CC BY
51
УДК 624.04 В.А. Долгоруков
РИ (ф) ФГОУВПО «МГОУ имени В.С. Черномырдина»
ФЕНОМЕНОЛОГИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ЛОКАЛЬНОЙ ПЛАСТИЧНОСТИ
В результате численного решения МКЭ выявлено, что в точке фронта кинетически распространяющейся области пластического течения материал, оставаясь физически линейно-упругим, нагружается по криволинейной траектории. В модельных целях эта кривая траектории нагружения представлена двузвенной ломаной. Второй участок траектории нагружения параллелен лучу нагружения точки инициации течения. Таким образом принимается гипотеза о неком самоподобии в кинетическом распространении пластического течения вблизи концентратора напряжений в условиях маломасштабной текучести. Принято, что удельная энергия деформации, связанная с начальным участком нагружения (и соответствующие доли среднего и эквивалентного по Мизесу напряжения), прямого вклада в переход в пластическое состояние вторичной точки не оказывают. Только конечный участок траектории нагружения при достижении достаточной величины удельной энергии деформации обусловливает кинетическое развитие течения во вторичной точке. В результате получено, что при увеличении степени двухосности в сравнении с точкой инициации течения происходит некоторое стеснение в распространении течения. Это стеснение тем сильнее, чем меньше коэффициент Пуассона |j и выше двух-трехосность на пути распространения течения. На примере сквозной трещины показано демпфирующее влияние возникшего пластического течения на окружающее поле линейных напряжений. Например, получено, что эквивалентная по Ирвину трещина для материала с |j = 0,25 меньше физической и равна /э = / -1/18п(К/сту)2. Представленная модель вырождается при j = 0,5 и при чистом сдвиге и может быть полезна при изучении различных феноменов, связанных с механикой деформирования и разрушения.
Ключевые слова: локальное пластическое течение, напряженно-деформированное состояние, разрушение, концентрация напряжений, удельная энергия деформации, траектория нагружения.
Оценка несущей способности нагруженных элементов строительных конструкций с конструктивно-технологическими концентраторами напряжений связана с локальным подходом к анализу напряженно-деформированного состояния (НДС). Максимальное использование несущих способностей, в т.ч. остаточных, при наличии трещиноподобных дефектов неизбежно ведет к возникновению локального пластического течения вблизи концентраторов. Прямой оценке упругопластического НДС посвящено большое количество работ и моделей.
Анализ ряда работ по локальному пластическому течению и его влиянию на несущую способность нагруженных элементов конструкций в разных постановках указывает на некоторый эффект упрочнения (в разных показателях), присутствующий в более поздних моделях по отношению к базовым моделям. Это выражается в уменьшении деформации, напряжений, раскрытия трещин под нагрузкой, уменьшении коэффициента интенсивности напряжений в механике трещин и др. Например, T, Q теории [1] в механике трещин, связанные с учетом влияния геометрии, нагружения элемента (in-plane constraint factor), обзор которых приведен в [2], приводят к уменьшению локальных напряжений по отношению к классической модели локального упругопластического состояния Хатчинсона — Райса — Розенгрена (HRR). Из метода эквивалентной плотности энергии деформации (ESED) Глинки — Мольски [3], экспериментально обоснованной формулы Н.А. Махутова [4] следует некоторое уменьшение локальных упругопластических деформаций по отношению к модели Нейбера [5]. Предел трещиностойкости Е.М. Морозова [6] в терминах эквивалент-
ВЕСТНИК
9/2012
ной трещины приводит к ее уменьшению по отношению к решению Ирвина [7]. В случае повторно статической (циклической нагрузки) указанный эффект указывается, например, в [8]. Хотя исследователи связывают эти эффекты с разными обстоятельствами, в том числе с фрактальностью геометрии трещины [9], тем не менее физика локальной пластичности не вполне ясна. Поэтому исследовательские работы продолжаются во многом на уровне феноменологии. Прямой анализ локального упругопластического состояния с использованием теорий пластичности, численных и экспериментальных техник затруднен рядом обстоятельств, поэтому нередко используются интегральные косвенные оценки (прежде всего — размер пластической зоны, инвариантный от пути интегрирования У-интеграл Черепанова — Райса в механике трещин и др.).
В настоящей работе на основании особенностей линейно-упругого состояния материала во фронте кинетически расширяющейся области пластического течения, выявленных численно МКЭ, предлагается модель упругопластического состояния материала, следствия которой могут быть полезными в различных разделах механики деформирования и разрушения.
Модель сложного нагружения точки во фронте пластической области. Рассмотрим область концентратора напряжений (например, пластину с круглым отверстием в условиях плоского напряженного состояния, нагруженную одноосным монотонным растяжением). При номинальном нагружении аг/3 < ап < 0,8аг (аг — предел текучести) возникает локальное пластическое течение (маломасштабная текучесть изотропного идеально упругопластического материала). В результате численного решения МКЭ выявлено, что в точке фронта кинетически распространяющейся области пластического течения материал, оставаясь физически линейно-упругим, нагружается по криволинейной траектории (рис. 1, а). Отметим, что обычно в приближенных аналитических решениях в качестве краевых условий на границе пластической области используются автономные (без взаимовлияния) линейные решения [10, 11], что и является методическим содержанием концепции маломасштабной текучести.
^ Предельная кривая на рис. 1, а описы-
вается уравнением
' + а 0 =о¥
где а,
о
т — напряжения среднее и касательное соответственно. Луч ОА на рис. 1, а представляет нагружение точки инициации течения (одно -осное растяжение) на поверхности концентратора (отверстия), кривая ОЕ — смежной точки (с положительной радиальной компонентой напряжения). Течение наступает в т. А и Е соответственно.
В феноменологии упругопластического деформирования и разрушения при однородном НДС используется безразмерный
параметр к = ЮЖ, где Ю =(1 + ^ а и ио = -(1" 2
в
\ А
С е/ш в
А/ Уз#ст>
/щ /]Ш:Шк У
ШШ / г б
(За0)
Рис. 1. Схема кинетики течения
3Е
6 Е
- (3а0) — удельная упругая энер-
гия формоизменения и изменения объема соответственно [12], где ц, Е — коэффициент Пуассона и модуль упругости; ае — эквивалентное по Мизесу напряжение. Указанную выше особенность нагружения точки во фронте пластического течения в соответствие с [13] представим в координатах уЦ - ^Цф", (рис. 1, б). Тогда котангенсы углов наклона лучей ОА и ОВ на рис. 1, б, отображающих траектории нагружения двух смежных точек в линейно упругом аналоге задачи, есть соответствующие вели-
чиныл/ к . Инициация течения в точке с наибольшей концентрацией (для рассматриваемого примера теоретический коэффициент концентрации напряжений аа = 3) отображена на рис. 1, б т. А. Смежная точка деформируемого упругопластического материала нагружается по некоторой гладкой криволинейной траектории ОЕ. При этом влияние на эту траекторию возникшего и приближающегося течения отражено отклонением кривой от луча ОВ. Эту неприведенную на рис. 1, б гладкую кривую представим в виде двузвенной ломаной ОБЕ, причем начальный участок ОБ совпадает с направлением ОВ. Тем самым моделируется начальный этап нагружения вторичной с точки зрения кинетики течения точки, когда влияние приближающегося течения еще отсутствует. Затем траектория параллельна лучу ОА (БЕ||ОА). Количественное соотношение двух звеньев приведено ниже. В [13] выдвинута гипотеза о некой са-моподобности кинетического развития пластического течения в условиях маломасштабной текучести. Самоподобность в текущем контексте означает следующее.
Кинетически развивающееся течение несет в себе особенности своей активации в наиболее нагруженной по линейному расчету точке, по крайней мере, в рамках маломасштабной текучести. Тогда для кинетического продвижения пластического течения требуется не только выполнение классического критерия текучести (например ое = с7), но и одинаковая с условиями инициации величина средних напряжений. Это отражено на рис. 1, б подобными треугольниками. Отсюда следует, что во вторичной точке на пути развития течения переход в состояние текучести происходит не в т. Е, (как это следует из классических представлений), а в т. О. Для этого требуется дополнительное приращение внешней нагрузки. Упрочнение, моделируемое таким образом, коррелирует с рядом известных фактов стеснения пластического течения при увеличении объемности НДС, в т.ч. для хрупких горных пород [14]. В механике трещин стеснение, связанное с трехосностью напряжений при плоской деформаци-ии, является необходимым условием корректного экспериментального определения характеристики хрупкого разрушения Кс . Кроме того, напряжения стабильного продвижения трещины (что также можно связать с упрочнением) связывается с фрак-тальностью геометрии поверхности трещин [9]. Описанную самоподобность кинетического развития течения по рис. 1 можно связать с одновременным равенством плотностей энергии деформации и параметра нагружения к (равенство отрезков |ОА| = \ЬО\ и их углов наклона) при индифферентности к течению части плотности энергии деформации, представленной на рис. 1, б отрезком ОЬ.
Тогда соответствующие участку ОЬ доли эквивалентного по Мизесу и среднего напряжения (се, с0) непосредственного влияния вклада в кинетику пластичности и в соответствующее накопление повреждений не оказывают. Можно предположить также, что, являясь линейно упругой и поэтому обратимой составляющей плотности энергии деформации, часть плотности энергии деформации, представленная отрезком ОЕ, влияет только на кинетику собственно разрушения.
Самоподобность в указанном смысле является важной предпосылкой к феноменологическому удовлетворению уравнений совместности деформаций.
Из приведенных рассуждений (двузвенность траектории нагружения) следует возможность ротационной моды деформации при простом внешнем нагружении, разгрузке (повторно статическое нагружение), разрушении. В последнем случае ротационная деформация приводит к тому, что поверхности разрушенных частей (экспериментального образца) не складываются без зазоров, что является аргументом к обоснованию, в т.ч. фрактальности поверхностей разрушения [15]. Отметим, что решения МКЭ на основе безмоментной теории деформаций демонстрируют поворот главных напряжений в упругопластических решениях именно на этапе перехода материала в упругопла-стическое состояние (кроме плоскости симметрии).
9/2012
Представленная модель вырождается в случае несжимаемого материала, ц = 0,5 и чистого сдвига (и0 = 0), когда траектория нагружения на рис. 1, б всех точек вертикальна (например, антиплоский сдвиг в механике трещин). В [16] указывается, что при вариантном нагружении трубчатых образцов только при чистом сдвиге сохраняется подобие между девиаторами напряжений и приращений деформаций.
Количественная сторона модели. Для количественной экстраполяции линейно упругих решений на область пластических состояний определим пропорции участков двузвенной ломаной нагружения и феноменологически выполним уравнения равновесия. В соответствии с вышеприведенными рассуждениями эквивалентное по Мизесу напряжение разделено на две составляющие, ае = аер + аее. Одна (аее) связана с ординатой т. Б и не оказывает прямого влияния на переход материала в пластическое состояние (определяет эффект упрочнения и хрупкого разрушения). Другая (аер) — качественно и количественно (при аер > а7) обусловливает соответствующее переходу в пластическое состояние накопление повреждений. Назовем эту составляющую эффективной долей эквивалентного напряжения. Для количественной оценки ае примем пропорцию
|ОВ| \ОА\
и*
и
аер
= т,
(1)
где и*, и — плотность энергии деформации двух смежных точек в линейно упругом аналоге задачи. Тогда с учетом того, что при одноосном нагружении в точке инициации течения и = а 2 /2Е для большого класса задач с концентраторами напряжений поверхности которых свободны от напряжений имеем
1" ' — (2)
Ч3а0/ае ) +-
3 4°, е/ 3
Из (2) следует, что для указанной группы концентраторов напряжений т > 1, т.е. параметр т определяет эффективную для кинетики пластического течения долю эквивалентного напряжения
а ер =-
(3)
Из (3) следует направление развития течения в том направлении, где аер — тах. При равной величине ае это реализуется когда т = 1, что означает однородное с точки зрения многоосности НДС.
На рис. 2 приведены две серии кривых, полученных МКЭ: изолинии интенсивности напряжений при ап/ау = 0,79 вблизи сквозного отверстия в растягиваемой пластине из слабоупрочняющегося материала и изолинии величин т, полученных для линейно упругого состояния по (2). Отмечена линия фронта течения (ае/а7 = 1).
Из рис. 2 следует, что в целом в рамках классического критерия ае = аг пластическое течение развивается в направлении близком к направлению постоянных значений т (это постоянство связано со значением т = 1, так как на поверхности отверстия имеет место одноосное растяжение). Это косвенно в рамках классической теории малых упругопластических деформаций подтверждает возможность самоподобия пластического Рис. 2. Поля эквивалентного на- течения. В рамках классических представлений ц пряжения и параметра т вблизи от- оказывает слабое влияние на распределение изо-верстия линий параметров НДС, следовательно, на распо-
ложение изолиний т. Однако из (2) следует, что на «глубину» рельефа поля параметра т коэффициент Пуассона влияет существенно (чем меньше ц, тем рельефней поле т). С учетом описанной модели кинетического упрочнения можно заключить, что форма и размер пластической области (без учета деформационного упрочнения по диаграмме одноосного растяжения, т.е. в идеально упругопластическом материале) являются зависимыми от ц, вырождаясь в полосы пластического скольжения Чернова — Людерса с уменьшением ц.
Выразив о— через инварианты тензора напряжений (при плоском напряженном состоянии), имеем:
ст* =
m
If + 2(1 + ц) Iг
(4)
При ц = 0,5 имеем т = 1, тогда из (4) получаем известную из теории напряжений связь между а. и двумя первыми инвариантами тензоров напряжений. Кроме того в теории напряжений при тригонометрическом представлении главных напряжений вводится
угол вида напряженного состояния [10]:
-, где I — третий инвариант де-
Iз( V )
виатора напряжений. Выражение для угла вида напряженного состояния можно переписать через инварианты тензора напряжений:
Ii (If + 4,512) + 271
С учетом (4), а также того, что для плоского напряженного состояния 13 = 0, можно при-
сте
нять, что при ц = 0,5 « ——.
11
Пример феноменологического удовлетворения уравнений равновесия проведем для концентратора напряжений в виде сквозной трещины, так как двухосность сингулярного напряженного состояния — наибольшая, и эффект от предлагаемой модели также наиболее ощутим. Воспользуемся решением Ирвина для маломасштабного течения вблизи сквозной прямолинейной трещины (поправка Ирвина на пластичность [10]). В соответствии с этой моделью величина пластической области находится из равенства затушеванных площадей (рис. 3) и определяется абциссой т. а.
Линия, исходящая из т. а, определяет экстраполированное на упругопластическое состояние материала линейное решение (в сторону увеличения линейного ае) по концепции эквивалентной длины трещины 1э [7]:
Г \2Л
/э = l + 2 r0 = ф/ = l
1 +
(5)
Рис. 3. Схема сингулярных напряжений вблизи трещины
где К — коэффициент интенсивности напряжений. Из сингулярного линейно-упругого решения для сквозной трещины следует, что на ее продолжении в области К-доминантности — аг = а0. Тогда из (2), с учетом конечности деформации на поверхности трещины (и, как следствие, одноосности НДС) в малой области непосредственно на поверхности трещины [17], следует:
1 - 2ц 6 E
(2. в )2
(1+ Ц). 2
--о
3 E e
2(1-ц).
(6)
ст. 72 Е
В соответствие с (3) эффективные значения ае (т.е. ) представлены левой асимптотой на рис. 3. Повторив вычисления точно по Ирвину [7], с учетом
к
3
а
m
K, _____1 ( K
а =---= ст7, откуда rm = —I-| , получим переменную, в зависимости от
- '2л г 2л ^ шаг
ц по (6), величину пластической области, а также эквивалентную длину трещины.
Так, при д = 0,5 (несжимаемый материал), пластическая область 2r0 = —
ж
(г Y
, эк-
Kr
вивалентная длина трещины и поле окружающих линейных напряжений совпадает с решением Ирвина [7]. Для д < 0,293 (когда точки b и i на рис. 3 совпадают, следовательно 2rm= r0, имеем д = 0,293) зона пластичности определена т. b (рис. 3), т.е. поле линейно упругого aep < ст7 эффективного эквивалентного напряжения (не учитывающее компоненту сее) за областью течения расположено ниже асимптоты линейного распределения с . В этом случае влияние локального течения на окружающее поле линейных напряжений оказывает демпфирующее влияние. В терминах эквивалентной длины трещины при д = 0,25 (значение характерно для малоуглеродистых сталей) имеем:
i = i__— f *A 2
э 18 П
т.е. эквивалентная длина трещины меньше физической длины. Здесь коэффициент 1/18 получен по стандартному алгоритму преобразования вещественного числа в натуральную дробь. Диапазон решений, связанный с диапазоном д, представлен на рис. 3 вертикальной штриховкой.
Для антиплоского сдвига трещины (мода III) решение относительно пластической области инвариантно относительно д, так как m = const = 1, следовательно cep= ce и совпадает с решением Райса для неупрочняющегося материала [18]:
Kin
2 1
r = 2r0 = -ж
\ + /
Таким образом, в соответствии с изложенной моделью течения, коэффициент Пуассона в условиях локальной неоднородности НДС (не столько в количественном контексте, сколько в части неоднородной двух-многоосности), сопутствующей в большинстве случаев (кроме антиплоского сдвига в механике трещин и чистого сдвига в экспериментах Нейбера) концентрации напряжений, может иметь существенное влияние на характер деформирования и разрушения нагруженных элементов конструкций.
Обширный экспериментальный материал редко связывается с коэффициентом Пуассона. Поэтому известные из литературных источников эффекты можно сопоставить с д только на уровне корреляций. Так, в частности, наименьшее среди конструкционных материалов значение д имеют мало; среднеуглеродистые стали с ОЦК кристаллической решеткой. Установление таких корреляций является целью отдельной работы.
Библиографический список
1. O'Dowd N.P. and Shih C.F. (1991), Family of crack-tip fields characterized by a triaxiality parameter-I. Structure of fields, Journal of the Mechanics and Physics of Solids, 39, 989—1015.
2. MaтвиенкоЮ.Г. Модели и критерии механики разрушения. М. : ФИЗМАТЛИТ, 2006. 328 с.
3. Molsk K., Glinka G. A Method of Elastic-Plastic Stress and Strain Calculation at a Notch Root," Mater. Sci.Engng, vol. 50, 1981, pp. 93—100.
4. Махутов Н.А. Конструкционная прочность, ресурс и техногенная безопасность : В 2 ч. Новосибирск : Наука, 2005. Ч.1: Критерии прочности и ресурса. 494 с.
5. NeuberH. Theory of Stress Concentration for Shear-Strained Prismatical Bodies with Arbitrary Nonlinear Stress-Strain Law, ASME Journal of Applied Mechanics 28, 1961.
6. Морозов Е.М. Концепция предела трещиностойкости // Заводская лаборатория. 1997. № 12. C. 42—46.
7. irwin, G.R. Plastic Zone Near a Crack and Fracture Toughness, Mechanical and Metallurgical Behavior of Sheet Materials, Proceedings of Seventh Sagamore Ordnance Materials Conference, Syracuse University Research Institute, 1960, p IV-63 to IV-78.
8. Jakusovas A., Daunys M. Investigation of low cycle fatigue crack opening by finite element method MECHANIKA. Kaunas: Technologija 2009. Nr.3(77), p. 13—17.
9. Khezrzadehl H., WnukM., YavariA. Influence of material ductility and crack surface roughness on fracture instability J. Phys. D: Appl. Phys. 44 (2011) 22 p.
10. Малинин Н.Н. Прикладная теория пластичности и ползучести. 2-е изд., перераб. и доп. М. : Машиностроение, 1975. 400 c.
11. Hutchinson, J.W. Singular Behavior at the End of a Tensile Crack in a Hardening Material, Journal of Mech. Phys. Solids, Vol. 16, 1968, pp. 13—31.
12. СкудновВ.А. Предельные пластические деформации металлов. М. : Металлургия, 1989. 176 с.
13. Долгоруков В.А. Инженерная модель кинетики пластического течения вблизи концентратора напряжений // Деформация и разрушение материалов и наноматериалов : сб. материалов Третьей междунар. конф., Москва, 12—15 октября 2009 / под общ. ред. О.А. Банных. M. : Интерконтакт Наука, 2009. Т. 2. 407 с. (в 2-х томах). C. 313—314.
14. Новопашин М.Д., Сукнев С.В. Градиентные критерии предельного состояния // Вестник СамГУ Естественнонаучная серия. 2007. № 4(54). C. 316—335.
15. Mosolov AB Cracks with a fractal surface. 1991 Dokl. Akad. Nauk SSSR 319 840-4
16. Богатов А.А. Механические свойства и модели разрушения металлов. Екатеринбург : ГОУ ВПО УГТУ-УПИ, 2002. 329 с.
17. McClintockF.A. irwin G.R., Plasticity aspects of fracture mechanics ASTM STP 381, (1965), pp. 84—113.
18. Rice J.R. (1968), Mathematical analysis in the mechanics of fracture", in Liebowitz H, ed., "Fracture An Advanced Treatise, vol. 2, chap. 3, 191-311, Academic Press, New York.
Поступила в редакцию в июне 2012 г.
Об авторе: Долгоруков Вадим Александрович — кандидат технических наук, доцент, заведующий кафедрой архитектуры и градостроительства, Рязанский институт (филиал) ФГБОУ ВПО «Московский государственный открытый университет имени В.С. Черномырдина» (РИ (ф) ФГБОУ ВПО «МГОУ им. В.С. Черномырдина»), г. Рязань, 390000, ул. Право-Лыбедская, д. 26/53, Dolgorukov61@mail.ru.
Для цитирования: Долгоруков В.А. Феноменологическая модель локальной пластичности // Вестник МГСУ. 2012. № 9. С. 101—108.
V.A. Dolgorukov
PHENOMENOLOGICAL MODEL OF LOCAL PLASTICITY
Two points of an elastic and perfectly plastic material exposed to the plane stress are examined by the author. One point is located on the stress concentrator surface. The other one is located at a certain distance from the first one (it is considered as a secondary point within the framework of the kinetic theory of a plastic flow).
As a result of the finite element analysis of the stress-strain state it has been discovered that the material in the point located in the front area of the kinetic plastic flow remains linearly elastic in terms of its physical condition, and the load is applied to it in accordance with a curved trajectory. This trajectory is represented by _U0 -^Ucoordinates, where U^ and U0 are the density-related
components of dilatation and distortion strain. For the purposes of modeling, the trajectory is represented as a two-component broken line.
As a result, the kinetic plastic flow prolongation is limited. This effect intensifies while the value of the elastic Poisson ratio (|j) goes down. For example, for |j < 0.5, dimensions of the plastic zone outstretched along the crack curve are smaller than those identified using the Irwin plastic zone solution. Furthermore, in case of j = 0.25, the effective crack length is leff = l-1/18n(K/CTy)2, and the
modified stress distribution is below the singular stress distribution according to the laws of linear elastic fracture mechanics.
Кеу words: local plastic yielding, stress-strain state, fracture, stress concentration, strain energy density, plane stress, load trajectory.
References
1. O'Dowd N.P. and Shih C.F. Family of Crack-tip Fields Characterized by a Triaxiality Parameter-I. Structure of Fields. Journal of the Mechanics and Physics of Solids. 1991, no. 39, pp. 989—1015.
2. Matvienko Yu.G. Modeli i kriterii mekhaniki razrusheniya [Models and Criteria of Fracture Mechanics]. Moscow, FIZMATLIT Publ., 2006, 328 p.
3. Molsk K., Glinka G. A Method of Elastic-Plastic Stress and Strain Calculation at a Notch Root. Mater. Sci. Engng, vol. 50, 1981, pp. 93—100.
4. Makhutov N.A. Konstruktsionnaya prochnost', resurs i tekhnogennaya bezopasnost' [Structural Strength, Durability and Anthropogenic Safety]. Novosibirsk, Nauka Publ., 2005. Part 1. Kriterii prochnosti i resursa [Criteria of Strength and Durability]. 494 p.
5. Neuber H. Theory of Stress Concentration for Shear-Strained Prismatical Bodies with Arbitrary Nonlinear Stress-Strain Law. ASME Journal of Applied Mechanics, no. 28, 1961.
6. Morozov E.M. Kontseptsiya predela treshchinostoykosti [Concept of Crack Resistance Limit]. Zavodskaya laboratoriya [Industrial Laboratory]. 1997, no. 12, pp. 42—46.
7. Irwin, G.R. Plastic Zone Near a Crack and Fracture Toughness, Mechanical and Metallurgical Behavior of Sheet Materials. Proceedings of Seventh Sagamore Ordnance Materials Conference. Syracuse University Research Institute, 1960, pp. IV-63 — IV-78.
8. Jakusovas A., Daunys M. Investigation of Low Cycle Fatigue Crack Opening by Finite Element Method MECHANIKA. Tekhnologiya [Technology]. Kaunas, 2009, no. 3(77), pp. 13—17.
9. Khezrzadeh H., Wnuk M., Yavari A. Influence of Material Ductility and Crack Surface Roughness on Fracture Instability. J. Phys. D. Appl. Phys., 2011, no. 44, 22 p.
10. Malinin N.N. Prikladnaya teoriya plastichnosti i polzuchesti [Applied Theory of Strength and Creep]. Moscow, Mashinostroenie Publ., 1975, 400 p.
11. Hutchinson, J.W. Singular Behavior at the End of a Tensile Crack in a Hardening Material. Journal of Mech. Phys. Solids, Vol. 16, 1968, pp. 13—31.
12. Skudnov V.A. Predel'nye plasticheskie deformatsii metallov [Ultimate Plastic Strain of Metals]. Moscow, Metallurgiya Publ., 1989, 176 p
13. Dolgorukov V.A. Inzhenernaya model' kinetiki plasticheskogo techeniya vblizi kontsentratora napryazheniy [Engineering Model of the Kinetics of the Plastic Flow Close to the Stress Concentrator]. Collected works of the 3d International Conference "Deformation and Destruction of Materials and Nanomaterials]. Moscow, Interkontakt Nauka Publ., 2009, vol. 2, 407 p., pp. 313—314.
14. Novopashin M.D., Suknev S.V. Gradientnye kriterii predel'nogo sostoyaniya Gradient Criteria of the Limit State]. Vestnik SamGU. Estestvennonauchnaya seriya. [Proceedings of Samara State University. Natural Science Series]. 2007, no. 4(54), pp. 316—335.
15. Mosolov A. B. Cracks with a Fractal Surface. Reports of the Academy of Sciences of the USSR, 1991, 319 840-4.
16. Bogatov A.A. Mekhanicheskie svoystva i modeli razrusheniya metallov [Mechanical Properties and Fracture Models of Metals]. Ekaterinburg, UGTU-UPI Publ., 2002, 329 p.
17. McClintock F.A. Irwin G.R., Plasticity Aspects of Fracture Mechanics. ASTM STP 381, 1965, pp. 84—113.
18. Rice J.R., Liebowitz H, ed. Mathematical Analysis in the Mechanics of Fracture. Fracture An Advanced Treatise. Academic Press, New York, 1968, vol. 2, chap. 3, pp. 191—311.
About the author: Dolgorukov Vadim Aleksandrovich — Candidate of Technical Sciences, Associated Professor, Chair, Department of Architecture and Urban Planning, Ryazan Institute (Branch) of Moscow State Open University (MGOU), 26/53 Pravo-Libetskaya st., Ryazan, 390000, Russian Federation; Dolgorukov61@mail.ru.
For citation: Dolgorukov V.A. Fenomenologicheskaya model' lokal'noy plastichnosti [Phenomenological Model of Local Plasticity]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2012, no. 9, pp. 101—108.
