Фокусаторы в отрезок, составляющий произвольный угол с оптической осью Текст научной статьи по специальности «Математика»

В.А. Данилов, К. А. Кулъкин, и.Н. Сисакян

ФОКУСАТОРЫ В ОТРЕЗОК, СОСТАВЛЯЮЩИЙ ПРОИЗВОЛЬНЫЙ УГОЛ С ОПТИЧЕСКОЙ осью

ВВЕДЕНИЕ

Задачу фокусировки можно сформулировать следующим образом: с помощью оптического элемента сконцентрировать энергию излучения в заданной области пространства с заданным распределением интенсивности. Эта задача всегда являлась одной из важнейших в оптике. Долгое время она решалась с помощью классических изображающих систем - линз, цилиндрических линз, зеркал, аксиконов и т.п. [1], которые не позволяли получать разнообразные фокальные области.

Появление лазеров поставило задачу фокусировки монохроматического излучения. Развитие технологии микроэлектроники позволило создать принципиально новые оптические элементы [2], соединяющие свойства цифровых голограмм [3] и профилированных зонных пластинок [4]. Действие этих элементов, названных элементами компьютерной оптики, обусловлено рассчитанным на ЭВМ микрорельефом сложной формы [5,6]. Рельеф наносится на плоскую поверхность через комплект согласованных фотошаблонов стандартными методами литографии [7]. Фотошаблоны рассчитываются на ЭВМ, исходя из функционального назначения элемента. В частности, для расчета фокусатора исходными данными являются распределение интенсивности фокусируемого излучения, форма фокальной области и распределение интенсивности в ней.

Технология изготовления элемента компьютерной оптики зависит только от высоты рельефа, размера зон и используемого материала (металл, стекло, кварц, цинк-селен, германий, кремний и др. ) и не зависит от функционального назначения элемента. Поэтому основным этапом при проектировании новых элементов является расчет формы поверхности, осуществляющей заданное преобразование излучения. На это и будет обращено основное внимание в настоящей работе.

Расчет фокусатора является обратной задачей: необходимо рассчитать характеристики элемента, преобразующего излучение заданным образом.

Один из методов решения этой задачи заключается в использовании дифракционного интеграла Френеля-Кирхгофа [8], позволяющего вычислить поле в точке (х, у,г) по известному полю А(и, V) в плоскости оптического элемента. (Рассматриваются стационарные монохроматические поля.)

Действие фокусатора обусловлено отражением (преломлением) лучей на его поверхности. Пренебрегая энергетическими потерями, которые в оптическом диапазоне невелики, положим, что на поверхности фокусатора падающее поле и преобразованное фокусатором имеют одинаковое распределение интенсивности. (Отметим, что данное приближение неприменимо к элементам

рентгеновского диапазона, где энергетическими потерями пренебречь нельзя. ) А поскольку высота рельефа фокусатора невелика (порядка длины волны), будем считать, что эти два поля имеют одинаковое распределение интенсивности в плоскости (и, V).

Пусть ось 2 перпендикулярна плоскости оптического элемента (и,V). Запишем интеграл Френеля-Кирхгофа в форме

1к ГГ г е 1(кГ+^ и(х, у, г)---- аи ¿V,

с

где г - расстояние между точками (х, у, г) и (и, V)

ф - набег фазы, вносимый фокусатором;

С - апертура оптического элемента;

к - волновое число (к=2тг/А; Л - длина волны излучения).

Если записать требуемую интенсивность в точке (х, у, 2) как I(х, у, 2) = |и(х, у, г) | , то получим интегральное уравнение относительно функции ф, характеризующей требуемое изменение фазы излучения элементом, то есть определяющей профиль его поверхности:

ГГ 2 1 (кг+ф)

1(х, у, 2)=|-^ ^(Ц, V) -аи СМ2 . (1)

с

Класс функций 1(х, у, г), для которых существует решение уравнения (1), неизвестен. Ясно, что задача переопределена и распределение интенсивности на нескольких плоскостях или кривых уже определяет поле во всем пространстве.

Целесообразно выделить два широких класса обратных задач фокусировки - получение заданного распределения интенсивности на плоскости (в общем случае - на двумерной поверхности) и на плоской (пространственной) кривой. Этим проблемам посвящена обширная литература, обзор которой выходит за рамки данной работы. Мы рассмотрим задачу фокусировки в пространственную кривую, воспользовавшись приближением геометрической оптики.

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ФОКУСИРОВКИ В ПРОСТРАНСТВЕННУЮ КРИВУЮ В ПРИБЛИЖЕНИИ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ОПТИКИ

Под задачей фокусировки в пространственную кривую в геометро-оптическом приближении будем понимать задачу создания такого поля, все лучи которого проходят через эту кривую. Данная кривая является вырожденной каустикой и называется фокальной кривой.

Понятие интенсивности сфокусированного излучения на кривой нуждается в дополнительном обсуждении. Ясно, что геометрическая оптика не позволяет определить интенсивность поля на фокальной кривой. Определение интенсивности через интеграл Кирхгофа не учитывает дифракционной ширины полученной кривой. В [9] введено используемое ниже понятие интегральной интенсивности, основанное на законе сохранения энергии и учитывающее

дифракционную ширину кривой. Сравнение двух различных определений

интенсивности проведено в [10].

Итак, пусть на оптический элемент (отражающий или преломляющий) падает излучение с известным распределением интенсивности. Все лучи преобразованного фокусатором поля проходят через заданную фокальную кривую L, создавая на ней заданное распределение интенсивности. Требуется рассчитать профиль поверхности элемента. осуществляющего такое преобразование излучения.

Пусть фокусатор занимает область G в плоскости z=0. Положение точки на фокальной кривой будем характеризовать натуральным параметром 0 - длиной вдоль этой кривой, отсчитываемой от некоторой ее точки. Обозначим через М(0) точку на кривой, соответствующую значению 0 натурального параметра.

Задание системы лучей, выходящих из области G и проходящих через кривую L, определяет отображение области G на кривую L. Будем рассматривать однократно вырожденные отображения, при которых прообразом каждой точки М(0) кривой L является кривая в области G, называемая слоем и обозначаемая Г(8). Случай двукратного вырождения, когда в некоторые точки кривой L отображаются двумерные области, рассматриваться нами не будет.

В основе дальнейших рассуждений лежит следующее утверждение [9]. Если все лучи поля проходят через некоторую кривую L так, что в каждую точку этой линии приходит однопараметрическое семейство лучей, то это семейство лучей образует круговой конус (рис.1), причем все лучи этого конуса приходят в точку М (0) с одинаковым эйконалом F(0). Ось конуса касательна к кривой L в этой точке, а угол между осью и образующими конуса и(9) связан с производной эйконала в этой точке соотношением

cos w(0) = J|iiL, (2)

Выбор угла (0(0) показан на рис.1, на котором в2>в .

Непосредственно из сформулированной теоремы следует, что слой Г(0) состоит из связных компонент. каждая из которых является пересечением конуса лучей, приходящих в точку М(0), и области G, занимаемой фокусатором В ПЛОСКОСТИ Z-0.

Заметим, что наличие нескольких компонент у слоя Г (в) может быть обусловлено и тем, что область G разбита на несколько частей, каждая из которых отображается на всю кривую L. Исключив данный случай, будем рассматривать гладкие отображения, у которых эйконал преобразованного фокусатором поля - гладкая в области G функция, однако и в случае гладкого эйконала в точку м(0) „ожет отображаться несколько кривых. При этом в окрестности точки М(0) возникает сложная интерференционная структура, описание которой требует решения дифракционной задачи. Данная ситуация рассматриваться нами не будет. Будем считать, что слой Г(0) - одна или

У

Рис. 1. Лучевая структура поля, имеющего фокальную линию

несколько связных компонент одного конического сечения, причем в случае гиперболы берутся компоненты только одной из ее ветвей.

Предположим, что для некоторой задачи фокусировки мы нашли слои Г(в) для всех точек фокальной кривой. Следовательно, мы знаем и угол и)(в) между осью и образующими конуса, приходящего в каждую точку М(в). Воспользовавшись соотношением (2), можно найти значения эйконала F(0) в точках фокальной кривой. (В рассматриваемом случае F(8) - однозначная гладкая функция. ) Если учесть теперь оптический путь от точек слоя Г(б) до соответствующей этому слою точки М(в), можно найти (с точностью до константы, которая в данном случае не существенна) значения эйконала в точках слоя.

Для существования однозначного и гладкого решения необходимо, чтобы:

1) слои не пересекались в области G;

2) слои в своей совокупности заполняли всю область G.

При этом знание эйконала в точках всех слоев эквивалентно знанию эйконала ;t(u, v) преобразованного фокусатором излучения в точках (u, v) области G. Из уравнения эйконала можно определить значения эйконала Ф2(и, v. z) этого излучения в окрестности области G (х (u, v) =$2 (и, v, 0)).

Эйконал падающего на фокусатор излучения Ф^и, v, z) известен. Поверхность фокусатора z=z(u, v) находится из уравнения [11]

Ф2(и, v. zj-i^u, v, z)=XC(u, v) . (3)

Если С -const, то уравнение (3) определяет гладкую поверхность, решающую поставленную задачу. В то же время при фокусировке стационарных

монохроматических полей эйконал «2(u,v. z) можно получать с точностью до величин, кратных X. При этом в уравнении (3) C=C(u,v) - целочисленная кусочно-постоянная функция, выбираемая так, чтобы высота рельефа была минимальной. В этом случае уравнение (3) определяет искомый кусочно-

непрерывный рельеф.

Итак, решение задачи фокусировки разделяется на два этапа: 1.Определение эйконала *(u, v) преобразованного фокусатором поля, исходя из следующих положений:

а) все лучи этого поля проходят через фокальную кривую L;

б) на этой кривой создается заданное распределение интенсивности

Кб);

в) в области G это поле имеет заданное распределение интенсивности, совпадающее с распределением интенсивности J(u,v) падающего на фокусатор излучения.

Отметим, что для существования решения необходимо, чтобы 1(0) и J(u, v) были связаны условием нормировки:

Jl(0)d0=JJj(u, v)du dv=W, (4)

L с

где W - полная энергия лазерного пучка, падающего на фокусатор.

2. Определение профиля поверхности фокусатора z=z(u,v), преобразующего известное падающее на фокусатор лучевое поле в найденное на первом этапе преобразованное поле. Этот этап стандартен для задач фокусировки [11].

Первый этап, как показано выше, может быть сведен к нахождению семейства слоев Г(0), фокусирующихся в точки фокальной кривой для всех M(0)€L.

Определим интегральную интенсивность на кривой L. Зададим кривую L параметрически:

u=uQ(0)

v=vQ(0) (5)

z=zQ(0)

где 0 - натуральный параметр на кривой.

Направление оси конуса лучей, проходящих через точку М(0), определяется вектором {úQ(0), vq(0), ¿Q(0)).

Рассмотрим М(0) и М(0+Д0) - две точки на кривой L, соответствующие значениям 0 и 0+Д0 натурального параметра. Пусть в точку М(0) приходит излучение с некоторой кривой Г(в), а в точку М(0+Д0) - с кривой Г(0+Лв) области G. Пусть эти кривые ограничивают область фокусатора С{Г(0), Г(0+Д0)}, из которой излучение в случае непрерывного отображения фокусируется в дугу М(0)М(0+Д0) кривой L (рис.2). Рассмотрим функцию

"i (0) =lim Д0-»О

J(ufv)du dv/LQ . (6)

С{Г(0),Г(0+Д0)}

Рис. 2. К выводу уравнения для нахождения семейства слоев

Если указанный предел существует, то функцию д. (в) назовем интегральной интенсивностью (или просто интенсивностью) на кривой Ь в точке М(0).

проинтегрировать обе части (6) по <30 от до в, то, поскольку область С{Г(81), Г(02) } отображается в дугу М(© ),М(0 ), получим уравнение, имеющее смысл закона сохранения энергии

в котором i(0) имеет смысл именно интенсивности в точке М(0). В дальнейшем мы не будем делать различия между i(0) и 1(0), считая, что заданное распределение интенсивности 1(0) удовлетворяет определению (6).

Рассмотрим теперь вид самих слоев. Из сформулированной выше теоремы следует, что они являются фрагментами конических сечений, то есть в общем случае - участками гиперболы (одной из ветвей), параболы или эллипса, а в вырожденном случае - участками окружности или прямой.

Если фокальная линия представляет собой отрезок, параллельный оси фокусатора, то слои - концентрические окружности [12, 13].

Если же фокальная кривая лежит в плоскости, параллельной плоскости фокусатора, и фокусное расстояние f»D и f»L (D - диаметр элемента, L - длина фокальной кривой), то являющиеся в этом случае слоями фрагменты гипербол можно с хорошей точностью аппроксимировать отрезками прямых Г141.

Такая трактовка функции i(0) обусловлена следующим. Если

(7)

0

С{Г(вх).Г(в2) )

-S3 -

В случав пространственной кривой необходимо рассматривать слои Г(9) как фрагменты кривых второго порядка. Этот подход и предложен в настоящей работе, что позволит рассмотреть более широкий класс задач фокусировки.

Обратимся к закону сохранения энергии, записанному в форме (7). Зафиксируем одну из точек фокальной кривой со значением параметра 0Q и предположим, что мы нашли (например, из энергетических или геометрических соображений) соответствующий ей слой Г(©0). Положим в (7) e-QQ. В качестве точки со значением параметра в2 будем рассматривать произвольную точку М(0) фокальной кривой. Тогда выражение (7) примет вид

в

Jl(tf)dtf = Jj(u,v)du dv (в)

0о С(Г(0О),Г(0) }

В свою очередь геометрия Г(0) определяется углом и между осью конуса

лучей, приходящих в точку М(0), и его образующими. обозначим за Г(в,и)

виртуальный слой, соответствующий точке М(0) и углу и. При этом Г(0)-Т(0, cj(0) ), а функция w(0) определяется уравнением

0

Jl(tf)dtf = JJj(u, v)du dv (9)

0o G{T(0o),T(0,u)}

А как было показано выше, по функции и(0) можно найти функцию F(0), семейство слоев Г(0), а затем функцию *(u, v), определяющую профиль поверхности фокусатора.

Итак, пусть требуется сфокусировать лазерный пучок с распределением интенсивности J(u, v) в плоскости z-О в заданную кривую L с распределением интенсивности 1(0) вдоль этой кривой. Тогда в каждую точку в кривой L может фокусироваться линия Т(0, и), являющаяся фрагментом кривой второго порядка - пересечением области G, занимаемой фокусатором в плоскости 2-0, и кругового конуса с вершиной в точке М(0), осью, совпадающей с касательной к кривой L в точке М(0), и углом между осью и образующими конуса и (рис.3).

Для расчета фокусатора можно зафиксировать некоторую точку 0Q на кривой L, найти соответствующий ей слой Г(0о), а для всех остальных точек М(0) кривой L из уравнения (9) найти значение функции <j(0).

Рассмотрение слоев как кривых второго порядка существенно расширяет класс рассматриваемых задач фокусировки. Однако уравнение (9) в общем виде не позволяет явно выразить о(0) как функцию 0. 1(8), j(u,v) и геометрические параметры задачи. Ниже будет рассмотрена задача фокусировки в отрезок, составляющий произвольный угол с оптической осью, для которой построен и реализован на ЭВМ алгоритм расчета функций и(0) и *(u,v). Эта задача является базовой для фокусировки в пространственную кривую, поскольку

Рис. 3. К постановке задачи фокусировки

предложенный алгоритм может быть с незначительными изменениями распространен на случай произвольной кривой.

2. УРАВНЕНИЕ СЛОЯ В ЗАДАЧЕ ФОКУСИРОВКИ В ОТРЕЗОК Зададим отрезок параметрически:

г и=0

< v=e sin (р , (10)

z=f+0 cos <р

где <р - угол наклона отрезка к оптической оси (0*<р*л/2), а 0 - натуральный параметр (-L/2s0sL/2, L - длина отрезка). Чтобы избежать громоздких формул, мы предположили, что отрезок лежит в плоскости и-О, а его середина - на оси z (рис.4).

При этом мы рассматриваем случай нормального падения лазерного пучка на фокусатор, однако полученные результаты легко могут быть перенесены на случай наклонного падения, согласно методу, предложенному в [15].

Уравнение кругового конуса с вершиной в точке 0 и углом и между осью конуса (в данном случае она совпадает с прямой, на которой лежит отрезок) и его образующими есть

u2cos2tiH-(v cos <p-z sin <p+f sin <p2) cos2u --(z COS #>+V sin (p-f COS <p-e)2sin2(j)=0 .

При а)=л/2 конус вырождается в плоскость.

Отметим, что уравнение (11) описывает полный конус, то есть как лучи, приходящие в М(0), так и лучи, выходящие из этой точки.

Рис. 4. Взаимное расположение фокусатора и фокального отрезка

В пересечении с плоскостью фокусатора 2-0 получаем кривую второго порядка

2 . 2

и2+у2 COS (J — Sin <p +2v sin CQS CQS (p+e)tg2Cj] +

COS (J (12)

+ [ f2sin2p-tg2(j(f cos p+0)2]=O , если ы*п/2, и прямую, параллельную оси и

v=f ctg а>+ —.- ,

* r sin <р '

(13)

если о=гс/2.

При соз2а)-51п2^»0 (или аи-^р<л/2) кривая второго порядка будет эллипсом

и2 ^ (v+d(8,u>))2 а2(0, w) Ь2(в,и)

при cos2ca-sin2<¡p=0 (или оя-р-тг/2) - параболой

(14)

u =-2р(в, и) (V+C(0, €*>)), при cos2u-sin2(p<0 (или аи-^>л/2) - гиперболой

(15)

(v-d(8, u>) )2 XI2__1

Ь2(0, и) а2 (0,о>)

(16)

где

а(0, ")- sin cos у)

J\ cos2u-

sin ф>|

и

b(9 и) - sj-n ^Icos 6*1 (f+g cos <p)

2 . 2 . cos и -sin

(18)

полуоси эллипса и гиперболы вдоль осей и и v соответственно,

р(8, ü))=sin cos cos #>+9)tg2u] - (19)

фокальный параметр параболы,

(20)

c(e.w)«_f2sin2y-(f cos p+9)2 tg2(j _

2sin cos #>+(f cos ^+0)tg2u]

расстояние между вершиной параболы и центром фокусатора,

d(8,u)- [f cos <р + (f cos <p + 9) tg2o)]sin <p cos2o) _

|cos2cj - sin2<p|

расстояние между центром эллипса или гиперболы и центром фокусатора.

Для определения Г(9) теперь необходимо найти пересечение области G с указанными кривыми. Возможные варианты пересечений рассматриваются в разд. 5. Еще раз отметим, что слой Г(б) не обязательно является связной кривой (примеры, когда Г(в) состоит из двух связных компонент, приведены ниже). Вместе с тем Г(9) должен содержать все связные компоненты пересечения эллипса, параболы или ветви гиперболы с областью G. В противном случае функция F(9) не будет однозначно определена на кривой L.

3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ СЛОЯ Г(±Ъ/2)

Рассмотрим теперь слои, соответствующие концам отрезка. Для гладкости функции *(u, V) необходимо, чтобы слои Г(±Ь/2) не разбивали область G на две непересекающиеся области. Если Г(±Ь/2) - линия, разбивающая G на две части, то на этой линии либо отображение области G на кривую L будет иметь разрыв, либо функция F(9) не будет однозначной.

Пусть область G - круг радиуса R. Это соответствует форме пучка большинства лазеров.

Поскольку слой Г(±L/2) - пересечение кривой второго порядка с областью G (которая берется здесь вместе со своей границей), указанному условию на Г(±L/2) могут удовлетворять:

а) точка внутри области G (вырожденный эллипс с и-0);

б) точка на границе области G (кривая второго порядка и граница области G касаются в одной точке);

в) две точки на границе области G (кривая второго порядка и граница области G касаются в двух точках);

г) вся граница области G (слой-окружность радиуса R).

Но слои-окружности отвечают только случаю <р-0, который рассмотрен в [5]. Таким образом, при tp=0 могут иметь место только первые три случая.

Уточним теперь возможности реализации этих случаев для непрерывного решения. При попадании точки С - пересечения прямой, на которой лежит отрезок Ь, и плоскости г=0 - внутрь области С^д <pzR/f) (рис.4) точка с отображается в один из концов отрезка. Если бы точка С отображалась внутрь отрезка, то либо отображение области в на кривую Ь было бы разрывным, либо функция Г(в) была бы многозначной. Легко показать также, что построение решения, гладкого всюду, кроме точки С, невозможно.

В случае же попадания точки С вне области С^д <р>Ъ/£) концам отрезка будут соответствовать кривые, касающиеся противоположных краев фокусатора. При этом касание может происходить как в одной, так и в двух точках. Если коническое сечение касается С в двух точках, то слоем должны быть обе эти точки. В противном случае нарушается либо гладкость отображения, либо однозначность функции Е(0).

Из приведенных рассуждений следует, что в качестве фиксированной точки ©о в (8) следует брать один из концов отрезка, ибо соответствующий ему слой может быть найден из геометрических соображений. Для определенности выберем ©о»-Ь/2.

Дальнейшее построение решения имеет два варианта:

1. Точке во=-Ь/2 соответствует или точка С (если tg или кривая, касающаяся нижнего края области С (если tg (рЖ/:£) .

2. Точке ©о=-Ь/2 соответствует кривая, касающаяся верхнего края области С.

Оба варианта равноправны, поставленная задача имеет два непрерывных решения. Для определенности рассмотрим первый вариант.

4. УРАВНЕНИЕ ДЛЯ НАХОЖДЕНИЯ ФУНКЦИИ О)(0)

Уравнение (9) для задачи фокусировки в отрезок приобретает вид:

0

|1(1>)с** = Цсг(и, у)с!и (IV ; (22)

-Ь/2 С

Г(-Ь/2), Т (0,0)) }

где слой Г(-Ь/2) отвечает указанным выше условиям. При этом для каждой фиксированной точки 0 левая часть (22) есть число, заключенное между 0 и И (см. (4)), а правая - монотонная функция угла и, принимающая значения от О до V/. Таким образом, для каждой точки 0 существует и единственное значение угла о), удовлетворяющее уравнению (22). Итак, уравнение (22) определяет функцию о)(0), которая всегда существует. Для существования гладкой Х(и,V) необходимо, чтобы слои Г(0), определенные по функции и(0), не пересекались внутри области С. В этом случае по и(0) находим функцию *(и,V), а по ней - профиль поверхности фокусатора в отрезок. Однако в общем виде это уравнение неразрешимо, и построение решения следует проводить численными методами.

Ниже предложен алгоритм построения решения для равномерного распределения интенсивности как в пучке (J(u, v)=Jq), так и вдоль отрезка (I(e)=IQ). Его легко видоизменить применительно к любым другим распределениям.

Для выбранных же распределений интенсивности уравнение (22) принимает

вид:

Io(0+L/2)=JoS(0, (J), (23)

где S (0, (j) - площадь области G{T(-L/2), Т (0, и) }, а условие нормировки (4) -

I L=J ttR2 . (24)

о о v '

Разделив (23) на (24), получаем

S (0,0)) _ 0+L/2

-;---• (25)

nR L

Как будет показано ниже, во всех случаях взаимного расположения слоя T(0,<j) и области G удается найти явный вид функции S(0, и), что позволяет, решая уравнение (25), найти функцию о(0).

5. ГЕОМЕТРИЯ СИСТЕМЫ СЛОЕВ

Слой (кривая второго порядка) может иметь с окружностью - границей области G - 0, 2 или 4 точки пересечения, 1 или 2 точки касания, а также 1 точку касания и 2 точки пересечения одновременно. Будут рассмотрены все возможные случаи.

Как уже было отмечено, вид слоя Г(-Ь/2) зависит от того, попадает точка С внутрь или вне области G.

Рассмотрим сначала случай, при котором точка С расположена внутри области G. В этом случае слоем Г(-Ь/2) является точка С.

Найдем явный вид функции S(0,cj). Зафиксируем точку отрезка М(0) и найдем значения и, при которых Т(0, (J) касается границы области G. При переходе через эти точки происходит изменение вида зависимости S от в и и.

Касание нижнего края возможно только в точке А (рис.5а, кривая 1) и происходит при значении угла cj-cj^©), определяемом геометрически:

. R cos <р-f sin <р и (0)=arctg-z--— . (26)

1 0+R sin <p+f cos <p

При этом кривая 1(0,^(6)) - эллипс, лежащий внутри области G.

На касании верхнего края следует остановиться подробнее. Оно возможно различными способами: в одной точке В (рис. 5а, кривые 3 и 5; рис.6а, кривые 2 и 4? рис. 7а, кривая 1) или в двух точках и D2 (рис. 5а,

кривая 4; рис. 6а, кривая 3).

. Рис. 5. Слои в виде эллипсов: а) слои пересекают границу области в; б) слон касаются границы области С

Рис. 6. Слои в виде нижних ветвей гипербол:

ж) слои пересекают границу облает» в; б) ело« касаются границы области в

Если кривая Т(в,и) касается G и лежит вне области G. то она может отображаться только в точку M(L/2). Если же кривая Т(0, и) касается G внутренним образом (при этом она имеет еще 2 точки пересечения с границей области G (рис. 5а, кривая 3; рис. 6а, кривая 2), то эта кривая может отображаться только во внутреннюю точку отрезка.

Рассмотрим конус с вершиной в точке М(8), проходящий через точку В. Угол при его вершине обозначим через ы2(в). а радиус кривизны в точке В сечения этого конуса обозначим через г (в). Геометрический расчет дает

ы (g)=arctg R cos si" У , (27)

0-R sin tp+f COS (p

r (0)_ (R cos <p+ f sin <P) (f+e COS <p) (28)

B f cos <p-R sin (p+e

Ясно, что если 0<гв(в)^, где R - радиус области С, то при ы*ь>г{в) кривая Т(в, и) пересекает границу области в в четырех точках, то есть реализуются случаи кривых 3, 4 на рис. 5а или 2, 3 на рис. 6а.

Если же г (в) <0 (то есть рассматриваемое коническое сечение выпукло вниз) или гв(е) * R, то данные случаи реализовываться не будут.

Таким образом, при

око) (в) (29)

кривая Т(0, (J) лежит внутри области G.

Если 1(0, со) пересекает О, то при

ГО<г (0)<и в 4 '

о>1 (0)<со<со2 (0)

гв (0) 20 или гв(0)2=И и>(1>1 (0)

имеют место две точки пересечения, а при

О<гв(0)<К ксо>со2(0)

(31)

имеют место четыре точки пересечения.

С учетом сделанных замечаний запишем выражения Б(в, и) для всех возможных случаев взаимного расположения слоя Т(0,со) и области С и условия, при которых они реализуются для каждой фиксированной точки отрезка М(0).

I. Т(0, со) - фрагмент эллипса, то есть

со+0<тг/2. (32)

1. Эллипс расположен целиком внутри области С (рис. 5б, кривая 1).

Б (9, и) =тта (0, со) Ь (0, со) (33)

при выполненном условии (29).

2. Пересечение в двух точках (рис. 5б, кривая 2).

8 (0, со) =а (0, и) Ь (0, со) агссоэ

- ио (0,со)с3(0, со+И'

л-агссоБ

v (0, со) +с3(0, и)

Ь(0, со) Уо(0, и)

(34)

при выполненном условии (30); (±ио(0, со), V ("в, и)) - точки пересечения эллипса и окружности (ио (0, со) £0) .

3. Пересечение в четырех точках (рис. 56, кривая 3).

3(0, со)=а(0, со) Ь (0, со)

агссоэ

V2 (0, со)+с3(0, со) Ь(0, со)

- агссоэ

(0, со) +<3(0, со) Ь(0, со)

-и2 (0, со) с3(0, со) +

(35)

V (0, со)

+ u (в, со) d(0, со) +R2arccos—--+

R

+ R*

я-arccos

v2(0, D))

при выполненном условии (31); (±1^(0,0)), (в, со)) и (±и2(0, со); у2(е> ) " точки пересечения эллипса и окружности (1^(0, и) го, и2(0, со)^0, Уг(0, ы) > (0, о)) .

II. Т (0, со)-фрагмент параболы, то есть

со+0=7г/2

1. Пересечение в двух точках.

(36)

S (в, со)=- -f

1 V0'w>

р(0, СО)

-ио(0, со) (vQ(0, со) +2с(0, со)) +

+ R

rr-arccos

vq(0,co)

(37)

при выполненном условии (30); (±ио(0,и), уо(0, со)) - точки пересечения параболы и окружности (ио(0, со) * 0). 2. Пересечение в четырех точках.

Б (0,(о)=----(и^(0, со) -и* (0. и)} -

Зр (0, со) I >

- 2с (0, о>) |и2(0, ы)-иг(в, со)| - и2(0, (О) У2(0, (О) +

2 ^(0,со) + и (0, со)у (0, и) + R агссоэ-+

11 о

(38)

+ R'

arccos

v2(0, СО)

)

при выполненном условии (31); (±1^(0, со), со)) и (±и2(0, со),

v (е, со)) - точки пересечения параболы и окружности (и (0, со)*0, ® 1

и2(0,со)г:О, v^e, co)>v2(0, (О) ) .

III. Т (0, со) - нижняя ветвь гиперболы, то есть

(со+0>л/2 \со<тг/2

1. Пересечение в двух точках (рис. 6б, кривая 1). S(0, со) =-а (0, со) b(0, (о) In

UQ(0, (О) vQ(0, со) - d(0, со)

а (0, со)

Ь(0, со)

+ u (0, и) d (0, cj)+R'

тг- arccos

vQ(0, w) 1

R

(40)

при выполненном условии (30); (±ио(0, <*>), чо(9,и)) - точки пересечения нижней ВеТВИ ГИПербоЛЫ И ОКРУЖНОСТИ (11о (0, Ы) 2:0) .

2. Пересечение в четырех точках (рис. 6б, кривая 2).

S (0, (j) =-а (0, cj)b(0, и) | In

и (0, cj) v2 (0, cj) - d (0, cj)

а (0, и)

b(0, cj)

- In

ui (0, <j) а (0, <j)

v (0, cj) - d (0, cj)

b(0, (J)

(41)

v (0, cj)

+ d(0, со) (u2 (0, cj) -uj (б, <j) ) +R arccos-+

+ R

тг-arccos

v2 (0. w)1

при выполненном условии (31); (±и^(0, со), V (0, и) ) и (±и2(0, со), v2(0,co)) -

точки пересечения нижней ветви гиперболы и окружности (и (0, и2(0,и)£О, (0, и) >у2(0, со).

IV. Т(0,со) - верхняя ветвь гиперболы, то есть

со>л/ 2

(42)

1. Пересечение в двух точках (рис.76, кривая 1).

S(0, со)=а(0, co)b(0, со) In

uo (0, Vo (0, " d(0,

а (0, cj)

b (0, cj)

+ uq (0, co)d(0, co)+r*

тт-arccos

vq (0, cj)]

(43)

при выполненном условии (30); (±ио(0, со), V (0, со)) - точки пересечения верхней ветви гиперболы и окружности (ио (0, со) £0) .

Итак, мы рассмотрели все возможные случаи, реализующиеся при попадании точки С внутрь области О.

Пусть теперь точка С находится вне области Слоем Г(-Ь/2) будет в этом случае кривая, касающаяся нижнего края области С и лежащая вне области С. Аналогично касанию верхнего края такое касание возможно различными способами (рис 5а, кривая 2; рис. 6а, кривая 1; рис. 7а, кривые 3, 4).

Кривые 2 и 3 на рис. 7а имеют место, если радиус кривизны г (0) в точке А (нижней точке области С) кривой, соответствующей М(0) и проходящей через точку А,

Г (в)- (f sin <P-R cos 9>) (f-0 COS ip) -9-f cos <p-R sin (f>

удовлетворяет условию 0<га<К.

При выполнении этого же условия возможно пересечение верхней ветви гиперболы и границы области С в четырех точках (рис. 7б, кривая 2). В этом случае

S (0, (j) =а (9, и) b (в, и)

In

и (9, и) V (0, CJ) - d(0, о)) —--+ —-

а(0, и)

- In

и (0, ы) V (0,0))-d(0,а>) -+ —--

а (0, О))

Ь (0,0))

b(0, 0))

v (0,0)) •-R arccos -

2 v (0,0)) - d(0, o)) {i^ (0, o)) -u (0, o)) )+R arccos-

R

(45)

где (±и1(0, и), о))) и (±и2(0,о>), V (9, о))) - точки пересечения

верхней ветви гиперболы и окружности (1^(0, о))^о, и2(0,о))гО, У1(в, о))>

v2(0. О))) .

Обозначим за о)^ (0) угол, при котором происходит касание верхней ветви

гиперболы и границы области G в точке А:

# , f sin cp-R cos

о); (0) =arctg t cQS Дк sin y+Q

(46)

Тогда случай пересечения в четырех точках верхней ветви гиперболы и окружности имеет место при выполнении условий:

O<rA(0)<R око/ (0).

(47)

Никаких других новых случаев взаимного расположения кривой и окружности реализоваться не может. Величина ь>г(9) определяется так же, как и в случае попадания точки С внутрь области С, то есть формулой (27). Останется прежним и условие (31), определяющее пересечение эллипса, параболы или нижней ветви гиперболы с окружностью в четырех точках.

Изменится лишь условие, при котором будет происходить пересечение в двух точках:

ггд(0)<О или га(9)*Я

г (0)<О или Г„(в)*Н в в

V о)

0<ГА(0)<R

гв(0)<О или r0(0)*R 0)>0/ (0)

[гА(в)<0 или rA(e)<R - 0<rB(9)<R

[0x0)2 (в)

[0<rA(0)<R • O<rB(0)<R

[<*>' (0)<OJ<O>2 (в) <48)

Таким образом, для каждой точки М(0) построен алгоритм нахождения функции s (0, о)). Решение уравнения (25) производится численными методами.

Расчет функции о>(0) и затем профиля поверхности фокусатора проводился на ЭВМ типа MicroVAX с помощью программ, написанных на языке FORTRAN.

Для выяснения точности вычислений был проведен вычислительный эксперимент, заключавшийся в определении расстояния между прямой, на которой лежит отрезок L, и лучами, идущими от фокусатора в соответствии с рассчитанной по предложенному алгоритму функцией x(u, v). Для сетки на отрезке, состоящей из 400 точек, это отклонение было существенно меньше дифракционной ширины фокальной линии.

С помощью фотопостроителя сканирующего типа Photomation Р-1700 с растром 25 мкм получены амплитудные маски, на которых плотность почернения соответствует высоте рельефа.

На рис. 8(а-з) приведены фотографии амплитудных масок для различных значений углов наклона отрезка <р( 0-тг/2), длин отрезка L (10-20 мм) и фокусного расстояния f (100-200 мм) для длины волны излучения Л-10,6 мкм. Для иллюстрации вида слоев на амплитудных масках показана система слоев, соответствующих 10 точкам, равномерно расположенным на отрезке L.

Рис. 8. Амплитудные маски фокусаторов в отрезок ( \= Ю,6 мкм, R = 6,4 ммУ а) <¿/=0,02. L =10 мм, f = 200 мм: б) (р =0,05, L = 10 мм f = 200 мм-nWS-ni . m

L - 10 мм, f = 200 мм; д) - - 20 мм, f ='l0 м=м Г ° ^ =//6'

L = 10 мм. Г = 100 мм; з) ^ 77 /2, L 20 мм, f = 200 мм ^ОНК^И^иГя^кГзаН^

V

■■н »11;

■ ЯП IIIH

!■ 1 lililí

ШЯ 1 IIIIII

!■ lililí

II ■■■IV

1Я J

г

е

ж

AWVV*

з

Окончание рис. 8 -67-

ЛИТЕРАТУРА

1. Борн M., Вольф Э. Основы оптики. М.: Наука, 1973.

2. Сисакян U.И., Сойфер В. А. Компьютерная оптика. Достижения и проблемы // Компьютерная оптика, 1987, вып. 1, с. 5-19.

3. Ярославский Л. П., Мерзляков Н. С. Методы цифровой голографии. М., Наука, 1977.

4. Слюсарев Г. Г. Оптические системы с фазовыми слоями // ДАН СССР, 1957, Т. 113, N4, С.780-783.

5. Голуб М. А., Карпеев C.B., Прохоров A.M., Сисакян U.H. , Сойфер В. А. Фокусировка излучения в заданную область пространства // Письма в ЖТФ, 1981, т. 7, вып. 10, с. 18-623.

6. Данилов В. А., Попов В. В., Прохоров A.M., Сагателян A.M., Сисакян U.H., Сойфер В. А. Синтез оптических элементов, создающих фокальную линию произвольной формы // Письма в ЖТФ, 1982, Т. 8, С. 810-815.

7. Бобров С.Т., Грейсух Г.и., Туркевич Ю.Г. Оптика дифракционных элементов и систем. Л.: Машиностроение, 1986.

8. Виноградова М.Б., Руденко О. В., Сухорукое А. П. Теория волн. М. : Наука, 1979.

9. Данилов В. А. , Попов В.В. , Прохоров А.М. , Сагателян Д. М. , Сисакян Е. В. , Сисакян U.H. , Сойфер В. А. Оптические элементы, фокусирующие когерентное излучение в произвольную фокальную кривую: Препринт. ФИАН, N 69, 1983.

10. Данилов В. А., Кинбер Б.Е., Шишлов A.B. Теория когерентных фокусаторов//Компьютерная оптика, 1987, вып. 1, с. 40-52.

11. Гончарский A.B., Данилов В. А. , По лов В. В., Прохоров А. М. , Сисакян U. Н., Сойфер В.А., Степанов В. В. Решение обратной задачи фокусировки лазерного излучения в произвольную кривую//ДАН СССР, 1983, т.273, N 3, с. 605-609.

12. Волкова Н.А., Коробкин В. В. , Малышева Б. Ю. и др. Фокусировка лазерного излучения аксиконами: Препринт. ИВТАН,

N 5-126, М., 1983.

13. Пальчикова и.Г. Синтез фазовой структуры киноформных аксиконов: Препринт. Институт автоматики и электрометрии СОАН СССР, Новосибирск, 1986.

14. Гончарский A.B., Степанов В. В. Обратные задачи когерентной опти- ки. Фокусировка в линию//ЖВМ и МФ, 1986, т. 26, N 1, с. 80-91.

15. Гончарский A.B., Данилов В. А., Попов В. В., Прохоров A.M., Сисакян U.U., Сойфер В.А., Степанов В. В. Фокусаторы лазерного излучения, падающего под углом//Квантовая электроника, 1984, т. 11, N1, с. 166-168.