CC BY
3719. Park H.S., Cho H.S. General design conditions for an ideal robotic manipulator having simple dynamics, The Journal of Robotics Research, Vol. 10, No. 1, February, 1991, pp. 21-29.
20. Sung C.K., Thompson B.S. A methodology for synthesizing high-performance robots fabricated with optimally tailored composite laminates, Journal of Dynamic System, Measurement, and Control, Vol. 109, March, 1987, pp. 74-86.
21. Thomas M., Marietta M., Yuan-Chou H.C., Tesar D. Optimal actuator stiffness distribution for robotic manipulators based on local dynamic criteria, IEEE International Conference on Robotics and Automation, St. Louis, Missouri, March 25-28,1985, pp. 275-281.
22. Wang L.T., Ravani B. Dynamic load carrying capacity of mechanical manipulators, Journal of Dynamic System, Measurement, and Control, Vol. 110, March, 1988, pp. 46-61.
23. Wiens G.J., Sott R.A., Zarrugh M.Y. The role of inertia sensitivity in the evaluation of manipulator performance, Journal of Dynamic System, Measurement, and Control, Vol. Ill, June, 1989, pp. 194-199.
24. Yoshikawa T. Analis and design of Articulated robot arms from the viewpoint of dynamic manip-ulability. Ill International Symposium on Robotics Research, Gouvieux, France, Oct. 7-11,1985, pp. 273-279.
25. Yoshikawa T. Dynamic manipulability of articulated robot arms. Proposals of 15th International Symposium on Industrial Robots, ToKio, 1985, pp 879886.
ФОРМАЛИЗАЦИЯ ФУНКЦИЙ ПРИНАДЛЕЖНОСТИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ В ЗАДАЧАХ НЕЧЕТКОГО УПРАВЛЕНИЯ СЛОЖНЫМИ СИСТЕМАМИ
Шушура А.Н.
Государственный университет телекоммуникаций, г. Киев, Украина
FORMALIZATION OF THE MEMBERSHIP FUNCTION OF SEVERAL ARGUMENTS IN THE FUZZY CONTROL PROBLEMS
OF COMPLEX SYSTEMS
Shushura A.N.
State University of Telecommunications, Kiev, Ukraine
АННОТАЦИЯ
Реализация информационных технологий для автоматизации нечеткого управления сложными системами на основе функций принадлежности нескольких аргументов требует разработки подходов к формализации их аналитического вида. В работе на основе анализа и обобщения существующих типов функций принадлежности одного аргумента предложен аналитический вид для набора функций принадлежности нескольких аргументов, приведены примеры их графиков. Результаты работы могут быть использованы при разработке информационных технологий нечеткого моделирования.
ABSTRACT
The implementation of information technologies to automate complex systems fuzzy control requires the development of approaches to formalize membership function of several arguments analytical form. The paper is devoted to analysis and generalization of existing types of membership functions of one argument. An analytical form for a set of membership functions of several arguments is proposed, and examples of their graphs are given. The results of the work can be used in the development of information technologies of fuzzy modeling.
Ключевые слова: нечеткая логика, функция принадлежности нескольких аргументов, информационные технологии
Keywords: fuzzy logic, membership function of several arguments, information technologies
Использование методов нечеткого управления нечеткого регулятора. Это позволяет, с одной сто-
становится все более популярным при разработке роны, использовать простое и наглядное представ-
информационных технологий для автоматизации ление функций принадлежности, а также приме-
задач управления различными объектами. Основы нять несложные вычислительные процедуры при
применения нечеткой логики в задачах управления проведении всех этапов нечеткого вывода, с другой
заложены в работах Л. Заде, Е. Мамдани, М. Су- стороны, теряется взаимосвязь между управляю-
гено, Т. Терано, А. Кофмана, Р.Ягера и др [1-3]. Су- щими переменными, которая обусловлена нали-
ществующие методы нечеткого управления в ос- чием ограничений на управление. Кроме того,
новном предполагают применение функций при- лингвистические переменные могут иметь до-
надлежности одной переменной для термов вольно сложную физическую природу, которая тре-
входных и выходных лингвистических переменных бует при вычислении их значений использовать несколько связанных величин. Для задач управления
системами, характеризующихся сложным набором связей между переменными, предложено использовать метод нечеткого управления на основе функций принадлежности нескольких аргументов [4]. Использование этого метода требует разработки подходов к заданию функций принадлежности нескольких аргументов.
Целью данной работы является построение классификации и формализация в аналитическом виде функций принадлежности нескольких переменных для использования в задачах нечеткого управления сложными системами. Для достижения поставленной цели в работе проведен обзор существующих видов функций принадлежности одной переменной и определены основные виды функций принадлежности нескольких переменных, для которых формализовано их аналитическое представление и построены примеры графиков.
Вопросы построения различного вида функций принадлежности рассмотрены в работах А.П. Ротштейна, А.В. Леоненкова, С.Д. Штовбы и других ученых [5-7]. Для функций принадлежности одной переменной выделены следующие классы [3]:
• кусочно-линейные функции;
• 2-образные и S-образные функции;
• П-образные функции.
Среди кусочно-линейных функций наиболее части используются так называемые «треугольная» и «трапециевидная» функции принадлежности. Первая из этих функций обычно используется для формализации неопределенностей типа «приблизительно равно», «среднее значение», а вторая применяется для представления неопределенности типа «расположено в интервале».
Так называемые 2-образные и S-образные функции получили свое название из-за формы представляемых ими кривых. В семействе 2-образных функций, которое применяется для формализации неопределенности типа «малое количество», «небольшое значение», выделяется сплайн-функция и линейная 2-образная функция. Функции класса S-образных формализуют неопределенность типа «большое количество» или «значитель-
ная величина». Среди этих функций также выделяется сплайн-функция и линейная S-образная функция. Кроме того, применяется сигмоидальная функция, параметры которой позволяют представить ее в виде как 2-образной, так и S-образной функции.
К П-образным функциям относится целый ряд кривых, которые по своей форме напоминают колокол, сглаженную трапецию или букву «П». Среди представителей данного класса выделяют колоко-лообразную функцию и гауссово распределение. Они позволяют задать выпуклые нечеткие множества с определенным носителем и ядром.
На основе особенностей формализации неопределенностей функциями принадлежности одной переменной проведено формирование основных типов функций принадлежности нескольких аргументов.
Для моделирования неопределенностей вида «приблизительно равно» или «среднее значение» в многомерном пространстве предлагается использовать конусообразную или пирамидальную функцию принадлежности.
Конусообразная функция принадлежности задается следующим образом:
Ц (X ) =
1-
(X, - X)2
(А,)2
'(х] х]) ; (а,)2
: 1, (1)
0, иначе
где - значениеу-ой компоненты вектора пе-_ о
ременных X ; х, - у-ое значение центра основания конуса; ^ - ненулевые числовые параметры,
задающие масштабирование по координатам вектора X ; п - количество переменных в векторе X
Центр конуса соответствует вектору значений, которому примерно равна моделируемая величина. Пример построения конусообразной функции принадлежности двух аргументов с координатами центра (1,1) и единичными значениями параметров ^ . представлен на рисунке 1.
Рисунок 1 - Пример конусообразной функции принадлежности
Конусообразная функция определяет равномерное изменение показателя принадлежности при удалении от центра конуса в соответствии с параметрами масштабирования.
Пирамидальная функция принадлежности в многомерном пространстве может быть определена так:
) = тах
(1 -I (
;=1
X, - X
к,
); о
(2)
где Xj - значение у-ой компоненты вектора пе-
- V0
ременных X ; , - у-ое значение центра основания пирамиды; - положительные числовые параметры, задающие интервалы изменений переменных ^, X, е (Xе, — к,, Xе, + к, ); п - количество
переменных в векторе X .
Пример пирамидальной функции принадлежности с координатами центра (1,1) и единичными
значениями параметров к представлен на рисунке 2.
Рисунок 2 - График пирамидальной функции принадлежности
В отличие от конусообразной функции, пирамидальная функция задает более высокое значение принадлежности на линиях, проходящих через центр основания пирамиды перпендикулярно осям, которые соответствуют множеству точек, одна из координат которых точно равна моделируемому значению.
Обобщение идеи трапециевидной функция принадлежности для многомерного пространства приводит к необходимости построения функции, описывающей принадлежность точки некоторой области (множеству). Т.е. неопределенность вида «расположено в интервале» транслируется в многомерном случае в неопределенность «расположено в области». Данного типа неопределенности являются достаточно распространенными при описании ограничений в задачах управления. Рассмотрим обобщенную функцию принадлежности точки области.
Пусть область описывается неравенством вида:
_ / (х) < 0, (3)
где X - вектор переменных, описывающих предметную область.
Тогда функция принадлежности, моделирующая неопределенность «расположено в области», может быть представлена в виде:
ц(х ) =
В случае, если область задана равенством или строгим неравенством, функция принадлежности может быть получена аналогичным образом, используя понятие модуля или вводом дополнительного параметра малой величины соответственно.
Для областей, заданных системой неравенств вида:
Ж X) < 0
/т (X) < 0
(5)
функция принадлежности может быть получена путем применения нечеткой логической операции - конъюнкции, реализованной, например, в виде операции умножения:
где Ц/ (X ) - функция принадлежности вида
(4), построенная для /-го неравенства системы (5).
Аналогом 2-образных и 8-образных функций в многомерном случае может выступать обобщенная сигмоидальная функция:
Ц(х ) = ■
1
1, если f (х) < 0,
1-Х-/(X), если 0 < 1-Х-Дх) < 1,(4) 0, иначе
1 + е
-а1( ^Л)-----^ (\ -Ьп )
,(6)
где Х - положительный параметр, задающий размер «переходной» области для конкретного вида ограничивающей кривой / (X ).
где а/ - параметры, определяющие наклон
поверхности; Ь/ - параметры, задающие координаты точки центра симметрии, значение функции принадлежности в которой равно 0,5.
Обобщенная сигмоидальная функция может
применяться для моделирования неопределенностей в крайних точках рассматриваемой области.
Колоколообразная и гауссова функции принадлежности также могут быть обобщены для использования в п-мерном пространстве.
Колоколообразная функция принадлежности многих аргументов представляется в виде:
|( х) = ■
1
1+1
j=1
xj - aJ
b
j
2c
(7)
Ь, - коэффициенты пологости; с - параметр, определяющий ширину верхней части функции.
Пример колоколообразной функции принадлежности двух аргументов со значениями параметров, равными 1, представлен на рисунке 3.
Гауссова функция принадлежности многих аргументов может быть задана формулой:
( V
я xi—а,
— I
I( х )
J У
(8)
где а, - параметры, определяющие точку смещения центра симметрии в плоскости аргументов;
где а, - координаты точки центра симметрии
в плоскости аргументов; Ь, - коэффициенты широты.
Рисунок 3 - Пример колоколообразной функции принадлежности
Таким образом, на основе обобщения наиболее распространенных функций принадлежности одного аргумента разработан аналитический вид соответствующих функций принадлежности многих аргументов. Результаты работы могут быть использованы в задачах нечеткого управления системами со сложной структурой связей между переменными и в информационных технологиях нечеткого моделирования. В дальнейших исследованиях необходимо провести анализ особенностей применения представленных функций принадлежности многих аргументов, разработать структуры данных и алгоритмы информационных технологий для автоматизации обработки использующих их моделей нечеткого управления.
Литература
10. Zadeh L.A. Fuzzy sets // Information and Control. - 1965. - Vol. 8. - PP. 338-353.
11. An experiment in linguistic yn thesis with a fuzzy logic controller. / Mamdani E. H., Assilian S. // International Journal of Man-Machine Studies. - 1975. - Vol. 7. - № 1. - PP. 1-13.
12. Леоненков А.В. Нечеткое моделирование в среде MATLAB и fuzzyTECH. - СПб.: БХВ- Петербург, 2005. - 736 с.
13. Шушура А.Н. Метод нечеткого управления на основе переменных с многомерными функциями принадлежности / А.Н. Шушура, И.А. Тарасова // Штучний штелект. - 2010. - №1. - С. 122-128.
14. Штовба С. Д. Введение в теорию нечетких множеств и нечеткую логику [Электронный ресурс] / С. Д. Штовба - 2001. - Режим доступа: http://matlab.exponenta.ru/ fuzzylogic/book1/index.php.
15. Ротштейн А.П. Интеллектуальные технологии идентификации: нечеткая логика, генетические алгоритмы, нейронные сети. - Винница: УШВЕРСУМ-Вшниця, 1999. - 320с.
16. Халов Е.А. Систематический обзор четких одномерных функций принадлежности интеллектуальных систем / Е.А. Халов. - Информационные технологии и вычислительные системы. - 2009. -№3. - С. 60-74.
