CC BY
19
_ВЕСТНИК ПНИПУ_
2022 Химическая технология и биотехнология № 2
ПРОЦЕССЫ И АППАРАТЫ ХИМИЧЕСКОЙ ТЕХНОЛОГИИ
Б01: 10.15593/2224-9400/2022.2.11 Научная статья
УДК 66.067.1
Л.Ю. Александрова, Р.П. Банайтис, А.И. Мошинский
Санкт-Петербургский государственный химико-фармацевтический университет, Санкт-Петербург, Россия
ФИЛЬТРОВАНИЕ В РЕЖИМЕ ПЕРЕМЕННОГО ПЕРЕПАДА ДАВЛЕНИЯ
Фильтрование является гидродинамическим процессом разделения суспензий на твердую и жидкую фазы с помощью пористой фильтровальной перегородки. Работа фильтра характеризуется скоростью фильтрования, которая зависит от перепада давления по обе стороны фильтровальной перегородки (движущая сила процесса), гидравлического сопротивления фильтрующей перегородки, вязкости жидкой фазы, концентрации твердой фазы, свойств и гидравлического сопротивления осадка. При этом сопротивление осадка с увеличением толщины слоя изменяется от нуля до максимального значения в конце, а скорость необходимо рассматривать как некоторую мгновенную величину.
Инженерно-технологические расчеты фильтрации производят, взяв за основу течения процесса одно из допущений: фильтрование при постоянном перепаде давления или фильтрование при постоянной скорости. На практике фильтрование производится под давлением, которое сообщает насос, из этого следует, что перепад давления зависит от расхода суспензии и может изменяться во времени.
На основе модели фильтрования при зависимости перепада давления от расхода фильтрата получено аналитическое решение, описывающее работу фильтра при изменении движущей силы процесса во времени. Указаны параметры оптимальной работы фильтра. При этом рассматривается случай, когда максимум производительности фильтра достигается при максимально возможной толщине слоя осадка в фильтре. Рассмотрена р-теорема с целью сокращения количества независимых переменных. Полученное решение с применением теории размерностей сведено к простой зависимости между двумя безразмерными комплексами с добавлением только одного критерия подобия в сравнении с классическим вариантом ее использования.
Ключевые слова: фильтр, насос, расход, оптимизация, теория размерности.
L.Yu. Alexandrova, R.P. Banajtis, A.I. Moshinskij
Saint-Petersburg State Chemical-Pharmaceutical University, Saint-Petersburg, Russian Federation
FILTRATION IN THE VARIABLE DIFFERENTIAL PRESSURE MODE
Filtration is a hydrodynamic process of separating suspensions into solid and liquid phases using a porous filter wall. Filter operation is characterized by the filtration rate, which depends on the pressure drop on both sides of the filter wall (the driving force of the process), the hydraulic resistance of the filter wall, the viscosity of the liquid phase, the concentration of the solid phase, properties and hydraulic resistance of sediment. In this case, the sediment resistance with increasing layer thickness changes from zero to the maximum value at the end, and the velocity must be considered as some instantaneous value.
Engineering and technological calculations of filtration are carried out on the basis of one of the assumptions for the flow of the process: filtration at a constant pressure drop or filtration at a constant speed. In practice, filtration is carried out under pressure, which is reported by the pump, it follows that the pressure drop depends on the flow rate of the suspension and can change over time.
Based on the filtration model with the dependence of the pressure drop on the filtrate flow rate, an analytical solution was obtained that describes the operation of the filter when the driving force of the process changes over time. The parameters of the optimal operation of the filter are indicated. In this case, the case is considered when the maximum filter performance is achieved at the maximum possible thickness of the sediment layer in the filter. The p-theorem is considered in order to reduce the number of independent variables. The resulting solution using the theory of dimensions is reduced to a simple relationship between two dimensionless complexes with the addition of only one similarity criterion in comparison with the classical version of its use.
Keywords: filter, pump, flow rate, optimization, dimension theory, pressure.
При анализе фильтрования в литературе традиционно выделяют два режима: фильтрование при постоянном перепаде давления и фильтрование при постоянной скорости процесса [1, 2]. Однако при фильтровании под давлением, которое обеспечивает насос, перепад давления оказывается зависящим от расхода фильтрата [1, 3].
В данной статье используем аппроксимацию зависимости перепада давления при фильтровании Ар (Па) (движущая сила процесса) от объемного расхода Q фильтрата через фильтр (м • с- ); достаточно точно обеспечивающую типичную характеристику центробежного насоса [4].
Основное уравнение фильтрации возьмем в традиционной форме
Q=тх=Ч- (1)
т
где V - объем пропущенного через фильтр фильтрата, м3; ^ - время, с; А - площадь поверхности фильтрования, м2; м - коэффициент динамической вязкости, Па-с; Я - сопротивление фильтрованию, м-1, которое является суммой сопротивления фильтрующей перегородки Я/ и осадка Яс: Я = Я/ + Яс.
В работе [3], когда перепад давления при фильтровании меняется во времени в процессе фильтрования, предлагается использовать зависимость Ар = _/{/) для расчета процесса фильтрования по уравнению (1). Подобный подход требует дополнительной экспериментальной работы.
Величина Ар существенно зависит от организации процесса фильтрования. Здесь мы используем соотношение, предложенное в работе [4, р. 330]:
Ар = а + ЬО-та2, (2)
где а, Ь, т - постоянные.
Данная зависимость представляет собой аппроксимацию типичных характеристик центробежного насоса [3] на достаточно большом интервале О е [0, Ошах]. Отметим, что расход фильтрата однозначно связан с расходом суспензии, подаваемой насосом. Для параметра Яс возьмем обычную зависимость: Яс = aCV/A, где а - удельное сопротивление осадка, мкг-1; С - постоянная, связанная с концентрацией твердой фазы в суспензии, кгм-3.
Удобно выразить объем фильтрата Vчерез переменные О и Ар:
(АДр ^
V-
ацС ^ О
-МЯ . (3)
Все описанные физические величины считаются неотрицательными. Упрощение записи предложенных зависимостей целесообразно, для наглядности, провести в два этапа. На первом этапе введем следующие параметры:
„ ЬА2 аА2 тА2 АЯ
в =-, У =-, к =-, г =—(4)
ацС ацС ацС аС
В таком случае функцию (3) при помощи зависимостей (2) и (4) можно записать так:
V(а)=ИМ-«: - г. (5)
Для дальнейшего целесообразно из уравнения (5) выразить Q через V, что несложно сделать, поскольку (5) - квадратное уравнение относительно Q. В результате, выбирая имеющий физический смысл положительный корень уравнения (5), получим
Q(V) =
2у
•VI(V + г - Р)2 + 4ук + V + г-р
(6)
Подобная (нетрадиционная) запись решения квадратного уравнения предпочтительна для вычислительных целей, когда переменная V достаточно велика (в определенном смысле).
Уравнение (1) дополним естественным начальным условием
V (0) = 0 .
(7)
В силу однозначности связи функций Q и V (5), (6), это условие определяет также начальное условие для функции Q: Q(0).
Уравнение (1) при учете соотношения (6) представляет собой уравнение с разделяющимися переменными. Однако проще найти квадратуру в терминах переменных I и Q. Имеем
Q (V) 1 (
= | V = | ±
0 Q Q(0) Q
А.
Q2
1
-к
dQ =
1
У
2Q (V)
V ^ 2 V=0 "
к
1п Ш (V )]]=0=
аг)2 Q(o)2
+ к1п Г Q(o) ]
1 Q(V) ]
(8)
Из соотношения (8) следует, что dtldQ < 0, т.е. Q - монотонно убывающая функция времени. При этом Q ^ 0 при t ^ <». Это и условие Q е [0, Qmax] приводят к тому, что для применимости данной модели должно выполняться неравенство
Q(0) =
2у
у/(г - Р)2 + 4ук + г - р
Qm
Теперь на втором этапе, опираясь на полученное решение (8), запишем его в безразмерных переменных:
t V Q
к ^ку
к =
г - р
Тку
(9)
У
Имеем
1
1
д2 (и + я) д2 (я)
+ 1п
д(
q(u + я)
(10)
где, как это вытекает из зависимости (6),
д( г) = 2
■44-
(11)
г + V 4 + г
20
15
10
-
3 •
/ "" 4
г 1 1 1 1
20
40
60
80
100 120 140 т
Рис. 1. Кинетические кривые процесса фильтрования: 1 - я = -4;
2 - я = -2; 3 - я = 0; 4 - я = 2; 5 - я = 4, 6 - линия, определяющая итах
На рис. 1 представлены отдельные кривые зависимости и(т) при нескольких фиксированных значениях параметра я, построенных на основе выражений (10), (11). При неограниченном росте безразмерного времени т кривые рис. 1 сближаются в смысле стремления к нулю разности ординат двух кривых, отнесенной к ординате одной из них. Это подтверждают не только графические данные, но и асимптотические формулы:
и 2 и 1
т = — + ия + ^ + 0(1п и), и и = (2т)2, т
т. е. в указанном смысле кривые рис. 1 описывают начальную стадию процесса фильтрования. Не следует забывать, что в реальном фильтре значение и (V) ограничено и е [0, итах], что на рис. 1 выражает линия 6. Значение итах определяется геометрическими размерами фильтра (максимально возможной толщиной слоя осадка ^тах), массовой долей твердой фазы в суспензии и порозностью £ образующегося осадка:
т
к CV
A(1 -£) Р„
где ртв - плотность твердой фазы. Приняв в приведенной формуле hoc = kmax, находим Vmax, а значит, и мтах.
Традиционный вариант фильтрования, когда Ap = const, т.е. в зависимости (2) b = 0 и m = 0 получается из рассмотренного предельными переходами ß, к ^ 0, что приводит к формуле
2yt = V2 + 2rV, (12)
сводящейся к обычно используемой, в теории и практике процесса фильтрования [1-3]). В безразмерных координатах v = V/r, Ф = 2yt/r2 получается универсальная функция [5]:
V = >/1+ Ф-1.
Задача оптимизации. Рассмотрим простейшую задачу оптимизации на основе полученных зависимостей. Этому вопросу уделяется определенное внимание в литературе [1, 3]. Данную проблему будем анализировать сразу в безразмерных переменных (9). Пусть на обслуживание периодически работающего фильтра необходимо затратить безразмерное время т0. В общем случае эта величина может зависеть, например, от переменной и. Задача заключается так подобрать время Т (или объем и, однозначно связанный с Т, при фиксированных остальных параметрах проблемы), чтобы средняя производительность за цикл работы фильтра и/(т + Т0) была максимальной. Это эквивалентно задаче
F(и) = (1+0 ^ min, и е[0, Umax ], (13)
и
где и^х определяет максимально возможный (в безразмерном виде) объем пропущенного фильтрата (толщину осадка) в конкретном фильтре. В простейшем варианте Т0 = const, продифференцировав функцию F (13) по и и приравняв производную нулю, получим уравнение для определения точки, подозрительной на минимум функции F:
d Т и и т + т0 = и — = — = — du q 2
и + ^ + Т 4 + (и + ^ )2
(14)
То, что корень (14) реализует именно минимум функции F (то = const), можно заметить, учитывая, что при u ^ 0, F ^ <», а также согласно
асимптотической формуле при и ^ <», Р ^ Значит, непрерывная функция Р будет иметь минимум в интервале и е (0, и поскольку точка в этом интервале, где ёЕШи = 0, единственна, как вытекает из уравнения (14) (т0 - однозначная функция и (рис. 2), то это уравнение и определяет точку минимума функции Р.
и 14
° 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 ^
Рис. 2. Кривые оптимизации: 1 - 5 = -8; 2 - 5 = -5; 3 - 5 = 0;
4 - 5 = 1000; 5 - линия, определяющая umax
Зависимость оптимального объема пропущенного фильтрата от параметра То как решения уравнения (14) при некоторых значениях параметра 5 представлена на рис. 2. При превышении уровня umax (при достаточно большом значении Т0) оптимальное значение производительности фильтра реализуется на границе области u = umax. В любом случае время работы фильтра определяется по зависимости (10) или графикам рис. 1.
При выбранных масштабах переменных на рис. 2 вид кривых при 5 > 0 слабо зависит от этого параметра. Различие кривых будет достаточно заметным при меньших масштабах по осям абсцисс и ординат. При больших значениях времени все кривые будут сближаться, в смысле стремления к нулю разности ординат двух кривых, отнесенной к одной из них. Имеет место асимптотическая формула, подтверждающая сказанное:
u = (2т0)2, т0 (5 = const).
Это соотношение не зависит от параметра 5, когда он фиксирован.
Не сложно выполнить расчет, когда функция T0(u) линейно зависит от u, т.е. T0(u) = Т* + 9u (т* и ф - заданные постоянные величины). В частности, это может быть линеаризация более сложных зависимо-
стей. Действуя, как и выше, приходим к тому, что в уравнении (14) вместо Т0 будет присутствовать Т*, а величина ф выпадает из уравнения оптимизации. Поэтому можно воспользоваться ранее полученными результатами, в частности графиками рис. 2. После нахождения u = u^ время обслуживания определится формулой Т0 = Т* + ф^^.
Рассматриваемый пример интересен в плане применения роли теории размерностей при предварительном анализе задачи. Это проще рассмотреть, когда получено решение задачи.
Обратимся к анализу проблемы при помощи анализа размерностей. Из постановки задачи (1)-(7) видно, что в ней присутствует десять независимых параметров и переменных: V, t, A, д, Rf, a, b, m, a, C. Они выражаются через три основные единицы измерения: кг, м, с. Таким образом, согласно П-теореме [1-3, 5, 6], решение задачи может быть представлено при помощи функциональной связи 10 - 3 = 7 безразмерных комплекса. Полученное выше решение (10), использующее при своем построении структуру основных уравнений процесса, связывает только три безразмерные величины: u, Т и 5. Впечатляющий выигрыш в простоте! По сравнению с классическим вариантом (12), который сводится к простой зависимости между двумя безразмерными комплексами [5], добавился только один критерий подобия: 5. Однако следует заметить, что при формулировке классического уравнения фильтрования [1, 2, 7-9] так же, как и здесь использовались формулы типа Rc = aCV/A. В рассматриваемом случае, по существу, добавились две размерные постоянные: b и m, по сравнению с традиционным вариантом Ap = const, и можно было бы ожидать увеличение числа критериев подобия на две единицы. Однако в данной задаче наряду с мультипликативными связями параметров «сработала» и аддитивная связь: r - в (Ab - ^Rf), которая и привела к добавлению только одного критерия подобия. Аналогичный эффект при описании движения жидкости в пористой среде, моделируемой системой капилляров, отмечен в работе [5]. В обоих случаях были известны уравнения процесса. Таким образом, наличие уравнения процесса позволяет более точно использовать соображения теории размерностей [выбирать размерные (конкретизированные) параметры, определяющие явление].
В задаче оптимизации добавился, в случае Т0 = const, один безразмерный параметр Т0, но также добавилось одно соотношение dF/du = 0, поэтому проблема по-прежнему описывается тремя безразмерными комплексами. Когда мы используем функцию T0(u) = Т* + фм, то второй безразмерный параметр ф служит только для определения Т0, что не имеет
места при нелинейной функции т0(и), когда она влияет также на поиск оптимального значения иопт.
Рассмотрим практический пример процесса фильтрования с центробежным нагнетательным насосом. Фильтрующий пресс с поверхностью фильтрования А = 50 м обрабатывает суспензию со следующими свойствами: || = 0,001 Па-с, С = 10 кгм-3, а = 1,11011мкг-1, ^ = 6,51010 м-1. Параметры используемого насоса, с характеристикой (2) таковы: а = 7,2 • 108 Па, Ь = 1,04•107 Па-с м-3, т = 5,868 • 105 Па-с2 м-6.
Используя зависимости (4) и (9), находим значение безразмерного параметра 5: 5 = 0,569. Для данного варианта на рис. 3, 4 представлены зависимости оптимальных параметров фильтрования.
Область изменения переменной и на рис. 3 ограничена отрезком и е [0, 8]. При этом значение т также ограничено конечным отрезком т е [0, т(8)]. Что касается переменной т0, то она теоретически может меняться в пределах т0 е [0, <»). При оптимальной стратегии, когда достигнуто значение и = 8, т = т(8) (для рис. 3), далее производительность фильтра определяется выражением 8/[(т(8) + т0], где т0 - независимая переменная, уже не подчиняющаяся соотношению (14) при реализации оптимальной стратегии. В этом случае средняя производительность фильтра становится оптимальной (единственно возможной).
Рис. 3. Зависимости оптимальных параметров фильтрования при 5 = 0,569 как функции толщины осадка и: 1 -/ = т; 2 -/ = т0
Графически оптимизация для примера рис. 3 проводится так. Зная т0, по графику 2 находим значение и. Если и < 8, то по линии 1
находим т - оптимальное время работы фильтра. Если же и > 8 на графике 2, то следует принять оптимальным крайнее значение и = 8 и, соответственно, т(8) по графику 1.
На рис. 4 представлены зависимости оптимальных значений безразмерных толщины осадка и соответствующей величины времени фильтрования как функции безразмерного времени обслуживания. Когда толщина осадка и достигает максимально допустимого значения, максимальное значение производительности фильтра будет реализовываться на границе области. При этом фильтрование заканчивается, и на графиках зависимости и(то) и т(то) представляются постоянными значениями.
Рис. 4. Зависимости оптимальных параметров фильтрования при s = 0,569 как функции времени обслуживания То: 1 - f = u; 2 - f = 0,1т
Рассмотрим теперь задачу оптимизации с экономической точки зрения. В общем случае стоимость единицы времени работы фильтра (расход электроэнергии, ремонтно-наладочные работы и т.п.) отличаются от стоимости единицы времени обслуживания фильтра (разгрузка осадка и др.). Пусть первая стоимость равна p1, а вторая - p2. В таком случае задача оптимизации (13) заменится следующей:
) = (PlT + P2То) ^ min, uе [0,umax].
u
В данном случае функция F1(u) характеризует стоимость производства единицы продукта. Разделив функцию F1(u) на p1 и введя безразмерный параметр p = p2/p1 и новое «эффективное» время обслужи-
вания Ti = рт0, мы, по существу, приходим к задаче (13), т.е. ранее полученные результаты остаются в силе.
Здесь мы анализировали только работу фильтра, причем только стадию набора осадка, т.е. не рассматривали обычно следующей за осаждением осадка процесса его промывки. Задачи оптимизации работы фильтров и центрифуг во многом аналогичны [10-12]. В работе [11] для анализа привлекалась также промывка осадка. По той же методике можно привлечь для оптимизации работы фильтра и стадию промывки осадка, в частности при ее описании диффузионной моделью [11, 13-15].
Выводы:
1. В процессе фильтрования под давлением, создаваемым центробежным насосом, перепад давления зависит от расхода фильтрата, который непосредственно связан с расходом суспензии, подаваемой на фильтр. Получено аналитическое уравнение связи расхода суспензии от количества пропущенного через фильтр фильтрата в режиме переменного перепада давления.
2. Предложенное решение задачи оптимизации позволяет определить условия работы фильтра, при которых средняя производительность максимально возможная, учитывая максимальную толщину осадка. Отмечено, что полученные результаты справедливы и при рассмотрении задачи с экономической точки зрения.
3. Показана роль использования теории размерности при приведении аналитического уравнения к оптимально упрощенному виду.
Список литературы
1. Касаткин А.Г. Основные процессы и аппараты химической технологии. - М.: Химия, 1971. - С. 141-202.
2. Романков П.Г., Курочкина М.И. Гидромеханические процессы химической технологии. - Л.: Химия, 1982. - 192 с.
3. Гельперин Н.И. Основные процессы и аппараты химической технологии. - М.: Химия, 1981. - С. 123-256.
4. Chemical Process Equipment. Selection and Design / J.R. Couper, W.R. Penney, J.R. Fair, S.M. Walas // Revised Second Edition: Linacre House, Jordan Hill. - Oxford, 2010. - P. 330.
5. Мошинский А.И. Теория размерности в проблемах химической технологии. - Lambert Academic Publishing RU, 2017. - 63 с.
6. Варданян Г.С. Некоторые дополнительные возможности теории размерностей // Вестник МГСУ. - 2012. - № 3. - С. 47-50.
7. Фролов В.Ф. Лекции по курсу «Процессы и аппараты химической технологии». - СПб.: Химиздат, 2008. - 606 с.
8. Разинов А.И., Клинов А. В., Дьяконов Г. С. Процессы и аппараты химической технологии: учеб. пособие // Казан. нац. исслед. технол. ун-т. - Казань, 2017.- С. 301-310.
9. Гужель Ю.А. Процессы и аппараты химической технологии. Ч. 1. Гидромеханические процессы и аппараты: учеб. пособие. - Саратов: Профобразование, 2021. - 95 с.
10. Мошинский А.И. К вопросу о накоплении осадка в фильтрующих центрифугах // Журнал прикладной химии. - 1983. - Т. 56, № 8. - С. 1799-1803.
11. Мошинский А.И. Оптимизация процесса разделения суспензий на центрифугах // Журнал прикладной химии. - 1985. - Т. 58, № 9. - С. 2051-2054.
12. Хименков И.А. Определение времени нахождения материала в роторе прецессионной центрифуги // Достижения науки - агропромышленному производству: материалы LII междунар. науч.-техн. конф. / ЧГАА. - 2013. - С. 138-141.
13. Мошинский А.И. Аналитическое решение уравнений фильтрационной промывки осадков // Журнал прикладной химии. - 1985. - Т. 58, № 7. -С. 1643-1645.
14. Айнштейн В.Г., Захаров М.К. К расчету стадии промывки осадка // Теоретические основы химической технологии. - 1999. - Т. 33, № 3. - С. 275-280.
15. Мошинский А.И. Моделирование тепломассообменных процессов на основе обобщенных диффузионных уравнений. - М.: КНОРУС, 2019. - С. 214.
References
1. Kasatkin A.G. Osnovnye protsessy i apparaty khimicheskoi tekhnologii [Main processes and apparatuses of chemical technology]. Moscow, Himija, 1971, pp. 141-202.
2. Romankov P.G., Kurochkina M.I. Gidromehanicheskie processy himicheskoj tehnologii [Hydromechanical processes of chemical technology]. Leningrad, Himija, 1982, 192 p.
3. Gel'perin N.I. Osnovnye processy i apparaty himicheskoj tehnologii [Main processes and apparatuses of chemical technology]. Moscow, Himija, 1981, pp.123-256.
4. James R. Couper, W. Roy Penney, James R. Fair, Stanley M. Walas. Chemical process equipment. Selection and design. 2nd ed. Linacre House, Jordan Hill, Oxford, 2010, 330 p.
5. Moshinskii A.I. Teorija razmernosti v problemah himicheskoj tehnologii [Dimensionality theory in chemical technology problems]. Lambert Academic Publishing, 2017, 63 p.
6. Vardanjan G.S. Nekotorye dopolnitel'nye vozmozhnosti teorii razmernostej [Some additional possibilities of dimension theory]. Vestnik Moskovskogo gosudarstvennogo stroitel'nogo universiteta, 2012. №3. С. 47-50.
7. Frolov V.F. Lekcii po kursu «processy i apparaty himicheskoj tehnologii». Saint Petersburg, Himizdat, 2008, 606 p.
8. Razinov A.I., Klinov A.V., D'jakonov G.S. Processy i apparaty himicheskoj tehnologii [Chemical Processes and Apparatuses]. Kazan', Kazanskij nacional'nyj issledovatel'skij tehnologicheskij universitet, 2017, pp. 301-310.
9. Guzhel', Ju. A. Processy i apparaty himicheskoj tehnologii. Chast. 1. Gidromehanicheskie processy i apparaty [Processes and apparatuses of chemical technology. Part 1. Hydromechanical processes and apparatuses]. Saratov, Profobrazovanie, 2021, 95 p.
10. Moshinskii A.I. K voprosu o nakoplenii osadka v fil'trujushhih centrifugah [On the issue of sediment accumulation in filter centrifuges]. Russian Journal of Applied Chemistry. 1983, vol. 56, no. 8, pp. 1799-1803.
11. Moshinskii A.I. Optimizacija processa razdelenija suspenzij na centrifugah [Optimization of suspension separation in centrifuges]. Russian Journal of Applied Chemistry, 1985, vol. 58, no. 9, pp. 2051-2054.
12. Himenkov I.A. Opredelenie vremeni nahozhdenija materiala v rotore precessionnoj centrifugi [Determination of material residence time in the precession centrifuge rotor]. Materialy LII mezhdunarodnoj nauchno-tehnicheskoj konferencii «Dostizhenija nauki - agropromyshlennomu proizvodstvu». Cheljabinskaja gosudarstvennaja agroinzhenernaja akademija, 2013, pp. 138-141.
13. Moshinskii A.I. Analiticheskoe reshenie uravnenij fil'tracionnoj promyvki osadkov [Analytical solution of sediment filtration washing equations]. Russian Journal of Applied Chemistry, 1985, vol. 58, no. 7, pp. 1643-1645.
14. Ajnshtejn V.G., Zaharov M.K. K raschetu stadii promyvki osadka [To calculate the stage of sludge washing]. Teoreticheskie osnovy himicheskoj tehnologii, 1999, vol. 33, no. 3, pp. 275-280.
15. Moshinskii A.I. Modelirovanie teplomassoobmennyh processov na osnove obobshhennyh diffuzionnyh uravnenij [Modeling of heat and mass exchange processes based on generalized diffusion equations]. Moscow, KnoRus, 2019, 214 p.
Об авторах
Александрова Любовь Юрьевна (Санкт-Петербург, Россия) - преподаватель кафедры процессов и аппаратов химической технологии Санкт-Петербургского государственного химико-фармацевтического университета (197376, Санкт-Петербург, Аптекарский пр., 6; e-mail: lubov.aleksandrova@ pharminnotech.com).
Банайтис Роман Павлович (Санкт-Петербург, Россия) - магистрант 1-го года обучения Санкт-Петербургского государственного химико-фармацевтического университета (197376, Санкт-Петербург, ул. Профессора Попова, 14; e-mail: banajtis.roman@pharminnotech.com).
Мошинский Александр Иванович (Санкт-Петербург, Россия) - кандидат технических наук, доцент кафедры процессов и аппаратов химической технологии Санкт-Петербургского государственного химико-фармацевтического университета (197376, Санкт-Петербург, Аптекарский пр., 6; e-mail: alexander.mo shinsky@pharminnotech.com).
About the authors
Lubov Yu. Aleksandrova (Saint-Petersburg, Russian Federation) - Associate Professor, Department of Processes and Apparatuses of Chemical Technology, Saint-Petersburg State Chemical-Pharmaceutical University (14, Prof. Popov str., St. Petersburg, 197376, e-mail: pisce-capricorn@inbox.ru).
Roman P. Banajtis (Saint-Petersburg, Russian Federation) - Undergraduate Student, Saint-Petersburg State Chemical-Pharmaceutical University (14, Prof. Popov str., St. Petersburg, 197376,e-mail: banaytis@mail.ru).
Aleksandr I. Moshinskij (Saint-Petersburg, Russian Federation) - Ph.D. of Technical Sciences, Associate Professor, Department of Processes and Apparatuses of Chemical Technology, Saint-Petersburg State Chemical-Pharmaceutical University (14, Prof. Popov str., St. Petersburg, 197376,e-mail: alex-moshinskij@yandex.ru).
Поступила: 28.04.2022
Одобрена: 15.05.2022
Принята к публикации: 26.05.2022
Финансирование. Исследование не имело спонсорской поддержки.
Конфликт интересов. Авторы заявляют об отсутствии конфликта интересов.
Вклад авторов равноценен.
Просьба ссылаться на эту статью в русскоязычных источниках следующим образом:
Александрова, Л.Ю. Фильтрование в режиме переменного перепада давления / Л.Ю. Александрова, Р.П. Банайтис, А.И. Мошинский // Вестник ПНИПУ. Химическая технология и биотехнология. - 2022. - № 2. - С. 152-165.
Please cite this article in English as:
Aleхandrova L.Yu., Banajtis R.P., Moshinskij A.I. Filtration in the variable differential pressure mode. Bulletin ofPNRPU. Chemical Technology and Biotechnology, 2022, no. 2, pp. 152-165 (In Russ).
