Численный метод оценки параметров деформации ползучести при степенной зависимости параметра разупрочнения от напряжения Текст научной статьи по специальности «Физика»

ИРКУТСКИМ государственный университет путей сообщения

Елисеев. №2014100299/11 ; заявл. 09.01.2014 ; опубл. 20.06.2014, Бюл. № 17. 22.Патент 150331 Рос. Федерация, МПК F16F 15/04. Устройство для гашения колебаний / А.П. Хоменко, С.В. Елисеев, А.И. Артюнин, Е В. Каимов, А.В. Елисеев. № 2014138832/11 ; заявл. 25.09.2014 ; опубл. 10.02.2015, Бюл. № 4.

23.Механизмы в структуре виброзащитных систем: математические модели, оценка динамических свойств / С.В. Елисеев, Е.А. Паршута, Е В. Каимов, Н.Ж. Кинаш // Вестник ВСГУТУ. Часть I. 2014. №6 (51). С 37-44; Часть II. 2015. №1 (52). С. 52-60.

УДК 519.688 Зотеев Владимир Евгеньевич,

д. т. н., доцент, Самарский государственный технический университет, тел. 8(846)337-04-43, e-mail: zoteev-ve@mail.ru Макаров Роман Юрьевич, аспирант,

Самарский государственный технический университет, e-mail: makaroman1@yandex.ru

ЧИСЛЕННЫЙ МЕТОД ОЦЕНКИ ПАРАМЕТРОВ ДЕФОРМАЦИИ ПОЛЗУЧЕСТИ ПРИ СТЕПЕННОЙ ЗАВИСИМОСТИ ПАРАМЕТРА РАЗУПРОЧНЕНИЯ ОТ НАПРЯЖЕНИЯ

V. E. Zoteev, R. Ju. Makarov

NUMERICAL METHOD OF ESTIMATION OF PARAMETERS OF DEFORMATION OF CREEP IN THE EXPONENTIAL DEPENDENCY OF PARAMETR OF WEAKENING FROM THE STRAIN

Аннотация. Математическое описание поведения элементов конструкций в условиях ползучести является важнейшей задачей при построении обобщенных моделей деформирования и разрушения материалов и оборудования. Однако известные методы определения параметров моделей ползучести и разрушения материала обладают рядом недостатков, вследствие чего возникает потребность в создании новых методов, использующих современные компьютерные технологии и алгоритмы вычислений. В статье рассматривается новый численный метод нелинейного оценивания параметров третьей стадии деформации ползучести по результатам эксперимента в форме совокупности нескольких диаграмм ползучести. Показан переход от модели ползучести, нелинейной по параметрам, к линейно-параметрической дискретной модели, описывающей в форме разностного уравнения экспериментальные результаты деформации ползучести в условиях одноосного напряженного состояния. Получены формулы, описывающие связь между коэффициентами линейно-параметрической дискретной модели и параметрами модели ползучести. Описана итерационная процедура среднеквадратического оценивания коэффициентов обобщенной регрессионной модели, построенной на основе разностных уравнений. Приведены результаты апробации разработанного численного метода при обработке четырех экспериментально построенных диаграмм ползучести алюминиевого сплава, подтверждающие достоверность полученных соотношений и эффективность численного метода.

Ключевые слова: третья стадия деформации ползучести, разностные уравнения, обобщенная регрессионная модель, нелинейная регрессия, среднеквадратическое оценивание.

Abstract. The mathematical description of behavior of elements of constructions in the terms of creep is a very important problem in constructing generalized models of deformation and destruction of materials and equipment. But known methods of determining of parameters of models of creep have a number of disadvantages, and, as a result, a problem of development of new numerical methods, which use modern computer technologies and algorithms of calculations, arises. The article discusses the new numerical method of nonlinear estimation of parameters of tertiary stage of creep. New numerical method takes into account the series of experimental data of creep. The transition from model of creep deformation, nonlinear by its parameters, to linear-parametric discrete model, describing in the form of difference equation the experimental results of creep deformation in the terms of uniaxial stress state, is shown. The formulas for describing the relationship between the coefficients of linear parametric discrete model and parameters of creep model were obtained. Iterative procedure of RMS estimation of coefficients of linear parametric discrete model is described. The developed numerical method was tested during processing offour experimental diagrams of creep of aluminum alloy, and the results of tests confirming the accuracy and efficiency of numerical method are shown.

Keywords: tertiary stage of creep, difference equations, generalized regression model, nonlinear regression, RMS estimation.

Введение

Характеристики ползучести и длительной прочности являются одними из наиболее ответственных характеристик, влияющих на работоспособность элементов конструкций [1]. Вместе с тем даже полученные в лабораторных условиях опытные данные для деформации ползучести и времени разрушения имеют значительный разброс, а большинство существующих методик определения параметров моделей ползучести не используют статистические методы обработки результатов эксперимента и, как следствие, не обеспечивают

достаточную адекватность построенной модели экспериментальным данным [2-7]. Как отмечается в [2], необходимо развивать нетрадиционные подходы к оценке работоспособности элементов конструкций в условиях ползучести со случайными свойствами материалов, из которых они изготовлены. В данной работе предлагается новый численный метод нелинейного оценивания параметров модели третьей стадии деформации ползучести. В основе метода лежит среднеквадратичное оценивание коэффициентов обобщенной регрессионной модели, построенной на основе разност-

Механика

ных уравнении, описывающих результаты эксперимента.

Определяющие уравнения

В соответствии с энергетическим подходом к описанию деформирования и разрушения материалов математическая модель третьеИ стадии деформации ползучести может быть представлена в виде следующей системы уравнении [7]:

p(t) = cam(t), <7(/) = <70[l+ ©(/)], (b=ala(t)p,( 1)

где p - деформация ползучести; а0 и а (t) - соответственно номинальное и истинное напряжения (а — 0) ; с - параметр поврежденности; c и m - параметры модели, при помощи которых описывается первая и вторая стадии ползучести материала; а - параметр, контролирующий процесс разупрочнения материала на третьеи стадии деформации ползучести.

Экспериментальные исследования показали, что для ряда материалов а = const, однако в общем случае а = а (а0) и для него можно использовать степенную аппроксимацию а = аа^1 [7]. С учетом этой зависимости из системы определяющих уравнений (1) можно получить соотношение

стаи,

плоскости:

мизировать сумму квадратов

1

^ min .

О1 = ехр(_та<т0"}+1), (2)

]=1 к=0

Однако применение с этой целью метода полных наименьших квадратов [8] существенно затруднено и для данной задачи нецелесообразно.

Очевидно, что для третьей стадии ползучести важнейшим участком моделирования является промежуток времени непосредственно перед разрушением материала, на котором кривая ползучести резко уходит вверх. Поэтому при выборе критерия «близости» модели результатам эксперимента следует ориентироваться на величину отклонения прогнозируемого времени разрушения от данных эксперимента. То есть при оценке параметров модели (2) целесообразно минимизировать норму разности по временной координате:

Hell2 =1 Ii _t\Г ^

min, где t - ^ Nj - мерный век-

тор данных эксперимента tk,^ , к = 0,1,2,...,NJ■ -1, вычисленный по М диаграммам ползучести, в каждой из которых взято по

Nj точек,

i = 1,2,...,M; t - ^Nj - мерный вектор резуль-

j

j=i

татов вычислений t.

k = 0,1,

1к,], к = о,1,...,Nj-1, по модели (2) при значениях деформации ползучести рк ], соответствующих точкам эксперимента (^рк]^) , к = 0,1,...,Nj -1, = 1,2,...,М. При этом зависимость tkJ от рд. . в явном виде можно получить из (2):

1

которое описывает временную зависимость р (t) деформации ползучести в ее третьей стадии при различных постоянных значениях (г0} номинального напряжения.

Ставится задача оценки параметров т , т1, с и а математической модели (2), описывающей третью стадию деформации ползучести, по совокупности нескольких диаграмм ползучести, построенных по результатам эксперимента при различных значениях (г0} номинального напряжения.

Эта задача может быть решена на основе минимизации отклонения модели (2) от данных эксперимента - точек (tkj,р^) , к = 1,2,...,Nj-1,

j = 1,2,..., М, где М - количество диаграмм ползучести при различных номинальных напряжениях (г0}; Nj - число точек эксперимента, взятых на j -

й кривой ползучести. Наиболее естественным было бы принять в качестве меры отклонения точек

(Ч], ) эксперимента от точек (^, р^ ) модели (2) величину расстояния между двумя точками

1: dkj =^ - ъ - Л )2 и

t к j =

стат+ т+1а

1 _ exp (-та<ут+ipk j)]:

k = 0,1,2,...,Nj _1, j = 1,2,...,M .

(3)

Таким образом, задача оценки параметров деформации ползучести на основе результатов эксперимента сводится к задаче нелинейной регрессии [9] - минимизации нелинейной функции от четырех переменных т , т1, с и а :

M Nj _1 j=1 k=0

tk j _

[1 _ exp {^упаа™1^ Pk, j)

ст<п+ 1 а

^ min

мини-

Применение известных методов нелинейного оценивания [9] при решении этой задачи сопряжено со значительными трудностями, в частности, с выбором начального приближения и сходимостью итерационных процедур к искомому решению.

В данной работе предлагается новый численный метод нелинейного оценивания, в основе которого лежат разностные уравнения, описыва-

2

ющие результаты наблюдений, и сформированная Логарифмируя полученные соотношения, имеем: на их основе обобщенная регрессионная модель,

коэффициенты которой известным образом связаны с параметрами деформации ползучести [10].

Численный метод оценки параметров третьей стадии деформации ползучести по совокупности M экспериментально построенных при различном напряжении о0j = const кривых включает

следующие шаги:

- предварительная обработка результатов наблюдений для каждой j -й кривой с целью равномерной дискретизации данных эксперимента по переменной pk,J = ApJk, где Apj - шаг (период)

дискретизации;

- построение разностных уравнений, связывающих несколько последовательных значений дискретной модели (3), коэффициенты 0j которых известным образом связаны с параметрами m , m1, c и a третьей стадии деформации ползучести;

формирование обобщенной регрессионной модели, описывающей результаты эксперимента, и линейной относительно коэффициентов разностного уравнения;

итерационная процедура среднеквадратичного оценивания коэффициентов обобщенной регрессионной модели;

-ln Apj = lnma + (m +1) lno0j,

lnln lk-2j t k j -t k -1,j

ln (ema<-1) - maam+1 Ap, - ln (f) =

= (m + m +1) ln ooj + ln

cma,

j = 1,2,..., M.

Вводя обозначения:

0 = 1п та , Х2= т +1 , 0 = т + т1 +1, Л4= 1п ста , (4) получаем систему разностных уравнений, связывающих последовательность ?к-2,у, I ку и tk.

дискретных значений модели (3):

,j=0;

.(e^ -1)-Apj -ln= 03lnoOj +Л4;

lnlntf-^-—. k 2,J -ln Ap, = 0+0 ln(,■;

t -1

k ,j k-1,j

(5)

tk = tk + sk ..

J J k, J

к = 2,3,..., N.-1, / = 1,2,3,..М. Используя соотношение к = 0,1,2,...,N/-1, / = 1,2,...,М, где - результат эксперимента, соответствующий Р/ = Ар/к

для каждой / -й кривой; £к ■ - естественный раз- " вычисление" оценок параметров деформа- брос результатов наблюдения относительно моде-ции ползучести на основе среднеквадратичных ли (3), после линеаризации по переменным ^1,/,

оценок коэффициентов обобщенной регрессионной модели;

статистическая оценка погрешности результатов вычисления и построение доверительных интервалов для каждой из М кривых ползучести.

Построение разностных уравнений и обобщенной регрессионной модели, описывающих результаты эксперимента

Построение разностных уравнений основано на подходе, описанном в [10-12]. Так, из формулы (3) получаем следующие равенства:

^т+т +17 _ 1

0/ к,

sk-2 ., sk-1 . и sk ., в первом приближении полу-

k-2,j чаем:

ln'и =ln('U-sUj)"lntu + , (6)

)

lnln-fr-^—At 2j = lnln

1 ; n ; (Sk-1 ' s

■k-1J 4-2,j

1,J

-1, J sk-2, j)

h,j tk-1,j

, , tk-1, j - tk-2, j ilnln—---

tk ,j ~tk-1, j

tk,j tk- 1,j (sk,j Sk- 1,j )

ds,

sk-2 +

k - 2

dsk-1

df(0)

st-1+JfL~ sk. (7)

ds

cmaam+m+1f, . . = 1- e 0j k-1,j

-mao(fj +1 Apjk mao^+1Ap^,

или

cmaom+m+1t, ..= 1-e

0j k- 1,j

-rnxo-o;1^- + cma(Jm+m1+1t omac0^Apj

cmao,

i+mj+i

t . = 1- e-maomAp- + cmaom+mi+i

k-2,J

0j

0j

m+ 0j

~ \ „

отсюда имеем t k-1, J - t k-2, j = (t ,k,J - t k-1,J ) e

k = 2,...,NJ -1, J = 1,2,...,M. При k = 0 и k = 1 из равенства (3) соответственно получаем f . = 0 и cmao^i у00 = emao»TlAp _ 1, j = 1,2,...,M.

f e

f 1 e

00 ap-

0^

0j

(0)

ds

k - 2

^ .■ - t,

df

(0)

ds

ln

dfl

(0)

ds

ln

tk J - ' tk- 1,j

1

tk- 1,j ' ~ tk-2,j

tk J- ' tk- 1,j

1

tk- 1,j ~ ' tk-2,j

tk J - tk- 1,j

tk-2,j tk,j

(8)

k

Механика

Подставляя (6)-(7) в систему уравнений (5), получаем математическую модель, которая в форме разностных уравнений описывает результаты

эксперимента (рк-, ик-), к = 0,1,..., N.-1, j = 1,2,...,М. Полагая е0,- = 0 с учетом нулевых условий (р0 у = 0, ио .= 0), получаем:

^ =

0 0 0 0

1 1п( 0

1 1п( 0

00 1 0

1п(0- 1

0

- = 1,2,...,М; (11)

начальных

и0,- = 0

1п(ее0— -1)-еЧ°,Ар- - 1п^ = 0 3Ыао- +Л4 + ч2

Р =

Ч2 = -—;

ч, -

1п1п

(9)

р 0 0 ... 0 "

0 р2 0 ... 0

0 0 Р3 ... 0 - блочно-диаго

0 0 0 ■•■ Рм_

4,1 4-1,,

--1п Ар =° + 021п (Ту

нальная квадратная матрица линейного преобра-

Чк+1 = п ьк-2 - ьк-1 - ьк, дВк-2 д£к-1 д£к

к = 2,3,...,N. -1.

Система разностных уравнений (9) лежит в основе формирования обобщенной регрессионной

зования вектора остатков размера

М М

.1=1 ■=1

состоящая из М матриц Р— размера [N х N 1 = 1,2,...,М, и нулевых матриц 0 .

Квадратные матрицы р - нижние тре-модели. Введем следующие вектора и матрицы: угольные трех диагональные матрицы, элементы 0 = [0, 0, 0, 0]^ - четырехмерный вектор которых описываются следующим °браз°м: коэффициентов обобщенной регрессионной модели;

Ьо =

Ь

- блочный вектор размера

INJ х1 .1=1

РР =

- диагональные элементы 1,

1

состоящий из М векторов Ь- размера [N х 1] - блочная матрица размера

вида (10);

II-N х4

. 1=1

^=

я

я.

I = 1; 1 = 2;

и

1,1

(12)

|п 2,1 3,1 1,1 - 2,1

(и- 2,1-и-1,- )'

1 = 3,4,..., N,

- поддиагональные элементы |0, I = 2;

состоящая из М матриц ¥, размера

р.- 1 =

[N. х 4] вида (11);

Ь =

1п

(ехр (е0 Ар. ) -1) - е0 ст* Ар- - 1п^

1п1п-

1,1

и2,1 К

1п1п 1^

-- 1п Ар

и3,1 и2,1

— 1п Ар

иN -2 - -3 -

1п1п—1—:-—:—1п Аpj

-~гм—, -

1

1п

и'-2-- и-3- (и,-1,- - 2,- ) (и|-2,- - Ч-3,- )

(13)

1 = 3,4,..., N,

- поддиагональные элементы 1 1

Р—-1 =

(10)

1п

(и -и ), 1 = 3,4.....^ (14)

_(и-3,- и-2,- )

и , . -и , .

Ч = [чТ | Ч | • • • | Чм ] - блочный вектор «невязки» обобщенной регрессионной модели размера

INJ х1

-=1

состоящий из М векторов Ч, размера

[Nj x1]: % =[rhj%Ъ.j] , где % - 0,

% j -

Vk+i,j -'

J1,j

1,j

.ff

- k J k

Sk-2, j - Sk-1, j - Sk, j ■ OS,

dsk-1

(15)

k - 2,3,4,...,Nj-1, j -1,2,...,M.

С учетом введенных и описанных выше векторов и матриц обобщенная регрессионная модель может быть представлена в виде

\Ь,- FX + %,

% - Ps.

Итерационная процедура среднеквадратичного оценивания коэффициентов обобщенной регрессионной модели

Коэффициенты обобщенной регрессионной модели определяются из условия минимизации остаточной суммы квадратов

M Nj -1

Q - ||s||2 -1-11 |2 - ZZ (tk j -1 к j) ^ min, которую

j-1 k-0

после простых преобразований уравнений из системы (15) при невырожденной матрице P можно

представить в виде Q - ||s|| -

P 1Ь - P 1FA

или

где блочная матрица Wx -

W

W

г ' Л А

Z Nj X 4

j-1

[N. X 4] вида

дЬя,

j дя

\дЬя] \°ЬЯ] \°Ья] \дЬя1 ]

дЯ дЯ дЯ дЯ4 _

, 0 0

exp (6я1 а 0 Ар.) -1 exp (6я1 а 0 Apj) -1

0 0 0 0

0 0 0 0

. (17)

0 0 0 0

Система нормальных уравнений (16) разрешается относительно X :

X = [(Р- Жх) п-1 ]-1 (Р - ЖЛ)Т п-1. (18)

Формула (18) лежит в основе итерационной процедуры среднеквадратичного оценивания элементов вектора X. Рекуррентное соотношение, описывающее итерационный процесс уточнения коэффициентов на основе (18), имеет вид

(Р - Ж-'))Г П-1Р (Р - Ж('))Т п-1 Ь('), (19)

я(,+1) -

2 = (ь - РХ) п-1 (ьл - РХ) = ЬГП-1Ь - 2Ь1 п-1 рХ + +ХГ РГ П-1РХ, где п = РРГ - матрица размера

М М

^ N х ^ N . Дифференцируя остаточную

/=1 /=1 ]

сумму квадратов 2 по переменным Xi, приравнивая нулю результаты дифференцирования, получаем систему нормальных уравнений, которая в векторной форме принимает вид

(Р - жл )Г п1 РХ = (Р - жл )Г п1 Ьх , (16)

' = 0,1,2,3,..., где матрица Ж^'-1 и вектор Ь() на ' -й итерации вычисляются на основе ' - го приближения коэффициентов X'- и X]. В соответствии с моделью (9) оценки начального приближения XX0) и Х( 0) можно найти из условия минимизации:

N,

ZZ

j-1 k-0

lnln

tk-1, j tk-2,, tk ,j - tk-1,j

- in Ар. я ina

0j

^ min .

Отсюда получаем оценки:

Д(0) _ /13/22 - /12/23 Д(°) _ /11/23 - /12/13

/11/22 f12

M

f11f22 f12

j-1

где /11 -Z(Nj - 2M), /12 -Z(Nj - 2) Ina,

j-1

M

/22 -Z(- 2)in2 a ,

0j

j-1

M N, -1 f

размера

/3-ZZ

j-1 k-2

M Nj -1 f

/23 -Z Z

j-1 k-2

in in tk-1,j _ tk-2,j tk,j - tk-1,j

- in Ар .

1 1 tk-1, j tk-2,j , . in in---- - in Ар

t -1

k ,j lk-1,j

■ ina0j .

состоящая из M матриц размера

Алгоритм итерационной процедуры среднеквадратичного оценивания коэффициентов обобщенной регрессионной модели может быть описан следующим образом.

1. По формулам (11) и (12)-(14) вычисляются элементы матрицы регрессоров Р и матрицы линейного преобразования вектора остатков Р соответственно.

2

M

Механика

2. По формуле (20) находится начальное приближение 0(0> и 00) оценок элементов вектора коэффициентов 0 обобщенной регрессионной модели (15).

3. По формулам (10) и (17) при значениях

0 = 0 и 0 = 0 , при ' = 0 вычисляются элементы вектора Ь и матрицы производных 1¥л .

4. По формулам О = РРТ, ()Т О-1 ^ и

()Т вычисляются правая и левая часть

системы нормальных уравнений (16).

5. По формуле (18) находится приближение

00'+1) вектора коэффициентов обобщенной регрессионной модели (15).

6. Сравниваются по норме векторы 0^'+1) и

Если

0« .

0(м)-0(')

= тах

№

('+1) - 0')

0('+1)-0(')|}

< 5, где

5> 0 - заданное пороговое значение, то процесс вычислений заканчивается и за вектор оценок коэффициентов обобщенной регрессионной модели

принимается вектор 0^'+1). Если

0'+1)- 00'

>5.

то, увеличив ' на единицу, следует вернуться к шагу 3 данного алгоритма вычислений.

По найденным оценкам коэффициентов системы разностных уравнений (9) оценки параметров третьей стадии деформации ползучести можно вычислить по формулам

— 004-00

,0

а = -

. (21)

на основе сглаживания практически не меняет исходные диаграммы ползучести.

В соответствии с описанным выше алгоритмом численного метода была реализована итерационная процедура среднеквадратичного оценивания коэффициентов обобщенной регрессионной модели. В результате были получены следующие оценки параметров третьей стадии деформации ползучести: с = 6,02 -10-10, т = 5,37, а = 4,94, т =-0,54 . При этом, построенные по экспериментальным диаграммам ползучести математические модели третьей стадии деформации ползучести при температуре 250 °С алюминиевого сплава Д16Т при номинальных напряжениях

С- =10

кг

9

кг

8

кг

и 7

кг

имеют вид:

—) = -^-^1п(1 -1,60-Ю-8^—, - =1,2,3,4 .(22)

На рис. 1 кривыми изображены зависимости (22), построенные при различных значениях номинального напряжения сг0 ..

т = 0-0, т = 0-1, с=е ,

0 -02

Апробация численного метода оценки параметров третьей стадии деформации ползучести на основе разностных уравнений

Описанный выше алгоритм численного метода оценки параметров третьей стадии деформации ползучести был апробирован при обработке четырех экспериментально построенных диаграмм ползучести алюминиевого сплава Д16Т (пруток диаметром 40 мм) при температуре 250 °С при испытаниях на растяжение и сжатие при постоянных номинальных напряжениях о0 = 10; 9; 8; 7 [5].

Предварительно результаты эксперимента были обработаны на основе метода скользящего среднего, и сформированы равномерные по координате р выборки равного объема N ■ = 20,

- = 1,2,3,4 . При этом было установлено, что предварительная обработка результатов эксперимента

Рис. 1. Экспериментальные диаграммы ползучести (точки) и кривые третьей стадии деформации ползучести, построенные на основе численного метода, при различных значениях номинального напряжения о0

Остаточные суммы квадратов для каждой - -й диаграммы ползучести в относительных единицах составили: 3,1 %, 7,0 %, 4,2 % и 1,8 % соответственно. По совокупности всех кривых остаточная сумма квадратов в относительных единицах имеет минимальное значение, равное 2,8 %, что свидетельствует о высокой адекватности построенной модели данным эксперимента.

На основе методов статистического анализа найдены оценки погрешности для результатов вычислений параметров модели и построены доверительные интервалы для кривых ползучести.

На рис. 2 для различных номинальных напряжений сг0 . изображены: результаты эксперимента (точки), кривые, построенные на основе

2

2

2

2

мм

мм

мм

мм

ИРКУТСКИМ государственный университет путей сообщения

разработанной модели (22) (сплошные линии), и границы доверительных интервалов (пунктирные линии), вычисленные с использованием неравенства Чебышева при доверительной вероятности в = 0,97 .

0,08

0,04

0,08

0,04

0 50 100 150 t

а) ст01 = 10'

кг

мм

б) Ой = 9

кг

= 9-

02 2 мм

0,08

0,04

0,08

0,04

0 100 200 300 t 0 300 600 t

в) <Ов = 8

кг

03 " 2 мм2

кг

04 2

мм

г) О04 = 7

Рис. 2. Доверительные интервалы для кривых ползучести, построенные на основе численного метода нелинейного оценивания

Выводы

Предлагается новый численный метод оценивания параметров третьей стадии деформации ползучести при степенной зависимости параметра разупрочнения ах = асг01 от величины напряжения. В основе метода лежат разностные уравнения, описывающие результаты эксперимента, сформированная на их основе обобщенная регрессионная модель, линейная по своим коэффициентам. Получены соотношения, связывающие коэффициенты обобщенной регрессионной модели с параметрами деформации ползучести, разработана итерационная процедура уточнения среднеквадратичных оценок коэффициентов обобщенной регрессионной модели. Такой подход к решению задачи нелинейного оценивания позволяет минимизировать величину отклонения модели от данных эксперимента и тем самым обеспечить высокую точ-

ность оценок параметров модели. Результаты апробации нового численного метода при обработке результатов эксперимента в форме четырех диаграмм ползучести алюминиевого сплава Д16Т при температуре 250 °С подтвердили достоверность полученных соотношений и выводов, а также высокую эффективность нового численного метода в задачах оценивания параметров третьей стадии деформации ползучести.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Локощенко А.М. Моделирование процесса ползучести и длительной прочности металлов. М. : МГИУ, 2007. 263 с.

2. Радченко В.П., Шершнева М.В., Кубышкина С.Н. Оценка надежности элементов конструкций в условиях ползучести на основании стохастических обобщенных моделей // Вестник СамГУ. Сер.: Физико-математические науки. 2012. №3(28). С. 53-71.

3. Малинин Н.Н. Прикладная теория пластичности и ползучести. М. : Машиностроение, 1975.387 с.

4. Соснин О.В., Любашевская И.В., Новоселя И.В. Сравнительные оценки высокотемпературной ползучести и разрушения конструкционных материалов // Прикладная механика и техническая физика. 2008. Т.49. № 2. С. 123-130.

5. Соснин О.В., Горев Б.В., Никитенко А.Ф. Энергетический вариант теории ползучести. Новосибирск : Ин-т гидродинамики СО АН СССР, 1986. 95 с.

6. Расчеты и испытания на прочность. Расчетные методы определения несущей способности и долговечности элементов машин и конструкций. М. : ВНИИМАШ, 1982.

7. Радченко В.П., Еремин Ю.А. Реологическое деформирование и разрушения материалов и элементов конструкций. М. : Машиностроение, 2004. 264 с.

8. Голуб Дж., Ван Лоун Ч. Матричные вычисления : пер. с англ. М. : Мир, 1999. 548 с.

9. Демиденко Е.З. Линейная и нелинейная регрессии. М. : Финансы и статистика, 1981. 302 с.

10.Зотеев В.Е. Параметрическая идентификация диссипативных механических систем на основе разностных уравнений. М. : Машиностроение, 2009. 344 с.

11.Зотеев В.Е. Математические основы построения разностных уравнений для задач параметрической идентификации / Вестник СамГУ.

0

0

0

Сер.: Физико-математические науки. 2008. стохастических разностных уравнений // Мате-

№ 2 (17). С. 192-202. матическое моделирование. 2008. Т. 20. № 9.

12. Зотеев В.Е. Параметрическая идентификация С. 120-128.

линейной динамической системы на основе

УДК 534.015 Поляков Михаил Михайлович,

к. ф.-м. н., доцент кафедры «Математика», Иркутский государственный университет путей сообщения, тел. 8-908-666-4105, e-mail: mmpol@mail.ru

О СВЯЗИ ПАРЦИАЛЬНЫХ И СОБСТВЕННЫХ ЧАСТОТ В ЛИНЕЙНЫХ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ С ДВУМЯ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ

M. M. Polyakov

ON CONNECTION BETWEEN PARTIAL AND NATURAL FREQUENCIES IN LINEAR MECHANICAL SYSTEMS WITH TWO DEGREES OF FREEDOM

Аннотация. Рассматриваются малые свободные колебания механической системы с двумя степенями свободы. Учитываются различные виды связи между парциальными частями системы. Использовано свойство инвариантности коэффициентов характеристического уравнения, соответствующего системе дифференциальных уравнений движения, относительно преобразования обобщенных координат. Это свойство приводит к уравнению, связывающему отношение собственных частот с отношением парциальных частот системы. Показано, что минимум функциональной зависимости между этими отношениями достигается при равенстве парциальных частот. Обнаружено, что вид этого уравнения не зависит от характера связи (инерционного или силового) в чистом виде между парциальными частями системы. Проанализирована зависимость отношения парциальных частот от коэффициента связи при фиксированном отношении собственных частот. Получена асимптотическая зависимость между отношениями собственных и парциальных частот при росте отношения парциальных частот.

Ключевые слова: инвариантность, собственные частоты, парциальные частоты.

Abstract. We consider small free oscillations of a mechanical system with two degrees offreedom. Different types of connection between the partial parts of the system are taken into account. Invariance property of the coefficients of the characteristical equation corresponding to the system of differential equations of motion regarding the transformation of generalized coordinates is used. This property results in an equation connecting the ratio of the natural frequencies with the ratio of the partial system frequencies. It is show that the minimum of functional relationship between these ratios is achieved with equal partial frequencies. It has been found that the form of this equation does not depend on the nature of the bond (inertial or forced) in the pure state between the partial parts of the system. The dependence of the ratio of the partial frequencies from the coupling coefficient at a fixed ratio of natural frequencies is analysed. An asymptotic dependence between ratio of natural and partial frequencies with an increase in ratio ofpartial frequencies is obtained.

Keywords: invariance, natural frequencies, partial frequencies.

Введение

Как известно, систему из двух связанных осцилляторов можно рассматривать как две взаимодействующие отдельные (парциальные) колебательные системы с одной степенью свободы каждая [1]. Примером таких систем являются механические, акустические, электрические, электромеханические и другие системы [1-4]. Движение в них определяется двумя независимыми обобщенными координатами. Выбор координат определяет пару парциальных систем и пару парциальных частот, соответствующих этим координатам. Важно отметить, что от выбора координат зависит характер связи между парциальными системами: силовой, инерциальный, смешанный. Кроме того, можно описать движение такой системы двумя несвязанными уравнениями, если для описания системы выбрать нормальные координаты.

В общем случае движение в связанной системе с двумя степенями свободы негармонично. Каждая координата меняется во времени как сум-

ма двух гармонических колебаний с собственными частотами р и р . При особом выборе начальных условий в системе происходят гармонические колебания с этими частотами.

С другой стороны, при произвольных начальных условиях движение в системе можно рассматривать как биения с частотой р2 - р}. Колебательная энергия перекачивается из одной парциальной системы в другую с частотой биений. Полная или частичная перекачка энергии из одной парциальной системы в другую характеризует большую или меньшую степень взаимодействия между ними.

Взаимодействие парциальных систем (доля перекачиваемой энергии) зависит не только от величины коэффициента связи. Так, при равных парциальных частотах даже при малой связи между парциальными системами происходит полная перекачка энергии из одной парциальной системы в другую. Взаимодействие систем в этом случае характеризуется коэффициентом связности, опи-