CC BY
0
ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
2024 Управление, вычислительная техника и информатика № 66
Tomsk: State University Journal of Control and Computer Science
Научная статья УДК 681.5
doi: 10.17223/19988605/66/7
Фильтрация в дискретных системах со случайными и интервальными параметрами
Валерий Иванович Смагин1, Константин Станиславович Ким2, Владимир Алексеевич Зыков3
12•3 Национальный исследовательский Томский государственный университет, Томск, Россия
1 vsm@mail.tsu.ru
2 kks93@rambler.ru
3 flesch. vz@mail. ru
Аннотация. Рассматривается задача фильтрации для дискретного объекта со случайными и интервальными параметрами. Случайные параметры в модели задаются как гауссовские случайные последовательности. Для представления интервальных параметров используется вероятностный подход, в основе которого лежит замена неопределенных параметров интервального типа независимыми случайными величинами с равномерным распределением. Используются рекуррентные схемы калмановской фильтрации. Представлены результаты моделирования.
Ключевые слова: фильтрация; случайные параметры; интервальные параметры.
Для цитирования: Смагин В.И., Ким К.С., Зыков В.А. Фильтрация в дискретных системах со случайными и интервальными параметрами // Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика. 2024. № 66. С. 69-75. doi: 10.17223/19988605/66/7
Original article
doi: 10.17223/19988605/66/7
Filtering in discrete systems with random and interval parameters Valery I. Smagin1, Konstantin S. Kim2, Vladimir A. Zykov3
12 3 National Research Tomsk State University, Tomsk, Russian Federation 1 vsm@mail.tsu.ru
2 kks93@rambler.ru
3 flesch. vz@mail. ru
Abstract. The problem of filtering for a discrete object with random and interval parameters is considered. Random parameters in the model are set as Gaussian random sequences. To represent interval parameters, a probabilistic approach is used, which is based on replacing interval-type parameters with independent random variables with a uniform distribution. Recurrent Kalman filtering algorithms are used. The simulation results are presented. Keywords: filtering; random parameters; interval parameters.
For citation: Smagin, V.I., Kim, K.S., Zykov, V.A. (2024) Filtering in discrete systems with random and interval parameters. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Upravlenie, vychislitelnaja tehnika i informatika -Tomsk State University Journal of Control and Computer Science. 66. pp. 69-75. doi: 10.17223/19988605/66/7
Введение
Задача синтеза фильтров, экстраполяторов и наблюдателей для динамических систем со случайными и неопределенными параметрами рассматривалась в работах [1-9] и др. В этих работах ис-
© В.И. Смагин, К.С. Ким, В.А. Зыков, 2024
пользуются различные методы робастной обработки данных. Задачи фильтрации для дискретных систем со случайными параметрами, которые часто интерпретируются как системы с мультипликативными возмущениями, рассматривались в работах [10-15].
Предмет настоящей работы - задача фильтрации в дискретных системах с аддитивными возмущениями со случайными и интервальными параметрами, причем в математическом описании случайных параметров постоянная составляющая может быть задана с интервальной неопределенностью. Для интерпретации интервальной неопределенности в работе используется метод, в основе которого лежит вероятностный подход, заключающийся в том, что интервальный параметр заменяется равномерно распределенной случайной величиной [16]. Отметим, что применение такого подхода к задаче робастной фильтрации и экстраполяции для систем с неизвестным входом и интервальной неопределенностью исследовано в работах [8, 9].
1. Постановка задачи
Рассмотрим линейную дискретную систему с интервальными параметрами, описываемую разностным уравнением
т
х(к + \) = (А + ^В£1(к))х(к) + Дк) + Ч(к), х(0)=х0, (1)
1=1
где х(к) е Яп - вектор состояния в момент времени к, Дк) - известный входной вектор; хо - случайный вектор с известным математическим ожиданием и ковариационной матрицей Л^ =М{(х0 -х0)(х0-х0)т}; А - матрица переходов состояний с интервальной неопределенностью (с заданными нижними и верхними границами А и А соответственно), ^(к) е Ят - случайные возмущения со следующими характеристиками: М{^(к)} = 0, М{^(к) (/)} = 1т 5^, д (к) - вектор случайных возмущений со следующими характеристиками: М{д(к)} = 0 , М{д(к)дт(у)} = Q5^, Q - неотрицательно определенная матрица, 1т - единичная матрица размерности т х т, 5^- - символ Кронекера, т -
операция транспонирования.
Модель наблюдений определяется по формуле
у(к) = Бх(к) + у(к), (2)
где у (к) е Я1 - вектор наблюдений, 5 - матрица наблюдений, у(к) - вектор случайных ошибок
наблюдений (М{у(к)} = 0, М{у(к) V1 (у)} = .
Предполагается, что случайные последовательности ^(к) , д(к), у(к) и вектор хо взаимно независимы, система (1) наблюдаема при параметрических возмущениях матрицы динамики А . Используя информацию, доступную на интервале времени к е [1; Т], необходимо построить оценку х(к) минимизирующую критерий
Т
3 = М{£ (х(к) - х(к ))т (х(к) - х(к))}. (3)
к=1
2. Алгоритм фильтрации
Для решения задачи будем использовать рекуррентный фильтр Калмана (ФК), при этом воспользуемся вероятностным подходом учета интервальной неопределенности параметров модели. Суть метода заключается в том, что интервальные параметры заменяются независимыми случайными величинами, равномерно распределенными на интервале неопределенности.
Используя вероятностный подход, заменим неопределенные интервальные матрицы А матрицами, элементы которых зависят от случайных величин:
щ
А(0) = (А + £ А]0]), (4)
7=1
где 0; - независимые равномерно распределенные случайные величины на интервале [-1, +1]
(-1 <9; < 1 (7=1, т)). Будем считать, что случайные величины 0г независимы от х0, Ъ(к), д(к) и у{к). В (4) матрица А = \(А + А). является медианой интервальной матрицы А. Матрицы А ^, б
(] = 1, щ; i = 1, т ) можно задать так, чтобы один элемент, соответствующий неопределенному элементу матрицы А, оставался ненулевым (если один и тот же неопределенный элемент стоит на нескольких позициях матрицы А, то матрицы А), Д. будут иметь несколько соответствующих ненулевых элементов). Значение матриц А., В можно определить по ширине интервала неопределенности
элементов матрицы А.
Тогда модель системы (1) примет вид:
т
х(к +1) = (А(0) + £В,^)х(к) + f (к) + д(к), х(0) = х0. (5)
¡=1
Оценку вектора состояния X (к) построим, используя следующий рекуррентный алгоритм (ФК): Х(к +1) = АХ(к) + / (к) + К (к)(у(к +1) - 5 (АХ(к) + / (к))), Хс(0) = X, (6) где матрица коэффициентов перехода фильтра К(к) определяется на основе оптимизации критерия (3)
с учетом вида распределения параметра 0 и в предположении, что вектор у(£) известен. Введем вектор е(к):
т
е(к +1) = х(к +1) - X (к +1) = (А(0) + £ В )х(к) + f (к) + ц(к) - (Ах (к) + f (к) + К (к) х
¡=1
х [ у(к +1) - 5 (АХ(к) + / (к))]) = (А - К (к )5А)е(к) +
т т
+ (1п - К (к )5 )д(к) - К (к )у(к +1) + (1п - К (к )Я)(£ А7 0 ]х(к) + £ В, %1х(к)).
7=1 ,=1
Тогда дисперсионная матрица ошибок определится:
N (к +1) = М {е(к + 1)е(к + 1)т} = М {[(А - К (к )5А)е(к) + (/ - К (к )5 )^(к) -
т т
-К (к Мк +1) + (1п - К (к )5 )(£ А7 0 х{к) + £ В1 %х(к))][(А - К (к )5А)е(к) +
7=1 ¿=1
т т
+(1п - К (к )5 )*(к) - К (к )у(к +1) + (1п - К (к )5 )(£ А7 0 зх(к) + £ в, ^,х(к ))]т} =
7=1 ¡=1
= (А - К (к ) 5А) N (к )(А - К (к ) 5А)т + К (к )УК (к )т +
1 т
+(1п - К (к )5)(- £ (AIN(k)AT + А,х (к) хтА,т) + 3 ¡=1
+£(ВД(к)В,Т + В,х(к)хтВТ) + б(к))(1п - К (к )5 )т. (7)
7=1
Тогда, учитывая (7), матрица N (к) будет удовлетворять разностному уравнению
N (к +1) = (А - К (к )5А) N (к)(А - К (к )5А)Т + (1п - К (к )5)ё(к )(1 - К (к )5 )т +
+ К (к )УК (к )т, N (0) = N0, (8)
где
m
Q(k) =1 £ ^т1 + 4х&) х^) А?) + £ + BIX(k) X(k )т В^) + Q. (9)
3 г=1 г=1
Используя свойство операции №(•) (уТАу = 1гЛуу' ) и правила дифференцирования функции №(•)
от произведения матриц [17, 18] по матричному аргументу
8^АХВ лТпТ 8цАХтВ пл
-= АВ , -= ВА,
8Х 8Х
вычислим градиенты критерия (3), учитывая уравнение для Щк) (8):
8/54 8
(10)
= У
8K (к ) = 8K (к )
tr[( A - K (к )SA) N (к )( A - K (к )SA)T + K (к )VK (к )т
+ (1п - К^)5Ш)(1п - К(k)5)т ] =
Т-1 г — —
= £[2 Ш (k) Ат 5 т + 2К (k )SAN(k) Ат 5 т + 2К (k - 2Q(k )5 Т+2К ^^^) 5 т]. (11)
k=0
Приравнивая (11) к нулю, получим уравнение, решением которого будет следующее аналитическое выражение для матрицы К(К) :
К(к) = ^(к) Ат 5т + Q(k)SТ )(SAN(k) А^т + SQ(k)Sт + К)-1. (12)
Тогда оценка, полученная с помощью алгоритма фильтрации в дискретных системах с интервальными и случайными параметрами, определится по рекуррентной схеме (6). Матричные коэффициенты перехода К(К) рассчитываются по формуле (12), в которой используется матрица Q(k) (9), зависящая от матрицы Щ(к) и оценок вектора состояния х(k) .
3. Результаты моделирования
Моделирование проводилось для следующих данных (т = 1, щ = 2):
A =
( 0,65 0 1 ( 101
0,35 0,9
S =
Q =
01
B =
(-0,04 01 0,04 0
A =
( 0 0 1 (-0,06 0 1 A =
0 у
0,06 0
(0,01 0 Л V 0 0,25у
V =
( 20 0 Л
V 0 30,
( 30 1
V 0 у
Начальные условия:
х (0) =
( 100 Л V250у
, *(0)=
( 80 1 V 240у
, N(0) =
, f (к) = (100 0 1
V 0 100у
(13)
(14)
Качество фильтрации оценивалось посредством сравнения стандартных ошибок отклонений оценок вектора состояния
О =
=( х (к ) - х (к ))2
к =1
T -1
(i = 1,2)
(15)
для следующих алгоритмов алгоритмов:
- (ФК) используется фильтр Калмана для системы, учитывающей номинальные значения параметров матрицы А (интервальная неопределенность и случайные параметры не учитываются);
- (ФК1) интервальная неопределенность в фильтре не учитывается (фильтр строится по номинальным значениям матрицы А, случайные параметры модели учитываются);
- (ФК2) реализуется фильтр (6) с коэффициенты перехода К^), которые рассчитываются по формуле (12).
m
Стандартные ошибки отклонений оценок фильтрации состояний системы для первой и второй компоненты вектора состояний 01 и 02 приведены в табл. 1. Результаты моделирования, приведенные в таблицах, соответствуют реализациям распределенных с равномерной плотностью значений компонент случайного вектора 0 (сравнение выполнено для методов ФК, ФК1 и ФК2) и получены для алгоритмов фильтрации при Т = 100 с усреднением по 1 000 реализациям.
Таблица 1
Результаты сравнения стандартных ошибок отклонений оценок а; вектора состояния для различных методов
Номер компоненты i Y ФК ФК1 ФК2
Oi Oi Oi
1 0,005 9,50 4,82 4,37
2 7,85 6,33 5,10
1 0,01 9,46 5,49 4,16
2 11,58 9,05 4,83
1 0,02 9,22 8,25 4,20
2 21,30 16,91 4,99
Из табл. 1 видно, что алгоритм ФК2, учитывающий случайные параметры и интервальную неопределенность параметров в матрице А, имеет преимущество в точности по сравнению фильтром Калмана, построенным по номинальным значениям параметров (ФК), и алгоритмом, который учитывает только гауссовские случайные параметры в матрице А, но параметры с интервальной неопределенностью не учитываются (они заменяются номинальными значениями; ФК1).
На рис. 1 приведены реализации относительной ошибки для фильтра Калмана и фильтров ФК1 и ФК2 при у = 0,01:
е (к )| — §,(к) = 100 % (, = 1,2).
х(к)
a b
Рис. 1. Относительная погрешность для фильтра Калмана ФК и алгоритмов ФК1, ФК2: а - первая компонента; b - вторая компонента Fig. 1. Relative error for the Kalman filter and algorithms FK1 and FK2; (a) is the first component; (b) is the second component
Таблица 2
Средние значения относительной ошибки 8; для алгоритмов ФК, ФК1 и ФК2 при у = 0,01
Номер ФК ФК1 ФК2
компоненты i Si, % Si, % Si, %
1 7,51 6,03 3,48
2 3,65 2,82 1,31
Из графиков видно, что относительная погрешность первой и второй компонент вектора состояния для алгоритма ФК2 меньше и держится на среднем уровне, приведенном в табл. 2.
Заключение
В статье предложен алгоритм фильтрации для дискретного объекта со случайными и интервальными параметрами. Случайные параметры в модели задаются как гауссовские случайные последовательности. Для представления интервальных параметров используется вероятностный подход, в основе которого лежит замена параметров интервального типа независимыми случайными величинами с равномерным распределением. Оценки строятся на основе рекуррентных схем калмановской фильтрации.
Результаты моделирования показали, что совместный учет в модели случайных и интервальных параметров позволяет повысить точность фильтрации по сравнению с классическим фильтром Кал-мана, рассчитанным по номинальным значениям параметров модели и фильтром, учитывающим только случайные параметры модели (алгоритм ФК1).
Список источников
1. Duan Z., Zhang J., Zhang C. Robust and filtering for uncertain linear systems // Automatica. 2006. V. 42. P. 1919-1926.
2. Bulut Y., Bayat O. Kalman filtering with model uncertainties // Proc. of the IMAC - XXX, January 30 to February 2. 2012. Jack-
sonville, Florida, USA. P. 1-10.
3. Abolhasani M., Rahmani M. Robust Kalman filtering for discrete-time systems with stochastic uncertain time-varying parameters //
Electronics Letters. 2017. V. 53 (3). P. 146-148.
4. Ichalal D., Marx B., Maquin D., Ragot J. State estimation of system with bounded uncertain parameters: interval multi-model
approach // Int. J. of Adaptive Control and Signal Processing. 2018. V. 32 (3). P. 480-493.
5. Abolhasani M., Rahmani M. Robust Kalman filtering for discrete-time time-varying systems with stochastic and norm-bounded
uncertainties // J. of Dynamic Systems, Measurement and Control. 2018. V. 140 (3). Art. 030901.
6. Rocha K.D., Terra M.H. (2021) Robust Kalman filter for systems subject to parametric uncertainties // Systems and Control
Letters. 2021. V. 157. Art. 105034.
7. Kim S., Deshpande V.M., Bhattacharya R. Robust Kalman filtering with probabilistic uncertainty in system parameters // IEEE
Control Systems Letters. 2021. V. 5 (1). P. 295-300.
8. Smagin V.I., Kim K.S. Robust extrapolation for systems with unknown input and interval uncertainty in system and observations //
Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика. 2023. № 62. С. 85-91. doi: 10.17223/19988605/62/9
9. Смагин В.И., Ким К.С. Робастная фильтрация для систем с неизвестным входом и интервальной неопределенностью //
Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика. 2023. № 64. С. 113-119.
10. Yang F., Wang Z., Hung Y.S. Robust Kalman filtering for discrete time-varying uncertain systems with multiplicative noises // IEEE Trans. on Automatic Control. 2002. V. 47 (7). P. 1179-1183.
11. Stoica A. H» fIltering of signals subjected to multiplicative white noise // Proc. 15th Triennial World Congress IFAC. Barcelona, Spain, 2002. P. 1-5.
12. Wu Y., Zhang Q., Shen Z. Kalman filtering with multiplicative and additive noises // Proc. of the 12th World Congress on Intelligent Control and Automation (WCICA 2016). Guilin, China, 12-15 June, 2016. P. 483-487.
13. Tsyganov A.V., Tsyganova J.V., Kureneva T.N. UD-based linear filtering for discrete-time systems with multiplicative and additive noises // Proc. of the 19th European Control Conference, Saint Petersburg, Russia, 12-15 May, 2020. P. 1389-1394.
14. Kim K.S., Smagin V.I. Filtering in discrete systems with multiplicative perturbations and unknown input // IOP Conf. Ser. Mater. Sci. Eng. 2020. V. 862 (4). Art. 042053.
15. Ким К.С., Смагин В.И. Фильтрация и диагностика в дискретных стохастических системах со скачкообразными параметрами и мультипликативными возмущениями // Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика. 2020. № 51. С. 79-86. doi: 10.17223/19988605/51/9
16. Barmish B.R., Polyak B.T. A new approach to open robustness problems based on probabilistic predication formulae // Proc. 13th World IFAC Congr. 30 June - 5 July, San Francisco, USA, 1996. Vol. H. P. 1-6.
17. Athans M. The matrix minimum principle // Informat. and Contr. 1968. V. 11. P. 592-606.
18. Амосов А.А., Колпаков В.В. Скалярно-матричное дифференцирование и его приложения к конструктивным задачам теории связи // Проблемы передачи информации. 1972. Т. 8, вып. 1. С. 3-15.
References
1. Duan, Z., Zhang, J. & Zhang, C. (2006) Robust and filtering for uncertain linear systems. Automatica. 42. pp. 1919-1926.
2. Bulut, Y. & Bayat, O. (2012) Kalman filtering with model uncertainties. Proceedings of the IMAC-XXX. January 30 to February 2.
Jacksonville, Florida, USA. pp. 1 -10.
3. Abolhasani, M. & Rahmani, M. (2017) Robust Kalman filtering for discrete-time systems with stochastic uncertain time-varying
parameters. Electronics Letters. 53(3). pp. 146-148.
4. Ichalal, D., Marx, B., Maquin, D. & Ragot, J. (2018) State estimation of system with bounded uncertain parameters: interval multi-
model approach. International Journal of Adaptive Control and Signal Processing. 32(3). pp. 480-493.
5. Abolhasani, M. & Rahmani, M. (2018) Robust Kalman filtering for discrete-time time-varying systems with stochastic and norm-
bounded uncertainties. Journal of Dynamic Systems, Measurement and Control. 140(3). Art. 030901.
6. Rocha, K.D.T. & Terra, M.H. (2021) Robust Kalman filter for systems subject to parametric uncertainties. Systems and Control
Letters. 157. Art. 105034.
7. Kim S., Deshpande V.M. & Bhattacharya R. (2021) Robust Kalman filtering with probabilistic uncertainty in system parameters.
IEEE Control Systems Letters. 5(1). pp. 295-300.
8. Smagin, V.I. & Kim, K.S. (2023) Robust extrapolation for systems with unknown input and interval uncertainty in system and
observations. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Upravlenie, vychislitel'naya tekhnika i informatika - Tomsk State University Journal of Control and Computer Science. 62. pp. 85-91. DOI: 10.17223/19988605/62/9
9. Smagin, V.I. & Kim, K.S. (2023) Robust filtering in discrete systems with unknown input and interval uncertainty. Vestnik
Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Upravlenie, vychislitel'naya tekhnika i informatika - Tomsk State University Journal of Control and Computer Science. 64. pp. 113-119. DOI: 10.17223/19988605/64/11
10. Yang, F., Wang, Z. & Hung, Y.S. (2002) Robust Kalman filtering for discrete time-varying uncertain systems with multiplicative noises. IEEE Trans. on Automatic Control. 47(7). pp. 1179-1183.
11. Stoica, A. (2002) H» filtering of signals subjected to multiplicative white noise. Proceedings of the 15th Triennial World Congress IFAC. Barcelona, Spain. pp. 1-5.
12. Wu, Y., Zhang, Q. & Shen, Z. (2016) Kalman filtering with multiplicative and additive noises. Proceedings of the 12th World Congress on Intelligent Control and Automation (WCICA 2016). Guilin. China. 12-15 June. pp. 483-487.
13. Tsyganov, A.V., Tsyganova, J.V. & Kureneva, T.N. (2020) UD-based linear filtering for discrete-time systems with multiplicative and additive noises. Proceedings of the 19th European Control Conference. St. Petersburg. Russia. May 12-15. pp. 13891394.
14. Kim, K.S. & Smagin, V.I. (2020) Filtering in discrete systems with multiplicative perturbations and unknown input. IOP Conf. Ser.: Mater. Sci. Eng. 862(4). Art. 042053.
15. Kim, K.S. & Smagin, V.I. (2020) Filtration and diagnostics in discrete stochastic systems with jump parameters and multiplicative perturbations. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Upravlenie, vychislitel'naya tekhnika i informatika - Tomsk State University Journal of Control and Computer Science. 51. pp. 79-86. DOI: 10.17223/19988605/51/9
16. Barmish, B.R. & Polyak, B.T. (1996) A new approach to open robustness problems based on probabilistic predication formulae. Proceedings 13th World IFAC Congr. 30 June - 5 July. Vol. H. San Francisco. USA. pp. 1-6.
17. Athans, M. (1968) The matrix minimum principle. Information and Control. 11. pp. 592-606.
18. Amosov, А.А. & Kolpakov, V.V. (1972) Skalyarno-matrichnoe differentsirovanie i ego prilozheniya k konstruktivnym zadacham teorii svyazi [Scalar-matrix differentiation and its applications to constructive problems of communication theory]. Problemy peredachi informatsii. 8(1). pp. 3-15.
Информация об авторах:
Смагин Валерий Иванович - профессор, доктор технических наук, профессор кафедры прикладной математики Национального исследовательского Томского государственного университета (Томск, Россия). E-mail: vsm@mail.tsu.ru Ким Константин Станиславович - кандидат физико-математических наук, доцент Высшей IT школы Национального исследовательского Томского государственного университета (Томск, Россия). E-mail: kks93@rambler.ru Зыков Владимир Алексеевич - студент Национального исследовательского Томского государственного университета (Томск, Россия). E-mail: flesch.vz@mail.ru
Вклад авторов: все авторы сделали эквивалентный вклад в подготовку публикации. Авторы заявляют об отсутствии конфликта интересов.
Information about the authors:
Smagin Valery 1 (Doctor of Technical Science, Professor, National Research Tomsk State University, Tomsk, Russian Federation). E-mail: vsm@mail.tsu.ru
Kim Konstantin S. (Candidate of Physical and Mathematical Sciences, National Research Tomsk State University, Tomsk, Russian Federation). E-mail: kks93@rambler.ru
Zykov Vladimir A. (Student, National Research Tomsk State University, Tomsk, Russian Federation). E-mail: flesch.vz@mail.ru Contribution of the authors: the authors contributed equally to this article. The authors declare no conflicts of interests.
Поступила в редакцию 01.12.2023; принята к публикации 05.03.2024 Received 01.12.2023; accepted for publication 05.03.2024
