Физическая модель оценки динамики гидравлических экскаваторов на ранних стадиях проектной деятельности Текст научной статьи по специальности «Механика и машиностроение»

УДК 621.879.3'82:517.11 © П.А. Побегайло, А.Н. Ильина, 2018

Физическая модель оценки динамики гидравлических экскаваторов на ранних

V *

стадиях проектной деятельности

DOI: http://dx.doi.org/10.18796/0041-5790-2018-12-33-37

ПОБЕГАЙЛО Петр Алексеевич

Канд. техн. наук, старший научный сотрудник Института машиноведения им. Благонравова А.А. РАН, 101990, г. Москва, Россия, e-mail: [email protected]

ИЛЬИНА Анастасия Николаевна

Аспирант, старший преподаватель ФГБОУВО «МАИ (НИУ)», 125993, г. Москва, Россия, e-mail: [email protected]

Статья посвящена краткому описанию физической модели оценки динамики рабочего оборудования одноковшового гидравлического экскаватора (одной из возможных), которая нацелена на применение на ранних стадиях проектной деятельности, например, при формировании технического задания. С ее помощью могут бы>1ть с удовлетворительной точностью исследованы некоторые важные и принципиальные модельные задачи (например: о скоростях, ускорениях и траекториях), а также получен ответ на вопрос о качестве проекта экскаватора.

В основание предложенной физической модели положена математическая модель, основу которой составляют уравнения движения, полученны1е в форме уравнений Лагран-жа второго рода. Рабочее оборудование при этом рассматривается как неконсервативная система. Ключевые слова: гидравлические экскаваторы;рабочее оборудование; динамика гидравлических экскаваторов; ранние стадии проектирования.

ВВЕДЕНИЕ

Исследования динамики одноковшовых гидравлических экскаваторов (ОГЭ) проводятся с начала 1960-х годов. Определенный вклад в эти исследования внесли советские и российские ученые и инженеры. В качестве примера можно указать на работы А.А. Акинфиева, Ю.Г. Берен-гарда, Ю.А. Брайковского, В.А. Бровина, В.В. Васильевой,

* Работа поддержана РФФИ (проект № 17-08-00920 А).

В.Г. Волобоева, М.М. Гайцгори, И.В. Дуданова, Ю.Г. Загвоз-дина, Л.Б. Зарецкого, В.С. Исакова, Г.Н. Карасева, Г.В. Кириллова, Ю.М. Княжева, М.В. Козлова, А.П. Комиссарова, Л.Ю. Кондратьевой, А.В. Королева, П.В. Коротких, Е.Ю. Малиновского, В.И. Матюхина [1, 2], И.А. Мотрохова, В.П. Павлова, А.С. Перлова, Л.В. Ребеко, А.В. Рустановича, В.Ф. Са-нарова, Г.С. Скворцова, Э.А. Смоляницкого, В.Х. Тарана, В.Н. Тарасова, И.А. Хороша, В.С. Щербакова, В.С. Шестако-ва, В.Н. Шлыкова и др.

Конечно же, за рубежом также велись и ведутся соответствующие исследования. Из известного многообразия иностранных авторов укажем в качестве примера на труды таких исследователей, как Д. Данчев, К. Круль, Р. Митрев [3], В. Панов, Д. Яношевич [4], Н. Araya, А. Anthony, I. Brach, G.L. Danko, H. Ding, A. Dudczak, A.R. Enes, S. Frimpong, A. Hall, N.S. Hiller, A. Kecskemethy, A. Koivo, Y. Li, M.G. Lipsett, G.J. Maeda, H.P. Nguyen, B. Park, S. Sing, M.J. Skibniewski, Z. Towarek, P.K. Vaha, D. Vujic [5], G. Wszolek, T. Yamaguchi и многие другие. Известно несколько обзоров иностранных работ, например по исследованиям динамики ОГЭ [6].

Существенную роль при изучении динамики ОГЭ играли и играют исследования динамики горных, строительных, подъемно-транспортных машин, роботов, а также исследования более общей направленности (число ученых и инженеров тут очень велико и поэтому не будем приводить их фамилии).

Несмотря на большое число исследований, в рассматриваемой области имеется много как теоретических, так и практических проблем и задач, не нашедших своего полного разрешения, о чем, в частности, говорится и в нашей работе [7].

Из этой работы следует, что многочисленные исследования динамики ОГЭ никак не связаны с методологией проектирования ОГЭ, не вписаны в нее. Это в большинстве случаев ставит крест на возможности применения известных подходов в проектной практике, так как физические и математические модели чаще всего излишне переусложнены, с одной стороны, и, как следствие, требуют многочисленных исходных данных, получить которые можно обычно только из натурного эксперимента. Кроме того, часто они привязаны к авторскому, очень дорогому и эксклюзивному, программному обеспечению. А с другой стороны, они содержат многочисленные мало прора-

ботанные блоки (например, связанные с описанием взаимодействия ковша с грунтом и пр.).

Таким образом, на наш взгляд, в отечественной проектной деятельности существует проблема с оценкой динамических свойств создаваемых ОГЭ.

Для разрешения выявленной проблемы необходимо создать вписанный в проектную практику набор физических моделей (с соответствующим им математическим описанием) для оценки динамики ОГЭ. Этот набор моделей должен иметь варьируемую сложность (в зависимости от этапа проектирования, имеющихся исходных данных и содержательной стороны того или иного этапа проектирования) при удовлетворительной точности. Первым шагам на этом пути и является настоящая работа.

ФИЗИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ОЦЕНКИ ДИНАМИКИ

РАБОЧЕГО ОБОРУДОВАНИЯ ОГЭ

Методология проектирования рабочего оборудования (РО) ОГЭ кратко описана в работах [8, 9] и нацелена на применение на ранних стадиях проектирования, например на стадии формирования технического задания (предпроект-ный анализ (ПА)). Уже на этом этапе проектирования могут быть выполнены некоторые оценки динамики (и кинематики) РО ОГЭ. Для этого нужна максимально простая математическая модель, вытекающая из максимально упрощенной физической модели.

На рис. 1 представлена схема использования предлагаемого подхода после этапа анализа нагруженности и после этапа синтеза металлоконструкций РО.

На рис. 2 представлена схема рассматриваемой в настоящей работе физической модели - максимально упрощенная кинематическая схема РО ОГЭ прямого копания (заметим, что для обратной лопаты все будет аналогично).

Физическая модель, характеризуемая схемой (см. рис. 2), сформирована на основании следующих главных допущений: имеем неконсервативную систему; связи являются голо-номными, стационарными, идеальными; диссипации нет; базовая машина исключена из рассмотрения (при этом предполагается, что она стоит на абсолютно жестком и ровном основании); рассматриваем плоскую задачу (без учета поворота РО на выгрузку и обратно); практически полностью не учитываем гидроцилиндры и, что очевидно, систему гидравлического привода с тем или иным первичным двигателем; внешнего сопротивления нет; шарниры идеальные вращательные (без трения); звенья РО - абсолютно жесткие тела; центр тяжести каждого звена расположен по середине его

Заказ

Основные исходные данные

Оценка

полученных

результатов

кинематической длины; при рассмотрении движения двух и трех звеньев РО не учитываются реальные возможные совмещения рабочих движений.

При этом на упрощенной кинематической схеме (см. рис. 2) обозначены:

- ХАУ - основная система координат - правая декартовая;

- точки А, В, С - вращательные шарниры, соединяющие элементы РО между собой и с базовой машиной (точка А);

- точка Б - концевая точка зубьев ковша РО;

- точка Ш - место крепления гидроцилиндров механизма привода ковша к ковшу (сейчас - играет иллюстративно-вспомогательную роль);

- а = АВ; Ь = ВС; с = СБ - «кинематические» длины звеньев РО ОГЭ;

- точки 1,2 и 3 - центры тяжести соответствующих звеньев РО ОГЭ;

- С,, С2 и С3 - вес каждого из звеньев РО;

- Ь,, Ь2 и Ь3 - шарнирные углы в нотации Матюхина [1, 2].

Кроме этих условных обозначений далее, при формировании уравнений движения, используется еще ряд параметров:

- т,, т2 и т3 - масса каждого из звеньев РО (в массы звеньев входят также и массы соответствующих гидроцилиндров);

- g - ускорение свободного падения;

- /,, 12 и 13 - моменты инерции каждого из звеньев РО;

-М,,М2 иМ3 - шарнирные моменты (управления) - моменты развиваемые гидроцилиндрами относительно соответствующих шарниров РО.

Основные эпаты проектирования.

Синтез

кинематической схемы РО

Анализ

геометрических свойст РО

Оценка

полученных

результатов

Анализ

нагруженности ОГЭ (РО)

Синтез

исполнительных механизмов РО

Синтез металлоконструкций РО

±1

Оценка кинематики и динамики (иерархия ММ)

Анализ статичес-

кой прочности МК РО

Оценка

полученных

результатов

Дополнительные этапы проектирования или его окончание, или переход к иным подсистемам экскаватора

Рис. 1. Схема проектирования РО ОГЭ на стадии ПА

Указанные выше шарнирные углы «ведут» себя так:

- угол Ь1 измеряется от горизонтали проходящей через точку А - с плюсом против часовой стрелки, с минусом - по часовой; при расположении звена АВ на горизонтали угол равен нулю. В общем случае он может принимать значения из I и IV квадрантов.

( 3п лЛ

Иными словами Ь е I--,— I;

1 I 2 2 У

- угол Ь2 измеряется от линии, продолжающей отрезок АВ вверх, по часовой стрелке. Он всегда положителен и всегда меньше 180°. Иными словами Ь2 е (0, п);

- угол Ь3 - измеряется от продолжения отрезка ВС -«вверх» с минусом, «вниз» с плюсом, при расположении на этом продолжении угол равен нулю. В общем случае этот угол всегда меньше 360°. Иными словами в положительной своей части Ь3 е (0, п), и в отрицательной Ь2 е (0, - п).

Отметим, что реальные интервалы существования шарнирных углов обычно меньше, иногда весьма существенно.

Динамика представленной физической модели (см.рис. 2) описывается математической моделью, в которую входят разные соотношения, неравенства, формулы и уравнения (и даже вспомогательные алгоритмы), при том, что основными в ней являются так называемые уравнения движения. По поводу формирования такого рода уравнений известны уже тысячи работ, из которых для примера можно отметить лишь несколько [10, 11, 12, 13, 14], что позволяет не освещать этот рутинный набор действий.

Уравнения движения запишем в следующем виде:

т-Ъ,=д,+щ (1)

II ||Лг=1,3

где Ь.- шарнирные углы; т = ||тЛ||.=13 - матрица кинетической энергии, и. - управлен ия, q. - ин ые обобщенные силы.

Отметим, что для РО строительных ОГЭ обратного копания такой подход был впервые предложен в работах [1, 2]. Из-за безвременной кончины автора этих работ они, с одной стороны, остались во многом не завершенными, а с другой стороны автор не стал расписывать формулу (1) в деталях, как не стал он и выписывать в деталях дополнительные потребные тут уравнения (пропали также и его программные разработки). Это, к сожалению, сделало указанные работы невозможными к практическому использованию. Посему настоящая работа обладает очевидной практической и теоретической важностью.

В рамках предложенной нами физической модели РО ОГЭ уравнения движения в наиболее общем случае имеют следующий вид:

Т1-ф1) + Т2-ф2) + Т3-(Ь3) =

=м1-та.(ъу (4) - т5. (4). (4) -т6 • (4) • (4) - (2)

чг Ь3

А X

Рис. 2. Упрощенная кинематическая схема РО ОГЭ (прямого копания)

Т2-(Ь1) + Т9-(Ь2) + Т10-ф3) =

=м2-тп■ (4). (4) -ти -(4) ■ (4) ■-та -(4) ■ (4) --Г7-(4)2-^13(4)2-рс2

(3)

-Тп-{Ь1)-{Ъ2)-Т,-ф1)2--Тп{Ьъ)2

где введены следующие условные обозначения:

Т1 = 2Q1 + 2 ■ А2 • С08(Ь2)+ Аз • СОБ(Ь2 + Ь3) + + А4 • СОБ(Ь3) + А1 • СОБ(Ь2),

Т2 = Q4 -А2 ■ ооб(Ь2)-1 ■ А3 ■ ооб(Ь2 + Ь3)-

-А4 ■ о0б(Ь3 ) -1 ■ А1 ■ ооб(Ь2 ),

Т3 = 05 -2• А3 • соб(Ь2 + Ъ3)-2• А4 • соб(Ъ3),

8ш(Ь2) - А3 • sin(Ь2 + Ь3) - А1 • 8ш(Ь2),

Т4 = - 2 ^ А2 Т5 = - Аз • ¡ап^ + Ьз) - А4 • 81п(Ьз), Т6 = - Аз • ¡ап^ + Ьз) + А4 • 81п(Ьз),

Т7 = А2 • 8ш(Ь2) +1 • А3 • 8ш(Ь2 + Ь3) +1 • А1 • 8ш(Ь2) , Т8 = 1 • А3 • Бт(62 + Ь3) +1 • А4 • 8ш(Ь3),

Т9 = 2 • Q2 + А

4 ^(Ьз), со ъф3),

То = -в, + 2 • А4 Т11 = А2 ■ 8ш(Ь2) +1 • А3 ■ 8ш(Ь2 + Ь3) +1 • А1 ■ 8ш(Ь2)-

-А2 ■ Бт(Ь2) -1 ■ А3 ■ 8т(Ь2 + Ь3) -1 ■ А1 ■ Бт(Ь2),

(4)

(5)

(6)

(7)

(8) (9)

(10)

(11) (12)

(13)

(14)

(15)

Т

=1. А 2

1

13 8Ш(Ь2 + Ь3) + А4 • 8Ш(Ь3) --■ А3 • 8Ш(Ь2 + Ь3), (16)

Т13 = - А4

яп(Ьз), (17)

Тм = 2 • Qз (Ьз), (18)

РС1 = РР1 • СОБ(Ь1) + РР2 • СОБ(Ь1 - Ь2) +

+ РРз • СОБ(Ь1 - Ь2 - Ьз), (19)

РС2 = - РР2 • СОБ(Ь1 - Ь2) - РРз • СОБ(Ь1 - Ь2 - Ьз), (20)

РСз = - РРз • соб(Ь1 - Ь2 - Ьз), (21) где, в свою очередь, имеются следующие условные обозначения:

А1 = ш2 • а • Ь, (22)

A2 = m3 • a • b, A3 = m3 • a • c, A4 = m3 • b • c,

^ 1 Г 9 1 1 2 1 ,2

W = — • I + З — m ^— m • я н— m • b , ^ 2 2 3 2 2 8 2

1 1 1 2

= — • I2 + З2 — да, +---m2 • b

2 2 2 2 3 2 2

(23)

(24)

(25)

(26) (27)

Q3 = 2 • 73 + З3 ■ 2 • m3 , (28)

Q4 = З4 ■ 2 • m - 4 • m2 ■ Ь1 , (29)

Q5 = З5 '1 ' m3 , (30)

З, = a2 + b2 + - • с2, 1 4 (31)

З2 = Ь2 +1 • с2 2 4 ' (32)

З3 =1 • с2, 3 4 (33)

34 = -2b2 -1 • с2 4 2 ' (34)

З 1 2 З =---c . 5 2 (35)

Как уже было сказано выше, приведенные только что уравнения (2-35) дополняются некоторым набором дополнительных соотношений. В их число входят:

- соотношения, связывающие координаты любой произвольной точки рабочей зоны с шарнирными углами;

- уравнения, позволяющие определить координаты всех важных точек РО;

- формулы, неравенства и алгоритмы для определения значений управлений и пр.

Из-за их громоздкости и из-за известных ограничений в размере настоящей статьи не будем сейчас приводить их все. В качестве же примера представим лишь уравнения для определения координат ряда интересующих нас точек РО. Они имеют вид: Хв = а • соъф), (36)

Ув = а • 81и(Ь1), (37)

Хс = а • со^(Ь) + Ь • соб(Ь - Ь2), (38)

Ус = а • ътф) + Ь • $т(Ь1 - Ь) (39)

Хв = а • со8(Ь1) + Ь • соб(Ь1 - Ь2) + с • соб(Ь1 - Ь2 - Ь3), (40) Ув = а • 81п(Ь1) + Ь • ът(Ь1 - Ь2) + с • ът(Ь1 - Ь2 - Ь3), (41) Заметим, что уравнения для определения координат центров тяжести элементов РО аналогичны только что приведенным.

При рассмотрении различных модельных задач, например связанных с синтезом системы управления ОГЭ, наша математическая модель дополняется тем или иным функционалом, например вида [14] (если нас интересует рассмотрение импульсного управления):

J (0, T) = Цц(х) • Ъ[(г) ^ т,

(42)

где т - безразмерное время, а ц - безразмерный момент.

Работа с математической моделью, в частности с уравнениями движения (2-4), возможна только на компьютере, с привлечением численных методов. Об этом и мно-

гих иных нюансах, как и о результатах вычислительного эксперимента (например, при синтезе системы управления ОГЭ, но и не только), расскажем в последующих работах. Там же представим и построенные более сложные варианты физической модели РО ОГЭ (с соответствующими математическими моделями).

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В настоящей работе сформулирована важная для отечественного гидроэкскаваторостроения проблема - отсутствие удобных и простых физических моделей, позволяющих оценивать динамику как создаваемых, так и эксплуатируемых ОГЭ.

Такого рода модели должны быть вписаны в методологию проектирования для создаваемых ОГЭ и в жизненный цикл уже эксплуатируемого изделия наряду с периодическим техническим обслуживанием (как для анализа его текущего состояния, так и для совершенствования схем проектирования новых машин).

Для разрешения указанной проблемы предложена наиболее простая физическая модель, дополненная потребными для нее математическими соотношениями, которая может быть использована на ранних этапах проектирования ОГЭ (при дефиците исходных данных) для рассмотрения ряда модельных задач (оценка скоростей, ускорений и траекторий). Точность моделирования при этом удовлетворительная.

Отметим, что предложенная в настоящей работе физическая модель, на наш взгляд, составляет один из важных кирпичиков в первичном фундаменте при синтезе системы управления ОГЭ.

Список литературы

1. Матюхин В.И. Управление движением манипулятора. М.: ИПУ им. В.А. Трапезникова РАН, 2010. 96 с.

2. Матюхин В.И. Стабилизация движений манипулятора вдоль заданной поверхности // Автоматика и телемеханика. 2011. № 4. С. 71-85.

3. Mitrev R., Janosevic D., Marinkovic D. Dynamical modelling of hydraulic excavator considered as a multibody system // Tehnicki vjesnik - Technical Gazette. 2017. N 24. Suppl. 2. P. 327-338. doi: 10.17559/TV-20151215150306.

4. Janosevic D., Pavlovic J., Jovanovic V., Petrovic G. A numerical and experimental analysis of the dynamic stability of hydraulic excavators // Facta Universitatis Series: Mechanical Engineering. 2018. Vol. 16. N 2. Рр. 157-170. doi: 10.22190/FUME180404015J .

5. Vujic D., Lazarevic O., Batinic V. Development of dynamic-mathematical model of hydraulic excavator // Journal of Central South University. 2017. 24(9): 010-2018. doi: 10.1007/ s11771-017-3610-x.

6. Jiaqi Xu, Hwan-Sik Yoon. A Review on Mechanical and Hydraulic System Modeling of Excavator Manipulator System // Journal of Construction Engineering. 2016. Article ID 9409370, 11 p. doi: 10.1155/2016/9409370.

7. Побегайло П.А. Современное состояние и некоторые перспективы исследований динамики одноковшовых гидравлических экскаваторов // Труды X Всероссийской научной конференции «Нелинейные колебания механических систем» (Нижний Новгород, 26-29 сентября 2016 г.) / Под ред. Д.В. Баландина, В.И. Ерофеева, И.С. Пав-

лова. Нижний Новгород: Издательский дом «Наш дом», 2016. С. 610-613.

8. Побегайло П.А. Создание методологии автоматизированного проектирования горных и строительных роботов-манипуляторов (на примере одноковшовых гидравлических экскаваторов) // Аналитическая механика, устойчивость и управление: труды XI Международной Четаевской конференции. Т. 4. Секция 4. Компьютерные технологии в науке, образовании, управлении производством. Казань: КНИТУ-КАИ, 2017. С. 168-177.

9. Побегайло П.А. Мощные одноковшовые гидравлические экскаваторы: методология проектирования рабочего оборудования (на ранних стадиях проектирования). М.: СвР-АРГУС, 2017. 210 с.

10. Лурье А.И. Аналитическая механика. М.: ГИФМЛ, 1961. 824 с.

11. Кулешов В.С., Лакота Н.А. Динамика систем управления манипуляторами. М.: Энергия, 1971. 304 с.

12. Фантони И., Лозани Р. Нелинейное управление системами с дефицитом управляющих воздействий. М.-Ижевск: ООО «Компьютерная динамика», 2012. 313 с.

13. Капитонов А.А. Введение в моделирование и управление для робототехнических систем / Под ред. А.Л. Фрад-кова. М.-Ижевск: ИКИ, 2016. 108 с.

14. Формальский А.М. Управление движением неустойчивых объектов. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2013. 232 с.

SURFACE MINING

UDC 621.879.3'82:517.11 © P.A. Pobegailo, A.N. Ilyina, 2018

ISSN 0041-5790 (Print) • ISSN 2412-8333 (Online) • Ugol' - Russian Coal Journal, 2018, № 12, pp. 33-37 Title

PHYSICAL MODEL OF Evaluation OF THE HYDRAULIC ExCAVATORS Dynamics AT EARLY STAGES OF PROJECT ACTIVITIES

DOI: http://dx.doi.org/10.18796/0041-5790-2018-12-33-37

Authors

Pobegailo P.A.1, Ilyina A.N.2

1 A.A. Blagonravov Mechanical Engineering Research Institute of the Russian Academy of Sciences, Moscow, 101990, Russian Federation

2 FSBEI HE "MAI (NRU)", Moscow, 125993, Russian Federation

Authors' Information

Pobegailo PA., PhD (Engineering), Senior Scientific Researcher, e-mail: [email protected]

Ilyina A.N., Postgraduate, Senior lecturer, e-mail: [email protected] Abstract

The present paper is devoted to a brief description of the physical model for evaluating the dynamics of the one-bucket hydraulic excavator working equipment (to one of the possible models), which is aimed to be applied at early stages of the project activity - for example, in the formation of a technical assignment. By means of the model described, some urgent and fundamental model problems (for example: speed, acceleration and trajectories) can be satisfactorily investigated, and an answer to the question about the quality of the excavator project could be obtained. The mathematical model based on the proposed physical model is based on the equations of motion obtained in the form of Lagrange equations of the second kind. The working equipment is considered as a non-conservative system.

Keywords

Hydraulic excavators, Mining equipment, Dynamics of hydraulic excavators, Early design.

References

1. Matyukhin V.I. Upravlenie dvizheniem manipulyatora [Manipulator Intelligent Control]. Moscow, Institute of Control Sciences RAS Publ., 2010, 96 p.

2. Matyukhin V.I. Stabilizatsiya dvizhenij manipulyatora vdol' zadannoj pov-erkhnosti [Stabilization of manipulator movements along a given surface]. Avtomatika i telemekhanika - Automation and telemechanics, 2011, No. 4, pp. 71-85.

3. Mitrev R., Janosevic D. & Marinkovic D. Dynamical modelling of hydraulic excavator considered as a multibody system. Tehnicki vjesnik- Technical Gazette, 2017, No. 24, Suppl. 2, pp. 327-338. doi: 10.17559/TV-20151215150306.

4. Janosevic D., Pavlovic J., Jovanovic V. & Petrovic G. A numerical and experimental analysis of the dynamic stability of hydraulic excavators. Facta Universitatis Series: Mechanical Engineering, 2018, Vol. 16, No. 2, pp. 157-170. doi: 10.22190/FUME180404015J .

5. Vujic D., Lazarevic O. & Batinic V. Development of dynamic-mathematical model of hydraulic excavator. Journal of Central South University, 2017, Vol. 24(9). doi: 10.1007/s11771-017-3610-x.

6. Jiaqi Xu, Hwan-Sik Yoon A Review on Mechanical and Hydraulic System Modeling of Excavator Manipulator System. Journal of Construction Engineering, 2016, Article ID 9409370, 11 p. doi: 10.1155/2016/9409370.

7. Pobegailo P.A. Sovremennoe sostoyanie i nekotorye perspektivy issledovanij dinamiki odnokovshovykh gidravlicheskikh ehkskavatorov [Current state and some perspectives of studies of the dynamics of single-bucket hydraulic excavators]. Proceedings of the 10th All-Russian Scientific Conference"Nonlinear oscillations of mechanical systems" (Nizhny Novgorod, September 26-29, 2016). Edited by D.V. Balandina, V.I. Erofeev, I.S. Pavlov. Nizhny Novgorod, Publishing House "Our Home", 2016, pp. 610-613.

8. Pobegailo P.A. Sozdanie metodologii avtomatizirovannogo proektirovaniya gornykh i stroitel'nykh robotov-manipulyatorov (na primere odnokovshovykh gidravlicheskikh ehkskavatorov) [Creation of a methodology for automated design of mining and construction robotic manipulators (on the example of single-bucket hydraulic excavators)]. Analytical mechanics, stability and control: Proceedings of the XI International Chetaev Conference. Vol. 4, Section 4. Computer technologies in science, education, production management. Kazan, KNI-TU-KAI Publ., 2017, pp. 168-177.

9. Pobegailo P.A. Moshhnye odnokovshovye gidravlicheskie ehkskavatory: me-todologiya proektirovaniya rabochego oborudovaniya (na rannikh stadiyakh proektirovaniya) [Powerful single-bucket hydraulic excavators: methodology for designing work equipment (at early stages of design)]. Moscow, SvR-ARGUS Publ., 2017, 210 p.

10. Lurie A.I. Analiticheskaya mekhanika [Analytical mechanics]. Moscow, GIFML Publ., 1961, 824 p.

11. Kuleshov V.S. & Lakota N.A. Dinamika sistem upravleniya manipulyatorami [Dynamics of manipulator control systems]. Moscow, Energia Publ., 1971, 304 p.

12. Fantoni I. & Lozani R. Nelinejnoe upravlenie sistemami s defitsitom upravlyay-ushhikh vozdejstvij [Nonlinear control of systems with deficiency of control actions]. Moscow-Izhevsk, Computer Dynamics LLC, 2012, 313 p.

13. Kapitonov A.A. Vvedenie v modelirovanie i upravlenie dlya ro-bototekhnicheskikh system [Introduction to modeling and control for robotic systems] Edited by Prof. A.L. Fradkov. Moscow-Izhevsk, IKI Publ., 2016, 108 p.

14. Formalskyi A.M. Upravlenie dvizheniem neustojchivykh ob"ektov [Controlling the motion of unstable objects]. Moscow, FIZMATLIT Publ., 2013, 232 p.