Физические основы структурно-матричного метода математического моделирования технических систем Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 517.958: 629.113 В. П. Тарасик

ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ СТРУКТУРНО-МАТРИЧНОГО МЕТОДА МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ ТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМ

UDC 517.958: 629.113 V. P. Tarasik

PHYSICAL BASICS OF STRUCTURAL MATRIX METHOD OF MATHEMATICAL MODELING OF ENGINEERING SYSTEMS

Аннотация

Изложена методика моделирования технических систем, обеспечивающая полную формализацию процесса получения математических моделей. Приведен пример её использования при моделировании системы подрессоривания кузова автомобиля и виброзащиты водителя и пассажиров.

Ключевые слова:

структурно-матричный метод, компонентные и топологические уравнения, динамическая модель технической системы, орграф, матрица инциденций, матрица трансформаторных элементов.

Abstract

The technique of simulation of engineering systems is presented, which provides a complete formalization of the process of obtaining mathematical models. The paper gives an example of its use in modeling the system of car body cushioning and vibro-protection of a driver and passengers.

Key words:

structural-matrix method, component and topological equations, dynamic model of engineering system, directed graph, incidence matrix, matrix of transformation elements.

Современные компьютерные технологии проектирования технических систем позволяют осуществлять поиск оптимального проектного решения создаваемого объекта с высокими показателями качества и эффективности при одновременном существенном сокращении временных и финансовых ресурсов. Эти технологии базируются на широком использовании математического моделирования. Математическая модель должна обеспечивать адекватное описание процессов функционирования проектируемого объекта, позволяющее исследовать влияние структуры и параметров элементов объекта на принятые оценочные критерии и получить оптимальный вариант искомого решения.

© Тарасик В. П., 2016

Существует множество типов математических моделей, выбор которых зависит от целей и задач проектирования. Классификация и назначение моделей приведены в [1]. Научной основой построения математических моделей технических систем являются законы физики. Корректное их использование обеспечивает адекватность и эффективность получаемых моделей. Рассмотрим основные аспекты проблемы построения модели на примере структурно-матричного метода моделирования. Этот метод предназначен для получения модели макроуровня. Характерной особенностью модели макроуровня является представление структуры объекта в виде упорядоченного множества дис-

кретных элементов, отображающего его физические свойства и взаимодействие с внешней средой.

Модели макроуровня можно получить или на основе законов физики, описывающих физические свойства всех входящих в них дискретных элементов и условия их взаимодействия, или путем аппроксимации моделей микроуровня, объекты на котором представляются в виде сплошных сред. Первый способ характерен для объектов, у которых существует набор явно выраженных конструктивных дискретных элементов или дискретные элементы легко выделяются из сплошной среды вследствие ее высокой степени неоднородности (например, дискретные элементы электрической системы - резисторы, конденсаторы, катушки индуктивности, трансформаторы). Во многих механических системах сравнительно легко выделяются дискретные элементы. При моделировании механической системы «двигатель - трансмиссия -ведущие колеса - дорога» можно выделить тяжелые вращающиеся массы с большими моментами инерции (маховик двигателя, шестерни трансмиссии, корпус дифференциала, колеса автомобиля), накапливающие почти всю кинетическую энергию относительного вращательного движения, но практически недеформируемые, и сравнительно тонкие длинные валы и упругие элементы шин, имеющие значительные угловые деформации и накапливающие потенциальную энергию.

Второй способ построения модели макроуровня заключается в применении сеточных методов дискретизации сплошной среды (метод конечных разностей и метод конечных элементов).

Рассмотрим используемые при проектировании различных механизмов особенности построения математических моделей механических систем на макроуровне. Для дискретизации структуры таких систем наиболее часто применяется метод сосредоточенных масс.

Дискретизация заключается в выделении некоторых абстрактных материальных субстанций с наделением их определенными физическими свойствами. Такими субстанциями являются сосредоточенные массы, эквивалентные массам соответствующих частей технического объекта, и элементы, лишённые массы (невесомые), отображающие характер взаимодействия сосредоточенных масс (упругие, диссипативные, трансформаторные, фрикционные). Структурная композиция, составленная из этих элементов, представляет собой динамическую модель объекта. Основное требование к процессу построения адекватной динамической модели - соблюдение закона сохранения энергии.

Сосредоточенные массы обладают только инерционными свойствами и способностью накапливать кинетическую энергию. По существу, это абсолютно твердые тела с одной степенью свободы, т. е. тела, совершающие один вид простейшего движения - поступательное или вращательное. Если твердое тело совершает сложное движение, то оно раскладывается на простейшие составляющие. Например, плоское движение твердого тела раскладывается на три составляющих - два поступательные движения и одно вращательное относительно соответствующих осей прямоугольной системы координат. Следовательно, в этом случае выделяется три сосредоточенные массы. В случае пространственного движения твердого тела выделяется шесть сосредоточенных масс. Количество сосредоточенных масс динамической модели равно числу степеней свободы моделируемого объекта.

Количество сосредоточенных масс реальных технических объектов может быть весьма значительным, что требует использования многомерного фазового пространства. Положение масс отображается геометрическими координатами фазового пространства, а характер их движения - скоростями.

Упругие элементы отображают

упругие свойства динамической системы и обладают способностью накапливать потенциальную энергию.

Диссипативные элементы позволяют учесть рассеивание энергии, обусловленное силами внутреннего трения деформируемых элементов.

Трансформаторные элементы отображают безынерционные преобразования параметров потока энергии с учетом потерь на трение в трансформаторах объекта.

Фрикционные элементы отображают физические свойства фрикционных механизмов технического объекта, характеристики которых обусловлены внешним трением.

Описание физических свойств дискретных элементов, составляющих структуру динамической модели, осуществляется компонентными уравнениями. Название этих уравнений следуют из того, что элементы являются компонентами динамической модели.

Компонентное уравнение инерционного элемента (сосредоточенной массы) получаем на основе второго и третьего законов Ньютона. Согласно второму закону Ньютона, ускорение материальной точки а пропорционально силе Р, приложенной к этой точке, и обратно пропорционально её массе т ; направление вектора ускорения а совпадает с направлением вектора силы Р. Согласно третьему закону Ньютона, действие равно противодействию. Сле-

а)

Ж

Определение параметров инерционных элементов т и J осуществляет-

довательно, какая-то сила должна противодействовать силе Р, уравновешивать её и быть противоположно направленной. Такой силой является сила инерции материальной точки Ри. На рис. 1, а показана схема, отображающая изложенное. Очевидно, что сила инерции Ри представляет собой реакцию инерционного элемента (материальной точки) на внешнее воздействие Р . В результате получаем компонентное уравнение инерционного элемента в следующем виде:

^ - МУ ри = -та = -т—. (1)

Ж

При вращательном движении сосредоточенная масса изображается на динамической модели в виде кружка с обозначением оси «о» и плоскости «п» вращения (рис. 1, б). Компонентное уравнение инерционного элемента в этом случае

Ми б = - , (2)

Ж

где Ми - инерционный момент - реакция инерционного элемента на внешнее воздействие М; J - момент инерции сосредоточенной массы; г = мВ/Ж - угловое ускорение.

ся на основе закона сохранения кинетической энергии моделируемой системы

при дискретизации ее масс:

Fy = -с АХ = -с(xi - X2);

(6)

N _

Ек j = 2ЕкЧ, j = 1'n • i=1

(3)

При поступательном движении масс технической системы

Ек у = ш^2/2; (4)

Еку = 2, (5)

где Ек у, ту, Уу - кинетическая энергия,

масса и скорость у-й сосредоточенной массы динамической модели; Ек у, ту,

Уу - то же /-й массы моделируемого

объекта, приводимой к у-й сосредоточенной массе модели; N - количество твёрдых тел, учитываемых у-й сосредоточенной массой; п - количество сосредоточенных масс динамической модели.

Компонентное уравнение упругого элемента получаем на основе закона Гу-ка, согласно которому деформация растяжения (сжатия) упругого тела пропорциональна приложенной силе (или моменту - при закручивании стержня).

В динамической модели объекта механической природы упругие элементы расположены между сосредоточенными массами. При поступательном перемещении сосредоточенных масс упругий элемент представляется в виде цилиндрической пружины (рис. 1, в), а при вращательном движении - в виде торсиона, изображаемого на динамической модели линией или стержнем (рис. 1, г). Параметром упругого элемента является коэффициент жёсткости С . Реакция упругого элемента на внешнее воздействие представляет собой силу упругости Ру (или момент упругости

Му - при вращательном движении

масс). Компонентные уравнения упругих элементов для поступательной и вращательной систем соответственно:

Му = -сАф = - с(ф1 - ф2), (7)

где АХ, Аф - векторы деформаций упругих элементов поступательной и вращательной систем соответственно; Хъ Х2, ф1; ф2 - векторы фазовых координат, определяющих положения сосредоточенных масс в фазовом пространстве.

Диссипативные элементы механической системы отображают потери энергии на преодоление сил трения. Различают внешнее и внутреннее трения механического объекта. Внешнее трение возникает в плоскости касания двух тел при их относительном перемещении. На рис. 1, д приведена модель, отображающая внешнее трение. Под воздействием внешней силы FE в плоскости контакта тела с опорной поверхностью возникает сила трения Fjp,

создающая сопротивление перемещению и представляющая собой реакцию диссипативного элемента на внешнее воздействие F, причём F^ = -FE .

Сила трения F^ пропорциональна нормальной реакции опорной поверхности N, которая зависит от силы тяжести твёрдого тела G = mg и угла наклона опорной поверхности а. Модуль реакции N определяется по формуле |n| = |G| cos а . Относительное перемещении тела происходит при условии > . При неподвижном контакте

величина силы трения изменяется

в широких пределах - от нуля до предельного значения, равного цсц|N|, т. е.

в пределах 0 < ^тр| < цсц|N|. В состоянии покоя модуль силы трения jF^ переменный, возрастающий соответственно увеличению силы внешнего воздействия

Сила трения скольжения Е1р ск описывается выражением

Ртр.ск Дск (уск ) ^^ = Дск (у ск

(8)

Внешнее трение характерно для фрикционных элементов (сцепления, тормоза, скользящее колесо относительно дороги, сухое трение в многолистовых рессорах и др.).

При деформировании упругих элементов технического объекта также происходят потери энергии на преодоление возникающего при этом внутреннего трения в таких элементах. Предполагается, что это трение по своим физическим свойствам аналогично трению между слоями жидкости, обусловленному её вязкостью (ньютоновская жидкость). В связи с этим в качестве компонентного уравнения диссипативного элемента механической системы используется уравнение вязкого трения, которое в соответствии с законом Ньютона для поступательной и вращательной механических систем записывается соответственно:

Рд = -дАУ = -д(у - ?2);

(9)

Мд = -дАш = -дСВ -Й2); (10)

где д - коэффициент вязкого трения (демпфирования); Ау , Аш - векторы

скоростей деформаций упругих элементов (относительных скоростей скольжения); у1, у2, ш1, ш2 - векторы скоростей сосредоточенных масс, соединяемых упругим элементом.

На рис. 2 представлена динамическая модель, предназначенная для исследования плавности хода автомобиля и вибронагруженности водителя, пассажиров и механизмов подвески. Предполагается, что неподрессоренные массы автомобиля т1, т2 и масса водителя т4

(вместе с массой сиденья) совершают только вертикальные перемещения,

отображаемые фазовыми координатами г1, г2, z4. Следовательно, каждая из

этих масс имеет одну степень свободы и представляется в динамической модели одной сосредоточенной массой.

Кузов автомобиля при движении по неровностям дороги совершает движение в вертикальной плоскости xOz (рассматривается плоская модель колебаний). Разложим движение кузова на три составляющих - два поступательных перемещения относительно осей х и z и одно вращательное относительно оси у . Начало координат (точка О) находится в центре масс кузова. Следовательно, твердое тело (кузов автомобиля) имеет три степени свободы и представляется в динамической модели тремя сосредоточенными массами. Две из них совершают поступательные движения и одна -вращательное. Параметрами первых двух является масса кузова т3, а параметром третьей - момент инерции Jу относительно оси у. В результате система имеет 6 степеней свободы. Согласно стандартам на испытания, параметры плавности хода определяют при постоянной скорости движения автомобиля, поэтому уравнение движения вдоль оси х можно не составлять и использовать модель с 5-ю степенями свободы.

Упругие элементы с коэффициентами жёсткости с и С2 и диссипатив-ные элементы с параметрами Д1 и Д2 отображают свойства шин автомобиля. Рессоры представлены упругими элементами с параметрами е3 и С4, амортизаторы - элементами с параметрами дз и Д4, а свойства сиденья водителя -упругим и диссипативным элементами с параметрами е5 и Д5.

При построении математической модели структурно-матричным методом в дополнение к динамической модели используются ориентированный граф (орграф) и матрица инциденций, позволяющие детально и наглядно

представить структуру динамической системы и полностью формализовать

процесс составления уравнений математической модели.

Рис. 2. Динамическая модель для исследования виброзащитных свойств системы подрессоривания автомобиля

Элементы орграфа - узлы и соединяющие их ветви. Узлы отображают сосредоточенные массы, а ветви - воздействия на каждую массу внешней среды и соответствующих безынерционных элементов системы, непосредственно связанных с данной массой. На рис. 3 представлен орграф моделируемого объекта. Базовый узел «0» отображает внешнюю среду. Ветви диссипа-тивных элементов на орграфе не показаны с целью упрощения изображения. Методика построения орграфа изложена в [1]. Принадлежность ветвей соответ-

ствующим элементам обозначена их параметрами. На ветвях указываются направления потоков энергии, поступающей в систему, передаваемой через элементы системы и подводимой к потребителям (рабочим органам). Направление потока энергии определяется знаком его мощности, вычисляемой по следующим формулам:

рп = ру = РУ ео8( Р, У); (11) р = мсС = Мшео8(М, сС). (12)

Рис. 3. Орграф моделируемого объекта

Очевидно, что поток энергии существует и передаётся через элементы системы лишь при наличии скоростей сосредоточенных масс V или ш. Следовательно, скорости являются носителями потока энергии. Поэтому фазовые координаты V и ш называют координатами типа потока, а усилия Р и вращающие моменты М взаимодействующих с массами компонентов - переменными типа потенциала [2]. Потенциальная энергия упругих элементов при неподвижных массах не реализуется. Внешняя среда может оказывать воздействие на объект в виде потенциалов Рв или Мв, приложенных к соответствующим сосредоточенным массам, либо в виде потоков у* или «в, воздействующих на упругие элементы объекта, посредством которых он взаимодействует с опорной поверхностью внешней среды. В рассматриваемом примере (см. рис. 2) к массам т1, т2, т3, т4 приложены силы тяжести Рв/ (потенциалы), а на колёса автомобиля, физические свойства которых отображены упругими и диссипативными элементами с пара-

метрами С1, Д1, , воздействуют неровности дороги, описываемые функциями V* = I (,), У*2 = I (,), а также нормальные реакции дороги , Рв*2. Для обозначения источников энергии типа потока V* = I (*), У*2 = I (*) на орграфе введены узлы 1* и 2*.

В рассматриваемом примере генерирование энергии, вызывающей колебания масс автомобиля, осуществляют неровности дороги, а затраты энергии компенсируются за счет потребления энергии двигателя.

Система с плоским движением твёрдых тел имеет существенную особенность, которую необходимо учитывать при построении математической модели. При взаимодействии таких тел с упругими элементами возникает необходимость выполнения преобразований между линейными скоростями точек твердого тела, в которых закреплены упругие элементы, и его угловой скоростью вращения. Для этого используются уравнения Эйлера

ух/ =су2/2У/;

Уу/ = с2х/ -ссх2/;

= СхУ/ - сух/

(13)

где Ух/, Уу!, - проекции скорости /-й точки твёрдого тела на оси х, у, 2; сх, юу, т2 - угловые скорости вращения твёрдого тела относительно этих же осей; XI, у/, - координаты /-й точки.

Преобразование параметров потока энергии (скоростей и потенциалов) осуществляется трансформаторными элементами (ТЭ). Формулы Эйлера (13) позволяют определить их параметры -передаточные числа. При принятых ограничениях на перемещения кузова автомобиля шх = ю2 = 0 ; Уу/ = 0 . Движение вдоль оси х не рассматривается. В результате получаем расчётную формулу для определения передаточных чисел ТЭ исследуемого объекта

У2/ = -СуХ/ .

(14)

В обозначениях ТЭ и их передаточных чисел и используется двойной индекс: первый индекс / соответствует номеру сосредоточенной массы, а второй у - номеру упругого элемента, взаимодействующего с данной массой. Передаточное число равно отношению скорости на входе ТЭ к скорости на его выходе. Вход и выход определяются в соответствии с направлением потока энергии. В рассматриваемом примере три трансформаторных элемента. Они расположены между упругими элементами С3, С4, С5 и вращающимся твёрдым телом. Учитывая направления потоков энергии в упругих элементах, получаем следующие значения передаточных чисел:

и53 = У23/су =-х3 ; и54 = 4/с у = - х4 ;

и55 =су/У25 =-1/х5 . (15)

При определении передаточных чисел учитываются знаки координат точек Х3, Х4, Х5. Следовательно, передаточные числа представляют собой алгебраические числа со своими знаками.

Таким образом, очевидно, что орграф полностью отображает физические свойства технической системы и взаимодействие её с внешней средой.

Аналогичную информацию несёт матрица инциденций И (табл. 1). В этой матрице каждому узлу орграфа, за исключением базового, соответствует строка, а каждой ветви - столбец. Единицами в матрице отмечено наличие соединений между узлами и ветвями орграфа. Знак инцидентора отображает направление потока энергии: при подводе энергии к массе принимается знак «плюс», а при отводе - знак «минус». Матрица инциденций состоит из четы-

рёх подматриц И =

И И И

-1 Ав ? и "> у ?

Ид

отображающих воздействия источников внешней среды Ив и реакций инерционных Ии, упругих Иу и диссипатив-ных Ид элементов на сосредоточенные массы. Подматрица Ии единичная, элементы её диагонали равны (-1), а остальные нулевые. Поэтому её обычно не приводят в матрице инциденций, но учитывают при составлении уравнений. Для механических систем Ид = Иу.

В табл. 1 подматрицы Ии и Ид исключены с целью её упрощения.

Наличие трансформаторных элементов отображается матрицей ТЭ (табл. 2), в которой указываются места расположения этих элементов и их номера.

Уравнения математической модели можно составить или по орграфу, или на основе матриц И и ТЭ. Составляются два типа уравнений: топологические, характеризующие структуру динамической модели, учитывающие воздействия на сосредоточенные массы

внешней среды и элементов модели, и компонентные уравнения упругих и диссипативных элементов. Топологические уравнения составляются на основе принципа Даламбера, согласно которому геометрическая сумма потенциалов (сил или моментов), приложенных к материальной точке (сосредоточенной массе) со стороны внешней среды и взаимодействующих с ней элементов системы, с учётом потенциала инерционного элемента (силы инерции или

инерционного момента) равна нулю:

N _

Е Ру + 4- = 0; / = 1, п , (16) У=1

где Ру - у-я сила, оказывающая воздействие на /-ю массу; Ри/- - сила инерции 1-й массы; N - количество сил, воздействующих на /-ю массу; п - количество сосредоточенных масс системы.

Табл. 1. Матрица инциденций И

Ветвь орграфа

Узел орграфа Потенциал источника внешнего воздействия Потенциал упругого элемента

Рв1 Рв2 Рв3 рв4 Рв*1 Рв*2 ру1 Ру2 ру3 Ру4 Ру5

1 -1 0 0 0 0 0 1 0 -1 0 0

2 0 -1 0 0 0 0 0 1 0 -1 0

3 0 0 -1 0 0 0 0 0 1 1 -1

4 0 0 0 -1 0 0 0 0 0 0 1

5 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 -1

1* 0 0 0 0 1 0 -1 0 0 0 0

2* 0 0 0 0 0 1 0 -1 0 0 0

Подматрицы Ив иу

Табл. 2. Матрица трансформаторных элементов ТЭ

Узел Ветвь упругого элемента

орграфа ру1 Ру2 ру3 ру4 Ру5

1 0 0 0 0 0

2 0 0 0 0 0

3 0 0 0 0 0

4 0 0 0 0 0

5 0 0 ТЭ53 ТЭ54 ТЭ55

1* 0 0 0 0 0

2* 0 0 0 0 0

Используя матрицы И и ТЭ, выражение (16) можно представить в следующем виде:

Ь N

Е Ив/1рвI + Е Иучру]Ту/у +

I=1 у=1 к

+ Е ИдкТд/к - Ри/ = 0; к = 1

i = 1, n.

(17)

где Ивг7, Иуу, Ид/к - инцидентоPы,

отображающие воздействия на /-ю массу потенциалов внешних источников Рв/,

упругих Руу и диссипативных Рдк элементов соответственно; Туу, Тд/к - параметры трансформаторных элементов, расположенных между /-й массой и соответствующими упругими и диссипа-тивными элементами; Ь, N, К - количество соответствующих потенциалов.

Выражения для вычисления параметров Туу и Тд/к имеют следующий

вид:

И

Туу = (иуПу) -;

,ИГ

Tgj = (%ni/ ) ^

(18)

где иу и пу - передаточное число и

КПД ТЭ, расположенного между /-й массой и соответствующим упругим или диссипативным элементом.

Возведение в степень инцидентора позволяет учесть расположение ТЭ относительно упругого или диссипативно-го элемента.

Сила инерции Ри/ /-й массы записана в формуле (17) со знаком «минус», т. к. её инцидентор равен (-1), что отмечалось ранее. Подставляя значение модуля силы Ри/, получаем систему дифференциальных уравнений движения

сосредоточенных масс

dvi dt

L N

Е ИвЛ + Е ИуЛТУИ + 1=1 j=1

K

Л

к=1 у

lmi ; i = 1,n. (19)

Компонентные уравнения упругих и диссипативных элементов составляются по столбцам матрицы инциденций и имеют следующий вид:

Fyj =-j Е ИА ; j = 1, N ; (20)

i=1

^д/=—j Е ИдМ* ; k=1, K. (21)

i=1

Выражения для вычисления параметров 5уу и аналогичны выражениям (18), только в них не используются значения параметров пу.

Строки матрицы И, соответствующие узлам 1* и 2*, позволяют определить нормальные реакции дороги на колеса автомобиля по выражению

F =

вт

N

'Е: ИymjFУj + ИдmkF^

K

K

V j=1 k=1

m = 1, M,

(22)

где М - количество источников внешних воздействий типа потока.

Составим развёрнутые системы топологических и компонентных уравнений исследуемой системы.

Топологические уравнения:

= (-рв 1 + Ру1 - Ру3 + Рд1 - Рд3)/т1 ; <У2 /< = (-Рв2 + Ру2 - Ру4 + Рд2 - Рд4 )/т2 \ й\з1<И = (-Рв3 + Ру3 + Ру4 - Ру5 + Рд3 + Рд4 - Рд5)т3 ^

<у4/ < = (- Рв 4 + Ру5 + Рд 5)/

т

<Ш у /Л = (Ру3и53П53 + Ру4и54П54 - Ру5/(и55П55) + + Рд3и53П53 + Рд4и54П54 - Ру^(и55П55))/3у ■

(23)

Компонентные уравнения линейных упругих элементов:

Ру1 = с1( г*1 - г1);

Ру2 = с2(гв2 - г2); Ру3 = с3 (г1 - г3 - Фуи53 ); Г (24) Ру4 = с4(г2 - г3 -Фуи54); Ру5 = с5(г3 - г4 +Фуи55).

Компонентные уравнения линейных диссипативных элементов аналогичны уравнениям (24), только вместо су используются параметры д,к, фазовые координаты г и фу заменяются скоростями у/ и Шу, а функции внешних воздействий г*/ (^) - функциями V*/ Ц). Функции г*/ (^) и V* (^) представляют собой вероятностное описание микропрофиля опорной поверхности дороги. Методика их формирования изложена в [1].

Если упругие элементы линейные, выражения (24) можно продифференцировать по времени:

<Ру^ < = с1(у*1 - у1);

<Ру2/< = с2(ув2 - У2);

<Ру3/< = с3(у1 - У3 -Шуи53); Г (25) <Ру4/< = с4(у2 - у3 - шуи54);

<Ру5!< = с5(у3 - У4 + Шуи55).

Сведя выражения (23) и (25) в единую систему, получаем систему дифференциальных уравнений, базис которой составляют фазовые координаты и Руу (смешанный базис). Выполнив её интегрирование, находим искомые функции Ц) и Ру Ц). Для получения значений ускорений сосредоточенных масс вычисляем правые части уравнений (23). В результате получаем информацию о процессе функционирования исследуемого объекта, необходимую для оценки критериев её качества и эффективности. Примеры решения таких задач приведены в [1].

Если упругие и диссипативные элементы имеют нелинейные характеристики Руу (г-), Рд£ (V/), то система

уравнений (23) дополняется уравнениями ¿г-¡Л = V/; / = 1,4 и <фу/<? = шу.

В результате получаем систему уравнений с однородным базисом (фазовые координаты типа потока), решение которой даёт функции скоростей и перемещений сосредоточенных масс, на основе которых затем осуществляется вычисление ускорений масс и усилий упругих элементов по формулам (24).

На рис. 4, а-г приведены результаты моделирования процесса преодоления автомобилем порогового препятствия (например, бордюра).

Обозначения графиков исследуемых процессов соответствуют принятым в уравнениях математической модели (23)...(25). Высота препятствия И = 0,075 м, скорость автомобиля

Уа = 3 м/с. Перемещения сосредото-

ченных масс (рис. 4, а) измерялись относительно недеформированного состояния упругих элементов рессор и шин. При деформациях, не превышающих

= 0,3 ми Д^4 = 0,25 м, работают только рессоры с линейными характеристиками. После превышения этих величин происходит пробой подвески и вступают в действие резиновые буферы

ограничителей ходов подвески. Коэффициент жёсткости упругих элементов резко возрастает. В примере принималось увеличение жёсткости в 4 раза. При пробое виброускорение подрессоренных масс существенно возрастает и может превысить допускаемую для человека величину 0,4g м/с2.

Рис. 4. Результаты моделирования: а - перемещения сосредоточенных масс; б - деформации рессор; в - деформации шин; г - ускорения подрессоренных масс

Изложенная методика математического моделирования используется многими исследователями и проекти-

ровщиками и позволяет успешно решать сложные задачи анализа и синтеза создаваемых технических объектов.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Тарасик, В. П. Математическое моделирование технических систем : учебник / В. П. Тарасик. -Минск : Новое знание ; М. : ИНФРА-М, 2016. - 592 с.

2. Норенков, И. П. Введение в автоматизированное проектирование технических устройств и систем / И. П. Норенков. - М. : Высш. шк., 1986. - 304 с.

Статья сдана в редакцию 1 декабря 2015 года

Владимир Петрович Тарасик, д-р техн. наук, проф., Белорусско-Российский университет. E-mail: avto@bru.mogilev.by.

Vladimir Petrovich Tarasik, DSc (Engineering), Prof., Belarusian-Russian University. E-mail: avto@bru.mogilev.by.