Фильтр свертка для яркости и контраста Текст научной статьи по специальности «Компьютерные и информационные науки»

УДК 621.38

К.И. Волошиновский

ФИЛЬТР СВЕРТКА

ДЛЯ ЯРКОСТИ И КОНТРАСТА*

Вопросы исчисления сверток и достоверности их получения относятся к числу вопросов трудоемких, связанных с анализом большого количества данных получаемых в результате практической работы с приборами или результатами моделирования, в том числе в средах трехмерного моделирования, в которых моделированию подвергаются траектории движения трехмерных тел, а также проводится решение задач о пересечении трехмерных тел, с подсветкой и селекцией тела пересечения и их дополнительных атрибутов и характеристик. Кроме того, приходится применить и сами свертки, т.е. проанализировать возможность их применения в программной части разрабатываемых приборов или в процессе проверки готовых уже применяемых алгоритмов подвергаемых лабораторному тестированию. Математические свертки обычно связанные с функцией частоты в виде, например, преобразования Гильберта (3.20, [12]) обычно трудоемки в виде интегралов, которые желательно проанализировать чисто аналитически, с учетом физических формул и значений физических формул, брать интегралы от которых приходится числено в силу дуализма, который будет показан ниже, что требует упростить формулы для прямой или обратной свертки.

Ключевые слова: свертка, яркость, контраст, вероятность срабатывания, формула Планка.

Свертка для светового потока

Покажем вспомогательное равенство:

ш2 к2

т + к =-— 4шк = (т + к)2 - (т - к)2

4wk = (

w - k

)2 - (w - k)2 4wk = (w2-k2)2 - (w - k)2 w - k w - k

w - k2)2 = [(w - k)2 - 2k2 + 2wk]2

w

2 - k2 = (w - k)2 - 2k2 + 2wk

(k2 - w2)2 = [(k - w)2 - 2w2 + 2wk]2 k2 - w2 = (k - w)2 - 2w2 + 2wk

* Начало в ГИАБ № 10 2016 г.

ISSN 0236-1493. Горный информационно-аналитический бюллетень. 2016. № 11. С. 47-62. © 2016. К.И. Волошиновский.

-2тк = (т - к)2 - т2 - к1 тк = (т - к)2 + В(т + к)2 тк = (т - к)2 + Ст2 - Ск2 ,2тк - (т - к)2

4тк = (-

-)2 - (т - к)2 х = wk

т - к

4тк(т - к)2 = (2тк - (т - к)2)2 - (т - к)4

4тк(т - к)2 + (т - к)4 = (2тк - (т - к)2)2

4тк(т - к)2 + (т - к) = 4т2к2 + (т - к) - 2тк(т - к)2

6 3

6тк(т - к)2 = 4т2к2 ~^(т - к)2 = тк ^(т - к)'2 = тк

Свертка для формулы потока1 без единицы:

3(т - к)2 2

тк

М(Т, X) = С1/ пХ-5[ехр(С2 / ХТ)У Ь = -г\ МСХт(Х)5(ХШ

ТТ *

(51)

(52)

Ф = А •] Иех S(X)dX = А •] ^

С

о пХ ехр(^) Р ХТ

dX =

Ю А

А -\Л

•! -пЛ

С

о пХ ехр(

Формула свертки S(T)

Ф == А •

С

пТ5

С2 (X - Т)2

= •А-

^Х

(53)

С

ехр

С

(Т)2

\ •

пТ5

ехр

2С 3Т2

(54)

/

1 Имеет характер неравенства из теории методов приближенных вычислений [18], когда произведение всегда меньше квадрата разности *k > 1, иными словами в длинной выкладке рано или поздно следует заменить знак равенства на знак неравенства, что также имеет характер «свертки».

)

Рис. 8. Результаты расчета свертки для светового потока

Что умножить, что разделить на экспоненту порядок результата одинаковый, следовательно можно экспоненту отбросить, т.е. приближенная формула:

ф == а . ^ С (55)

%Г5 1

Такой график подтверждает возможность рассмотрения формулы без единицы, поскольку, она лишь меняет знак оконечного потока.

Рис. 9. Результаты расчета свертки для светового потока по упрощенной формуле

«Ю 1000 1600 ДЮО 1МН -ШМ

Рис. 10. Результаты интегральной оценки потока по свертке физической формулы

ф = А | МеХ5(ХШ = А |

S(Х)

С

пХ5

^Х

ехр

С

-(Х- Т)2

-1

(56)

Для справки можно вспомнить формулу свертки в виде преобразования Гильберта [12]:

((и) = | д(Е)Н((а - А д(и) * А(ю) (57)

-да

Сложность в том, что мы не знаем S(T) для значений .

ф == А •

1

С

пТ5

= • А

1

С

ехр

С-2

' (Т)2

-1

пТ5 (2С2 , .

ехр I С | — 1

(58)

С учетом разных формул для яркости разный вид примет и свертка:

М(Т, Х) = С1 / п • Х-5[Abs(exp(C2 / Х • Т) - 1)]—1 формула Планка М(Т, Х) = С / п • Х-5[ехр(С2 / Х • Т) - 1]-1 формула Планка М(Т, Х) = С / п • Х-5[ехр(С2 / Х • Т)-1]-1 К(Т, Х) = С / п • Х-5 ехр(С2 / Х • Т)

k(T, X) = 1/ п • 15-5 exp(T)

М(Т, X) = С1 / п ■ Х-5[ехр(С2 / X ■ Т) + 1]-1

Поэтому имеет смысл рассматривать разные выражения на предмет надежности применения, так как показано, что формула результата свертки может быть существенно упрощена.

Световой поток, как интеграл от формулы Планка:

Такой подход удобен поскольку переключение происходит для общего фона ниже некоторых уровней одинаковым средним квадратичным отклонением, что позволяет группировать данные поступающие с выхода сканера. А пики, которые следует детектировать легко выявить по максимуму или резкому изменению среднего квадратичного отклонения.

Расчет потока по физической формуле

Можно принять арифметические формулы для усреднен ных значений спектральных характеристик:

Ф = к0MidS ■ соз(ф) ■ 0 / г2

соз(ф) = соз(30) = / 2 = 0,866

(59)

где Q — площадь объектива = 10-5; к0 — коэф. ослабления = 0,87; Z dS = n(RR)2 (RR — радиус площади сканирования, переменная программы на VBA)

траектория 92 м:

h = -9,8— +14 х + 0 2

(60)

Рис. 11. Результаты интегральной оценки потока излучения по физической формуле

или 300 м: к = -0,0066х2 + 0,9969х + 0,

х = LLL (расстояние от места пуска в процессе поступательного перемещения с Vy)

III2

к = -9,8—-— + 14 ЬЬЬ = НИН (61)

г = h / соэСф) = h / соз(30) = гННН

Т.е. просто формулу для потока не удается применить, приходится применять свертку. Результат свертки всегда следует проверять, поскольку конечный результат свертки, может не соответствовать принятым условиям представления данных поэтому приходится рассматривать разные варианты расчета, чтобы подготовить данные таким образом, что удовлетворить требования постановки задачи обработки данных.

В случае интегральных оценок потока, или других сверток для яркости и потока могут наблюдаться и неудачные результаты, поэтому, прежде чем закладывать соответствующие методы расчета в программные и аппаратные средства формулы свертки требуется проверить и сопоставить с другими формулами.

Ф = А . | МехS(Х)dХ = А . | ^-С-dХ (62)

0 0 ехр(^) " 1

Ф = А •{ МеХт(\Ж\т = А •{ ^ Т(С)С| dХ (63) 0 0 ехр(Ь_) - 1

Р ХТ

Иногда характеристика выхода может оказаться соответствующей физической формуле, поэтому вообще говоря, можно исследовать переход и корреляцию от одной свертке к другой, хотя на практике не потребовалось для решавшейся задачи. Для срабатывания устройства достаточно детектирования по максимуму и накоплению импульсов срабатывания в устройстве памяти, достаточно «триггерного» типа, т.е. аппаратного малой емкости.

В ряде случаев спектральные коэффициенты можно не учитывать, однако характер результат свертки сохраняется. Тем не менее, в приращениях, когда алгоритм имеет управления динамику в работе системы могут появиться переходные процессы связанные с особыми точками второго рода, т.е. когда предел функции слева, не равен пределу справа, или бесконечно малое приращение, в конечном счете, связанное с одним коэффи-

Интегральная оценка потока излучения по всей элементам поверхности ро длинам волн от 2 .14 м*« с учетом спепитрального коэффициента поглощения атмосферы (интеграл вычисляется численным методой}

^^^^ЙО ЯН 1SSI ÍJH 2£М »ОС «

\

1 i

Рис. 12. Результаты интегральной оценки потока излучения по физической формуле

циентов среды, то в алгоритме управления все-таки придется их учесть, поэтому и приходится их изучать.

Если устройство сканирования уже предполагает некоторый алгоритм или САУ управления выходом, то свертки с единичными коэффициентами характеристиками окружающей воздушной среды достаточно.

Интегральная оценка Яркости и по сэеднеи тейпе рагу ре, выраженной в Кельвинах при спектральном коэффициенте поглащения атмосферы равном единице (1(АЛ=1)

16-к

se-и

I I ]

.i

О 500 1000 1300 2QOO 2ЙМ 3030 3600

Рис. 13. Результаты интегральной оценки яркости для системы с единичными вспомогательными коэффициентами

гг55Е-гг

226Е-22 2 255Е-22

гие-гг

2 2Д5Е-22 2МЕ-22

О 500 1000 1500 200(1 2500 3000 35М

Рис. 14. Яркость по формуле Планка по средней температуре

гЮм2мхбмЮГц ГП1Х,Ц УРЗЗмк ига

25 20 15 10 е о

а яо 1000 ш гаю гэао зло

Рис. 15. Яркость по формуле Планка с учетом максимальной температуры

^ 210 н 2 Ж5 м 20ГЦ ТЦТ Ц .1 5 '.'■,■!.!■■ ШГГ

30 15 10

Я

О

О 600 100» 1Й00 мои 1'М ;Ю0(1

Рис. 16. Яркость по формуле Планка по температуре

К{ТЛ) = С,/Л Г5 еяр(С; IX Т)

« *

*

♦_♦

Рис. 17. Расчет яркости по температуре центральной точки (Worksheets («Щт»))

Рис. 18. Расчет яркости по температуре центральной точки

Комгдосг яо средней темпе рэгуре fJ.-1^MKM>

50ГЮ -

1 ! 1

• : *

♦

♦ *

*

и

О 400 (ООО <500 ИОО 25.00 3000 Э500

Рис. 19. Контраст по средней температуре \¥огк8кее18(«к_ср») ЖВ. Жогк-sheets(«k_nд»). СеШ(Ш, Щ.УиЫе = 1 /И/(15 л 4) *ЕхрТг)

Результат свертки как напряжение в электрической цепи прибора

В качестве напряжения электрической цепи можно принять значение средней температуры, выраженное в Вольтах, но следует понимать, что такой график является переходным процессом в цепи цифровой системы автоматического регулирования, что заставляет бороться с помехой. Поэтому так передавать напряжение не желательно, но на первой итерации можно предположить такой подход, а далее некоторым образом его усовершенствовать.

МСГ,Л} - С,/л ■ /.''¡ехр^С'. ,'Я-Т) - 1Г' Формула Планка

О 500 100(1 <ЬОО 2000 2Ь00 Э000 ЗЬОО

Рис. 20. Яркость M по формуле Планка по максимуму температуры: Worksheets («Mm»)

600 1 000 1500 200П JSOO ЗООО 35DO

Рис. 21. Яркость Mпо формуле Планка по температуре центральной точки Worksheets («M,цт»)

Контраст удобный для установки триггера на выходе на основе температуры, приведенной к значению напряжения в электрической цепи

K = M(TCP, X, [n]) = Tcp[n]/ п • Tcp[иг 6 • exp(TCP[n - 2]) (64) K = M(Tmax, X, [n]) = Tmax [n] / n • Tmax [n] - 6 • exp(Tmax [n - 2]) (65)

Заключение

В результате работы программы для ЭВМ обрабатывающей данные трехмерной модели можно построить карты местности

Яркость |юитрэст)кэдфунщня средней температуры адоль ''I ; ■ I ^.I апцсиаасыосЙойпостъюоблорасннсрэ^Юч 3*5 2ЙГц)

L

* , ?

» •

—Р»В1 - i :

— Рщ»

- '<«-,L

-•-Рщй

- '' 'Г1:

-Рчпй

—РФ« -»-■PWI0

рщи

Р<Ц1?

-PflO

—*—Рчаи

—Pm-is

► E4fi4 --Pin '7

--С 4118

1 173 357 526 7Т1 Г-' 10№ 1347 ICi 16ПЭ1751 1959213723152*93171 2Н93К7 ЗЖ

Рис. 22

Рис. 23

или карты с координатами изменения параметров, на которые можно нанести вероятности достоверных и ложных срабатываний в зависимости от угла подхода сканера, частоты вращения сканера и т.д. Всех результатов не разместить в одной статье, поэтому привожу лишь некоторые для примера.

Ровная квадратная форма некоторых зон объясняется дискретностью сетки изменения параметров. Однако, при переходи от дискретного представления модели к непрерывному, можно ожидать и аналитические ровные проекции или линии пересечения.

Стандартные задачи тестирования [3] или алгоритмы с представлением LAD могут быть весьма громоздки, поэтому готовые решения в том числе для сверток необходимо иметь в виде готовых решений, представленных в наглядном виде. Рассматриваемые методы, таким образом, могут применяться не только для военных применений, но и при смене объектива на обычный оптический, или калибровки того же сканера температурной или оптической карты могут использоваться для мирный применений.

Простейший подход к свертке и/или анализу выходных данных сканера можно проводить на основе заданной погрешности через неравенство с коэффициентом запаса. Однако, все равно следует удовлетворить требования предъявляемые к обработчику данных, а в процессе тестирования ПО готового прибора все равно приходится иметь дело с другим алгоритмом, который может быть построен по другому принципу, а не исходя из фиксированной допустимой погрешности обработки данных и сра-

Вероятность (кол-во попаданий) в зависимости от угла подхода цели и расстояния от начального положения цели до места пуска боеприпаса (при частоте вращения 30Гц)

Вероятность (кол-во попаданий) в зависимости от угла подхода цели и расстояния от начального положения цели до места пуска боеприпаса (при частоте вращения 5Гц)

□г-з

□4-5 □6-7 □ 8-9

О 3-4

□ 7-8

□ 9-10

9 10 11 12 13 14 15 16 17 1

□ 10-11 □ 11-12

□ 12-13 D13-14

■ 14-15 115-16 В16-17 ■ 17-18

■ 18 -19 ■ 19-20

■ 20-21 >21-22

■ 22-23 ■ 23-24

■ 24-25 ■ 25-26

■ 26-27 ■ 27-28

■ 28-29 ■ 29-30

■ 30-31 ■ 31-32

■ 32-33 ■ 33-31

■ 34-35 «35-36

■ 36-37 ■ 37-38

■ 38-39 ■ 3*40

■ 00 5 О0.5-1

□ 1-1.5 01.5-2 □2-2.5 □ 2.5-3

□ 3-3.5 □ 3.5-4 □4-4.5 04.S-5

□ 5-5.5 а 5.«

□ М.5 О 6.5-7

□ 7-7.5 о 7.5-8 О 8-8.5 □ 8.5-9

□ 9-9.5 о 9.5-10 о 10-10,5 010.5-11

□ 11-11.5 о 11.5-15

012-12,5 012.5-13

013-13.5 □ 13.5-14

□ 14-14.5 □ 14.5-1!

■ 15-15.5 B15.S-K

■ 16-16.5 ■ 16.5-1 J

■ 17-17.5 И17.5-1!

■ 18-18.5 ■ 18.5-15

I 3 8 8

Минимум вероятности (кол-ва попаданий) от частоты и расстояния от начального положения цели до места пуска боеприпаса в среднем при разных углах подхода

ш \ Л §¡gg jj 1

шщ 1 в в и

1

I И ш _

Ц ¡J

[-30 □ 0-0,5 □ 0,5-1

-25 □ 1-1.5 □ 1.5-2

□ 2-2,5 □ 2.5-3

-20 □ 3-3,5 □ 3,5-4

-19 □ 44.5 □ 4.5-5

□ 5-5,5 □ 5.5-6

-15 □ 6-6,5 □ 6,5-7

-10 □ 7-7,5 □ 7,5-8

□ 8-8,5 ■ 8,5-9

U □ 9-9,5 □ 9.5-10

66 70 75 80 85 90 95 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260

Рис. 24. Карты вероятности срабатывания по наземной цели для разных параметров сканирования местности (пустые клетки предполагают красный цвет, там где срабатывание не произошло)

батывания устройства срабатывания. А сам процесс рассмотрения разных сверток позволяет взглянуть на процесс обработки данных с пониманием физических величин и характеристик и их влияния на результат, а не только как на математический расчет, который приходится проводить численными методами.

Если мы интегрируем уравнение или «домножаем», то порядок возрастает, что и приводит к необходимости проверки уточнения сверток. Однако, в силу предельных соотношение, что-то сокращается или некоторым образом меняется характер зависимости, появляется нелинейность или особая точка. Кроме того, исходное и оконечное выражение характеризует не только порядок системы, но и количество степеней свободы. Неопределенностью свертки занимаются также и формулы Уэлча для сверток.

Произведение на входе и произведение на выходе имеет соответствующее распределение. Если результат свертки имеет неопределенность меньше чем исходное выражение, то система зажата. Таким образом, следует ввести нестрогое неравенство, которое показывает при каком условии неопределенности входа и выхода совпадают или удовлетворяет допустимому соотношению.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Волошиновский К. И. Свидетельство об официальной регистрации программы для ЭВМ № 2015619051, 24 августа 2015 г., Переключательные триггеры на непрерывных элементах и двоичные (Matlab Simulink).

2. Волошиновский К. И. Свидетельство об официальной регистрации программы для ЭВМ № 2016610271, 11 января 2016 г., Развертка осциллограмм для теплового и миллиметрового канала с подборкой в виде базы данных (C#).

3. Волошиновский К. И. Свидетельство об официальной регистрации программы для ЭВМ № 2016611624, 08 февраля 2016 г., Прозвон клеммных соединений (LabView).

4. Волошиновский К. И. Свидетельство об официальной регистрации программы для ЭВМ № 2016613022, 15 марта 2016 г., Программный комплекс: Триггеры: 2-ух и n-тактные, троичный, с амплитудой А (sgn) и триггер-эффект (Matlab Simulink).

5. Волошиновский К. И. Свидетельство об официальной регистрации программы для ЭВМ № 2016612697, 04 марта 2016 г., Анализ попаданий (пересечений) при подлете боеприпаса к воздушной цели в виде распределения и его фазового портрета (SolidWorks VBA, MSExcel VBA).

6. Волошиновский К. И. Свидетельство об официальной регистрации программы для ЭВМ № 2016612698, 04 марта 2016 г., Анализ работы устройства срабатывания противотанкового боеприпаса (SolidWorks VBA, MSExcel VBA).

7. Волошиновский К. И. Заявка на государственную регистрацию программы для ЭВМ № 2016611276/69, 10.02.2016 г., Триггеры: много-тактные, 1- и 2-ух тактные на базе 1/s и 1/Tp+1, без 1/s и с чередовани -ем полярности на входе (Matlab Simulink).

8. Волошиновский К. И. Заявка № 206108645 от 11.03.2016. на государственную регистрацию заявления о выдаче патента Российской Федерации на изобретение: Способ преобразования электрических импульсов в код Манчестер и устройство для его осуществления.

9. Волошиновский К. И. Свидетельство об официальной регистрации программы для ЭВМ № 2010617536, 15 ноября 2010 г., Генератор случайных числе на языках VBA, STL с возможностью реализации на синфазных цифровых АЛУ (Siemens Step 7).

10. Волошиновский К. И. Свидетельство об официальной регистрации программы для ЭВМ № 2010617535, 15 ноября 2010 г., Генератор случайных чисел на языке STL с рандомизацией, постоянной частью, обладающей периодичностью и битом биения, с представлением LAD (Siemens Step 7).

11. Демидович Б. П. Сборник задач по мат. анализу. — М.: Наука, 1990. - 624 с.

12. Лэм Г. Аналоговые и цифровые фильтры. Расчет и реализация. - М.: Мир, 1982.

13. Зоммерфельд А. Оптика. — М.: Изд-во иностр. лит-ры, 1958.

14. Савельев И. В. Курс общей физики. Т. III. Оптика, атомная физика, элементарные частицы. — М.: Наука, 1967. — 416 с.

15. Нуссбаумер Г. Быстрое преобразование Фурье и алгоритмы вычисления сверток. — М.: Радио и связь, 1985.

16. Бесекерский В. А., Попов Е.П. Теория систем автоматического регулирования. — М., 1966. — 992 с.

17. Певзнер Л. Д. Теория систем управления. М.: Изд-во МГГУ, 2002. — 472 с.

18. Даугавет И. К. Теория приближенных методов. Линейные уравнения. 2-е изд. — СПб.: БХВ-Петербург, 2006. — 288 с. ЕИЗ

КОРОТКО ОБ АВТОРЕ

Волошиновский Кирилл Иванович — кандидат технических наук, доцент, e-mail: gas7dev@gmail.com, МГИ НИТУ «МИСиС».

UDC 621.38

Gornyy informatsionno-analiticheskiy byulleten'. 2016. No. 11, pp. 47-62. K.I. Voloshinovskiy

FILTER OF CONVOLUTIONS FOR LUMINANCE AND CONTRAST

The issues associated with calculus and reliability of convolutions are time-consuming and involve large bulk of data produced by practical work with equipment and from modeling, including 3D modeling of mechanical trajectories of three-dimensional bodies and solving of problems on intersection of three-dimensional bodies, with accent lighting and selection of a body of intersection, and their additional attributes and characteristics. Also, it is

required to use convolutions, i.e. to analyze their applicability within the software component of the equipment designed or in the process of laboratory validation of finished algorithms. Mathematical convolutions related with a function of frequency in the form of, e.g., Hilbert transformation (3.20, [12]), are labor-intensive in the form of integrals, which are better to be processed analytically, considering physical formulas and their values, but are integrated numerically due to dualism, shown below, which requires simplifying the formulas for direct and inverse convolution.

Key words: convolution, luminance, contrast, functioning probability, Planck formula.

AUTHOR

Voloshinovskiy K.I., Candidate of Technical Sciences, Assistant Professor, e-mail: gas7dev@gmail.com,

Mining Institute, National University of Science and Technology «MISiS», 119049, Moscow, Russia.

REFERENCES

1. Vfoloshinovskiy K. I. Formal registration certificatefor computer program no 2015619051,

24.08.2015.

2. Vfoloshinovskiy K. I. Formal registration certificatefor computer program no 2016610271,

11.01.2016.

3. Vfoloshinovskiy K. I. Formal registration certificatefor computer program no 2016611624, 08.02.

4. Voloshinovskiy K. I. Formal registration certificatefor computer program no 2016613022, 15.03.2016.

5. Voloshinovskiy K. I. Formal registration certificatefor computer program no 2016612697, 04.03.2016.

6. Voloshinovskiy K. I. Formal registration certificate for computer program no 2016612698), 04.03.2016.

7. Voloshinovskiy K. I. Computer program state copyright application no 2016611276/69, 10.02.2016.

8. Voloshinovskiy K. I. Claim for state registration of application for Russian Federation Patent of Invention, No. 206108645 dated March 11, 2016.

9. Voloshinovskiy K. I. Formal registration certificate for computer program no 2010617536, 15.11.2010.

10. Voloshinovskiy K. I. Formal registration certificatefor computer program no 2010617535, 15.11.2010.

11. Demidovich B. P. Sbornikzadach po mat. analizu (Collection ofproblems on mathematical analysis), Moscow, Nauka, 1990, 624 p.

12. Lem G. Analogovye i tsifrovyefil'try. Raschet i realizatsiya (Analog and digital filters. Calculation and implementation), Moscow, Mir, 1982.

13. Zommerfel'd A. Optika (Optics), Moscow, Izd-vo inostr. lit-ry, 1958.

14. Savel'ev I. V. Kurs obshchey fiziki. T. III. Optika, atomnaya fizika, elementarnye chastitsy (Course on general physics, vol. III), Moscow, Nauka, 1967, 416 p.

15. Nussbaumer G. Bystroe preobraz,ovanie Fur'e i algoritmy vychisleniya svertok (Fast Fourier transform and convolution algorithms), Moscow, Radio i svyaz', 1985.

16. Besekerskiy V. A., Popov E. P. Teoriyasistem avtomaticheskogo regulirovaniya (Theory of automated control systems, Moscow, 1966, 992 p.

17. Pevzner L. D. Teoriya sistem upravleniya (Theory of control systems), Moscow, Izd-vo MGGU, 2002, 472 p.

18. Daugavet I. K. Teoriyapriblizhennykh metodov. Lineynye uravneniya. 2-e izd. (Theory of approximation methods. Linear equations, 2nd edition), Saint-Petersburg, BKhV-Peterburg, 2006, 288 p.