CC BY
16
УДК 577.3Ц-577.171.53
ФИЗИЧЕСКИЙ ПОДХОД К МОДЕЛИРОВАНИЮ
КОЛЕБАНИЙ КОНЦЕНТРАЦИЙ КЛЕТОК КРОВИ
ЗДОРОВОГО И БОЛЬНОГО ЛЕЙКОЗОМ ОРГАНИЗМА
В УСЛОВИЯХ IN VIVO
А. А. Березин, В. А. Щеглов
Предложена физическая модель острого лейкоза in vivo, описывающая динамику лейкозного процесса как значительное увеличение энергии цикла дифференцировки тех видов клеток крови (бластов), энергия цикла которых в норме составляет доли процента от энергии цикла лимфоцитов и сегментоядерных нейтрофилов. Модель записана в рамках связанных уравнений Ван дер Поля с запаздыванием. Получено хорошее соответствие решений модели экспериментальным клиническим данным.
В предыдущей статье [1] нами была предложена физическая модель колебаний в условиях in vitro концентраций сегментоядерных нейтрофилов и лимфоцитов в крови здорового донора. Было показано, что эти колебания описываются связанными уравнениями Ван дер Поля с запаздыванием:
(1)
где х,у - производные концентраций сегментоядерных нейтрофилов и лимфоцитов соответственно в крови in vitro, Тх и Ту - времена запаздывания изменения концентраций относительно воздействия, которые определяются временем взаимной дифференцировки клеток, ei,e2 < 1 отражают коэффициенты нелинейности, определяемые механизмом
синтеза белков сегментоядерными нейтрофилами и лимфоцитами, и - частота колебаний производных концентраций нейтрофилов и лимфоцитов, Fi(t),F2(t) - случайные функции, отражающие влияние хаотических тепловых флуктуаций в электролите плазмы крови на производные концентраций х и у. Система (1) была исследована на ком пьютере и было показано соответствие ее решений результатам эксперимента.
Кроме того, в [1] было показано, что в крови in vitro больных острым лейкозом наряду с нормальными клетками присутствуют опухолевые (лейкозные) клетки. На рис. 1 приведен график колебаний концентраций лимфоцитов и лейкемических клеток в крови больного острым лимфобластным лейкозом в условиях in vitro. Аналогичный характер имеют графики колебаний у больных острым миелобластным лейкозом, однако в этом случае наблюдаются противофазные колебания между концентрациями сегмен-тоядерных нейтрофилов и миелобластами (опухолевыми клетками). Эти экспериментальные результаты позволяют предложить физико-математическую модель острого лейкоза как лимфобластного, так и миелобластного. В дополнение к математически описанным системой (1) колебательным процессам, имеющим место в крови здоровых людей, в модель включаются колебания концентрации лейкозных (опухолевых) клеток. При этом, наряду с описанной взаимной дифференцировкой сегментоядерных нейтрофилов и лимфоцитов, описываемой математически с помощью системы (1), в крови in vit.ro будет наблюдаться взаимная дифференцировка между лимфоцитами и лимфобластами [2], которая математически записывается следующим образом:
dCbJ п dCLB п
-jt = Clb' = (2)
где Clj и С lb ~ абсолютная концентрация лимфоцитов и лимфобластов соответственно; z - производная концентрации в крови белка, синтезируемого лимфобластами. В этом случае, наряду с системой (2), будет присутствовать уравнение, описывающее динамику скорости изменения концентрации белков, синтезируемых лимфобластами:
(з)
где z - производная концентрации в крови белков, синтезируемых лимфобластами, 1-- время процесса дифференцировки лимфоцитов в лимфобласты, F^{t) - случайная функция, отражающая влияние тепловых флуктуаций электролита плазмы крови на скорость диффузии белков внутрь лимфобластов и лимфоцитов. и>0 отражает частоту собственных колебаний клеток in vitro, которая соответствует периоду колебаний
2тг/ш0 = 2 часа 40 минут.
Уравнение, описывающее скорость изменения концентрации белков, синтезируемых лимфоцитами, с учетом (2), будет выглядеть следующим образом:
% + е, (*> + ^ + ^ + ^г,-г) 4 + * - „ад. №
Рис. 1. Часовые колебания концентраций лимфоцитов (JI) и лейкозных клеток (ОК) в крови больного острым лимфообластным лейкозом в условиях in vitro.
Рис. 2. Результат математического моделирования часовых колебаний производных концентраций нейтрофилов (х), лимфоцитов (у) и лейкозных клеток (z) в условиях in vitro.
На рис. 2 изображены графики компьютерных решений связанных уравнений (1,3, 4). При подстановке значений x,y,z в уравнения для абсолютных концентраций получены кривые, соответствующие экспериментальным данным.
При уменьшении времени запаздывания Тг в три раза в решениях модели наблюдается уменьшение абсолютной концентрации нейтрофилов при увеличении абсолютной концентрации лимфобластов. Это позволяет сделать заключение о том, что лейкеми и ский процесс представляет собой явление увеличения энергии цикла дифференцировк 11
лейкемических клеток. Опухолевые клетки имеют свой собственный цикл дифферен-цировки, параметры которого отличаются от параметров дифференцировки здоровых клеток. Это различие в некоторых случаях приводит к автопараметрическому раска чиванию амплитуды колебаний концентрации опухолевых клеток и опухолевой диффе-ренцировке клеток в буферных органах: костном мозге, селезенке, лимфоузлах. Другими словами, возникновение и развитие лейкемического процесса представляет собой явление развития автоколебаний с временными параметрами, отличными от параметров автоколебательного процесса дифференцировки здоровых клеток крови и, как следствие, отбор энергии в сторону опухолевого цикла.
В экспериментальном отношении представляет интерес влияние различных параметров в плазме крови в условиях in vitro на характер колебаний. Поскольку кровь в этих условиях представляет собой открытую термодинамическую систему, ожидалось, что незначительное изменение начальных условий среды приведет к значительным изменениям характера колебаний. В эксперименте при инкубации крови in vitro было обнаружено, что добавление в среду таких традиционных цитостатиков как винкри-стин в дозах на два порядка меньше лечебных (0. 01 мг) приводит к быстрой гибели всех клеток в исследуемом объеме. Кроме того, изменение рН плазмы крови от 7.2 до 6.8, также приводит к резкому изменению характера колебаний исследуемых концентраций. Последнее также подтверждает выводы работы М. В. Фока о роли рН в процессе дифференцировки клеток [3].
Наблюдаемая в эксперименте синхронность колебаний абсолютных концентраций сегментоядерных нейтрофилов и лимфоцитов во всем объеме исследуемой крови in vitro представляет собой явление, аналогичное возникновению ячеек Бенара, синхронным сокращениям сердечной мышцы, реакцией Белоусова-Жаботинского и др. Вместе с тем, механизм синхронизации концентрационных колебаний клеток крови в крови in vitro требует наличия гипотезы о существовании среды, обладающей свойствами распределенной динамической системы. В роли такой среды может выступать сильный электролит плазмы крови, рассматриваемый с позиции плотной физической плазмы.
Разработанная математическая модель колебаний концентраций сегментоядерных нейтрофилов, лимфоцитов и опухолевых клеток в крови in vitro была положена в основу создания модели для описания колебаний указанных концентраций в условиях in vivo.
Математическая модель суточных и месячных колебаний концентраций сегментоядерных нейтрофилов, лимфоцитов и лейкемических клеток в условиях in vivo. Полученные экспериментальные данные и результаты математического моделирования
колебаний сегментоядерных нейтрофилов, лимфоцитов и лейкемических клеток in vitro позволили разработать математическую модель для описания суточных и месячных колебаний концентраций этих клеток в условиях in vivo. Основная система уравнений модели записывается следующим образом:
d?CN dCN 2 d<PCl
= S0 + Si sina^f + S2 sin 2a>it + S3 sin Ш + S4 sin 2Ш, <PCL -i\dCL , И 2/"i Dd2CN
~dP~ + L ~ V~dT +4шгСь- Д— = (5)
= E0 + E1 sin^ii + E2 sin 2w\t + E3 sin fíí + 1E4 sin 2fit,
где N - концентрация сегментоядерных нейтрофилов в костном мозге и L - концентрация лимфоцитов в лимфатических узлах, нормированные на среднестатистические концентрации в данной возрастной группе. Сдг и Сь~ отличие от среднего концентраций сегментоядерных нейтрофилов и лимфоцитов соответственно в единице объема периферической крови. Справа в уравнениях записывается внешнее воздействие суточных и месячных вариаций солнечной активности и магнитного поля Земли. Sq — S4w.Eq — E4- начальные амплитуды этих воздействий. То = 2тг/шо = 24 часа, Та = 2тг/П = 28 суток, цн = 0.1, p-L — 0.1 — коэффициенты связи.
c1 = l~1¡Tl> c» = n-1TTn- (6)
Эта пара уравнений отражает запаздывающее воздействие демпферов амплитуд колебаний концентраций нейтрофилов и лимфоцитов за счет демпфирующего воздействия костного мозга для Cjv и селезенки и лимфоузлов для Сь- При этом время запаздывания Тм-
_ rnNcN 100% (7
PnSNKN
где тдг - объем костного мозга, сдг - удельная скорость поглощения нейтрофилов костным мозгом из периферической крови, Sn ~ площадь поверхности костного мозга, рн -процентное содержание нейтрофилов
в костном мозге, К ¡у — удельная скорость выхода нейтрофилов в периферическую кровь из костного мозга, пропорциональная скорости дифференцировки миелобластов костного мозга до стадии нейтрофилов,
mLcLm%
= (8)
где гпь - объем селезенки и лимфоузлов, с^ - удельная скорость поглощения лимфоцитов селезенкой и лимфоузлами из периферической крови, р£ - процентное содержание лимфоцитов в селезенке и лимфоузлах, Бь ~ площадь поверхности селезенки и лимфоузлов, Кь - удельная скорость выхода лимфоцитов в периферическую кровь, пропорциональная скорости дифференцировки лимфобластов селезенки и лимфоузлов до стадии лимфоцитов.
Ся = Р + -ттТь = (9)
аъ аъ
Здесь Р - концентрация миелобластов в селезенке и лимфоузлах, а И - концентрация лимфоцитов в костном мозге, пара уравнений (9) описывает взаимную синхронизацию колебаний концентраций Сдг и Сь за счет дифференцировки нейтрофилов из миелобластов в селезенке и лимфоузлах и дифференцировки лимфоцитов из лимфобластов в костном мозге. При этом
Г[ _ тысьЖ% РьБ^Къ
где сь - удельная скорость поглощения лимфоцитов костным мозгом из периферической крови, рь - процентное содержание лимфоцитов в костном мозге, Кь - удельная скорость выхода лимфоцитов в периферическую кровь из костного мозга, пропорциональная скорости дифференцировки лимфобластов костного мозга до стадии лимфоцитов. Время запаздывания, равное времени протекания этой дифференцировки, Тп равно:
_ тп^3Ш% п~ РзБьКэ '
где С5 - удельная скорость поглощения нейтрофилов селезенкой и лимфоузлами из периферической крови, р5 - процентное содержание нейтрофилов в селезенке и лимфоузлах, А'5 - удельная скорость выхода нейтрофилов в периферическую кровь, пропорциональная скорости дифференцировки миелобластов селезенки и лимфоузлов до стадии нейтрофилов.
Как показали исследования систем, описываемых уравнениями Ван дер Поля с запаздыванием [4], в зависимости от времени запаздывания Т/,, Тх, Ту они имеют различные режимы колебаний. Так, при Тх = То/2, Ту = Го/4, Тц = Тп/2, Ть = Тп/4 наблюдаются устойчивые синхронные колебания с периодом Т0. Увеличение Тх до значения То и Ту до значения То/2 приводит к тому, что синфазный режим колебаний Сдг и Сь скачком переходит в противофазный. Синфазный режим суточных колебаний
концентраций сегментоядерных нейтрофилов и лимфоцитов, как показано на рис. 1, 2 работы [1], наблюдается у здоровых людей и животных (мыши), а противофазный у больных инфекционными и воспалительными заболеваниями (рис. 4 работы [1]).
Рис. 3. Компьютерное моделирование суточных и часовых колебаний концентраций нейтрофилов (1) и лимфоцитов (2) в крови здоровых доноров.
Компьютерное исследование совместного решения систем (5, б, 9) и системы (4) работы [1] показало как качественное, так и количественное соответствие решений математической модели для случаев здоровых доноров (рис. 3) инфекционных заболеваний (рис. 4), и развития острого лейкоза (рис. 5). Кроме того, исследование решений модели при внешнем импульсном воздействии на систему, что моделирует, например, проведение вакцинаций, воздействие на кровь различных химических агентов и другие стрессорные воздействия на систему крови, показало, что если воздействие на кровь происходит по времени в точке перегиба функции изменения концентрации цикла диф-ференцировки по пути лимфоцит - лимфобласт, то возникает высокая вероятность развития лейкозного процесса (автопараметрического раскачивания этого в норме очень малого цикла и преимущественного передифференцирования клеток буферных органов в лимфобласты), что иногда наблюдается после проведения вакцинаций или отравлен I-химическими веществами. В целях моделирования подобных воздействий, было осуществлено импульсное влияние на модель (показано стрелкой на графике рис. 2) в периоде развития регулярных противофазных колебаний в решениях модели. Как видно из полученных графиков (рис. 2), характер колебаний после импульсного воздействия резко
меняется. В частности, наблюдается нарушение фазовой и амплитудной стабильности колебаний. Помимо этого, как экспериментальная система, так и ее математическая модель обладают "памятью" к внешним воздействиям, что также является типичным свойством открытых термодинамических систем.
Рис. 4. Компьютерное моделирование суточных колебаний концентраций нейтрофилов (1) и лимфоцитов (2) в крови больного инфекционным заболеванием.
Эти исследования модели также показали, что одним из простых эффективных методов воздействия на лейкозный процесс в направлении передифференцировки лейкозных клеток в лимфоциты является введение в кровь дополнительных буферов, например, донорских сегментоядерных нейтрофилов, что приводит к быстрому уменьшению ам плитуды колебаний лейкозного цикла дифференцировки. Этот метод был исследован клинически и показал свою высокую эффективность.
Рассмотрим причины, лежащие в основе изменения параметров циклов дифференцировки клеток крови. Следует полагать, что времена запаздывания Тн,Ть,Тх,Ту детерминированы генетически и различные изменения в молекуле ДНК приводят к их изменению и, как следствие, к нарушению амплитуд и фаз суточных колебаний концентраций этих типов лейкоцитов. Фактически причины изменения параметров циклов дифференцировки лежат на микроуровне - в изменениях параметров колебательной динамики молекулы ДНК, что имеет место, например, при внедрении вирусов, изменяющих структуру этой молекулы. Кроме того, в силу ряда генетических отличий.
например, у инбридинговых мышей линий АК11, периоды запаздывания дифференци ровки изменены на уровне характерных отличий в молекуле ДНК мышей этой линии по сравнению, например, со среднестатистической молекулой ДНК у беспородных мышей, что и является причиной врожденных изменений суточных колебаний концентраций сег-ментоядерных нейтрофилов и лимфоцитов, которые наблюдались в эксперименте (рис. 3 работы [1]).
Рис. 5. Компьютерное моделирование суточных колебаний концентраций нейтрофилов (1), лимфоцитов (2) и лимфобластов (3) в крови больного острым лимфобластным лейкозом.
В целом, на основе математического моделирования системы кроветворения как in vitro, так и in vivo, и сравнения результатов моделирования с экспериментальных, i данными был сделан вывод о том, что система крови представляет собой открытую термодинамическую систему, в которой существует ряд аттракторных циклов диф-ференцировки, параметры которых детерминированы генетически. В силу различных генетических нарушений или врожденных отличий в структуре молекулы ДНК эти циклы могут изменять свои параметры как спонтанно, так и под влиянием внешних факторов. Наличие двух малых лимфобластных и миелобластных циклов в такой распределенной колебательной системе как кровь всегда наблюдается у здоровых людей и автопараметрическое раскачивание одного из этих циклов и развитие лимфобластного или миелобластного лейкозов в силу возможных перечисленных причин представляет собой один из типичных физических сценариев перекачки энергии между циклами.
После численного исследования модели были проведены клинические исследования.
направленные на перестройку энергии циклов клеток с помощью взвеси сегментоядер-ных нейтрофилов, а также традиционных цитостатиков. Предварительный сценарий лечения отрабатывался на компьютерной модели, с помощью которой определялось наиболее оптимальное время воздействия на систему крови. Несмотря на очевидную трудность этой методики, связанной с необходимостью забора до 8 анализов крови в день, наблюдались случаи полного исчезновения лейкозного процесса. Самой большой трудностью явилось "удачное" совпадение динамики модели и динамики колебательных процессов в крови конкретного больного острым лейкозом. Кроме того, при проведении лечебных мероприятий с помощью внутривенного введения взвеси нейтрофилов было обнаружено, что у больных исчезали симптомы аллергических заболеваний, существовавших до этого в течение длительного времени.
Исходя из результатов клинических исследований и математического моделирования, можно сформулировать следующие выводы:
- проведение курсов химиотерапии при лечении острого лейкоза необходимо осуществлять в определенное время суток, поскольку чувствительность клеток к цитостатикам в организме носит колебательный характер во времени, аналогичный колебаниям концентрации клеток крови. В частности, при непрерывном капельном введении химиопрепаратов в течение суток их концентрация обычно должна достигать своего минимального значения в период 6-8 часов утра, а максимального - в 18-20 часов. При этом максимальное и минимальное значения концентрации препарата должны различаться не менее чем на порядок. При разовых введениях препаратов рекомендации аналогичны.
- традиционные вакцинации у детей рекомендуется осуществлять в период с 14 до 18 часов дня и не менее чем за месяц до или после дня рождения ребенка,
- избегать контактов с сильнодействующими химическими веществами в период с 2 часов ночи до 12 часов дня,
- подобно изложенной модели могут быть описаны и другие патологические процессы, такие как аутоиммунные заболевания (бронхиальная астма), развитие некоторых видов опухолей, а также динамика ряда вирусных заболеваний.
Светлой памяти Леночки Березиной, умершей от лейкоза в 20 лет.
ЛИТЕРАТУРА
[1] Б е р е з и н А. А., Щеглов В. А. Краткие сообщения по физике ФИАН, N 4, 3 (2002).
[2] Б е р е з и н А. А. и др. Труды первой Украинской конференции гематологов и трансфузиологов. Киев, 1980, с. 92.
[3] Фок М. В. Краткие сообщения по физике ФИАН, N 4, 30 (1999).
[4] Р у б а н и к В. П. Колебания квазилинейных систем с запаздыванием. М., Наука, 1969, с. 288.
Поступила в редакцию 25 сентября 2002 г.
