CC BY
48
тельного увеличения числа подготавливаемых специалистов лесного хозяйства, но и соответствующих мероприятий по улучшению использования имеющих лесотехническое образование.
Улучшение современного состояния лесов Узбекистана, необходимость дальнейшего развития лесного хозяйства республики, настоятельно требуют расширения и углубления научных исследований в области лесного хозяйства и защитного лесоразведения.
В Узбекистане научные исследования в этой области проводят Узбекский НИИ лесного хозяйства с сетью опытных станций и кафедра лесоводства и лесомелиорации Ташкентского ГАУ. Они ведут исследования по грантам Центра науки и технологий Республики Узбекистан и по двум проектам, финансируемым Департаментом сельского хозяйства США. Главными направлениями лесной и лесомелиоративной науки Узбекистана являются: плантационное выращивание орехово-плодовых культур и деловой древесины на селекционной основе; механизация лесохозяйственного производства; дальнейшее развитие методов защитного лесоразведения, как наиболее экономичных, долговременных, экологически чистых, а в борьбе с засухами, суховеями и опустывани-ем единственно возможных мелиоративных
мероприятий, направленных на улучшение экологических условий и охрану окружающей среды.
Важнейшими проблемами последнего направления, требующими незамедлительного решения до 2010 года, являются следующие:
1. Лесомелиоративное освоение осушенного дна Аральского моря, улучшение экологической обстановки Приаралья, борьба с опустыниванием путём создания лесных насаждений, закрепления подвижных песков и повышения продуктивности пастбищ в пустынной зоне.
2. Восстановление лесных экосистем, защита почв от эрозионных процессов и селевых потоков, повышение продуктивности лесов и не древесных лесных ресурсов в горной зоне.
3. Оптимизация экологической обстановки, повышение количества и качества сельскохозяйственной продукции путём создания систем защитных лесных насаждений, активного использования биодренажа.
4. Развитие ореховодства (орех грецкий, фисташка, миндаль) и местной базы деловой древесины путём создания промышленных плантаций на селекционной основе.
5. Повышение производительности труда путём механизации лесохозяйствен-ных процессов.
ФЕНОМЕНОЛОГИЧЕСКАЯ ИДЕНТИФИКАЦИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЕ В ЭКОНОМИЧЕСКОЙ
МАТЕМАТИКЕ
О.Н. НОВОСЕЛОВ, МГУЛ, профессор, академик МАНВШ, д т. н.
1. Проблема феноменологической идентификации динамических систем
Прогноз эволюции динамической (т. е. развивающейся во времени) системы, необходимый для оптимального управления (принятия обоснованных решений), требует адекватного математического описания (идентификации) динамики этой системы.
С позиций формализованного математического описания экономическая система, как и всякая другая, представляет собой совокупность элементов (в данном случае-производителей и потребителей товаров и услуг), объединенных взаимосвязями (в данном случае - экономическими взаимоотношениями) и может быть описана статистически [1].
Хотя экономические системы возникли вместе с человеческим обществом и потому могут считаться искусственными (подобно техническим системам, спроектированным человеком), эти системы имеют много общего с естественнъши (природными) системами, существующими независимо от человека и возникшими до него и без него.
Общность заключается в том, что элементы и взаимосвязи в природной и экономической системе не всегда выражены явно, т. е. недоступны наблюдению в отличие от искусственной системы, в которой они заранее заданы. Но и при доступности они не всегда измеримы без обратного влияния контролера (измерительного устройства) на объект, нарушающего работу объекта и искажающего результаты наблюдений.
Кроме того, в искусственной системе количество расчетных элементов и связей на заданном иерархическом уровне конечно, тогда как в природной и экономической системе оно столь велико, что построение семантической модели, математически описывающей микродинамику (взаимодействия элементов системы) становится практически неосуществимым из-за бесконечного роста порядка (связности) системы уравнений.
В результате расширения и усложнения экономических взаимоотношений количество элементов и взаимодействий между ними асимптотически увеличивается, и экономическую систему можно характеризовать статистически устойчивыми закономерностями, которые для внешнего наблюдателя описывают макродинамику системы -автономные или вынужденные колебания, являющиеся суперпозицией взаимодействий элементов системы.
Макродинамика проявляется в виде изменения параметров системы, доступных наблюдению (измерению) и называемых внешними, или выходными при заданных входных воздействиях (вынужденные колебания) или при их отсутствии (автономные колебания).
Феноменологическая модель [2, 3], в отличие от семантической, описывает изменение лишь выходных параметров системы,
поэтому метод построения такой модели, называемый нами феноменологической идентификацией, не нуждается в конкретизации структуры системы и, в отличие от обычного подхода к идентификации [4], не требует контроля входных параметров.
Построенная этим методом феноменологическая модель представляет собой разностное рекуррентное уравнение (скалярное или векторное), описывающее изменение во времени наблюдаемых параметров системы (макродинамику) и содержит неизмеримые (ненаблюдаемые, или скрытые) параметры системы в виде коэффициентов этих уравнений. Коэффициенты можно рассматривать как показатели микродинамики системы, хотя они могут и не иметь наглядной интерпретации в соответствующей предметной области.
Критерием адекватности феноменологической модели является точность воспроизведения моделью измеренных зависимостей наблюдаемых параметров от времени в сочетании с портретным сходством диаграмм Пуанкаре: модельной (портрет) и фактической (образ) зависимостей.
Феноменологическая модель отыскивается в виде
А^ =/У %к-г,-^к-г|);Л (■) е /ч (1)
где Хк ~ последовательность значений наблюдаемого параметра (скалярного или векторного); к = 1,2,3,...,N5 N -количество наблюдений; (•) - искомая функция (скалярная или векторная) со степенью нелинейности V, принадлежащая некоторому заранее выбранному классу функций г) - искомый порядок (связности) разностного уравнения (1). Функция (•) - отыскивается как нелинейная средняя квадратичная авторегрессия Хк, на (Х,*-!, Хк-2,..., Хк-ц) минимизирующая средний квадрат отклонения
где М- оператор математического ожидания,
(3)
- модельная последовательность наблюдаемого параметра;
Л О^Л - оценки регрессии, степени нелинейности и порядка уравнения, при которых достигается минимум величины (2).
При наличии альтернативных оценок, минимизирующих (2), выбираются те, которые обеспечивают наибольшее «портретное» подобие диаграмм Пуанкаре модельной и фактической последовательности наблюдаемого параметра.
Промежуточное место (по степени детализации структуры системы) между семантической и феноменологической моделями занимает «модель нелинейной авторегрессии - скользящего среднего с внешними входами» (английская аббревиатура -КА1ШАХ), рассматриваемая в ряде работ (см., например, [5] и приводимую там библиографию).
В этой модели, в отличие от (1), аргументы функции /у (•) дополнены последовательностью значений входных воздействий на изучаемую систему и последовательностью автокоррелированных значений порождающего шума, который отражает объективную недетерминированность (непознаваемость) системы для наблюдателя и может рассматриваться как внешнее случайное входное воздействие на систему.
При изучении естественных систем (в отличие от искусственно созданных) практически невозможно измерить входное воздействие и даже физически понятие «вход системы», поскольку она распределена в пространстве и имеет большое (бесконечное) число контактов с внешними системами, каждый из которых и представляет собой вход для внешних воздействий (представим себе, например, курс акций на бирже, на который влияет множество экономических, политических и др. факторов).
Таким образом, идентификация системы моделью ЫАЮЛАХ без конкретизации структуры системы (хотя и меньшей, чем в семантической модели) не может быть реа-
лизована в виде регулярной процедуры, неизбежно будет носить характер эвристической подгонки параметров модели при переборе возможных внешних воздействий, что и подтверждено в работах, посвященных этой модели [5].
В отличие от этого, для построения феноменологической модели (1) используются только выходные (наблюдаемые) параметры, и разработана регулярная процедура, результативность которой проверена на ряде тестовых и реальных объектов [2, 3] и подтверждается приводимыми далее в этой статье данными для одной из экономических систем (колебания стоимости акций). Внешние воздействия и порождающий шум (характеризующий недетерминированность или непознаваемость системы) статистически усредняются в процессе вычислений уравнения и в конечном счете входят в погрешность идентификации (2), в качестве одной из скрытых составляющих, поэтому построенное уравнение всегда получается однородным и характеризует собственное поведение системы (автономные колебания), что и является целью идентификации.
2. Метод построения феноменологического уравнения
Феноменологическая модель (3) отыскивается в виде нелинейного разностного полиномиального рекуррентного уравнения
ГЦ П «1
= ап + > аХ, +> > ап „ X. „ X. „ +...
«, ,,=1 я2=\ (4)
тц »1 9у-1
+ ...>> > а X. Х> ...X, .
?,= 1 Я2м
Задача нахождения оценки функции
Х-(') сведена теперь к нахождению оценок коэффициентов ач в (4), степени V и связности ц и решается методом последовательных приближений [2]: при фиксированных значениях V и г] на основе (4) по критерию минимума дисперсии (2) образуется и решается
система линейных алгебраических уравнений относительно искомых коэффициентов, оценивается дисперсия погрешности (2). Затем процедура повторяется при вариации V и ц , пока не будет получен минимум дисперсии (2), при котором найденные оценки коэффициентов ач , степени V и л фиксируются как
окончательные, определяя искомое феноменологическое уравнение (4).
В систему линейных алгебраических уравнений для нахождения коэффициентов полинома (4) входят вероятностные моменты различных порядков, вычисляемые по заданной последовательности измерений (наблюдений) {Хк, к = 1, 2 ,..., Щ как статистические выборочные оценки со статистической погрешностью, уменьшающейся с ростом N.
Эксперименты показали [2], что когда моменты вычислены точно (это возможно, когда задано вероятностное распределение значений Хк), найденные по ним оценки степени, связности и коэффициентов совпадают с истинными, дисперсия (2) равна нулю, и уравнение (4) тождественно истинному (1), что свидетельствует о репрезентативности феноменологического уравнения.
Для построения феноменологических уравнений необходимо обеспечивать низкий уровень погрешности (помехи) в экспериментальных данных: отношение сигнал/помеха больше 100, или что то же, среднеквадратичную погрешность экспериментальных данных значительно меньше Ю-1.
3. Феноменологическая идентификация динамики стоимости акций
Табличный массив, содержащий последовательность Хк, ежедневных (&-номер дня, момент закрытия торгов) цен акции одной из компаний (за период времени 400 дней) любезно предоставлен нам профессором А.И. Ильинским из Финансовой академии при Правительстве Российской Федерации. Все цены нормированы при расчетах к единичной шкале путем деления каждой на максимальную цену за рассматриваемый пе-
риод и являются, следовательно, относительными и безразмерными.
На рис. 1 а приведены диаграммы Пуанкаре и фрагмент последовательности
Хь
На рис. 1 б приведены диаграмма Пуанкаре и фрагмент модельной последовательности кк, генерированной с помощью феноменологической модели вида (4). На рис. 1 в - диаграмма Пуанкаре и фрагмент
погрешности моделирования ел = (я, - Хк).
Установлено, что в рассматриваемом случае модель (4), воспроизводящая ЭКГ, представляет собой линейное разностное уравнение
л ч"
+ , (5)
причем с ростом ц дисперсия погрешности (2), здесь приведенная к дисперсии последовательности б2 = 5Ё2/б2, меняется неупорядоченно (рис. 2): при r¡ = 2 имеет первый относительный минимум, при rf = 18 достигает абсолютного минимума и с дальнейшим увеличением ц - имеет тенденцию роста, поэтому оценка порядка уравнения т]= 18 принята в качестве квазиоптимальной. Рис. 16 соответствует r¡ - 2. На рис. 3 приведены диаграммы Пуанкаре и фрагменты модельной последовательности и погрешности при -rf — 18. Визуально различить результаты идентификации при ц = 18 (рис. 3 а) и rf = 2 (рис. 1 б) весьма трудно.
Оценки коэффициентов идентификационного уравнения (5) при ц= 18 имеют следующие значения (для последовательности, рассматриваемой в данном примере): а0 = 0,000351; ах = 1,009827; а2 = -0,03664; аг = 0,060881; а4 = 0,013678; а5 = -0,05684; а6 = 0,040656; а7 = -0,02032; а% = 0,011211; а9 = 0,028798; ахо = -0,09530; ап = 0,019394; а\2 = 0,066873; ахъ =-0,01059; а14 =-0,00334; ais = -0,00848; а1б = -0,01197; аХ1 = 0,006801; al 8 =-0,01424.
Отметим, что коэффициент ао, является неинформативным (играет роль параметра сдвига), и с помощью замены переменных его можно обратить в нуль, а уравнение - в однородное.
С позиций теории отображений выражение (5) означает отображение последовательности самой в себя, так как при подстановке значений в правую часть получаем в левой части оценки \, почти точно воспроизводящие исходную последовательность. Такую модель можно назвать регенеративной.
Изображения погрешности на диаграммах Пуанкаре рис. 1 в и рис. 3 б свойственны белому шуму с одномодульным распределением вероятностей, близким к гаус-совскому, около нулевого математического ожидания, что соответствует максимальной энтропии при ограниченной дисперсии и означает, что информация, содержащаяся в исходной последовательности, извлечена уравнением (5) практически полностью.
В расчетах принял участие А.П. Шкардун, за что я ему благодарен.
-0.116 -0.034 0.048 £к-1
50 100 150 200 250 300 350
50 100 150 200 250 300 350
Рис. 1
ЧО
о
м о Я о Sc
ГО
M
о
H X
s «
Оч ¡o о о uj
0.000362
0.00036
0.000358
0.000356
0.000354
0.000352
0.00035
0.000348 -
0.000346 ' i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i м i i i i i i i i i i i • i i i i ''i i i т г i » • ' i i i i ' ■ ' i > i i » i i i i i i < < i ' . ■ i ■ ¡ i"t . i . i i it i i i i i i < i i i i i i
© 2
Рис. 2
■к-\
0.002-1
-0.121
" .сяЗаг-:
¿к
•0.121 -0.039 0.043
£к-1 б
Рис. 3
4. Некоторые обобщения
К настоящему времени можно считать установленным, что широкий класс динамических систем, охватывающий самые разные предметные области (экономику, медицину, экологию и др.) описывается разностными уравнениями ввиду дискретности времени наблюдений (см. [3,6] и др.). Еще одно получено выше. Исчерпывающим для анализа является общее аналитическое решение уравнения, а при его отсутствии-пространство решений (ПР), в котором координатами являются коэффициенты уравнения и начальные значения. Каждое решение (последовательность значений, или временной ряд) отражается в ПР точкой, а множества точек, содержащих однотипные решения, образуют области, геометрические свойства которых определяют закономерности поведения динамической системы.
Линейное уравнение имеет решения четырех возможных типов: 1) сходящиеся, 2) расходящиеся, 3) циклические (может
50 100 150 200 250 300 350
быть, в пределе) и 4) псевдошумовые (почти периодические) [6, 7, 8].
В пространстве решений линейного однородного разностного уравнения сходящиеся решения образуют замкнутую одно-связную область, инвариантную к заданию начальных значений и, кроме нее, несколько открытых множеств, определяемых заданием начальных значений (мы назвали эти множества виртуальными). Все циклические и псевдошумовые решения располагаются на бесконечно тонкой оболочке, окаймляющей область сходящихся решений, инвариантную к начальным значениям (далее -ОСР).
Расходящиеся решения образуют открытые множества и, вместе с виртуальными множествами сходящихся решений, лежат вне ОСР с вкраплениями в оболочку ОСР.
При феноменологической идентификации заведомо устойчивых систем (например, ритмики здорового сердца [3]) установлено, что величины коэффициентов уравне-
ния находятся Внутри ОСР. Это означает, что автономные (собственные) колебания устойчивой системы неизбежно затухают (система стремится к состоянию покоя), и только внешнее воздействие может их поддержать.
Это положение аналогично первому закону Ньютона в физике.
Последовательность цен на бирже, моделируемая уравнением (5) с найденными коэффициентами, подчиняется тому же закону.
Циклические и псевдошумовые колебания в автономных системах соответствуют состоянию самовозбуждения (автогенерации), возникающему при попадании ее коэффициентов на оболочку ОСР. Это аномальное состояние системы, которое может наступить при эволюции ее параметров, либо при дестабилизирующем внешнем воздействии. Такое состояние особенно опасно для линейных систем, у которых (в отличие от нелинейных) оболочка бесконечно тонкая, и легко возможен переход сквозь нее в область расходящихся решений, что соответствует катастрофе (биржевая лихорадка, дефолт, инфаркт миокарда, экологический взрыв и др.).
В этом смысле нелинейные системы лучше защищены от катастроф, так как при конечной толщине оболочки ОСР система выдержит большие дестабилизирующие воздействия, чем линейная, либо при одинаковом темпе изменения параметров состояния (коэффициентов уравнения) имеет большее время для восстановления устойчивого состояния (возврата в ОСР).
В устойчивых состояниях (внутри ОСР) нелинейные и линейные системы ведут себя одинаково, разница между их поведениями сказывается в аномальных состояниях (на оболочке ОСР).
При управлении системой траектория рабочей точки в пространстве состояний должна находиться внутри ОСР, поскольку выход на ее оболочку и за ее пределы при-
ведет к возбуждению автоколебаний и последующей катастрофе.
Предсказание поведения системы, необходимое при управлении, возможно так же лишь в пределах ОСР.
В нормальном (управляемом состоянии) любая система находится в пределах ОСР. Экономические системы- не исключение.
Литература
1. Королев В.Ю. Асимптотические свойства экстремумов обобщенных процессов Кокса и их применение к некоторым задачам финансовой математики // Теория вероятностей и ее применение. - 2000 - Т. 45. - Вып. 1. - С. 182-194.
2. Новоселов О.Н., Алексеев А.В. Построение феноменологического уравнения динамической системы по измеренным значениям выходного процесса // Измерительная техника,- 1995. — №5. - С. 3-7.
3. Новоселов О.Н., Морозов М.С., Смирнов С.М., Шкардун А.П. Синтез многомерных нелинейных феноменологических уравнений и фрактальный анализ электрокардиограмм // Радиотехника и электроника. - 2003. - Т. 48, № 6. - С. 1-8.
4. Льюнг Л. Идентификация систем. Теория для пользователя / Пер, с англ. - М.: Наука, 1991. — 432 с.
5. Aquirre L.A., Billings S.A. Identification of models for chaotic systems from noisy data: implications for performance and nonlinear fîl-tering.-Physica D., 1995, №85. - P. 239-258.
6. Новоселов O.H. Феноменологическая идентификация динамики лесных экосистем по данным экологического мониторинга // Вестник международной академии наук высшей школы. -2000. -№ (13).-С. 91-103.
7. КозакА.Д., Новоселов О.Н. Асимптотическое поведение решений линейного однородного разностного уравнения второго порядка // Математические заметки. - 1999.- Т. 66. -Вып. 2.-С. 211-215.
8. Новоселов О.Н., Пахомова Е.Е. Разработка и анализ математических моделей неавтономных динамических систем с дискретным временем. -Научно-технический отчет по программе «ФИЗМАТ». - М.: МГУЛеса, 1997.
9. Козак А.Д. Общее решение и псевдошумовые режимы в линейно-разностных уравнениях // Науч. тр. - М.: МГУЛеса, 1999. - Вып. 300.
