Робастная фильтрация для дискретных систем с неизвестным входом и интервальной неопределенностью Текст научной статьи по специальности «Математика»

ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

2023 Управление, вычислительная техника и информатика № 64

Tomsk: State University Journal of Control and Computer Science

Научная статья УДК 681.5

doi: 10.17223/19988605/64/11

Робастная фильтрация для дискретных систем с неизвестным входом и интервальной неопределенностью

Валерий Иванович Смагин1, Константин Станиславович Ким2

12 Томский государственный университет, Томск, Россия 1 [email protected] 2 [email protected]

Аннотация. Рассмотрена задача робастной фильтрации для дискретного объекта с неизвестным входом и интервальными параметрами в модели объекта. Используется вероятностный подход, в основе которого лежат замена неопределенных параметров интервального типа независимыми случайными величинами с равномерным распределением. Также используются алгоритмы оценивания неизвестного входа, рекуррентные схемы калмановской фильтрации, метод наименьших квадратов и сглаживающие непараметрические процедуры. Представлены результаты моделирования.

Ключевые слова: робастная фильтрация; интервальные параметры; неизвестный вход; метод наименьших квадратов; непараметрическое сглаживание.

Для цитирования: Смагин В.И., Ким К.С. Робастная фильтрация для систем с неизвестным входом и интервальной неопределенностью // Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика. 2023. № 64. С. 113-119. doi: 10.17223/19988605/64/11

Original article

doi: 10.17223/19988605/64/11

Robust filtering in discrete systems with unknown input and interval uncertainty

Valery I. Smagin1, Konstantin S. Kim2

12 Tomsk State University, Tomsk, Russian Federation 1 [email protected] 2 [email protected]

Abstract. The problem of robust filtering for discrete systems with unknown input and interval parameters in the model is considered. A probabilistic approach is used, which is based on the replacement of indeterminate interval-type parameters with independent random variables with a uniform distribution. Unknown input estimation algorithms, recurrent Kalman filtering schemes, the least squares method and smoothing nonparametric procedures are also used. Simulation results are presented.

Keywords: robust filtering; interval parameters; unknown input; least squares method, nonparametric smoothing.

For citation: Smagin, V.I., Kim, K.S. (2023) Robust filtering in discrete systems with unknown input and interval uncertainty. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Upravlenie, vychislitelnaja tehnika i informatika - Tomsk State University Journal of Control and Computer Science. 64. pp. 113-119. doi: 10.17223/19988605/64/11

Введение

Задача синтеза фильтров, экстраполяторов и наблюдателей для динамических систем с неопределенными параметрами, в частности с интервальными параметрами, рассматривалась в [1-5] и др. В этих работах используются различные методы робастной обработки данных. Методы обработки

© В.И. Смагин, К.С. Ким, 2023

данных с использованием оценок неизвестного входа приведены в [6-9], где метод наименьших квадратов (МНК) использовался для получения оценок неизвестных входных данных. В [10-12] было предложено использовать компенсационный подход для расчета оценок неизвестного входа. В [13, 14] дополнительно использовались алгоритмы непараметрического сглаживания для повышения точности оценивания неизвестного входа.

В работе рассматривается задача робастной фильтрации в дискретных системах с аддитивными возмущениями при неизвестном входе и интервальных параметрах. В его основе лежит вероятностный подход к решению задач для модели с интервальными параметрами, заключающийся в том, что интервальный параметр заменяется равномерно распределенной случайной величиной [15]. Отметим, что применение этого подхода к задаче робастной экстраполяции рассмотрено в работах [16, 17].

1. Постановка задачи

Рассмотрим линейную дискретную систему с интервальными параметрами, описываемую разностным уравнением

х(к + \) = Ах(к) + /(к) + Вц(к), х(0) =х0, (1)

где х(к) е Яп - вектор состояния в момент времени к, А(к) - неизвестный входной вектор; х0 - случайный вектор с известным математическим ожиданием и ковариационной матрицей N = М{(х0 - х0)(х0 - х0 )т};

А - матрица переходов состояний с интервальной неопределенностью (с заданными нижними и верхними границами А и А соответственно), q(k) е Яп - случайные возмущения со следующими характеристиками: = М {¿/(А:) с/'(./)} = /б/;, В - матрица переходов возмущений с интер-

вальной неопределенностью (с заданными нижними и верхними границами В и В), I - единичная матрица, Ьк] - символ Кронекера.

Модель наблюдений определяется по формуле

у(к) = Бх(к) + у(к), (2)

где у(к) е Я1 - вектор наблюдений, 5 - матрица канала наблюдений, у(к) е Я1 - шум наблюдений

(ММк)} = 0, М{у(к) ут(./)} = ¥5 к ).

Предполагается, что последовательности д(к), у(к) и хо взаимно независимы, система (1) наблюдаема при параметрических возмущениях матрицы динамики А . Используя информацию, доступную к моменту времени к е [0; Т], необходимо построить прогноз х(к +1) путем минимизации следующего критерия:

Т

3 (0;Т) = М{£ (х(к) - х(к ))т (х(к) - х(к))}. (3)

к=0

2. Робастная фильтрация

Для решения задачи воспользуемся рекуррентным фильтром Калмана (ФК), при этом воспользуемся вероятностным подходом для нахождения его матрицы перехода. Суть метода заключается в том, что интервальные параметры заменяются независимыми случайными величинами, равномерно распределенными по интервалам неопределенности.

Затем, используя вероятностный подход, мы заменим неопределенные интервальные матрицы А, В матрицами, элементы которых зависят от случайных величин

т т+т

А(0) = (А + X А0,), В(0) = (В + X В,0,), (4)

где 9; - независимые равномерно распределенные случайные величины на интервале [-1, +1]

(— 1 < 6( < 1 (/ = 1 ,т + щ)). Будем считать, что случайные величины 0( не зависят от х0, ц{к) и v(k). В (4) матрицы А — \(А + А), и В — \(В + В) являются медианами интервальных матриц А, В. Матрицы А, Bj можно задать так, чтобы один элемент, соответствующий неопределенному элементу матриц А, В, оставался ненулевым. Его значение можно определить по ширине интервала неопределенности элементов матриц А, В .

В этом случае модель системы (1) принимает вид:

x(k +1) = A(8)x(k) + f (k) + B(8)q(k), x(0) = x0. (5)

Для построения оценки x(k) воспользуемся рекуррентным алгоритмом (ФК):

x(k +1) = Ax(k) + f (k) + K(k)(y(k +1) - 5(Ax(k) + f (k))), x(0) = x0, (6)

где матрица коэффициентов перехода фильтра K(k) определяется на основе оптимизации критерия (3) с учетом вида распределения параметра Вив предположении, что вектор fijc) известен.

Используя свойство операции tr(-) (V1 Ay = trAyy1) и правил дифференцирования функции tr( ) от произведения матриц [18]:

д tr AXB т т д tr AXт B

дХ дХ

из уравнения

dJ (0;T)

= A B , = BA, (7)

= 0 (8)

дК

получаем аналитическое выражение для матрицы ^^

К (к) = (АН (к) Ат5 т + Ш(к )Б т )($АМ (к) Ат 5 т + БШ(к )5 т + V (к ))-1, (9)

где

т т т+т

б(к) = 3 £ Агн(к)Агт + 3£ АДк)х(к)т А + ввт + 3 £ ВВ),

¿=1 ¿=1 ¿=т+1

а матрица N (к) = М{( х(к) - х (к))(х(к) - х (к ))т} удовлетворяет разностному уравнению N (к +1) = (А - К (к )5А) N (к)(А - К (к )5А)т + (I - К (к )5 )Ш(к )(1 - К (к )5 )т

(10)

К (к )V (к )К (к )т, N (0) = N. Отметим, что применение в качестве матрицы динамики ФК (6) вместо неопределенной (случайной) матрицы А(9) матрицы А (медианы интервальной матрицы А ) приведет к изменению вектора неизвестного входа (этот вектор обозначается через г^)):

т _

г (к) = / (к) + £ А,9,х(к), -1 <9, < 1 (I = 1, т), (11)

¿=1

где второй член является дополнительным неизвестным входом, возникающим из-за неопределенности матрицы перехода состояний модели (5).

В качестве алгоритма оценивания неизвестного входа г(К) воспользуемся методом МНК, в этом случае оценка может быть построена на основе минимизации дополнительного критерия [6, 7]

11 = £ {II У(() - 5 (АХ(Г -1) + г (Г -1))|| 2С +1 |г (Г -1)|£ }. (12)

В (12) C, D - положительно определенные весовые матрицы. МНК-оценки неизвестного входа, основанные на минимизации критерия (12), примут вид:

r

(МНК)

(к) = [5 тС5 + £]-15 тС[ у(к +1) - БАХ (к)]. (13)

Для повышения точности оценки неизвестного входа дополнительно будем использовать непараметрические алгоритмы [13, 14] сглаживания инновационного процесса у (к +1) - $АХ(к) :

*ш) (k ) = tcs+d]-1 s tcq,

(14)

где /-компонента вектора вычисляется по формуле

k-1

£[ y(t +1) - SAx(t )] jG

Q,(k)=

t=i

с \

k -1 +1

V ^ y

IG

t=1

, (j = 1, /),

(15)

к - г +1 . Ц ,

где С(-) - ядерная функция, ц^ - коэффициенты сглаживания.

Оценка робастной фильтрации в дискретных системах с интервальными параметрами определялась из рекуррентного уравнения

х(к +1) = Ах(к) + г (к) + К (к)(у(к +1) - 5 (Ах(к) + г (к))), х(0) = х0, (16)

где матричные коэффициенты перехода К(к) рассчитывались по формулам (9), (10), а оценки г (к), использующие непараметрическое сглаживание, определялись по формулам (14), (15). Отметим, что в (13) и (15) используется медиана интервальной матрицы А. Также отметим, что в предложенном алгоритме робастной фильтрации интервальная неопределенность переходной матрицы модели А учитывается дважды: при расчете дисперсионной матрицы Щк) и при вычислении оценок неизвестного входа (в силу того, что неизвестный вход зависит от неопределенности параметра (11)).

3. Результаты моделирования

Моделирование проводилось для следующих данных (т = 2, щ = 2):

(0,1 0 1 (0 0 1

В =

A =

( 0,085 0 Л

( 0,85 0,1 Л ( 1 0Л S =

V-0,05 0,84 y

v0 1 y

A1 =

V 0 0 y

, A2 =

v0 0,1y

0 0,065

Л '0,06 0Л (0 0 Л ( 1 0 Л ( 0,1 0 ^

, В = , Вл = , с = , D =

* з У v 0 0У ' 4 V 0 0,04 y v0 1 ; v 0 0,1J

Начальные условия:

I (к) =

( 21

\ 3 у

В (15) использовалась функция ядра Гаусса

'0,2 - 0,25sin(0,22k )Л -0,15 + 0,3sin(0,18k )

У

x(0)= , x(0)=

V 3 y

( 0 Л ( 0,1 0 Л

, N(0) =

l0 J l 0 0,1

exp

f- z ^

G( z) = ■

V 2 y

(17)

(18)

'

Качество фильтрации оценивалось посредством сравнения стандартных ошибок отклонений оценок вектора состояния:

ст, =

I ( x, (k ) - x (k ))2

k=1

N -1

.(, = 1,2),

(19)

для следующих алгоритмов:

• ФК для систем с медианными матрицами А, В, (оценка/(к) в алгоритме не используется) (ФК);

• для систем с медианными матрицами А, В был применен ФК, для вычисления оценок неизвестного входа использовался метод МНК с непараметрическим сглаживанием (формулы (14), (15)) (ФК + МНК + НПС);

• для систем с медианными матрицами А, В был применен робастный ФК (формулы (6), (9), (10)) с использованием метода МНК и непараметрического сглаживания (формулы (14), (15)) для вычисления оценок неизвестного входа (РФК).

Стандартные ошибки отклонений оценок фильтрации состояний системы с1 и с2 приведены в таблице. Результаты моделирования соответствуют 10 реализациям распределенных с равномерной плотностью значений компонент случайного вектора 0 (сравнение выполнено для методов перечисленных выше) и получены для алгоритмов фильтрации N = 200) с усреднением по 100 реализациям (см. таблицу).

Результаты сравнения стандартных ошибок отклонений оценок Ст1 и <л вектора состояния для различных методов

№ OK ФК + МНК + НПС РФК

n/n CT1 CT2 CT1 CT2 CT1 CT2

1 0,786 0,981 0,602 0,485 0,537 0,463

2 1,029 0,999 0,710 0,475 0,612 0,461

3 1,331 1,019 0,737 0,488 0,624 0,469

4 0,824 0,981 0,613 0,512 0,549 0,482

5 1,077 1,017 0,690 0,495 0,609 0,481

6 1,004 1,097 0,660 0,478 0,575 0,460

7 0,805 0,989 0,653 0,501 0,583 0,475

8 0,592 1,025 0,528 0,476 0,482 0,459

9 0,774 0,982 0,628 0,509 0,564 0,488

10 0,570 0,966 0,512 0,486 0,468 0,470

Из таблицы видно, что алгоритм с робастной фильтрацией (РФК) имеет преимущество в точности по сравнению с другими алгоритмами. Преимущество алгоритма (РФК) в точности по сравнению с алгоритмом (ФК + МНК + НПС) составляет от 3 до 16%.

Заключение

С использованием вероятностного подхода предложен алгоритм синтеза робастного фильтра для дискретных систем с неизвестным входом и интервальными параметрами в модели объекта.

Задача решается с помощью рекуррентных алгоритмов калмановской фильтрации, метода МНК и процедур непараметрического сглаживания. Предлагаемый метод реализует уменьшение влияния неопределенностей в модели за счет замены интервальной неопределенности на вероятностную и учета оценок неизвестного входа с дополнительным сглаживанием.

Результаты моделирования показали, что совместное использование алгоритмов непараметрического сглаживания и робастного подхода позволяет повысить точность алгоритма фильтрации в условиях интервальной неопределенности в задании параметров модели объекта.

Список источников

1. Abolhasani M., Rahmani M. Robust Kalman filtering for discrete-time systems with stochastic uncertain time-varying parameters //

Electronics Letters. 2017. V. 53(3). P. 146-148.

2. Ichalal D., Marx B., Maquin D., Ragot J. State estimation of system with bounded uncertain parameters: interval multi-model

approach // Int. J. of Adaptive Control and Signal Processing. 2018. V. 32(3). P. 480-493.

3. Rocha K.D., Terra M.H. Robust Kalman filter for systems subject to parametric uncertainties // Systems and Control Letters.

2021. V. 157. Art. 105034.

4. Abolhasani M., Rahmani M. Robust Kalman filtering for discrete-time time-varying systems with stochastic and norm-bounded

uncertainties // J. of Dynamic Systems, Measurement, and Control. 2018. V. 140 (3). Art. 030901.

5. Kim S., Deshpande V.M., Bhattacharya R. Robust Kalman filtering with probabilistic uncertainty in system parameters // IEEE

Control Systems Letters. 2021. V. 5 (1). P. 295-300.

6. Janczak D., Grishin Yu. State estimation of linear dynamic system with unknown input and uncertain observation using dynamic

programming // Control and Cybernetics. 2006. V. 4. P. 851-862.

7. Gillijns S., Moor B. Unbiased minimum-variance input and state estimation for linear discrete-time systems // Automatica. 2007.

V. 43. P. 111-116.

8. Hsien C.-S. On the optimality of two-stage Kalman filter for systems with unknown input // Asian J. of Control. 2010. V. 12. № 4.

P. 510-523.

9. Witczak M. Fault diagnosis and fault-tolerant control strategies for non-linear systems. Chapter 2. Unknown input observers and

filters // Lecture Notes in Electrical Engineering. Springer International Publishing, 2014. P. 19-56.

10. Смагин В.И., Смагин С.В. Фильтрация в линейных дискретных нестационарных системах с неизвестными возмущениями // Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика. 2011. № 3 (16). С. 43-51.

11. Смагин В.И. Оценивание состояний линейных дискретных систем при неизвестном входе с использованием компенсаций // Известия вузов. Физика. 2014. Т. 57, № 5. С. 104-110.

12. Smagin V.I., Koshkin G.M. Kalman filtering and control algorithms for systems with unknown disturbances and parameters using nonparametric technique // Proc. 20th International Conference on Methods and Models in Automation and Robotics (MMAR 2015). Miedzyzdroje, 2015. P. 247-251.

13. Koshkin G.M., Smagin V.I. Kalman filtering and forecasting algorithms with use of nonparametric functional estimators // Springer Proc. in Mathematics & Statistics. 2nd Conference of the International-Society-for-Nonparametric-Statistics (ISNPS). 2016. V. 175. P. 75-84.

14. Smagin V., Koshkin G., Udod V. State estimation for linear discrete-time systems with unknown input using nonparametric technique // Procro International Conference on Artificial Intelligence and Control Automation (AICA 2015). Bangkok : Atlantis Press, 2015. P. 675-677. doi: 10.2991/cisia-15.2015.184

15. Barmish B.R., Polyak B.T. A new approach to open robustness problems based on probabilistic predication formulae // Proc. 13th World IFAC Congr., 30 June - 5 July, San Francisco, USA. 1996. V. H. P. 1-6.

16. Ким К.С., Смагин В.И. Робастная экстраполяция в дискретных системах с интервальными параметрами с использованием алгоритмов оценивания неизвестного входа // Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика. 2022. № 59. С. 47-54.

17. Smagin V.I., Kim K.S. Robust extrapolation for systems with unknown input and interval uncertainty in system and observations // Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Upravlenie vychislitelnaja tehnika i informatika - Tomsk State University Journal of Control and Computer Science. 2023. V. 62. P. 85-91.

18. Athans M. The matrix minimum principle // Informat. and Contr. 1968. V. 11. P. 592-606.

References

1. Abolhasani, M. & Rahmani, M. (2017) Robust Kalman filtering for discrete-time systems with stochastic uncertain time-varying

parameters. Electronics Letters. 53(3). pp. 146-148.

2. Ichalal, D., Marx, B., Maquin, D. & Ragot, J. (2018) State estimation of system with bounded uncertain parameters: interval

multi-model approach. International Journal of Adaptive Control and Signal Processing. 32(3). pp. 480-493.

3. Rocha, K.D.T. & Terra, M.H. (2021) Robust Kalman filter for systems subject to parametric uncertainties. Systems and Control

Letters. 157. Art. 105034.

4. Abolhasani, M. & Rahmani, M. (2018) Robust Kalman filtering for discrete-time time-varying systems with stochastic and norm-

bounded uncertainties. Journal of Dynamic Systems, Measurement, and Control. 140(3). Art. 030901.

5. Kim, S., Deshpande, V.M. & Bhattacharya, R. (2021) Robust Kalman filtering with probabilistic uncertainty in system parameters.

IEEE Control Systems Letters. 5(1). pp. 295-300.

6. Janczak, D. & Grishin, Yu. (2006) State estimation of linear dynamic system with unknown input and uncertain observation using

dynamic programming. Control and Cybernetics. 4. pp. 851-862.

7. Gillijns, S. & Moor, B. (2007) Unbiased minimum-variance input and state estimation for linear discrete-time systems.

Automatica. 43. pp. 111-116.

8. Hsien, C.-S. (2010) On the optimality of two-stage Kalman filter for systems with unknown input. Asian Journal of Control.

12(4). pp. 510-523.

9. Witczak, M. (2014) Fault diagnosis and fault-tolerant control strategies for non-linear systems. Chapter 2. Unknown input observers

and filters. In: Lecture Notes in Electrical Engineering. Springer International Publishing, Switzerland. pp. 19-56.

10. Smagin, V.I. & Smagin, S.V. (2011) Filtering for linear not stationary discrete system with unknown disturbances. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Upravlenie, vychislitel'naya tekhnika i informatika - Tomsk State University Journal of Control and Computer Science. 16(3). pp. 43-50.

11. Smagin, V.I. (2014) State estimation for linear discrete systems with unknown input using compensations. Izvestiya vuzov. Fizika - Russian Physics Journal. 57(5). pp. 682-690. DOI: 10.1007/s11182-014-0291-x

12. Smagin, V.I. & Koshkin, G.M. (2015) Kalman filtering and control algorithms for systems with unknown disturbances and parameters using nonparametric technique. Proceedings of the 20th International Conference on Methods and Models in Automation and Robotics (MMAR 2015). Miedzyzdroje. Poland. pp. 247-251.

13. Koshkin, G.M. & Smagin, V.I. (2016) Kalman filtering and forecasting algorithms with use of nonparametric functional estimators. Springer Proceedings in Mathematics & Statistics. 2nd Conference of the International-Society-for-Nonparametric-Statistics (ISNPS). 175. pp. 75-84. DOI: 10.1007/978-3-319-41582-6_6

14. Smagin, V., Koshkin, G. & Udod, V. (2015) State estimation for linear discrete-time systems with unknown input using nonparametric technique. Proceedings of the International Conference on Artificial Intelligence and Control Automation (AICA 2015). Atlantis Press, Bangkok, Thailand. pp. 675-677. DOI: 10.2991/cisia-15.2015.184

15. Barmish, B.R. & Polyak, B.T. (1996) A new approach to open robustness problems based on probabilistic predication formulae. Proceedings 13th World IFAC Congr. Vol. H. 30 June - 5 July, San Francisco, USA. pp. 1-6.

16. Kim, K.S. & Smagin, V.I. (2022) Robust extrapolation in discrete systems with interval parameters using algorithms for estimating unknown input. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Upravlenie, vychislitel'naya tekhnika i informatika - Tomsk State University Journal of Control and Computer Science. 59. pp. 47-54. DOI: 10.17223/19988605/59/5

17. Smagin, V.I. & Kim, K.S. (2023) Robust extrapolation for systems with unknown input and interval uncertainty in system and observations. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Upravlenie, vychislitel'naya tekhnika i informatika - Tomsk State University Journal of Control and Computer Science. 62. pp. 85-91. DOI: 10.17223/19988605/62/9

18. Athans, M. (1968) The matrix minimum principle. Information and Control. 11. pp. 592-606.

Информация об авторах:

Смагин Валерий Иванович - профессор, доктор технических наук, профессор кафедры прикладной математики Национального исследовательского Томского государственного университета (Томск, Россия). E-mail: [email protected] Ким Константин Станиславович - кандидат физико-математических наук, доцент Высшей IT школы Национального исследовательского Томского государственного университета (Томск, Россия). E-mail: [email protected]

Вклад авторов: все авторы сделали эквивалентный вклад в подготовку публикации. Авторы заявляют об отсутствии конфликта интересов.

Information about the authors:

Smagin Valery 1 (Doctor of Technical Science, Professor, National Research Tomsk State University, Tomsk, Russian Federation). E-mail: [email protected]

Kim Konstantin S. (Candidate of Physical and Mathematical Sciences, National Research Tomsk State University, Tomsk, Russian Federation). E-mail: [email protected]

Contribution of the authors: the authors contributed equally to this article. The authors declare no conflicts of interests.

Поступила в редакцию 18.04.2023; принята к публикации 04.09.2023 Received 18.04.2023; accepted for publication 04.09.2023