CC BY
90
УДК 519.254
ФАЗОВЫЙ АНАЛИЗ ВРЕМЕННЫХ РЯДОВ ГЕОФИЗИЧЕСКИХ ПОЛЕЙ Паровик Р.И.1,2, Фирстов П.П.1,3
1 Институт космофизических исследований и распространения радиоволн ДВО РАН, 684034, Камчатский край, с. Паратунка, ул. Мирная, 7
2 Камчатский государственный университет имени Витуса Беринга, 683032, г. Петропавловск-Камчатский, ул. Пограничная, 4
3 Камчатский филиал геофизической службы РАН, 683036, г. Петропавловск-Камчатский, бульвар Пийпа,9
E-mail: [email protected]
В работе рассмотрен один из этапов предпрогнозного анализа временных рядов, основанный на разложении их фазового портрета по квазициклам на примере временного ряда объемной активности радона (ОА Rn).
Ключевые слова: фазовый портрет, квазициклы, временной ряд, габаритный прямоугольник
(с) Паровик Р.И., Фирстов П.П., 2013
MSC 37M10
PHASE ANALYSIS OF TIME SERIES OF GEOPHYSICAL FIELDS Parovik R.I.1,2, Firstov P.P.1,3
1 Institute of Cosmophysical Researches and Radio Wave Propagation Far-Eastern Branch, Russian Academy of Sciences, 684034, Kamchatskiy Kray, Paratunka, Mirnaya st., 7
2 Kamchatka State University by Vitus Bering, 683032, Petropavlovsk Kamchatskiy, Pogranichnaya st, 4, Russia
3 Kamchtkan experimental and methodical seismological department, Geophysical service RAS, Petropavlovsk-Kamchatskiy, 683036, Pijpa st.,9, Russia.
E-mail: [email protected]
In this paper we consider one of the stages predprognoznogo time series analysis, based on the decomposition of the phase portrait on the example quasicycle time-series radon.
Key words: phase portrait, quasicycles, time series, bounding box
(c) Parovik R.I., Firstov P.P., 2013
Введение
Известно, что природные временные ряды (ВР), как правило, обладают «памятью» - значение наблюдаемого уровня ВР зависит от значений предшествующих ему уровней, количество которых определяет глубину памяти [1],[2]. Память ВР, в свою очередь, связана с его фрактальной размерностью. Поэтому иногда классические корреляционно-регрессионные модели ВР могут обладать слабой адекватностью и приходится применять другие методы анализа. Количественную оценку глубины памяти ВР можно определить, например, с помощью фрактального анализа (последовательного анализа) или можно использовать теорию нелинейной динамики, исследуя фазовый портрет ВР [3],[4].
В работе рассмотрен фазовый анализ на примере ВР ОА 1^п. В качестве наблюдаемых уровней ВР выступают дневные значения ОА 1^п за июль 2010 года на станции «Карымшина» (река Карымшина), расположенной на Петропавловске-Камчатском геодинамическом полигоне. Необходимо отметить, что в этот период (30 июля) произошло сильное землетрясение с М=6.3 [5].
Методика анализа
Для обозначения этого ВР будем использовать следующую запись X = (х) где I = 1,2,...,п, а п = 795 и х - значения ОА 1£п. Представим ВР графически (рис.1).
б**’ Станция Карымшина
зт 1---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------
OSC7MCO OS CJ1050 C7C7JOO 0»С?К60 110400 1І073СМ 2507JSCC 17ЄШ0 1»в7Х£С
Рис. 1. Временной ряд ОА 1£п (ст. Карымшина июль, 2010)
В ходе моделирования ВР с помощью нелинейной динамики возникает вопрос о существовании в его фазовой траектории странного аттрактора. Обычно для ответа на этот вопрос используют различные алгоритмы или тесты: например, вычисление корреляционной размерности, К-энтропии и т.д. Однако эти методы обладают высокой вычислительной сложностью, и поэтому прибегают к графическим методам. Одним из них является тест Гилмора [1] суть, которого заключается в обнаружении неустойчивых квазипериодов в странном аттракторе. Квазипериоды определяются с помощью разложения фазового портрета на квазициклы.
Построение фазового пространства для ВР зависит от его размерности р. Размерность должна быть не менее, чем размерность аттрактора наблюдаемого ряда. С другой стороны, размерность аттрактора можно оценить с помощью фрактальной размерности, которая вычисляется по формуле Б = 2 — Н, где Н - показатель Херста. Так как показатель Херста удовлетворяет неравенству 0 < Н < 1, то фрактальная размерность Б < 2 и р = 2. Поэтому фазовое пространство будет задаваться так: Ф(X) = {(хг',хг-+1)},I = 1,2,...,п — 1. Для нашего ВР фазовый портрет представлен на рис.2.
Рис. 2. Фазовый портрет ВР ОА RN
Можно заметить, что фазовая траектория для этого ВР имеет тенденцию к возрастанию. Фазовый анализ ВР будет заключаться в разложении его фазового портрета на квазициклы - звенья, соединяющие соседние точки (хг-,хг-+1), (хг-+1,хг-+2), при этом большое значение имеет характер их вращения. Начальная и конечная точки квазицикла могут не совпадать. Допускается самопересечения начального и конечного звеньев, если это обеспечивает наилучшее приближение начальной и конечной точек.
В работе было определено 155 квазициклов для ВР X, некоторые из них приведены на рис.3.
На рис.3 представлены некоторые квазициклы ВР с габаритными прямоугольниками (числами отмечены уровни ВР, входящие в соответствующие квазициклы), точки пересечения их диагоналей определяют центры вращения соответствующих квазициклов, а значения точек - направление вращения.
В большинстве случаев квазициклы вращаются по часовой стрелке (рис.3), но существуют квазициклы с вращением против часовой стрелки. Как показали несложные расчеты, их доля составляет около 13%. Необходимо отметить, что большинство таких «аномальных» квазициклов имеют длину равную 3, т.е. минимальную глубину памяти.
Рис. 3. Некоторые квазициклы фазового портрета ВР: а - 2-й квазицикл длиной 4; б - 3-й квазицикл длиной 6; в - 45-й квазицикл длиной 10; г - 126-й квазицикл длиной 6
На рис. 4 представлено распределение частот длин квазициклов фазового портрета ВР.
45 40 35 30 25 20 15 10 5 О
3 4567 3 9 10 12
Рис. 4. Гистограмма частот длин квазициклов фазового портрета ВР
Как следуют из рис. 4, в фазовом портрете ВР преобладают квазициклы длиной 3, 4, 5 и 6, что указывает на устойчивые эффекты памяти ВР. Следуя работе
[4], рассмотрим дрейф центров квазициклов (рис. 5а), а также их полупериметров габаритных прямоугольников (рис. 6).
3ldO ЯЇЗС 35-ОС1 W30 5МС Н-DC- ЗШ Ш 1НС ЗНС1 КТО ужі ] VE нф ЗДШ ИД ИЗО К-С
(ІА По (1Л
Рис. 5. Фазовая траектория дрейфа центров квазициклов фазового портрета ВР (а) и ее фрагмент со следующим наблюдаемым уровнем (б)
Из рис. 5а можно сделать вывод о том, что координаты центров квазициклов возрастают и убывают, при этом их дрейф происходит вдоль биссектрисы координатного угла. Например, траектория 153-154-155, здесь значения определяют номера центров квазициклов фазового портрета ВР.
— О ЙО 2S6 ЭМ *Йб
Рис. 6. Динамика полупериметров габаритных прямоугольников квазициклов фазового портрета ВР (а) и их фазовая траектория (б)
На рис. 6а представлена кривая изменения полупериметров габаритных прямоугольников квазициклов, числами отмечены некоторые максимальные и минимальные значения. Можно отметить, что максимальные значения полупериметров в основном приходятся на квазициклы с большей глубиной памяти, а минимальные значения - с меньшей глубиной памяти.
Например, для квазицикла Сш глубина памяти составляет 6 значений, а значение полупериметра габаритного прямоугольника - 313; для квазицикла С86 глубина памяти - 8, а значение полупериметра - 308; для квазицикла С133 глубина памяти -3, значение полупериметра - 44; для квазицикла С41 глубина памяти - 3, значение полупериметра - 49.
Фазовый портрет полупериметров квазициклов (рис. 6б) содержит странный аттрактор, что соответствует хаотическому процессу.
В результате предпрогнозного анализа ВР ОА І^п можно сделать следующие выводы:
1. Дрейф центров квазициклов происходит вдоль биссектрисы координатного угла.
2. Большинство квазициклов вращаются по часовой стрелке (87%), а квазициклы с аномальным вращением имеют минимальную глубину памяти, равную 3-м значениям.
3. Квазициклы фазового портрета ВР в основном обладают памятью глубиной 4, 5, 6 значений. Последний квазицикл в разложении фазового портрета ВР является завершенным (рис. 7а).
Рис. 7. Квазициклы фазового портрета ВР ОА 1^п: а - последний завершенный 155й квазицикл; б - следующий 156-й квазицикл
Согласно представленным выше выводам можно, сделать рекомендации по прогнозу следующего уровня ВР ОА 1^п хп+1:
1. Звено (хп,хп+1) будет принадлежать квазициклу, который вращается вокруг своего центра по часовой стрелке.
2. Габаритный прямоугольник такого квазицикла согласно рис.ба будет несколько уменьшен.
3. Центр квазицикла будет смещен по направлению к центру 153-го квазицикла.
Следовательно, значение хп+і очередного уровня ВР должно быть больше значения хп. Действительно для следующего реального значения ОА 1^п центр нового 156-го квазицикла смещен к центру 153-го квазицикла, а его полупериметр составит 154 (рис. 56 и 76). Последнее значение ОА ^ из рассматриваемого ряда хп = 3539 Бк/м3, а следующее за ним - хп+і = 3615 Бк/м3.
Заключение
В работе был рассмотрен фазовый анализ ВР ОА 1^п, в результате которого мы выдвинули рекомендации относительно следующего наблюдаемого уровня ВР, а также проверили эти рекомендации для следующего реального значения ОА 1^п.
Фазовый анализ указывает направление в динамике ВР, поэтому считается пред-прогнозным методом. Однако существуют другие предпрогнозные методы: фрактальный анализ и метод нечетких множеств. Поэтому для уточнения результатов исследования ВР есть определенный смысл в их использовании.
С другой стороны, фазовый анализ ВР может дополнить известные классические регрессионно-корреляционные методы исследования ВР, что даст еще больше информации об их динамике с целью прогнозирования сильных землетрясений на Камчатке.
Библиографический список
1. Петерс Э. Хаос и порядок на рынках капитала. Новый аналитический взгляд на циклы, цены и изменчивость рынка. М.: Мир, 2000. 333 с.
2. Hurst H.E. Long Term Storage Capacity of Reservoirs // Transactions of the American Society of Civil Engineers. 1951. V. 116. P. 770-799.
3. Перепелица В.А., Попова Е.В. Фрактальный анализ поведения природных временных рядов // Современные аспекты экономики. 2002. № 9(22). С.185-200.
4. Овчаренко Н.Ф., Джашеева Ф.М. Фазовый анализ экономического временного ряда инвестиций в основной капитал региона // Современные проблемы науки и образования. 2006. №2. С. 16-20.
5. Паровик Р.И., Фирстов П.П., Макаров Е.О. Математическое моделирование объемной активности радона с целью изучения сейсмической активности в районе Южной Камчатки // Доклады АМАН. 2012. Т. 14. №2. С. 60-67.
Поступила в редакцию / Original article submitted: 20.04.2013
