, который помогает разобраться в наиболее сложных вопросах. Таким образом, формирование грамотности и логического мышления у школьника -основа успешной и эффективной подготовки будущих специалистов в вузах [1].
Методы и задачи. Преподаватель вуза должен владеть основами научно -методической и учебно-методической работы, методами и приемами устного и письменного изложения учебного материала, а также методами формирования навыков самостоятельной работы студентов. Компетенции преподавателя определяются наличием педагогических умений и навыков, а также умением проводить занятия с максимальной мотивацией к познавательной деятельности. К важнейшим качествам личности преподавателя относятся: интерес и любовь к педагогическому труду, организаторские способности, справедливость и доброжелательность. Система обязательного единого государственного экзамена (ЕГЭ) имеет ряд как положительных, так и отрицательных моментов. Например, некоторые вопросы представленные на ЕГЭ, существенно отличаются от того что в свое время освоили сами преподаватели в школе и в вузе [2, С. 123-135; 3^5]. Студенты иногда с удивлением понимают, что не хуже преподавателя разбираются в том или ином разделе предмета, не по глубине понимания, а именно по умению пользоваться готовыми схемами при получении ответов. Поэтому одной из задач преподавателя при первом знакомстве с группой является мотивирование студентов к дальнейшему обучению. Данная задача является ключевой, и ее решение способствует налаживанию конструктивного общения с группой. Ее решение возможно при помощи различных методов и методик. Одним из хорошо зарекомендовавших себя приемов служит выбор, какой либо известной темы и рассмотрение ее с не стандартной стороны. В качестве примера можно рассмотреть такой предмет как «математика» и тему дисциплины «Показательные уравнения и неравенства». Задание по данной теме присутствуют в ЕГЭ по дисциплине «математика» и на первый взгляд вполне успешно осваиваются обучающимися. Однако есть трудности, которые могут возникнуть при решении таких задач [6^8].
Основные результаты. Можно рассмотреть несколько видов показательных уравнений и неравенств (показательное уравнение с основанием константа, показательное неравенство с основанием больше или меньше 1, показательное уравнение с переменным основанием, показательное неравенство с переменным основанием). Можно даже показать различные подходы к решению (как известные, так и не известные), адаптированные для школьника, и на живых примерах продемонстрировать преимущества такого подхода при решении задач, встающих в настоящее время перед современным инженером [9; 10].
Вчерашний школьник рассматривает показательную функцию сх только при с > 0 и с Ф1, в то время как никаких разумных аргументов, сужающих область определения данной функции привести не удается.
Рассмотрим решение показательного уравнения с постоянным основанием: С (х) = с№ (х ^. Так как основания в правой и левой части уравнения одинаковы, то для превращения имеющегося уравнения в тождество необходимо, чтобы совпадали и степени в правой и левой части ( V(x) = №(х)).
Пример 1. 2х = 2х2 3x 3 Ответ: 1; -3.
Совершенно аналогично решался бы пример с отрицательным основанием.
Пример 2. (- 2)х =(- 2)х2+3х-3 Ответ: 1; -3.
Соблюдая корректность необходимо проверять полученные ответы подстановкой. Особо хочется отметить что если С=0, 1, -1, то имеющееся уравнении решается несколько по другому
Пример 3. 1х = 1х2 3x 3
Ответ: х-любое
Пример 4. 0х = 0х2 3x 3
Решение: тут необходимо, чтобы х и х2+3х-3 были положительными числами, поэтому для решения данного уравнения будет необходимо решить неравенства х>0
и х2+3х-3>0
(
Ответ: х е
72! - 3 2
Пример 5. (- 1)х =(- 1)х2+3х-3
Решение: тут необходимо чтобы х и х2+3х-3 были бы целыми числами одной четности либо рациональными дробями в которых и числитель и знаменатель являются нечетными числами (запись ответа в числовом виде сопряжена с определенными сложностями).
Таким образом, можно показать, что даже решение показательных уравнений в общем случае, т.е. без наложения жестких требований на область допустимых значений (ОДЗ), является сложной математической проблемой, выходящей за рамки школьного курса и требующей более тщательного изучения.
Для более полного погружения в предмет с целью обозначения новых горизонтов у учащегося целесообразно рассмотреть решение показательных уравнений с переменным основанием. Рассмотрим подходы к решению таких
уравнений. При решении уравнений вида и(х)г(х) = и(х)ж(х) зачастую рассматривают
лишь случай: V(x) = №(х) в то время как для полного решения получившегося
уравнения необходимо рассмотреть все случаи приведенные ниже, безусловно учитывая ОДЗ.
1. V(x) = № (х).
2. и (х) = 0
3. и (х) = 1
4. и (х) = —1
При рассмотрении вышеперечисленных случаев особую осторожность необходимо соблюдать при рассмотрении случаев 2 и 4. При рассмотрении второго случая и нахождении решения х0 соответствующего уравнения необходимо проверить V(х0)> 0, №(х0)> 0 . При рассмотрении четвертого случая и нахождении
решения х0 соответствующего уравнения необходимо выполнение условий V(х0) и №(х0) у которых целые числа одинаковой четности (см. [1]) или рациональные числа у которых числители и знаменатели являются нечетными числами. Например, подойдет вариант
3 9
V(хо) = - , №(хо)= - ,
который также является решением уравнения. В случае
V (хо )= 2 , № (хо )= А,
не ясно, считать ли его решением, но это видимо уже дискуссионный вопрос).
Рассмотрим примеры, при решении которых актуальны те или иные приведенные варианты:
Пример 6. Решите уравнение:
(25 - х 2 )*
>/25-
х 2
Решение: Приведем пример к виду (25-х2)* =(25-х2) 2 .
Нахождение решений данного уравнения возможно лишь в случае (25-х2)> 0 т.е. х е(- 5;5).
Согласно приведенной выше методике рассмотрим четыре случая:
1. и (хГ(х) = и (х)№ (х) ^ V (х) = № (х),
1
х = — . 2
2. и (хГх)= и (х)№ 4 ^ и (х) = 0,
(25 - х2 )= 0.
х = 5 х = -5
Корень не входит в ОДЗ. Корень не входит в ОДЗ.
3. и (x)V (х) = и (х)ш (ч) ^ и (х) = 1, (25 - х2 )= 1.
х=424 х = -424
4. и (х)^х)= и (х)№ (ч) ^ и (х) = -1, (25 - х2 )=-1.
х=426 х = -426
Корень не входит в ОДЗ. Корень не входит в ОДЗ.
Ответ: х1 =-1, х2 =424, х3 =-424 .
Пример 7. Решите уравнение: (16 - х2 =->/16
- х2 .
Решение: Приведем пример к виду (16-х2=(16-х2)2 .
Нахождение решений данного уравнения возможно лишь в случае (16 -х2)> 0, т.е. х е[- 4;4].
Согласно приведенной выше методике рассмотрим четыре случая:
106
и (x)V (х) = и (х)
№ (*)
V (х) = W (х),
1.
1
х = —. 2
2. и (х)^х) = и (х)№ (ч) ^ U(x) = 0, (16 - х2 )= 0. х = 4
Этот корень удовлетворяет ОДЗ.
3. и (хГ (х)= и (х)№ (х) ^ и (х) = 1, (25 - х2 )= 1.
х = 715
Этот корень удовлетворяет ОДЗ.
4. и (хГ (х)= и (х)№ (х) ^ и (х)=-1, (16 - х 2 )=-1. х = л/17
Корень не входит в ОДЗ. Ответ: х1 = 1, х2 = 4, х3 =-4, х4 = 4И ,
Пример 8. Решите уравнение: (8 - х)х = (8 - х)
х = -4
Этот корень удовлетворяет ОДЗ.
х = ->/15
Этот корень удовлетворяет ОД.З
х = -л/17
Корень не входит в ОДЗ. ; =-715 .
х2+4х-4
Решение:
Нахождение области допустимых решений данного уравнения сопряжено с некоторыми сложностями, поэтому не будем на этом отдельно останавливаться, а после получения решений подставим его в исходное уравнение и проверим подстановкой, обращается ли оно в тождество.
Согласно приведенной выше методике рассмотрим четыре случая:
1. и (хГ (х)= и (х)№ (х) ^ V(x) = № (х)
полученное
решение
х = х + 4х - 4 ,
х2 + 3х - 4 = 0 .
х = -4 х = 1
Подставив полученное решение в Подставив
исходное уравнение, получаем
(12)-4 =(12)-4 (7) = (7)
2. и (хГ (х)= и (х)№ (х) ^ и (х) = 0, (8 - х) = 0 ,
х = 8
Подставив полученное решение в исходное уравнение, получаем тождество: (0)8 =(0)92
3. и (хГ (х)= и (х)№ (х) ^ и (х) = 1, (8 - х) = 1,
х = 7.
Подставив полученное решение в исходное уравнение, получаем тождество: (1)7 =(1)73
4. U (x)V М= U (x)W М ^ U (x)=-1
(8 - x) = -1,
x = 9 .
Подставив полученное решение в исходное уравнение, получаем тождество:
(-1)-9 =(1)41
Ответ: хг = -4, x2 = 1, Х3 = 8, x4 = 7 , x5 = 9 .
Обсуждение результатов. Рассмотрев решение представленных уравнений нами выявлено, что школьный курс по дисциплине математика, не исчерпывает поставленных задач и имеет свои особенности при их решении. Похожим образом, можно рассмотреть решение показательных неравенств для понимания развития любой дисциплины как в плане постановки новых задач, так и в плане осознания имеющихся, на элементарном уровне имеющихся задач.
Рассматривая, к примеру, решение показательных неравенств с переменным основанием можно столкнуться с проблемами еще более серьезными. Это обусловлено тем, что если при решении уравнений полученные результаты в большинстве случаев проверяются простой подстановкой, то при решении неравенств зачастую не вполне ясен критерий проверки правильности полученного результата в связи с невозможностью прямой проверки всех предполагаемых значений переменной из полученных интервалов.
Подход, аналогичный приведенному выше, возможен и при решении показательных неравенств с переменным основанием, хотя при этом возникают свои сложности. Применив данный подход в совокупности с методом рационализации, можно получать интересные результаты.
В классической постановке метод рационализации применительно к показательным неравенствам выглядит следующим образом:
UV>UW.
1. U > 1 V > W ^ учитывая оба условия ^ (u- 1)-(v- W)> 0.
2. 0<U< 1 ^ V< W ^ снова имеем ^ (U-1)-(V- W)> 0.
Таким образом, вместо двух отдельных случаев предлагается рассматривать один и проводить решение по формуле:
UV >UW UV -UW > 0 (U- 1)-(V- W)> 0
Отметим, что совершенно не рассмотрен случай U < 0.
Если рассмотреть исходное неравенство без учета этого ограничения, исключив лишь случаи в которых та или иная часть неравенства не определена, то получим дополнительно случаи:
1. если U = 0 V > 0, W > 0;
m „
V Ф +— где m, 2n eN взаимно простые числаа
2. если U < 0 2n ;
W Ф +— где k, 21 eN взаимно простые числа
С учетом этого можно модифицировать имеющуюся формулу метода рационализации и получить:
UV >UW UV -UW > 0 U2(U- 1).(U + 1)-(V- W)> 0 .
Покажем применение данного подхода на примере.
Пример 9. Решите неравенство: (8-x)x <(8-x)x +4x-4 .
Решение:
Применяя к данному неравенству метод рационализации, будем иметь:
(8 - x)x -(8 - xf+4x-4 < 0 ,
(8 - x)2(7 - x)(9 - x)(- x2 -3x + 4)< 0 ,
(8 - x)2 (7 - x)(9 - x)(x - l)(x + 4) > 0.
Решая полученное неравенство методом интервалов, получим:
x е (-»;-4] ^ [l;7] ^ {8} ^ [9;+»).
Ответ: x е (-<»;-4]^ [l;7]^ {8}^ [9;+»), однако при
m „ .т
x ^ J— где m, 2n е N взаимно простые числа
x < 8 ^ V2n .
k
x -6 где k, 21 eN взаимно простые числа
Выводы. При решении подобных задач открытым остается вопрос, что делать, если числа не являются взаимно простыми и постановка этого вопроса перед студентами показывает что развитие любой науки, даже математики не останавливается. Рассмотрение подобных не стандартных подходов к решению казалось бы классических задач позволяет вчерашним школьникам более полно представлять себе необходимость дальнейшего изучения классических дисциплин для их использования в своей будущей деятельности.
Литература
1. Васюнина О.Б., Самуйлова С.В., Самуйлов С.В. Некоторые методические аспекты подготовки школьников к ЕГЭ по математике // Концепт. 2016. №1. URL: http://cyberleninka.ru/article/n/nekotorye-metodicheskie-aspekty-podgotovki-shkolnikov-k-ege-po-matematike (дата обращения: 12.04.2017).
2. Шакирова К.Б., Лившиц С.А. Решение показательных уравнений и неравенств с переменным основанием // Электронный педагогический журнал «Магариф», 2016. № 21. С. 123-135.
3. Аверьянов Д.А., Алтынов П.И., Баврин И.И. и др. Математика: большой справочник для школьников и поступающих в вузы. 2-е изд. М.: Дрофа, 1999. 864 с.
4. Дорофеев Г.В., Муравин Г.К., Седова Е.Ф. Сборник заданий для подготовки и проведения письменного экзамена по математике, алгебре и началам анализа за курс средней школы. 11 класс. М.: Дрофа, 2007. 160 с.
5. Полный сборник решений задач для поступающих в вузы. Группа Б / Под ред. М.И. Сканави. М.: Альянс-В; Мн.: ООО «Харвест», 1999. 1232 с.
6. Васильева М.В. Формирование универсальных учебных действий ученика средствами открытого тематического зачета по математике в старших классах // Муниципальное образование: инновации и эксперимент. 2011. № 3. С. 29-36.
7. Иванова Т.А. Гуманизация общего математического образования. М.,1998.
8.. Кравцов С.В. и др. Методы решения задач по алгебре: от простых до самых сложных. М.: Изд-во «Экзамен». 2005. 349 с.
9. Крутецкий В. А. Психология математических способностей школьников. М. 196 с.
10. Кантюков Р.Р., Тахавиев М.С., Гилязиев М.Г., Шенкаренко С.В., Лебедев Р.В., Варсегов В.Л. Разработка математической модели участка газотранспортной системы. Транспорт и хранение нефтепродуктов и углеводородного сырья. 2015. № 2. С. 37.
11. Кантюков Р.Р., Тахавиев М.С., Лебедев Р.В., Лившиц С.А., Шенкаренко С.В. Аналитическое исследование на наличие бифуркационных явлений при течении нелинейновязких жидкостей в каналах сложной геометрии // Вестник Казанского технологического университета. 2015. Т. 18. № 4. С. 223-225.
References
1. Vasyunina O.B., Samuilova S.V., Samuilov S.V. Nekotorye metodicheskie aspekty podgotovki shkol'nikov k EGE po matematike // Kontsept. 2016. №1. URL: http://cyberleninka.ru/article/n/nekotorye-metodicheskie-aspekty-podgotovki-shkolnikov-k-ege-po-matematike (data obrashcheniya: 12.04.2017).
2. Shakirova K.B., Livshits S.A. Reshenie pokazatel'nykh uravnenii i neravenstv s peremennym osnovaniem // Elektronnyi pedagogicheskii zhumal «Magarif», 2016. № 21. S. 123-135.
3. Aver'yanov D.A., Altynov P.I., Bavrin I.I. i dr. Matematika: bol'shoi spravochnik dlya shkol'nikov i postupayushchikh v vuzy. 2-e izd. M.: Drofa, 1999. 864 s.
4. Dorofeev G.V., Muravin G.K., Sedova E.F. Sbornik zadanii dlya podgotovki i provedeniya pis'mennogo ekzamena po matematike, algebre i nachalam analiza za kurs srednei shkoly. 11 klass. M.: Drofa, 2007. 160 s.
5. Polnyi sbornik reshenii zadach dlya postupayushchikh v vuzy. Gruppa B / Pod red. M.I. Skanavi. M.: Al'yans-V; Mn.: OOO «Kharvest», 1999. 1232 s.
6. Vasil'eva M.V. Formirovanie universal'nykh uchebnykh deistvii uchenika sredstvami otkrytogo tematicheskogo zacheta po matematike v starshikh klassakh // Munitsipal'noe obrazovanie: innovatsii i eksperiment. 2011. № 3. S. 29-36.
7. Ivanova T.A. Gumanizatsiya obshchego matematicheskogo obrazovaniya. M.,1998.
8.. Kravtsov S.V. i dr. Metody resheniya zadach po algebre: ot prostykh do samykh slozhnykh. M.: Izd-vo «Ekzamen». 2005. 349 s.
9. Krutetskii V. A. Psikhologiya matematicheskikh sposobnostei shkol'nikov. M. 196 s.
10. Kantyukov R.R., Takhaviev M.S., Gilyaziev M.G., Shenkarenko S.V., Lebedev R.V., Varsegov V.L. Razrabotka matematicheskoi modeli uchastka gazotransportnoi sistemy. Transport i khranenie nefteproduktov i u glevodorodnogo syr'ya. 2015. № 2. S. 37.
11. Kantyukov R.R., Takhaviev M.S., Lebedev R.V., Livshits S.A., Shenkarenko S.V. Analiticheskoe issledovanie na nalichie bifurkatsionnykh yavlenii pri techenii nelineinovyazkikh zhidkostei v kanalakh slozhnoi geometrii // Vestnik Kazanskogo tekhnologicheskogo universiteta. 2015. T. 18. № 4. S. 223 -225.
Авторы публикации
Лившиц Семен Александрович - кандидат технических наук, доцент кафедры «Экономика и организация производства» Казанского государственного энергетического университета. Усачев Сергей Сергеевич - студент Национального исследовательского университета «Московский энергетический институт (Технический Университет)».
Суючева Диляра Таировна- кандидат физико-математических наук, доцент кафедры «Математика» Казанского инновационного университета имени Тимирясова.
Authors of the publication
Semen A. Livshits - Ph.D., Associate Professor of the Department of Economics and Production Organization of Kazan State Power Engineering University.
Sergey S. Usachev - student, Moscow Power Engineering Institute (Technical University) Dilyara T. Suyucheva - Ph.D., Associate Professor of Mathematics of Kazan State V.G. Timiryasova University.
Дата поступления 01.04.2017.
