CC BY
134
УДК 168.53(075.8)
Н644
Никонов Олег Александрович
кандидат философских наук, доцент кафедры физики Мурманского государственного технического университета
ФИЛОСОФСКИЕ ПРОБЛЕМЫ МАТЕМАТИКИ В ЭРЛАНГЕНОВСКОЙ ПРОГРАММЕ Ф. КЛЕЙНА
Аннотация:
В Эрлангеновской программе Ф. Клейна подводится итог развитию неевклидовой геометрии в XIX столетии и рассматриваются перспективы развития этой области математики. В ней отражена единая точка зрения на различные геометрии (например, евклидову, аффинную, проективную). В течение последующего времени тезисы этой программы были ведущим началом в развитии математики. «Эрлангеновскую программу» Ф. Клейна следует рассматривать как завершающий этап развития геометрии в XIX в. и анализ перспектив дальнейшего развития геометрии. Она продолжает оставаться не только важнейшим историческим документом, но и живым источником математического творчества.
Ключевые слова: континуум, метрика, инвариант, группа, многообразие, проективные преобразования, кривизна пространства.
1. Введение
Основные положения работы Феликса Клейна (Р. К1ет) “Vergleichende Ве^асИипдеп uder пеиеге geometrische Forchungen” были сформулированы на лекции, прочитанной в 1872 г. в университете города Эрлангена (Германия) и напечатаны в том же году под названием «Сравнительное обозрение новейших геометрических исследований» (октябрь 1872 г.) [1]. В этой лекции автор дал настолько ясную и отчетливую перспективу дальнейшего развития геометрии, что она по праву получила в сообществе математиков того времени название «Эр-лангеновская программа». В течение последующего времени тезисы Эрлангеновской программы были ведущим началом в развитии математики, да и поныне, хотя математика обогатилась рядом новых плодотворных идей, делающих в некоторых отношениях Эрлангеновскую программу превзойденной, она продолжает оставаться не только важнейшим историческим документом, но и живым источником математического творчества [2, с. 13].
В книге Ф. Клейна «Лекции о развитии математики в Х1Х столетии» с большей обстоятельностью разработаны мысли, которые были лишь намечены или очень кратко изложены Эрлангеновской программе. Лекции явились историческим обзором всего того, что было получено в математике в XIX столетии. Эрлангеновскую программу Ф. Клейна следует рассматривать как завершающий этап развития геометрии в XIX в. и анализ перспектив дальнейшего развития геометрии.
2. Сущность «Эрлангеновской программы»
О цели своей работы Ф. Клейн писал в статье «О так называемой неевклидовой геометрии»: «Подразумеваемая в тексте проективная метрика совпадает, как показали новейшие исследования, по существу своему с той метрической геометрией, которая может быть построена при отказе от аксиомы о параллельных и которая в настоящее время под именем неевклидовой геометрии является предметом многих разговоров и споров. С именем неевклидовой геометрии связывают множество нематематических представлений, которые с таким же жаром лелеются одними, с каким отвергаются другими, но с которыми наши чисто математические рассмотрения не имеют ничего общего. Желанием способствовать до некоторой степени разъяснению понятий в этом направлении объясняется излагаемое в дальнейшем» [3, с. 430-431].
Эрлангеновскапя программа - единая точка зрения на различные геометрии (например, евклидову, аффинную, проективную), сформулированная впервые Ф. Клейном Сущность Эрлангеновской программы состоит в следующем. Как известно, евклидова геометрия рассматривает те свойства фигур, которые не меняются при движениях, равные фигуры определяются как фигуры, которые можно перевести одну в другую движением. Но вместо движения можно выбрать какую-нибудь совокупность геометрических преобразований и объявить «рав-
ными» фигуры, получающиеся одна из другой с помощью преобразований этой совокупности; это приводит к иной «геометрии», изучающей свойства фигур, не меняющиеся при рассматриваемых преобразованиях. Введенное «равенство» должно удовлетворять следующим трем естественным условиям: 1) каждая фигура F «равна» самой себе; 2) если фигура F «равна» фигуре F’, то и F' «равна» фигуре F; 3) если фигура F «равна» фигуре F’, а F' «равна» фигуре F’’, то и F «равна» фигуре F’’. Соответственно этому надо потребовать, чтобы рассматриваемая совокупность преобразований была группой. Теория, которая изучает свойства фигур, сохраняющихся при всех преобразованиях данной группы, называется геометрией этой группы.
Центральная идея Эрлангеновской программы связана с понятием группы преобразований. Обобщая понятие «алгебраические подстановки», Софус Ли создал теорию непрерывных групп преобразований с ее многочисленными приложениями к теории дифференциальных уравнений и геометрии [4, с. 435-451]. Клейн обращает внимание на то, что уже движения, которыми пользуются в евклидовой и неевклидовой геометрии для совмещения конгруэнтных фигур, подчиняются условиям, характеризующим группу: результат последовательного выполнения двух движений есть движение и преобразование обратное движению также есть движение. Тем же условиям подчиняются и другие геометрические преобразования, например, проективное. Обобщая эти факты, Клейн приходит к расширенному пониманию геометрии, формулируя ее задачу следующим образом: «Дано многообразие и в нем группа преобразований; нужно исследовать те свойства образов, принадлежащих многообразию, которые не изменяются от преобразованной группы».
Из этого общего определения следует, что существуют различные геометрии. Они могут отличаться друг от друга характером элементов рассматриваемого многообразия и строением группы. Последнее различие является наиболее существенным.
Самая общая группа, рассматриваемая Клейном, есть группа проективных преобразований; ей соответствует проективная геометрия. Подгруппа проективных преобразований трехмерного пространства, переводящая в себя некоторую плоскость, есть группа, которой соответствует аффинная геометрия. Подгруппа проективных преобразований, переводящая в себя абсолют, то есть некоторую поверхность второго порядка, определяет геометрия пространства постоянной кривизны. Если абсолют вырождается в кривую второго порядка, то мнимой кривой соответствует евклидова геометрия, а действительной - так называемая псевдоевкли-дова геометрия, или, иначе говоря, геометрия пространства Лоренца [5, с. 20-21].
Выбор различных групп преобразований приводит к разным геометриям. Так рассмотрение группы движений приводит к обычной (евклидовой) геометрии; замена движения аффинными преобразованиями или проективными преобразованиями приводит к аффинной соответственно проективной геометрии. Основываясь на идеях А. Кэли [6, с. 241-245], Ф. Клейн показал, что принятие за основу группы проективных преобразований, переводящих в себя некоторый круг (или произвольное коническое сечение), приводит к неевклидовой геометрии Лобачевского. Ф. Клейн ввел в рассмотрение довольно широкий круг других геометрий, определяемых подобным же образом.
Эрлангеновская программа не охватывает некоторые важные разделы геометрии, например, риманову геометрию. Эрлангеновская программа имела для дальнейшего развития геометрии существенное стимулирующее значение.
3. Геометрия Римана
Несмотря на широту своего охвата, программа Клейна явно оставила в стороне то направление развития геометрии, которое исходило из идей Римана. Риманово пространство, вообще говоря, не допускало такой группы преобразований в себя, которое сохраняет его основной инвариант, то есть квадрат линейного элемента. Исключение в этом отношении представляли только поверхности постоянной кривизны и еще некоторые узкие специальные классы римановых пространств [7, с. 279-280].
На первый взгляд мысль о том, что любая из этих странных геометрий могла бы соперничать с евклидовой геометрией и даже быть более ценной в приложениях к реальной Вселенной, казалась в то время нелепой. Но Гаусс имел смелость рассмотреть такую возможность. Независимо от того, использовал ли он результаты измерений, приведенные в его работе 1827 г., для проверки применимости неевклидовой геометрии к реальному миру, Гаусс был первым, кто не только с уверенностью заявил, что неевклидова геометрия применима к физическому пространству, но и осознал, что мы более не можем быть уверены в истинности евклидовой геометрии. Трудно утверждать, находился ли Гаусс под непосредственным влиянием идей Юма, во всяком случае, предпринятую Кантом попытку опровергнуть Юма Гаусс не считал достаточно серьезной [8, с. 103].
4. Проективная геометрия
Особую роль в эволюции геометрии XIX столетия сыграло развитие проективной геометрии. Эрлангеновская программа открывается следующей фразой: «Между приобретениями, сделанными в области геометрии за последние пятьдесят лет, развитие проективной геометрии занимает первое место» [9, с. 399].
Каждым пространственным преобразованием, не принадлежащим к главной группе, можно воспользоваться, чтобы переносить свойства известных образов на новые. Так, мы пользуемся геометрией на плоскости для геометрии поверхностей, отобразимых на плоскости; таким образом, задолго до возникновения собственно проективной геометрии по свойствам данной фигуры делали заключения о свойствах других, которые получаются из нее проектированием.
5. О многообразиях произвольного числа измерений
Эрлангеновская программа Клейна, на наш взгляд, стимулировала дискуссию о свойствах физического пространства. Ее автор писал: «С математической точки зрения, бесспорно, что пространство, рассматриваемое как место точек, имеет только три измерения, но точно так же нельзя с математической точки зрения и помешать кому бы то ни было утверждать, что пространство имеет собственно четыре или произвольно много измерений, но что мы в состоянии воспринимать только три. Теория многообразий многих измерений в том виде, как она чем далее, тем более выступает на первый план в новейших математических изысканиях, по существу своему совершенно не зависит от такого утверждения. Но в ней укоренилась терминология, которая, конечно, вытекает из такого представления. Вместо того чтобы говорить об индивидуумах многообразия, говорят о точках высшего пространства и пр. Сама по себе такая терминология имеет много хорошего, так как, вызывая воспоминая о геометрических воззрениях, она облегчает понимание; но она имела то невыгодное следствие, что для широкой публики исследования о многообразиях произвольного числа измерений считаются неразрывно связанными с упомянутым представлением о строении пространства. Рассматриваемые математические исследования, конечно, тот час же получили бы геометрическое применение, если бы это представление было верно, но их значение и их цель заключаются, совершенно независимо от этого представления, в их собственном математическом содержании... нельзя с математической точки зрения... помешать кому бы то ни было утверждать, что пространство имеет собственно четыре или произвольно много измерений, но. мы в состоянии воспринимать только три» [10, с. 429-430].
Совершенно иной точки зрения придерживался Плюккер. Он считал, что действительное пространство можно представлять себе многообразием произвольного числа измерений, вводя в качестве элемента пространства образ, зависящий от произвольного числа параметров. Этот способ представления, рассматривающий элемент произвольно протяженного многообразия как аналог точки пространства, впервые развит Грассманом в его Ausdehnungslehre (1844). У него мысль вполне свободна от упомянутого представления о природе пространства; последнее ведет свое начало от некоторых беглых замечаний Гаусса и получило более широкую известность благодаря исследованиям Римана о многократно протяженных многообразиях, в которое оно им заключено.
Построение неевклидовых геометрий естественно привело к идее, что возможно существование физических пространств другой природы, которые отвечают новым геометриям так же, как наше реальное пространство отвечает трехмерной евклидовой геометрии. Но общая идея такого рода немедленно ставит вопрос, каким образом мы вообще можем определить характер физического пространства самого по себе и отнести его к определенной геометрической структуре? Что означает само понятие «реальное пространство»? Почему мы, в частности, убеждены, что окружающее нас пространство, пространство, в котором мы живем, имеет евклидову структуру? [11, с. 7]
Особая данность (наглядность) евклидовой геометрии объясняется исключительно историческим привыканием человека к определенной среде обитания [12, с. 171].
Простота евклидовой геометрии имеет относительный смысл. В ряде случаев именно отказ от простой геометрии позволяет дать наиболее адекватное и простое описание реальности. Принципиальная множественность геометрий, допустимых для описания данной сферы физической реальности, не исключает того, что каждая такая сфера практически однозначно определяет свою геометрию. Это значит, что, подчеркивая свободу в выборе геометрии, мы в праве, тем не менее, говорить о существовании различных физических пространств, то есть различных сфер опыта, описание которых органически связано с определенной системой геометрических преобразований. Но если это верно, то это значит, что существуют объективные характеристики в сфере опыта, диктующие применимость определенных пространственных представлений и практически исключающие все другие представления такого рода. Задача, очевидно,
состоит в том, чтобы выявить эти характеристики и достаточно ясно их определить. К этому сводится так называемая проблема физического пространства.
В настоящее время ясно, что выбор геометрии в определенной физической ситуации есть частный случай проблемы выбора теории вообще и что сам по себе он гораздо сложнее, чем это представлялось [13, с. 23] Рейхенбаху и другим философам в 30-50 гг. ХХ в., исследовавшим науку исключительно в контексте обосновании.
В этом пункте Рейхенбах допускает, однако, принципиальную ошибку. Верно, что старое различие, идущее от Платона, между чертежом треугольника и мысленным треугольником находит здесь достаточно удовлетворительное разрешение. Тем не менее особый характер наглядности евклидовой геометрии не может быть понятен ни с наивно эмпирической, ни с предлагаемой Рейхенбахом логической точек зрения. Арифметика Пифагора и геометрия Евклида не просто первые две исторически математические структуры, а структуры, связанные с категориальным видением мира, и они будут всегда занимать совершенно особое место в человеческом восприятии мира, несмотря на широкое использование других геометрических и арифметических систем. Какие бы пространства мы не использовали в физике, мы всегда представляем физические объекты в обычном трехмерном пространстве. Этот факт истолковывается часто чисто психологически («человек еще не привык к другим пространствам»), или антропоморфно («так устроены визуальные способности человека»), или, наконец, логически («однозначность представлений, связанных с евклидовой геометрией, порождена ее логической организацией, жестким логическим соподчинением понятий»). Дело, однако, здесь не в психологии и не в логике. Евклидовый характер представлений об объектах диктуется тем, что эти представления внедрены в само представление об объектах, образуют общую логику восприятия мира, продиктованную в конечном итоге необходимой структурой деятельности или структурой субъективно-объективного отношения. Но это значит, что особая данность евклидовых представлений для сознания отнюдь не только следствие их широкой употребимости и логической организации, но, прежде всего следствие самого характера отношений, которые он фиксирует, то есть она имеет онтологическую природу. В этом смысле другие геометрии не могут быть поставлены рядом с евклидовой вне зависимости от их важности для науки и степени использования [14, с. 179].
6. Ф. Клейн о математическом творчестве
Тезис о важной роли традиционных приемов математического творчества, а также идеализации и абстракции выдвинули Феликс Клейн и Мориц Паш, уделив большое внимание противопоставлению интуитивного и логического в этом процессе. Тем не менее следует заметить, что интуиция не могла бы открыть непрерывную (нигде не дифференцируемую) функцию или кривую, покрывающую квадрат (кривую Пеано). Такого рода экзотические математические объекты, даже если их существование подсказано интуицией, подлежат «очищению», которое производится путем идеализации и абстракции. По выражению Клейна, примитивная интуиция неточна, а утонченная интуиция вообще не является интуицией, возникает в результате логического вывода из аксиом. В ответ на требование полагаться на надежность логического вывода из аксиом Брауэр возразил, что непротиворечивость системы аксиом доказывается с помощью интерпретаций или моделей, относительно которых должно быть известно, что они непротиворечивы [15, с. 280].
Несколько позже в 1908 г. ту же тему подхватил Феликс Клейн. Его беспокоило, как бы математики не стали злоупотреблять чрезмерной свободой в создании произвольных математических структур. Произвольные структуры, предостерегал Клейн, - «смерть всякой науки». Аксиомы геометрии «не произвольные, а вполне разумные утверждения, как правило, опирающиеся на наше восприятие пространства. Точное содержание геометрических аксиом определяется их целесообразностью». Занимаясь обоснованием аксиом неевклидовой геометрии, Клейн подчеркивал, что аксиома Евклида о параллельных, как того требуют наглядные представления, выполняется лишь с точностью, не превышающей определенные пределы. По другому случаю Клейн заметил, что «тот, кто пользуется привилегией свободы, должен нести бремя ответственности». Под ответственностью Клейн понимал служение интересам познания природы [16, с. 334-335].
7. Ф. Клейн об исследованиях по теории параллельных линий
Большое внимание в Эрлангеновской программе уделено исследованиям по теории параллельных линий. В связи с этим Ф. Клейн писал: «Упомянутые исследования по теории параллельных линий вместе со своими дальнейшими продолжениями с математической стороны имеют определенное значение в двух отношениях.
С одной стороны, они показывают - и в этом отношении дело их можно считать законченным раз и навсегда, - что аксиома о параллельных не представляет собой математического следствия помещаемых обыкновенно впереди нее аксиом, но что в ней находит себе выраже-
- 7Q -
ние новый элемент воззрения, который не был, затронут ранее. Подобные исследования можно бы и должно бы выполнить по отношению к каждой аксиоме не одной только геометрии; через это достигли бы лучшего понимания взаимного отношения аксиом.
Но затем эти исследования одарили нас ценным математическим понятием - понятием о многообразии постоянной кривизны. Оно теснейшим образом связано с проективным мероопределением, созданным совершенно независимо от всякой теории параллельных. Если изучение этого мероопределения представляет само по себе высокий математический интерес и допускает многочисленные применения, то к этому добавляется еще, что оно обнимает мероопределение, данное в геометрии как частный (предельный) случай и учит нас рассматривать его с более высокой точки зрения.
Совершенно независимо от развитых точек зрения стоит вопрос о тех основаниях, на которые опирается аксиома о параллельных, будем ли мы рассматривать ее как абсолютно данную, как это хотят одни, или как доказанную приближенно посредством опыта, как утверждают другие. Если бы имелись основания принять последнее, то упомянутые математические изыскания показали бы нам, как следовало бы тогда строить более точную геометрию. Но такая постановка вопроса есть, очевидно, философская, касающаяся самых общих оснований нашего познания» [17, с. 431].
8. Значение Эрлангеновской программы Ф. Клейна
До Ф. Клейна разнообразные геометрические факты и теории не объединялись единой концепцией. Универсальную концепцию «единства геометрий», общий принцип, охватывающий все ее ветви, впервые увидел и четко сформулировал Феликс Клейн. Как отмечалось выше, в основе его концепции лежит идея, связанная с понятием группы преобразований и классификацией групповых свойств. Это фундаментальное открытие представляется тем более замечательным и удивительным, что сама по себе теория групп как отдельный раздел алгебры в то время фактически еще не сложилась [18, с. 431].
Ф. Клейн пришел к выводу, что ветви геометрии различаются инвариантами соответствующей группы преобразований. При этом имеется своеобразная иерархия инвариантов: в группе движений евклидовой плоскости инвариантом связаны две точки, в группе подобия - три точки в общем положении, в группе аффинных преобразований - три коллинеарных точки, в группе проективных преобразований - четыре коллинеарные точки. Таким образом, на основе группового подхода оказываются объединенными такие, казалось бы, различные главы геометрии, как евклидова, аффинная и проективная геометрии, геометрии Лобачевского и Римана и т. д. [19, с. 133]. Идеи Ф. Клейна были восприняты многими выдающимися математиками. Так, в 1886 г. Софус Ли в своей статье «Замечания на работу Гельмгольца “О фактах, лежащих в основе геометрии”» писал: «Знаменитая работа Гельмгольца. рассматривает задачу, стоящую в теснейшей связи с новой теорией групп преобразований. Побуждаемый Клейном, я, поэтому решился применить к этой важной, хотя и частной задаче методы моей теории преобразований» [20, с. 383]. (Упомянутая работа Германа Гельмгольца (1821-1894) была опубликована в 1868 г. [21, с. 366-382] и представляла собой одну из первых попыток продвинуться по пути аксиоматического обоснования геометрии.) Через 15 лет после публикации эрлангеновской программы мысль о равноправности геометрий Евклида и Лобачевского становится отчетливо ясной Анри Пуанкаре в своей работе «Об основных гипотезах геометрии» (1887) выразил ее так: «... Геометрия есть не что иное, как изучение некоторой группы движений, и в этом смысле можно сказать, что справедливость геометрии Евклида нисколько не противоречит справедливости геометрии Лобачевского, так как существование одной группы вполне совместимо с существованием другой».
Следующий шаг в развитии геометрии сделал Эли Картан. В его трактате «Теория групп и геометрия» на основе синтеза идей Клейна и Римана развиваются новые направления в геометрии. Представляется уместным воспроизвести здесь высказывание Э. Картана, определяющее суть открытия Ф. Клейна: «Как известно, основная идея Ф. Клейна может быть связана с наиболее древними понятиями науки. Элементарная геометрия изучает свойства фигур, не зависящие от их положения в пространстве, остающиеся инвариантными относительно некоторой совокупности преобразований образующей группу движений. Проективная геометрия,. с точки зрения Клейна, изучает свойства фигур, инвариантные относительно некоторой совокупности преобразований, образующей группу. Вообще всякая группа непрерывных преобразований определяет самостоятельную геометрию. Эта геометрия. изучает свойства фигур, инвариантные относительно преобразований группы» [22, с. 486].
Нам не следует усматривать недооценку Ф. Клейном значения открытия геометрии Лобачевского (напомним, что труд «О началах геометрии» Н.И. Лобачевского вышел в свет в 1829 г., за 43 года - менее чем за полвека - до речи Ф. Клейна). Тем более что именно Ф. Клейн впервые научно обосновал независимость эвклидова пятого постулата (постулата о параллельных
прямых). В 1871 г. вышла его статья «О так называемой неевклидовой геометрии», в которой он так описывает историю рождения новой геометрии: «Гаусс назвал эту геометрию неевклидовой, он много занимался ею, но, к сожалению, ничего не опубликовал о ней, кроме некоторых намеков» [23, с. 429-431].
К этой же неевклидовой геометрии пришли Лобачевский, и, несколькими годами позже венгерский математик Я. Больаи. В этой статье Ф. Клейна можно усмотреть явные попытки связать геометрические свойства со свойствами линейных преобразований, именно их положить в основу геометрических рассмотрений. Как известно, Ф. Клейну принадлежит проективная интерпретация неевклидовой геометрии (плоскости Лобачевского). В 1889-1890 гг. он читал в Геттингенском университете лекции по неевклидовой геометрии [24].
Нисколько не умаляя значение поворотного в истории науки открытия неевклидовой геометрии, следует согласиться, что проективная геометрия является одной из наиболее принципиально важных и неожиданно причудливых математических теорий. Есть все основания предполагать, что к своей концепции Ф. Клейн пришел в результате обстоятельных и плодотворных исследований в этой области. Нетрудно заметить, что сама Эрлангеновская программа в определенном смысле является гимном проективной геометрии, бурно развивающейся в XIX в.
Весьма актуально звучит призыв автора Эрлангеновской программы расширять связи между различными разделами математики и тем самым обогащать возможности творчества и углублять понимание результатов: «.Специалист по математической физике постоянно уклоняется от тех преимуществ, которые может дать ему во многих случаях сколько-нибудь выработанное проективное воззрение.» [25, с. 431].
8. Заключение
Ф. Клейн решил важную задачу - объединение различных видов геометрии на основе теоретико-группового метода. Он утверждал, что существуют различные геометрии. Они могут отличаться друг от друга характером элементов рассматриваемого многообразия и строением группы. Последнее различие является наиболее существенным.
Обобщая эти факты, Клейн приходит к расширенному пониманию геометрии, формулируя ее задачу следующим образом: «Дано многообразие и в нем группа преобразований; нужно исследовать те свойства образов, принадлежащих многообразию, которые не изменяются от преобразованной группы».
Идея необходимости тесного взаимодействия и взаимопонимания различных ветвей математики, математиков теоретиков и прикладников всегда была очень близка Ф. Клейну и всячески им пропагандировалась. Очень глубоким представляется и другое положение, касающееся взаимоотношения научного и психологического в геометрическом восприятии.
Ссылки:
1. Клейн Ф. Сравнительное обозрение новейших геометрических исследований («Эрлангеновская программа») // Об основаниях геометрии. Сборник классических работ по геометрии Лобачевского и развитию ее идей. М. 1956. С. 399—434.
2. Клейн Ф. Лекции о развитии математики в XIX столетии. М.; Л., 1937. Ч. 1.
3. Клейн Ф. О так называемой неевклидовой геометрии // Об основаниях геометрии. Сборник классических работ по геометрии Лобачевского и развитию ее идей. М. 1956.
4. Ли С. Теория групп преобразований. Об основаниях геометрии. Сборник классических работ по геометрии Лобачевского и развитию ее идей. М., 1956. С. 435-451.
5. Норден А.П. Открытие Лобачевского и его место в истории новой геометрии // Об основаниях геометрии. Сборник классических работ по геометрии Лобачевского и развитию ее идей. М., 1956. С. 20—21.
6. Кэли А. Шестой мемуары о формах. Об основаниях геометрии. Сборник классических работ по геометрии Лобачевского и развитию ее идей. М., 1956. С. 241—245.
7. Риман Б. Сочинения. М.; Л., 1948.
8. Клайн М. Математика. Утрата определенности: пер. с англ. / под ред., с предисл. и примеч. И.М. Яглома. М., 1984.
9. Клейн Ф. Сравнительное обозрение новейших геометрических исследований («Эрлангеновская программа») // Об основаниях геометрии. Сборник классических работ по геометрии Лобачевского и развитию ее идей. М., 1956.
10. Клейн Ф. О так называемой неевклидовой геометрии // Об основаниях геометрии. Сборник классических работ по геометрии Лобачевского и развитию ее идей. М., 1956.
11. Беляев Е.А., Перминов В.Я. Философские и методологические проблемы математики. М., 1981.
12. Там же.
13. Рейхенбах Г. Философия пространства и времени. М., 2003.
14. Беляев Е.А., Перминов В.Я. Философские и методологические проблемы математики. М., 1981.
15. Клайн М. Математика. Утрата определенности: пер. с англ. / под ред., с предисл. и примеч. И.М. Яглома. М., 1984.
16. Клайн М. Математика. Утрата определенности: пер. с англ. / под ред., с предисл. и примеч. И. М. Яглома. М., 1984.
17. Клейн Ф. Сравнительное обозрение новейших геометрических исследований («Эрлангенов-ская программа») // Об основаниях геометрии. Сборник классических работ по геометрии Лобачевского и развитию ее идей. М., 1956.
18. Розов Н.Х. Феликс Клейн и его Эрлангеновская программа (к 150-летию со дня рождения ученого). Математическое просвещение. 1999. Сер. 3. Вып. 3.
19. Прасолов В.В., Тихомиров В.М. Геометрия. М., 1997.
20. Ли С. Замечания на работу Гельмгольца «О фактах, лежащих в основе геометрии. Сборник классических работ по геометрии Лобачевского и развитию ее идей. М., 1956.
21. Гельмгольц Г. О фактах, лежащих в основании геометрии // Об основаниях геометрии. Сборник классических работ по геометрии Лобачевского и развитию ее идей. М., 1956 С. 366-382.
22. Картан Э. Теория групп и геометрия // Об основаниях геометрии. Сборник классических работ по геометрии Лобачевского и развитию ее идей. М., 1956.
23. Клейн Ф. О так называемой неевклидовой геометрии // Об основаниях геометрии. Сборник классических работ по геометрии Лобачевского и развитию ее идей. М., 1956.
24. Клейн Ф. Неевклидова геометрия. М.;Л., 1936.
25. Клейн Ф. Сравнительное обозрение новейших геометрических исследований («Эрлангеновская программа») // Об основаниях геометрии. Сборник классических работ по геометрии Лобачевского и развитию ее идей. М., 1956.
