FIZIK JARAYONLARDA ODDIY DIFFERENSIAL TENGLAMLARNI O’RNI Текст научной статьи по специальности «Науки о Земле и смежные экологические науки»

Xaydarov I.Q. dotsent

Chirchiq davlat pedagogika instituti Toshkent, O'zbekiston Usmonov B.Z. katta o'qituvchi Chirchiq davlat pedagogika instituti Toshkent, O'zbekiston Begliyev I. G. magistrant

Chirchiq davlat pedagogika instituti Toshkent, O'zbekiston

FIZIK JARAYONLARDA ODDIY DIFFERENSIAL TENGLAMLARNI

O'RNI

Annotatsiya: Ushbu maqolada keyingi yillarda juda ahamiyat qaratayotgan fanlararo integratsiya muammosi yani fizik masalalar va differensial tenglamlar orasida integratsiya qaratilgan. Fizik jarayonlarni differensial tenglamar yordamida yechishga doir bir nechta misollar keltirilgan.

Tayanch so'zlar: moddiy nuqta, integratsiya, tezlik, kuch, differensial tenglama.

Xaydarov I.Q. associate professor Chirchik State Pedagogical Institute Tashkent, Uzbekistan Usmonov B.Z. senior teacher Chirchik State Pedagogical Institute

Tashkent region Begliyev I.G. master

Chirchik State Pedagogical Institute Tashkent, Uzbekistan

THE PLACE OF SIMPLE DIFFERENTIAL EQUATIONS IN PHYSICAL

PROCESSES

Abstract: This paper focuses on the problem of interdisciplinary integration, which has become very important in recent years, that is, integration between physical problems and differential equations. There are several examples of solving physical processes using differential equations.

Keywords: material point, integration, velocity, power, differential equation.

KIRISH

Fanlararo integratsiya - bir o'quv intizomining qonunlarini, nazariyalarini, usullarini boshqasini o'rganishda qo'llashda namoyon bo'ladi. Ushbu darajada amalga oshirilgan tarkibni tizimlashtirish talabalar ongida dunyoning yaxlit rasmini shakllantirish kabi bilim natijasiga olib keladi, bu esa o'z navbatida umumiy ilmiy tushunchalar, toifalar, yondashuvlarda o'z ifodasini topadigan yangi darajadagi bilim turini paydo bo'lishiga olib keladi. Fanlararo integratsiya fanlararo integratsiyani sezilarli darajada boyitadi.

Tabiiy va fizik jarayonlarni o'rganishda fanlararo integratsiya juda katta ahamiyatga ega. Har doim fizika fanida matematikaning o'rni beqiyosdir.

Ushbu ishda fizika va differensial tenglamalari fanlari orasidagi integratsiya qanchalik muhim ekanligini quyidagi misollar yordamida ko'rib chiqilgan. Fizik jarayonlarni oddiy differensial tenglamlar yordamida yechish ko'rib chiqilgan.

Quyidagi ishlarda ham fanlararo integratsiya katta ahamiyat qaratilgan.[1],[2],[7],[22] ishlarda matematika va informatika fanlari orasidagi fanlararo integratsiyaga katta e'tibor qaratilgan. [3],[4],[5],[6] ishlarda algebra va geometriya fanlari orasidai integratsiya misollar yordamida ko'rsatilgan. [8],[9],[10],[11],[12],[13],[14],[15],[16],[17],[18],[19], [20],[21] ishlarda matematika, mexanika va fizika fanlari orasida integratsiyalarni ko'rsatib o'tilgan.

Tadqiqot ob'ekti va qo'llaniladigan metodlar

Tadqiqot ob'ekti sifatida fizik jarayonlarni oddiy differensial tenglamalar yordamida yechish. Tadqiqot metodlari: masalani yechishning aniq usullari, taqribiy-aniq usullari va sonli usullari.

Olingan natijalar va ularning tahlili

Oddiy differensial tenglamalar haqida teorima va xossalarida foydalanib fizik jarayonlarni yechishni keltiramiz.

3pKHH Moggnfi HyKTaHHHr TyFpu hh3hkhh xapaKara. 3pKHH Moggufi HyKTa Tyrpn hh3hk^h x,apaKar KU-ramu ynyH yHra Tatcup этyвнн Ky^napHHHr TeHr Tatcup этyвннcн y3rapMac HyHanumra эгa Synumu Ba öomnaHFHH Te3nuK эсa TeHr Tatcup этyвнн Kyn HyHanumH 6yÖHHa HyHanumH ëKH Honra TeHr ôynnmH KepaK. X,apaKar x yKH 6yÖHHa cogup öynca, HyKTa TyFpu hh3hk^h xapaKaTHHHHr gн^^epeнцнaп TeHraaMacuHH HtroTOHHHHr hkkhhhh KOHyHura ÖHHoaH

dv

m—— = F(x,v, t) at

ëKH

mx = F(x,v,t) (1)

KypuHumnapga ë3um MyMKHH.

а2х ау __

Бунда — = — тезланиш харакат конунидан вакт оуиича олинган

иккинчи ва v тезликдан t вакт буйича олинган биринчи тартибли хосилалар, m — харакатланаётган нукта массаси, F — тенг таъсир этувчи кучнинг алгебраик киИмати.

а) Моддий нуцтага мицдор ва йуналиш жщатдан узгармас булган F куч таъсир цилсин. Нуктанинг бошлангич тезлиги F кучнинг таъсир чизигида ётсин. х укни F кучнинг таъсир чизиги буИлаб йуналтирамиз. У холда (1) тенгламани куйидагича ёзиш мумкин: тх = F (2)

бунда F — кучнинг алгебраик киймати. (2) да х = — эканлигини

хисобга олиб, узгарувчиларни ажратамиз ва интеграллашдан сунг

F

ё.х = — т

(3)

F

х = — t + Сг

т

ни хосил киламиз.

(3) да хам х = — эканлигини эътиборга олиб, узгарувчиларни

м

ажратамиз:

йх = (— t + Сл)

\т )

буни интеграллашдан сунг х = -г2 + сл + с2 (4)

т 12 \ /

ни топамиз.

(4) ифода (2) дифференциал тенгламанинг умумий ечимидир. Хдракатнинг бошлангич шартлари t = 0 да х = Х0, v =Ув куринишда

булсин. У холда уларни (3) ва (4) ифода ларга куйиб, интеграллаш доимийлари С1 ва С2 ларни аниклаймиз: С1 =У0 , С2 =xo. Топилган кийматларни (4)га куйиб, нуктанинг харакат конунини аниклаймиз:

F 9

х = хо + Уог + -г2 (5)

(5) дан нукта узгармас куч таъсири остида текис узгарувчан харакатда булишини тушуниш кийин эмас.

б) Моддий нуцтага фацат вацтга боглиц куч таъсир этсин. F куч факат t вактнинг функцияси сифатида берилган булсин. У холда (1) тенгламани куйидагича ёзиш мумкин: тх = Рф (6)

йх .. й (йх\ йу

ёки тугри чизикли харакатда х = ^ = у,х = ^ = булгани

учун

(7) тенглaмaни t = to дa v = vo бошлaнFич шaртдa интегрaллaб, хусусий ечимни хрсил килaмиз:

t

l

v = — I F(T) dz + v0 m J

a

Бу ечимни кyйидaгичa Kama езиш мумкин: mv — mv0 = С F(r) dr (8)

a

(8) дaн ^ритадики, нукганинг бирор чекли BaKT орaлиFидaги xapa^T микдорининг Узшриши тaъсир этувчи кучнинг шу BaKT орaлиFидaги импyльсигa тенг (^apa^T микдорининг Узшриши xдк,идaги конун). F(t) мaълyм функция бyлгaнлиги учун охирги интегpaлни x1исоблaб, вaктнинг фyнкциясидaн ибоpaт бирор

f(t) = £ F(t) dr (9)

функция билaн aлмaштиpсaк, нaтижaдa (9) ни

mv—mv0 = fit) (10) кypинишдa езиш мумкин. (10) дaн нукганинг тезлиги v ни aниклaймиз:

l

v = Vo+—f(t)

m

Бу тенгдaмaдa v = — бyлгaни учун

dx l

dt m

еки yзгapyвчилapни aжpaтсaк,

l

dx = v0 +—f(t) dt m

бyлaди.

БошлaнFич t = to пaйтдa x = xo дейлик. Бу бошлaнFич шapтлapдa охирги тенглaмaни интегpaллaймиз:

l

v0+ — f(t) dt + C

x

еки

=I

a

m

l

4mdt

a

X = Xo + Voit — to) +—

m

Бу тенглaмa Ba^rra боFлик функция тapзидa беpилгaн yзгapyвчaн куч тaъсиpидaги нукганинг тyFpи чизикли x1apaкaт конунини ифодaлaйди.

в) Моддий нуцтага фацат нуцтанинг уолатига бозлиц куч таъсир цилсин. У x1олдa (1) тенглaмaни

dv

m — = F(X) dt

ёки

dv dx

m—---— = F(x)

dx dt

t» .. ti dx ~

кyринишдa ёзиш мумкин. Бyндa — = v булгани учун

mv% = F(x), (11)

yзгaрyвчилaрни aжрaтсaк,

mv dv = F(x)dx (12)

БошлaнFич t = t0 дa x = x0, v = v0 булсин. (5.11) тенглaмaни бу бошлaнFич шaртлaрдa интегрaллaймиз Ba к;yйидaги хусусий интегрaлни топaмиз:

22 mv2 mv 2 rx

-^°=rF(x)dx (13)

2 2 JXo

(13) тенглик нукганинг x = x0 мaсофaгa кyчишидa унинг кинетик энергиясининг узгариши кучнинг шу yтгaн йyлдa бaжaргaн ишигa тенг экaнлигини кyрсaтaди. Бу мyносaбaт куч кУчиш функцияси кyринишидa берилгaн Ba нукганинг тезлигини хдм кучиш функцияси ^би ифодaлaш тaлaб килинган x1оллaрдa жyдa кyлaйдир.

X,aкик;aтaн х,ш, (13) нинг унг томонидaги интегрaлни f(x) билaн белгилaймиз, у x1олдa

mv2 mv2

-^ = f(x),

22

бyндaн нукганинг тезлигини aниклaймиз:

V = ±Jv2+2f(x)

(илдиз олдидaги ишорa нукганинг х укнинг мyсбaт ёки мaнфий йyнaлишидa xдрaкaтлaнишигa к;aрaб мое рaвишдa тaнлaб олитади) ёки v =

dx

— бyлгaни учун

dx , I 2 ■ 2

yзгaрyвчилaрни aжрaтсaк,

dx

± -= dt

Jti+à™

бутади.

Берилгaн бошлaнFич шaртлaрни эътиборгa олиб, бу тенглaмaни интегрaллaсaк,

*х dx

± I . = = t-t0

í

Xo I„2 ■ 2

v2o+ñf(x)

бyлaди.

Бу тенгламанинг чап томонидаги интегрални хисоблаб, х ни I вактнинг функцияси сифатида ифодалаймиз ва нуктанинг харакат конунини топамиз.

г) Моддий нуцтага таъсир этути куч фацат нуцтанинг тезлигига боглиц булсин. Бундай доллар одатда каршилик кучини хисобга олиш лозим булган масалаларни ечишда учрайди. ¥ = /(V) булганда нуктанинг тугри чизикли харакати дифференциал тенгламасини икки усулда интеграллаш мумкин.

1-усул. Моддий нукта харакати дифференциал тенгламасини

= (14)

куринишда олиб, узгарувчиларни ажратамиз:

(V ,

т—- — М

Г(V)

Бошлангич ^ = и пайтда V = vo эканини эътиборга олиб, тенгламани интеграллаймиз:

= (15)

(15) нинг чап томонидаги интегрални хисоблаб, олинган ифодани V га нисбатан ечсак,

булади. Бошлангич I = и пайтда х = хо эканини хисобга олиб, бу тенгламани интеграллаб, нуктанинг харакат конунини аниклаймиз:

X — Хо +

^0

2- ус у л. Нукта харакатининг дифференциал тенгламасини яна куйидагича ёзиш мумкин:

йу

ту — — /(у) йх

Узгарувчиларни ажратамиз:

йу

ту г, . — йх

/(у)

тенгламани юкоридаги бошлангич шартларда интегралласак,

(•V vdv /1 .

т I —— — х — х0 (17)

хамда (17) нинг чап томонидаги интегрални хисоблаб, олинган тенгламани V га нисбатан ечсак, тезликни масофанинг функцияси сифатида аниклаймиз:

(х I / \

у—- — гР(х),

бундан

-^к — йг (18)

Бу тенгламани берилган бошлангич шартларга интеграллаймиз:

jx_dx _ (19)

JXo ■ф(х) 0 v J

(19) нинг чап томонидаги интегрални хдсоблаб, олинган тенгламани х га нисбатан ечсак, х ни вактнинг функцияси куринишида ифодалаш мумкин.

Xulosa qilib aytganda talabalarni o'qitishda fanlararo integratsiya muhim sanaladi. Oddiy differensial tenglamalar fanini fizika yonalishiga o'tayotganda har bir fizik jarayoni differensial tenglama orqali hal etilishini ko'rsatilsa o'quvchu talabalar shu fanni nima uchun o'qish kerak yoki o'rganish kerak degan savollarga javob topadi va shu fanni chuqur o'rganishga va tushunarli bo'lishiga kata yordam beradi.

Foydalanilgan adabiyotlar:

1. B.Z.Usmonov, G.Sh.Togayeva, M.A.Davlatova "O'zgarmas koeffitsientli ikkinchi tartibli bir jinsli differentsial tenglamalarini o'qitishda matematik paketlarni o'rni"./ACADEMIC RESEARCH IN EDUCATIONAL SCIENCES VOLUME 2 | ISSUE 3 | 2021 ISSN: 2181-1385 Scientific Journal Impact Factor (SJIF) 2021: 5.723

2. G.U.Suyunova., B.Z.Usmonov. "Biologiya fanini o'rgatishda axborot-kommunikatsiya texnologiyalari o'rni va vazifalari" /ACADEMIC RESEARCH IN EDUCATIONAL SCIENCES VOLUME 2 | ISSUE 3 | 2021 ISSN: 21811385 Scientific Journal Impact Factor (SJIF) 2021: 5.723

3. B.Z.Usmonov, T.A.Qobilov "Isbotlashlarda taqqoslamalar ning o'rni" "./ ACADEMIC RESEARCH IN EDUCATIONAL SCIENCES VOLUME 2 | ISSUE 5 | 2021 ISSN: 2181-1385 Scientific Journal Impact Factor (SJIF) 2021: 5.723

4. Kutlimurotov, R. A., Usmonov, B. Z., Toshbayeva, N. Y., & Eshqorayev, Q "CHEKLI ZANJIRLI KASRLARNI BAZI MASALALARGA TADBIQI." "./ ACADEMIC RESEARCH IN EDUCATIONAL SCIENCES VOLUME 2 | ISSUE 5 | 2021 ISSN: 2181-1385 Scientific Journal Impact Factor (SJIF) 2021: 5.723

5. B.Z.Usmonov, G.Sh.Togayeva, M.A.Davlatova "BIR JINSLI TOR TEBRANISH TENGLAMASI UCHUN II- CHEGARAVIY MASALANI FURE USULIDA YECHISHDA MATEMATIK PAKETLARNING ROLI"./ ACADEMIC RESEARCH IN EDUCATIONAL SCIENCES VOLUME 2 | ISSUE 4 | 2021 ISSN: 2181-1385 Scientific Journal Impact Factor (SJIF) 2021: 5.723

6. Исломов Б.И., Усмонов Б. З. Аналог задачи Геллерстедта для одного класса уравнения третьего порядка эллиптико-гиперболического типа. \\ «Узбекский математический журнал». 2017. № 4. С. 51-57 .

7. Islomov B. I.,Usmonov B.Z. Nonlocal boundary value problem for a third-order equation of elliptic-hyperbolic type. // " Labachevskii Journal of

Mathematics".2020. Vol. 41. No 1. pp. 32-38.DOI: 10. 1134/ S19950802200 10060.

8. Усмонов Б. З. Обобщения задачи Трикоми для одного класса уравнения третьего порядка эллиптико-гиперболического типа с разрывными условиями. // БухДУ илмий ахборотномаси, 2019 йили, №4.

9. Исломов Б. И., Усмонов Б. З. Локальная краевая задача для одного класса уравнения третьего порядка эллиптико-гиперболического типа . // Вестник ЮУрГУ. Серия "Математика. Механика. Физика" 2020. № 3

10. Усмонов Б. З. Нелокальная краевая задача для уравнения третьего порядка с эллиптико-гиперболическим оператором. //Булитин Институт Математики. 2020. № 2.

11. Исломов Б.И., Усмонов Б. З. "Краевые задачи для одного класса уравнения третьего порядка с эллиптико-гиперболического оператором"// Самду Илмий ахборатномаси. 2020. №3

12. Bozor Islomovich Islomov, Bakhtier Zokhirovich Usmonov. "Local boundary value problem for a class of third-order elliptic-hyperbolic type equation" //Vestnik Yuzhno-Ural'skogo Gosudarstvennogo Universiteta. Seriya" Matematika. Mekhanika. Fizika" 2020. № 3

13. Исломов Б.И., Усмонов Б. З. Краевая задача для одного класса уравнения смешанного типа третьего порядка с оператором Лаврентьева-Бицадзе. //Тезисы докладов «Актуальные проблемы дифференциальных уравнений и их приложения». Ташкент. 2017. С.43-44

14. Исломов Б.И., Усмонов Б. З. Об одной краевой задаче для уравнения смешанного типа третьего порядка с оператором Лаврентьева-Бицадзе// Материалы международной научно конференции «Дифферинциальные уравнения и смежные проблемы», 25-29 июня 2018 год, 238-240

15. Усмонов Б. З. Краевая задача типа задачи бицадзе-самаррского для уравнения смешанного типа третьего порядка эллиптико-гиперболического типа.// Abstracts of the International Conference "Mathematical analysis and its application to mathematical physics". September 17-20, 2018, Samarkand, Uzbekistan, 56-60.

16. Усмонов Б. З. Краевая задача для уравнения третьего порядка эллиптико-гиперболического типа. // Международная конференция «Обратные и некорректные задачи» Самарканд,2-4 октября,2019.128-129 .

17. Исломов Б.И., Усмонов Б. З. Нелокальная краевая задача для уравнения эллиптико-гиперболического типа третьего порядка, когда главную часть оператора содержит производную по y // Узбекско-Российская научная конференция «Неклассические уравнения математичиской физики и их приложения». 24-26 октября 2019 года Тошкент,Узбекистан.

18. Усмонов Б. З. Краевая задача для уравнения третьего порядка эллиптико-гиперболического типа . // Международная научной

конференции. «Современные проблемы дифференциальных уравнений и смежных разделов математики»/ 12-13 марта, 2020 год Фаргана.

19. Исломов Б.И., Усмонов Б. З. Краевая задача для уравнения, составляющими из произведения не перестановочных дифференциальных операторов в прямоугольной области.// Of the Uzbekistan-Malaysia international online conference "COMPUTATIONAL MODELS TECHNOLOGIES". August 24-25,2020

20. Usmonov B.Z., Islomov S.M.,Toshbayeva, N. Y. "GEOMETRIK MASALALARNI YECHISHDA BIRINCHI TARTIBLI DIFFERENSIAL TENGLAMALARNI ROLI" "/ ACADEMIC RESEARCH IN EDUCATIONAL SCIENCES VOLUME 2 | ISSUE 6 | 2021 ISSN: 2181-1385 Scientific Journal Impact Factor (SJIF) 2021: 5.723

21. Usmonov B. Z., Qobilov T.A.,, Begliyev I.G'. "FIZIK MASALALARNI YECHISHDA BIRINCHI TARTIBLI DIFFERENSIAL TENGLAMALARNI ROLI" ./ ACADEMIC RESEARCH IN EDUCATIONAL SCIENCES VOLUME 2 | ISSUE 6 | 2021 ISSN: 2181-1385 Scientific Journal Impact Factor (SJIF) 2021: 5.723

22. Кутлимуротов А.Р.,Усмонов Б.З., Дармонова А. "РЕШЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ЗАДАЧ МЕТОДОМ КОМПЛЕКСНЫХ ЧИСЕЛ"./ ACADEMIC RESEARCH IN EDUCATIONAL SCIENCES VOLUME 2 | ISSUE 6 | 2021 ISSN: 2181-1385 Scientific Journal Impact Factor (SJIF) 2021: 5.723