Научная статья на тему 'Фильтрация координат в системе цифрового управления с алгоритмами управления, синтезированными на основе оптимизированных дельта-преобразований второго порядка'

Фильтрация координат в системе цифрового управления с алгоритмами управления, синтезированными на основе оптимизированных дельта-преобразований второго порядка Текст научной статьи по специальности «Кибернетика»

147
22
Поделиться

Похожие темы научных работ по кибернетике , автор научной работы — Кравченко П.П., Хусаинов Н.Ш.,

Текст научной работы на тему «Фильтрация координат в системе цифрового управления с алгоритмами управления, синтезированными на основе оптимизированных дельта-преобразований второго порядка»

1997.-200с.

3. Кравченко П.П. Высокопроизводительные алгоритмы дельта-модуляции, оптимизированной по быстродействию и точности // Электросвязь. 1989.-№9.-С.44-47.

П.П.Кравченко, Н.Ш.Хусаинов

ФИЛЬТРАЦИЯ КООРДИНАТ В СИСТЕМЕ ЦИФРОВОГО УПРАВЛЕНИЯ С АЛГОРИТМАМИ УПРАВЛЕНИЯ, СИНТЕЗИРОВАННЫМИ НА ОСНОВЕ ОПТИМИЗИРОВАННЫХ ДЕЛЬТА-ПРЕОБРАЗОВАНИЙ

ВТОРОГО ПОРЯДКА

В рамках данной работы освещается принципиально новый теоретический подход построения и конкретные алгоритмы работы фильтра, а также принципы организации работы системы управления с этим фильтром в условиях действия помех. Решение данного вопроса базируется на теории оптимизированных дельта преобразований второго порядка, используемой при синтезе алгоритмов управления, и соответствующих особенностях поведения объекта при действии этих алгоритмов. Важными особенностями фильтра являются отсутствие в его алгоритмическом описании явлений накопления ошибки и задержки сигнала. Условием эффективной работы фильтра является близость к достаточно малому значению (в пределе к нулю) математического ожидания, характеризующего помеху, на определенном предшествующем моменту управления интервале. Обеспечение работоспособности и эффективных точностных характеристик системы управления в целом при изменяющихся задающих воздействиях осуществляется введением условий "грубости" алгоритмов управления. При совместной работе фильтра и ускоренной адаптации выполняется адаптивная оптимизация по точности при текущей интенсивности помех. Качественная характеристика фильтра по точности может подвергаться при необходимости регулированию путем изменения упомянутого интервала и параметров алгоритма.

Сущность и особенности синтеза алгоритмов цифрового управления на основе оптимизированных дельта-преобразований второго порядка освещены в работах [1,2].

Алгоритмическое построение фильтра для координат х]1 базируется

на том, что процесс управления, независимо от исходных уравнений движения, описывается «шаблонным» поведением координат состояния. При этом собственно «шаблоном» и являются процессы и характеристики оптимизированных дельта-преобразований второго порядка. Благодаря этому при рассмотрении данного вопроса практически можно временно отвлечься от собственно управления. В соответствии с этим принимая, что поведение координат х]1 в системе дифференциальных уравнений (6) [3]

описывается (приближенно) выражениями формирования

демодулированных значений переменных в (6), запишем с введением

соответствующего переобозначения переменных выражения демодуляции (для упрощения записей далее не используем индекс 7):

* *

Ух+ = Ух, + 0.5с, Д + 0.5с1+1 Д+;;

Х+1 = X +Ухг +1.

Обозначения переменной хг рассматриваются здесь как

идеализированные, т.е. без учета реальных "деформаций" значения координаты объекта, и без помех.

Для дельта - преобразований второго порядка на основе вторых разностей соответственно имеем выражения [1]:

*

Ух£+1 = Ухг + Сг+1 Дг+^ (2)

х1+1 = х + Ухг+1-

Сравнивая выражения (1) и (2) видим, что они эквивалентны при

* *

условии равенства в правых частях (0,5 • сг ■ Дг + 0,5 • сг+1 ■ Дг+1) и

*

сг+1 • Дг+1. Воспользуемся данной особенностью и дальнейшие

рассуждения с целью упрощения математических выкладок будем проводить с использованием (2).

Базируясь на (2), нетрудно получить следующую зависимость:

- П

1+] о 5 -(п- 2)

х,+1 = ]=0 + 0-5Ухг+1(п + 2)-----— 5 (П - 1 + ])(п + М+ ] Дг+] - (3)

п + 1 п + 1

Аналогично можно записать для т Ф п :

5х+] . _ 0.5 -(т-2)

хг+1 =

+ 0-5Ухг+1(т + 2)---------— ^ (т - 1 + ])(т + ])с«+] Дг+] . (4)

т + 1 т + 1 ] =1

Из последнего выражения определяем

-т -(т-2)

25 ^г+] 5 (т - 1 + ])(т + ])с*+] Дг+]

Ухг+, = ^--------------^------------+ - ]=1

1+1 т + 2 (т + 1)(т + 2) (т + 1)(т + 2)

подставляем в (3) и получаем

(т + 2)1х+, (п + 2)^ Х+,

1 = 0 ,=0

Хі+і —-------------------------------------------+

(т - п)(п +1) (т - п)(т +1)

- (т - 2)

(п+2) I (т -1 + 1)(т + 1)с*+, Аг+,

+------------—--------------------------------------(5)

2(т - п)(т +1)

-(п-2) *

(т + 2) I (п -1 + 1)(п + І )с*+, Аі+,

1—1

2(т - п)(п +1)

Вводим обозначение отсчета с помехой

хг+] = хг+] + £+] , (6)

где х+]' значение отсчета с помехой на (1 + ])-м шаге, д1+] - помеха, характеризующаяся математическим ожиданием М(д(+]) ^ 0 на текущих

интервалах размером п шагов.

Из выражения (6) имеем

х+] = хг+] -£+] - (7)

Подставляем (7) в (5) и получаем

(т+2)5(хг+] -&+])

- ]=0

1+ (т - п)(п +1)

(п + 2)1(Х+, -£+,)

І—0__________

+

(т - п)(т +1)

-( т-2)

(п + 2) I (т -1 + І)(т + І )с*+, Аг+,

+---------- 11

2(т - п)(т +1)

-( п-2)

(т + 2) I (п - 1 + 1 )(п + 1')С*+1 Аг+і

1—1

2(т - п)(п +1)

Теперь можем записать

Хі+1 =

(т + 2)1п хі+1 (т + 2)1п д.+1

1—0 1—0

(т - п)(п +1) (т - п)(п +1)

-т -т

(п+2)і х+і (п+2)!^,

І—0 . +. І—0

+

(т - п)(т +1) (т - п)(т +1)

-( т-2)

(п + 2) I (т -1+1)(т+і'К+і Аі+і

1—1____________________________________

2(т - п)(т +1)

-(п-2)

(т + 2) I(п -1 +1 )(п + і'К+ іАі+і

1—1

(8)

2(т - п)(п +1)

Переносим компоненты правой части, содержащие помехи, в левую часть

-п -т

(т + 2) !£.+і (п + і

І—0 І—0

Х+1 + 1 1

(т - п)(п +1) (т - п)(т +1)

-п -т

(т + 2^ хі+і (п + 2)I хі+і

1 —0 1—0 +

+

(т - п)(п +1) (т - п)(т +1)

-(т-2) *

(п + 2) I (т -1 + І)(т + ІХ+1АІ+1

1—1

2(т - п)(т +1)

-<п-2> *

(т + 2) I (п -1 +,)(п + 1)сг+,4+і

і—1

2(т - п)(п +1)

Обозначим

-п -т

(т + 2) I^+і (п + 2) I^+і

1—0_____________1—0

(т - п)(п +1) (т - п)(т +1)

Последнее соотношение можно представить в виде

Хі+1 — Хі+1 +-

((т - п))2 + (т - п)(2п + 3))I ді

Хі+1 — Хі+1 +-

і+і

І—0

(т - п)(т + 1)(п +1)

(п2 + 3п + 2) I^

і+1 І—-(п+1)

(т - п)(т + 1)(п +1)

Обозначим

-п -т

((т - п))2 + (т - п)(2п + 3)) 5^.+] - (п2 + Зп + 2) 5 £+]

=_______________________________]=0__________________]=-(п+1)

1+1 (т - п)(т + 1)(п +1) ,

где д?+1 - эквивалентная помеха, действующая в расчетах на (г +1) -м

шаге. Пусть т=2п и п»1. Теперь можно записать

-п -2п

5^'+] 5^'+]

^,+ 1 * 1.5]=0------0.5 ]=-(п+1) .

п п

Пусть также на интервалах п шагов выполняется условие

М(дг+]) ^ 0 , ] = 1, п . Но тогда в силу малости коэффициентов 1,5 и 0,5

должно выполняться и условие

£?+1 ^ 0,

а следовательно, и хг+1 ^ хг+1

Теперь выражение для фильтрации на основе (8) принимает вид:

(т + 2) I X+і (п + 2) I Хі+і

хф+1 —------------1—0------------------------------1—0-+

(т - п)(п +1) (т - п)(т +1)

- (т - 2)

(п + 2) I (т -1+1)(т+і)сІ+ і Аі+і

+-------------1----------------------------------------(9)

2(т - п)(т +1)

-(п-2) *

(т + 2) I (п -1 + І)(п + І' )с*+ і Аі+і і—1

2(т - п)(п +1)

Алгоритм для фильтра, работающего с исходными дифференциальными уравнениями движения, получается в соответствии с

* А

отмеченной ранее взаимосвязью между (1) и (2), т.е. вместо (сг+] • Дг+])

должна осуществляться подстановка суммы

* *

(0,5 • ci+у-1 • Ai+у-1 + 0,5 • ci+у • Ai+у). Для этого случая получаем

(ш + 2) Е X+у (п + 2) Е X+У

хф+1 =-------^-----------------^--------+

(m - п)(п +1) (m - п)(ш +1)

- (ш - 2)

(п + 2) Е (ш - 1 + У)(ш + У)(0-5с1+ j-1Лi+у-1 + °-5с*+ у 4+у )

+---------—------------------------------------------------

2(ш - п)(ш +1)

-(п-2)

(ш+2) Е(п -1+у)(п+у)(0-5с*+]-1Лг+з-1+0-5с*+А+У )

__________у=1_________________________________________________

2(ш - п)(п +1)

(10)

Рассматривая данные алгоритмы фильтрации, следует отметить некоторые особенности их применения в системе управления. Для обеспечения достаточной близости характера изменения реальных координат состояния объекта к описанию, заложенному в алгоритмах (9) и (10) фильтрации, необходимо формировать управляющие воздействия таким образом, чтобы они практически не зависели от значений координат состояния (в данном случае "исключается" влияние ошибок значений координат состояния после фильтра на искажение величины управляющего воздействия, соответствующей обеспечению движения по "шаблонной" траектории). Решение данного вопроса возможно путем организации управления с проявлением “грубости”, что освещено в работе [1]. Сущность обеспечения "грубости" для алгоритма управления состоит в

том, что на основе исходного выбора значений с* и , возможностей

функционального представления для управляющего воздействия и с учетом динамических свойств задающего воздействия выбирается такое по

величине значение модуля кванта модуляции |Р&|, которое в выражении

для управляющего воздействия оказывает существенно преобладающее влияние на формирование значения управляющего воздействия по сравнению с другими компонентами. Данная процедура выполняется на основе теоретических положений методологии синтеза и теории дельтапреобразований второго порядка [1,2], в сочетании с возможным использованием адаптации и моделирования.

В связи с отмеченным выше рассматриваемая методология фильтрации может представлять особый интерес для систем цифрового управления с определенными формами структурной неопределенности.

Иллюстрацию работоспособности полученных алгоритмов выполним на основе уравнения движения

Т02 х (^) + 2%Т0 х(^) + х^) = кТги ^) - G(^), (11)

где %(^) е ±[0,13 0,5], Т0 е [0,3 0,6], к е [0,25 -И,7],

Т2 е [0,36 -И,5].

Моделирование проводим при ускоренной адаптации и следующих исходных данных: с* = 0,005; V/ = 0,001; Узад,і+1,а = 0,5 • 8їп(15 • ґі+1а )

(начальное значение узад00 = 0); х0 0 = 0 , х0 0 = 0 ; г = 1; G(t) = 0;

количество шагов - 30000; помехи с нормальным законом распределения и дисперсией. Измеряемая координата, характеризующая состояние объекта и поступающая на вход фильтра, оценивается согласно выражения:

хі = х? +£,

где х°б - переобозначенная координата хі состояния объекта в (11). Ошибка на выходе фильтра

Ъ, 0 = хф0 - У зад, і, 0. (12)

В табл. 1-3 приведены примеры результатов моделирования

Таблица 1

_______Пример результатов моделирования без фильтра.____________

а ^ (хоб)

0 0,00046

0,025 0,04874

0,05 0,09447

0,1 0,18961

0,3 0,56331

0,5 0,94420

Таблица 2.

Пример результатов моделирования с фильтром при т = 2 • п , п = 50

а гср (х Ф ) ^ ( хоб )

(1) (2) (1) (2)

0 0,0004 0,0005 0,00224 0,0142

0,025 0,0024 0,0024 0,0056 0,0145

0,05 0,0048 0,0048 0,0104 0,0165

0,1 0,0095 0,0095 0,021 0,025

0,3 0,0290 0,0290 0,0637 0,0675

0,5 0,0482 0,0483 0,1021 0,1022

Таблица 3

Пример результатов моделирования с фильтром при т = 2 • п , п = 10

а N р ) ^ (хоб )

(1) (2) (1) (2)

0 0,00048 0,00047 0,000503 0,00107

0,025 0,011046 0,01086 0,015700 0,01580

0,05 0,021615 0,02170 0,031114 0,03127

0,1 0,043721 0,04387 0,062754 0,06301

0,3 0,131509 0,13148 0,189201 0,18942

0,5 0,217248 0,21700 0,315450 0,31475

Эксперименты проводились, в частности, для случаев наиболее "сильных" (д = \0, 13|, Т0 =0,6, столбцы (1) в таблицах) и "слабых"

(д = |0,5|, Т0 =0,3, столбцы (2) в таблицах) проявлений "грубости" для

алгоритма управляющего воздействия; соответствующие оценки средних по модулю ошибок относительно задающего воздействия на интервале

моделирования обозначены: для выхода фильтра гср(хф) и для

координаты состояния объекта управления 2ср (хо6). Сравнивая

полученные результаты, видим возможность уменьшения средней по

модулю ошибки управления гср (хо6) при п = 50 и больших

интенсивностях помех по сравнению с работой без фильтра примерно на порядок. С уменьшением интенсивности а помех имеет место естественное уменьшение указанного эффекта. При отсутствии помех существенно меньшую ошибку показывает работа без фильтра; в данном случае дополнительная ошибка при работе с фильтром обуславливается собственно наличием фильтра в данном режиме.

Проведение экспериментов с фильтром при т = 2 • п, п = 10 по сравнению с работой без фильтра показало возможность уменьшения

ошибки гср (хоб) при больших интенсивностях в ~3 раза и близкую по

значению ошибку при а=0.

Увеличение ошибки при а=0 и работе с фильтром по сравнению с работой без фильтра обуславливается возможным некоторым несоответствием заложенных в фильтр взаимосвязей между реальными координатами состояния объекта. При этом большую ошибку вносит более "длинный" фильтр.

Фактически при данных задающих воздействиях и обеспечении "грубости", совместной работе фильтра и ускоренной адаптации выполняется адаптивная оптимизация по точности при текущей интенсивности помех.

Наибольшей эффективностью с точки зрения подавления интенсивных помех характеризуются "длинные" фильтры; в то же время при очень низких интенсивностях помех меньшие ошибки управления могут быть получены при более "коротких" фильтрах.

Предлагаемые результаты в рамках общей методологии синтеза алгоритмов цифрового управления на основе оптимизированных дельтапреобразований второго порядка распространяются на линейные и нелинейные объекты [2].

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Кравченко П.П. Основы теории оптимизированных дельтапреобразований второго порядка. Цифровое управление, сжатие и параллельная обработка информации: Монография.-Таганрог: ТРТУ, 1997.-200с.

2. Кравченко П.П. Синтез алгоритмов цифрового управления на основе оптимизированных дельта-преобразований второго порядка при недостаточной информированности о системе // Материалы Международной конференции “Идентификация систем и задачи

управления, Б1СРР0-2000”.-М.: Институт проблем управления им.

В.А.Трапезникова РАН, 2000.-С. 1656-1684.

С.А. Бутенков, В.В. Кривша, С.Х. Аль-Доуяни ОПТИМАЛЬНОЕ ГРАНУЛИРОВАНИЕ МНОГОМЕРНОЙ ИНФОРМАЦИИ

Перспективным направлением низко- и высокоуровневой обработки (или обработки и понимания) различных видов информации, особенно многомерной, является объединение информационных элементов в группы или кластеры, называемые гранулами [1, 2]. В работах Л. Задэ и других исследователей дано обоснование того факта, что использование гранулирования информации открывает путь к эффективной обработке различных видов информации. Однако определение понятия гранулы и методов работы с ней в значительной степени зависит от контекста задачи. В данной работе рассматривается один из возможных подходов к использованию теории информационной грануляции Задэ в задачах обработки и анализа изображений с целью исследования их формы на примере задач автоматического выделения целей сложной формы и окраски на сложном же фоне, ориентируясь на методы, подобные перцептуальным методам восприятия, характерным для зрительной системы человека.

Статья написана следующим образом: в разделе 1 дается краткий обзор наиболее известных подходов к гранулированию информации; в разделе 2 вводится аналитическое описание класса инкапсулирующих декартовых гранул; в разделе 3 дается оптимизационная постановка задачи гранулирования; в разделе 4 рассматриваются результаты применения предложенного оптимизационного подхода к задачам гранулирования дискретной информации на плоскости (изображений), в разделе 5 даются основные оценки качества предложенного метода, а в разделе 6 - выводы и направления дальнейшей работы.

1. Обзор моделей информационной грануляции. Согласно основному принципу грануляции по Л. Задэ, “в результате грануляции объекта А мы получаем набор элементов А (или гранул), образующих “облака” точек (объектов), связанных отношениями неразличимости, сходства или функциональности [2]. Обзор основных работ по теории информационного гранулирования дан в [3, 4]. В работах польской математической школы [5, 6] также даны основы одного из возможных подходов к математической формализации понятий гранул и гранулирования в задачах обработки информации в реляционной (табличной) форме.

Несмотря на значительные успехи теории и практики информационного гранулирования, до настоящего времени известно мало работ, посвященных важной проблеме применения подобных методов в задачах обработки многомерной информации. Одним из важнейших методов представления многомерной информации является представление в виде подмножества декартова произведения двух координат на плоскости, т.е. изображения. Частично этот пробел восполнен в наших предыдущих работах [7, 8] по использованиюм геометрических методов грануляции в задачах обнаружения и распознавания объектов сложной формы, где был предложен ряд соответствующих алгоритмов [8].