Фазовые переходы и критические явления в трехвершинной ферромагнитной модели Поттса на треугольной решетке

Бабаев Альберт Бабаевич; Магомедов Гасан Мусаевич; Эсетов Фархат Эзединович; Ахмедова Зинаида Абдуловна

10

• ••

Известия ДГПУ, №1, 2014

materials. 2008. Edit. 5. P. 650-655. 4. Landau L. D., Lifshiz E. M. Theoretical physics. Theory of

elasticity, M. : Nauka, 1987. V. VII. 248 p. 5. Razumovskaya I. V., Gumirova V. N., Apel P. Yu., Bazhenov S. L. Vliyanie por v trekovyh membranah na ih prochnost // Teacher of the 21st century.

2009. # 1. P. 206-215. 6. Track membranes: synthesis, structure, properties and applications. Collection of articles / ed. by P. Yu. Apel, B. V. Mchedlishvili, M. :2004.

Literatura

1. Bedin S. A. Poluchenie i issledovanie metallicheskih replik na osnove trekovyh membran, Disser-taciya na soiskanie uchenoy stepeni kandidata fiziko-matematicheskih nauk. Moskva. 2012.

2. Gumirova V. N., Razumovskaya I. V., Apel P. Y., Bedin S. A., Bazhenov S. L., Abdurashidova G. S. Metody opredeleniya raspredeleniya por po poverhnosti trekovyh membra // Prepodavatel XXI vek. 2013. № 2. S. 207-213. 3. Gumirova V. N. Vliyanie por i ih fraktal'nogo raspredeleniya na prochnost' trekovyh mebran // Perspektivnye materialy. 2008. Vyp. 5. S. 650-655. 4. Landau L. D., Lif-shits E. M. Teoreticheskaya fizika. Teoriya uprugosti, M. : Nauka, 1987. T. VII. 248 s.

5. Razumovskaya I. V., Gumirova V. N., Apel P. Y., Bazhenov S. L. Vliyanie por v trekovyh membranah na ih prochnost // Prepodavatel XXI vek. 2009. № 1. S. 206-215. 6. Trekovye membrany: sintez, struktura, svoistva i primeneniya. Sbornik statey / pod red. P. Y. Apelya, B. V. Mchedlishvili,

M. :2004.

Статья поступила в редакцию 14.01.2014 г.

УДК 537.6

ФАЗОВЫЕ ПЕРЕХОДЫ И КРИТИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ В ТРЕХВЕРШИННОЙ ФЕРРОМАГНИТНОЙ МОДЕЛИ ПОТТСА НА ТРЕУГОЛЬНОЙ РЕШЕТКЕ

PHASE TRANSITIONS AND CRITICAL PHENOMENA IN TWO-DIMENSIONAL 3-STATE FERROMAGNETIC POTTS MODEL ON A TRAINGULAR LATTICE

H. I. Amirkhanov Institute of Physics of Daghestan Scientific Centre of RAS * Dagestan State Pedagogical University

Резюме. Методом Монте-Карло исследуются фазовые переходы в двумерной ферромагнитной модели Поттса с числом состояний спина q=3 на треугольной решетке. Рассмотрены системы с линейными размерами Ь=20М20. Методом кумулянтов Биндера четвертого порядка показано, что в двумерной ферромагнитной модели Поттса наблюдается фазовый переход второго рода. На основе теории конечно-размерного скейлинга рассчитаны статические критические индексы, теплоемкости, восприимчивости, намагниченности и индекса радиуса корреляции.

Abstract. Phase transitions in two-dimensional ferromagnetic Potts model with a number of spin states q = 3 on the triangular lattice are study by Monte-Carlo method. The systems of linear

Естественные и точные науки

• ••

11

size L=20-120 are considered. Using the method of fourth order Binder cumulants is shown that second order phase transition is observed in two-dimensional ferromagnetic Potts model. The static critical exponents of the heat capacitya, susceptibilityy, magnetization в and the correlation radius indexv is calculated based on finite-size scaling theory.

Rezjume. Metodom Monte-Karlo issledujutsja fazovye perehody v dvumernoj ferromagnitnoj modeli Pottsa s chislom sostojanij spina q=3 na treugol'noj reshetke. Rassmotreny sistemy s linej-nymi razmerami L=20+120. Ispol'zuja metod kumuljantov Bindera chetvertogo porjadka poka-zano, chto v dvumernoj ferromagnitnoj modeli Pottsa nabljudaetsja fazovyj perehod vtorogo roda. Na osnove teorii konechno-razmernogo skejlinga rasschitany staticheskie kriticheskie indeksy tep-loemkosti, vospriimchivosti, namagnichennosti i indeksa radiusa korreljacii.

Ключевые слова: Модель Поттса, фазовый переход, критические явления.

Keywords: Potts model, phase transition, critical phenomena.

Kljuchevye slova: Model' Pottsa, fazovyj perehod, kriticheskie javlenija.

Современная теория фазовых переходов (ФП) и критических явлений (КЯ) в основном базируется на идеях, заложенных в гипотезе скейлинга, универсальности и в теории ренормализаци-онной группы [2; 9]. Несмотря на серьезные результаты, полученные при исследовании ФП и КЯ в трехмерных спиновых системах, низко размерные системы все еще остаются слабо изученными. В частности, много вопросов вызывают критические свойства двумерных спиновых решеточных систем, описываемых моделями Поттса. Отметим, что успехи, достигнутые в последние годы при изучении ФП и КЯ в спиновых системах, во многом связаны с применением методов вычислительной физики [8; 11].

В данной работе методом Монте-Карло (МК) исследованы фазовые переходы и термодинамические свойства двумерной (2D) ферромагнитной модели Поттса с числом состояний спина q=3 на треугольной решетке.

Интерес к этой модели обусловлен тем, что модель Поттса служит основой теоретического описания широкого ряда разнообразных объектов и явлений в физике конденсированных сред. К их числу относятся сложные анизотропные ферромагнетики кубической структуры, многокомпонентные сплавы, жидкие смеси и различные адсорбированные пленки. В частности, адсорбция инертных газов на адсорбентах типа графита может описываться моделями решеточного газа Поттса. Такие физически адсорбированные пленки дают экспериментальную реализацию ФП в двумерных системах [3; 25].

Несмотря на интенсивные теоретические исследования двухмерных спиновых решеточных систем, описываемых моделями Поттса, в течение последних тридцати лет, к настоящему времени существует совсем немного надежно установленных фактов. Известно, что в чистой модели Поттса с состоянием q>qc(D), где D — размерность системы, наблюдается ФП первого рода, а ФП второго рода в случае q<qc(d) [18; 25]. Для двумерной модели Поттса величина qc(d=2)=4 [18], в то время как для трехмерной модели qc(d=3)=2.45 [15]. Причем для qc(d=2)=4 наблюдается ФП второго рода, а для qc(d=3)=2.45 - слабо выраженный ФП первого рода.

Приведем формулировку двумерной модели Поттса с числом состояний спина q=3 на треугольной решетке.

При построении такой модели необходимо иметь в виду следующие особенности:

1. В узлах двумерной треугольной решетки расположены спины Si, которые могут находиться в одном из q>2

Рис. 1. Модель Поттса с числом состояний спина q=2,3 и 4

2. Энергия связи между двумя узлами равна нулю, если они находятся в разных состояниях (безразлично, в каких именно), и равна |j|, если взаимодействующие узлы находятся в одинаковых

12

• ••

Известия ДГПУ, №1, 2014

состояниях (не имеет значения, в каких именно).

С учетом этих особенностей микроскопический гамильтониан такой системы может быть представлен в виде [3]

H = -2f£S(Sl,Sj), S = 1,2,3, (1)

2 i,j

где J - параметр обменного ферромагнитного - (J>0) взаимодействия,

(1, если Si = S.,

S(S,, S.) = \

|0, если S, Ф S..

Кластерные алгоритмы метода MK [23; 24] хорошо зарекомендовали себя при изучении критических явлений в различных системах и моделях [10; 16]. Критические параметры, рассчитанные на основе данных, полученных с помощью кластерных алгоритмов, обладают высокой точностью и надежностью [16]. Из всех вариантов кластерных алгоритмов метода MK наиболее эффективным на сегодняшний день, по-видимому, является алгоритм Вольфа [24]. Этот алгоритм был использован нами для исследования двумерной ферромагнитной модели Поттса на треугольной решетке. Более подробные сведения о реализации алгоритма Вольфа даны нами в работах [5; 8; 20].

Исследовались системы с линейными размерами LxLxL=N, L=20 - 120. Начальные конфигурации задавались таким образом, чтобы все спины были упорядочены вдоль оси Z. Для вывода системы в равновесное состояние вы-

числялось время релаксации т0 для всех систем с линейными размерами L. Затем усреднение проводилось по участку марковской цепи длиной т = 150т0.

Кроме того, для повышения точности расчетов осуществлялось усреднение по 10 различным начальным конфигурациям.

Для наблюдения за температурным ходом поведения теплоемкости и восприимчивости использовались флук-туационные соотношения [21]:

С = (NK 2)(( U2) - (U)2), (2)

Х = (NK )((m2) - (m)2), (3)

где K=/j//kBT, N=L3 — число магнитных узлов, U — внутренняя энергия, m — параметр порядка системы, угловые скобки означают термодинамическое

усреднение. В качестве параметра порядка для ферромагнитной (mF) модели Поттса применялись выражения [22]:

m

н 2 £

\ z а=1

Na

N

, (4)

где Na={N1, N2, N3}, N - число

1/2

спинов в состоянии с q=1, N2 - число спинов в состоянии с q=2, N3 - число спинов в состоянии с q=3, N=L .

На рисунке 2 представлены характерные зависимости теплоемкости C от температуры T для двумерной ферромагнитной модели Поттса с числом состояний спина q=3 для систем с линейными размерами L=20; 40; 60; 80. Здесь и далее на всех рисунках погрешность данных не превосходит размеров символов, исполь зуемых для обозначения зависимости. Отметим, что в зависимостях теплоемкости C от температуры для всех исследуемых нами систем проявляются четко выраженные максимумы и эти максимумы в пределах погрешности приходятся на одну температуру.

kBT/IJI

Рис. 2. Температурная зависимость теплоемкости C для 2D ферромагнитной модели Поттса на треугольной решетке

Для анализа характера фазового перехода нами использовался метод кумулянтов Биндера четвертого порядка [12; 13]:

VL (T) = 1

(E ") L

3 E 2>L

(5)

Ul (T) = 1 -

(m 4(T,L))l 3(m2 (T, L))l2

(6)

Естественные и точные науки •••

13

где Е — энергия и m — намагниченность системы с линейным размером L. Выражения (5) и (6) позволяют определить Тс с большой точностью в фазовых переходах первого и второго рода соответственно. Следует отметить, что применение кумулянтов Биндера позволяет также хорошо тестировать тип фазового перехода в системе. Известно, что фазовые переходы первого рода характеризуются следующими отличительными особенностями [17]: усредненная величина VL(T) стремится к некоторому нетривиальному значению V согласно выражению

V(T) = V* + bL-d (7)

при L и T = Tc (L), где V* отлична от 2/3, а минимальная величина VL,min(T = TJ расходится VLmn(T =TJ

при L ^ю. Кроме того, в случае ФП второго рода кривые температурной зависимости кумулянтов Биндера UL(T) имеют четко выраженную точку пересечения. Характерные зависимости кумулянтов Биндера UL(T) для 2D феромаг-нитной модели Поттса от температуры для систем с разными линейными размерами L приведены на рисунке 3.

Рис. 3. Температурная зависимость кумулянтов Биндера UL(T) для 2D ферромагнитной модели Поттса c q=3

Как видно из рисунка 3 в критической области наблюдается четко выраженная точка пересечения, что и свидетельствует о ФП второго рода. Кроме того, этот рисунок демонстрирует насколько точно можно определить критическую температуру Тс. На рисунке 4 представлены температурные зависимости VL (T) для 2D ферромагнитной модели Поттса. Как видно из вставки на

этом рисунке, в критической области Vl (T ) не стремится к нетривиальному значению VL*(T), а стремится к 2/3, что и характерно для ФП второго рода.

L

Рис. 4. Температурная зависимость энергетических кумулянтов Биндера VL(T) для 2D ферромагнитной модели Поттса с q=3

Для всех рассмотренных систем, в которых наблюдается ФП второго рода, нами на основе теории конечноразмерного скейлинга (КРС) рассчитывались статические критические индексы (КИ) теплоемкости а, восприимчивости у и намагниченности Д Согласно этой теории, свободная энергия для достаточно большой системы с ПГУ при температуре T, близкой к критической температуре Тс бесконечно большой системы, может быть представлена в виде [14]:

F(T,L) х L dF0(tL1/v), (8)

где t = \T - Tj/Tc , Tc = Tc(L = ю) и v

- статический критический индекс радиуса корреляции бесконечной системы (L = ю).

Уравнение (8) ведет к аналогичным уравнениям для теплоемкости, восприимчивости и спонтанной намагниченности, приходящимся на один спин

C(T,L)х La/vC0(tL1 v), (9)

X(T,L)x LY/vXo(tLvv), (10) m(T, L)x rPlvm0 (tL1/v), (11)

где а, у, в - статические критические

индексы для системы с L = ю, связанные соотношением гиперскейлинга

2-а = dv = 2Д + у [4, 9].

Кроме того, в настоящее время на основе теории конечно-размерного

14

• ••

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Известия ДГПУ, №1, 2014

скейлинга предложен целый ряд способов определения критического индекса радиуса корреляции v [19]. В соответствии с этой теорией в точке фазового перехода выполняется соотношение:

V = L1vgVn, (12)

где gVn - некоторая постоянная, а в качестве Vn могут выступать:

(тг Е^

\т/

(Е> , (1=1, 2, 3), (13)

V = dU = _А dP 3 m2

тЧ Е - 2

тг) т2Е,

+ т4Е

,(14)

2

m

где в=1/Т, T — температура.

Из соотношений (10) — (11) следует, что в системе с размерами LxLxL при Т=ТС и достаточно больших L восприимчивость и намагниченность удовлетворяют следующим аналитическим выражениям: г/

Х~ Lv , (15)

m ~ Эти

L

%

. (16)

соотношения

использовались

нами для определения величин у и Д Аналогичное выражение для теплоемкости не описывает наблюдаемые на практике результаты, что было продемонстрировано в работах [19]. Для аппроксимации температурной зависимости теплоемкости от L, как правило, используются другие выражения, например [21]:

с L) = С _(L = ») - AL/v, (17)

где А — некоторый коэффициент.

Для расчета КИ а, Д у и v строились зависимости C, m, %, и Vn от L. Анализ данных, выполненный с использованием нелинейного метода наименьших квадратов, позволил определить значения a/v, Д/v, y/vи 1/v. Затем, с примене-

нием значений v, полученных в рамках данного исследования, определялись индексы а, Ди у.

На рисунке 5 в двойном логарифмическом масштабе представлена характерная зависимость восприимчивости от линейных размеров решетки L для

2D ферромагнитной модели Поттса на треугольной решетке.

Обратим внимание на то, что данные, полученные для восприимчивости, не отклоняются от прямой даже при малых значениях L. Очевидно, что использованное нами для усреднения количество различных начальных конфигураций и размеры L > 20 изучаемых систем позволяют достичь асимптотического критического режима. Очень важным моментом является и то, что индекс v вычислялся непосредственно из результатов численного эксперимента в рамках данного исследования, тогда как во многих других работах этот индекс определялся из различных скейлинговых соотношений.

Рис. 5. Зависимость восприимчивости Хот линейных размеров системы L для 2D ферромагнитной модели Поттса с q=3 при T=Tc

Значения КИ, полученные в результате исследований, представлены в таблице 1. Приведенные численные значения критических индексов для теплоемкости а и намагниченности Д вполне соответствуют известным данным, полученным в работах [1; 22; 25]. Критический индекс для восприимчивости у для этой модели, по-видимому, вычислен впервые нами. Заметим, что критическая температура ТС=1,5846, определенная в данной работе, практически совпадает с точным значением полученным Бакстером [1; 25] для вершинных моделей на треугольной решетке.

Естественные и точные науки

• ••

15

Таблица 1

Критические индексы 2D феромагиитиой модели Поттса с числом состояний спина q=3 на треугольной решетке, определенные на основе теории конечно-размерного

скейлинга

Критический параметр k,Tc / J 1 /V V a/v a y/v Y p/v в

Наши данные 1.5846 1.1723 0.8530 0.3519 0.3002 1.7047 1.4541 0.1245 0.1060

[18 22] 1.88503 1.3 (2) 0.31(1) 0.10(1)

[5,26 25] 1.5849 0.3333 0.1111

В данной работе с соблюдением единой методики исследованы фазовые переходы в 2D ферромагнитной модели Поттса с числом состояний спина q=3 на треугольной решетке. Полученные данные свидетельствуют о том, что:

1. В двумерной ферромагнитной модели Поттса с q=3 на треугольной решетке наблюдается фазовый переход второго рода.

Работа поддержана грантом РФФИ (№ 10-02-00220).

Литература

1. Бэкстер Р. Точно решаемые модели в статистической механике. М. : Мир, 1985. 488 с.

2. Доценко В. С. Критические явления в спиновых системах с беспорядком // Успехи физических наук. 1995. Т. 165. 481 с. 3. Ермилов А. Н. Физика элементарных частиц и атомного ядра.

1989. Т. 20. Вып. 6. 1379 с. 4. Ма Ш. Современная теория критических явлений. М. : Мир,

1980. 126 с. 5. Муртазаев А. К., Бабаев А. Б., Азнаурова Г. Я. Исследование влияния вмороженных немагнитных примесей на фазовые переходы в трехмерной модели Поттса // Физика твердого тела. 50. 2008. Т. 4. 703 с. [Physics of the Solid State. 2008. V. 50. № 4. P. 7331.

6. Муртазаев А. К., Бабаев А. Б., Азнаурова Г. Я. Особенности фазовых переходов в трехмерных разбавленных структурах, описываемых моделью Поттса // Журнал экспериментальной и теоретической физики. 2009. Т. 136. Вып. 3. 516 с. [JETP. 2009. Т. 109. 442 с.1. 7. Муртазаев А. К., Бабаев А. Б., Азнаурова Г. Я. Фазовые переходы в трехмерной разбавленной модели Поттса с числом состояний спина q=4 // Физика низких температур. 2011. Т. 37. Вып 2. 167 с..

8. Муртазаев А. К., Камилов И. К., Бабаев А. Б., Критическое поведение трехмерной модели Изинга с вмороженным беспорядком на кубической решетке // Журнал экспериментальной и теоретической физики. 2004. Т. 126. Вып. 6. 1377 с. 9. Паташинский А. З., Покровский В. Л. Флуктуационная теория фазовых переходов. М. : Наука, 1982. 130 с. 10. Прудников В. В., Прудников П. В., Вакилов А. Н., Криницын А. С. Компьютерное моделирование критического поведения трехмерной неупорядоченной модели Изинга // Журнал экспериментальной и теоретической физики. 2007. Т. 132. 417 с. 11. Фольк Р., Головач Ю., Яворский Т. Критические показатели трехмерной слабо разбавленной замороженной модели Изинга // Успехи физических наук.

2003. Т. 173. № 2. 175 с. 12. Binder K. Critical Properties from Monte-Carlo Coarse-Graining and Renormalization // Phys. Rev. Lett. 1981. V. 47. 693 p. 13. Eichhorn K., Binder K. “Monte Carlo investigation of the three-dimensional random-field three-state Potts model” J. Phys.: Condens. Matter. 1996. V. 8. 5209 p. 14. Fisher M. E., Barber M. N. Scaling Theory for Finite-Size Effects in the Critical Region. // Phys. Rev. Lett. 1972. V. 28. 1516 p. 15. Guttmann A. J., Enting I. G. Series studies of the Potts model: III. The 3-state model on the simple cubic lattice // J. Phys. A. 1994. V. 27. 5801 p. 16. Loison D. Monte Carlo cluster algorithm for ferromagnetic Hamiltonians Cannot display formula // Physics Letters A. 1999. V. 257. 83 p. 17. Loison D., Schotte K. D. First and second order transition in frustrated XY systems // Eur. Phys. J. B. 1998. V. 5. 735 p. 18. Loulidi M. Some analytical results on the bond diluted q-state Potts model // Physica A. 2000. V. 287. 177 p.

19. Mailhot A., Plumer M. L., and Caille A. Finite-size scaling of the frustrated model on a hexagonal lattice // Phys. Rev. B. 1994. V. 50. 6854 p. 20. Murtazaev A. K., Babaev A. B. Critical properties of the three-dimensional Ising model with quenched disorder // Journal of Magnetism and Magnetic Materials. 2009. V. 321. 2630 p. 21. Peczac P., Ferrenberg A. M., Landau D. P. High-accuracy Monte Carlo study of the three-dimensional classical Heisenberg ferromagnet // Phys.Rev. B. 1991. V. 43. 6087 p. 22. Wang J.-S., Swendsen R. H. Cluster Monte Carlo algorithms // Physica A. 1990. V. 167. 565 p. 23. Wolff U. Collective Monte Carlo Updating for Spin Systems // Phys. Lett. 1989. V. 62. 361 p. 24. Wu F.Y. The Potts Model. Rev. Mod. Phys. 1982. Т. 54. С. 235.

2. Определен полный набор статических критических индексов для двумерной ферромагнитной модели Поттса с q=3 на треугольной решетке, показано, что они в пределах погрешности численного эксперимента достаточно хорошо согласуются с данными других авторов.

16

• ••

Известия ДГПУ, №1, 2014

References

1. Baxter R. Exactly solvable models in statistical mechanics. M. : Mir, 1985. 488 p. 2. Dotsenko V. C. Critical phenomena in spin systems with disorder // Advantages of Phisics. 1995. V. 165. 481 p. 3. Ermilov A. N. Physics of elementary particles and atomic nucleus. 1989. V. 20. Edit. 6. 1379 p. 4. MA W. Modern theory of critical phenomena. M. : Mir, 1980. 126 p. 5. Murtazaev A. K., Babayev A. B, Iznaurov, I.e. the Study of the influence of frozen-in nonmagnetic impurities on the phase transition in three-dimensional model of the Potts // Phisics of solid state. 50. 2008. V. 4. 703 p. [Physics of the Solid State. 2008. V. 50. # 4. 733 p.]. 6. Murtazaev A. K., Babayev A. B., Iznaurov, Ya Especially STI phase transitions in three-dimensional diluted structures described by the Potts model // Journal of Experimental and Theoretical Phisics. 2009. V. 136. Edit. 3. 516 p. [JETP.

2009. V. 109. 442 p.]. 7. Murtazaev A. K., Babayev A. B, Iznaurov, I. Phase transitions in three-

dimensional diluted the Potts model with the number consisting of spin q=4 // Phisics of Cryogenics.

2011. V. 37. Edit. 2. 167 p. 8. Murtazaev A. K., Kamilov I. K., Babayev A. B , Critical behavior of the three-dimensional Ising model with frozen mess on the cubic lattice // ZhETF. 2004. V. 126. Edit. 6. 1377 p. 9. Patashinskii A. Z., Pokrovsky C. L. Fluctua-ment of the theory of phase transitions. M. : Nauka, 1982. 130 p. 10. Prudnikov V., P. Prudnikov V., Vakilov A. N., Krinitsyn A. C. Computer simulation of critical behaviour of three-dimensional disordered Ising model // Journal of Experimental and Theoretical Phisics. 2007. V. 132. 417 p. 11. Folk R., Golovach Yu, sycamore-ski So Critical exponents of a three-dimensional weakly diluted frozen Ising model // Advantages of Phisics. 2003. V. 173. # 2. 175 p. 12. K. Binder Critical Properties from Monte-Carlo Coarse-Graining and Renormalization // Phys. Rev. Lett. 1981. V. 47. 693 p. 13. Eichhorn K., Binder K “Monte Carlo investigation of the three-dimensional random-field three-state Potts model,” J. Phys.: Condens. Matter. 1996. V. 8. 5209 p. 14. Fisher M. E., Barber M. N. Scaling Theory for Finite-Size Effects in the Critical Region. // Phys. Rev. Lett. 1972. V. 28. 1516 p. 15. Guttman road A. J., Enting I. G. Series studies of the Potts model: III. The 3-state model on the simple cubic lattice // J. Phys. A. 1994. V. 27. 5801 p.

16. Loison d Monte Carlo cluster algorithm for ferromagnetic Hamiltonians Cannot display formula // Physics Letters A. 1999. V. 257. 83 p. 17. Loison D, Schotte K. D. First and second order transition in frustrated XY systems // Eur. Phys. J. B. 1998. V. 5. 735 p. 18. Loulidi M. Some analytical results on the bond diluted q-state Potts model // Physica A. 2000. V. 287. 177 p. 19. Mailhot A., Plumer

M. L., and Caille A. Finite-size scaling of the frustrated model on a hexagonal lattice // Phys. Rev. B. 1994. V. 50. 6854 p. 20. Murtazaev A. K., Babaev A. B. Critical properties of the three-dimensional Ising model with quenched disorder // Journal of Magnetism and Magnetic Materials. 2009. V. 321. 2630 p. 21. Peczac P., Ferrenberg A. M., D. P. Landau High-accuracy Monte Carlo study of the

three-dimensional classical Heisenberg ferromagnet // Phys.Rev. B. 1991. V. 43. 6087 p.

22. Wang, J. S., Swendsen R. H. Cluster Monte Carlo algorithms // Physica A. 1990. V. 167. 565 p.

23. Wolff U. Collective Monte Carlo Updating for Spin Systems // Phys. Lett. 1989. V. 62. 361 p.

24. Wu F. Y. The Potts Model. Rev. Mod. Phys. 1982. V. 54. 235 p.

Literatura

1. Bjekster R. Tochno reshaemye modeli v statisticheskoj mehanike. M. : Mir, 1985. 488 s.

2. Docenko V. S. Kriticheskie javlenija v spinovyh sistemah s besporiadkom // Uspehi fizicheskih

nauk. 1995. T. 165. 481 s. 3. Ermilov A. N. Fizika jelementarnyh chastic i atomnogo iadra. 1989. T. 20. Vyp. 6. 1379 s. 4. Ma Sh. Sovremennaia teorija kriticheskih javlenij. M. : Mir, 1980. 126 s.

5. Murtazaev A. K., Babaev A. B., Aznaurova G. Ja. Issledovanie vljanja vmorozhennyh nemagnitnyh primesej na fazovye perehody v trehmernoj modeli Pottsa // Fizika tverdogo tela. 50. 2008. T. 4. 703 p. [Physics of the Solid State. 2008. V. 50. № 4. 733 p]. 6. Murtazaev A. K., Babaev A. B., Aznaurova G. Ja. Osobennosti fazovyh perehodov v trehmernyh razbavlennyh strukturah, opisyvaemyh model'ju Pottsa // 2009. T. 136. Vyp. 3. 516 s [JETP. 2009. T. 109. 442 s.]. 7. Murtazaev A. K.,

Babaev A. B., Aznaurova G. Ja. Fazovye perehody v trehmernoj razbavlennoj modeli Pottsa s chislom sostojanij spina q=4 // Fizika nizkih temperatur. 2011. T. 37. Vyp. 2. 167 s. 8. Murtazaev A. K., Kamilov I. K., Babaev A. B., Kriticheskoe povedenie trehmernoj modeli Izinga s vmorozhennym bes-porjadkom na kubicheskoj reshetke // Zhurnal jeksperimental'noj i teoreticheskoj fiziki. 2004. T. 126. Vyp. 6. 1377 s. 9. Patashinskij A. Z., Pokrovskij V. L. Fluktuacionnaja teorija fazovyh perehodov. M. : Nauka, 1982. 130 s. 10. Prudnikov V. V., Prudnikov P. V., Vakilov A. N., Krinicyn A. S. Komp'juternoe modelirovanie kriticheskogo povedenija trehmernoj neuporjadochennoj modeli Izinga // Zhurnal jeksperimental'noj i teoreticheskoj fiziki. 2007. T. 132. 417 s. 11. Fol'k R., Golovach Ju., Javorskij T. Kriticheskie pokazateli trehmernoj slabo razbavlennoj zamorozhennoj modeli Izinga // UFN. 2003. T. 173. № 2. 175 s. 12. Binder K. Critical Properties from Monte-Carlo Coarse-Graining and Renormalization // Phys. Rev. Lett. 1981. V. 47. 693 p. 13. Eichhorn K., Binder K “Monte Carlo investigation of the three-dimensional random-field three-state Potts model,” J. Phys.: Condens. Matter. 1996. V. 8. 5209 p. 14. Fisher M. E., Barber M. N. Scaling Theory for Finite-Size Effects in the Critical Region. // Phys. Rev. Lett. 1972. V. 28. 1516 p. 15. Guttman road A. J., Enting I. G. Series studies of the Potts model: III. The 3-state model on the simple cubic lattice // J. Phys. A. 1994.

Естественные и точные науки

• ••

17

V. 27. 5801 р. 16. Loison d Monte Carlo cluster algorithm for ferromagnetic Hamiltonians Cannot display formula // Physics Letters A. 1999. V. 257. 83 p. 17. Loison D, Schotte K. D. First and second order transition in frustrated XY systems // Eur. Phys. J. B. 1998. V. 5. 735 p. 18. Loulidi M. Some analytical results on the bond diluted q-state Potts model // Physica A. 2000. V. 287. 177 p. 19. Mailhot A., Plumer M. L., and Caille A. Finite-size scaling of the frustrated model on a hexagonal lattice // Phys. Rev. B. 1994. V. 50. 6854 p. 20. Murtazaev A. K., Babaev A. B. Critical properties of the three-dimensional Ising model with quenched disorder // Journal of Magnetism and Magnetic Materials. 2009. V. 321. 2630 p. 21. Peczac P., Ferrenberg A. M., D. P. Landau High-accuracy

Monte Carlo study of the three-dimensional classical Heisenberg ferromagnet // Phys.Rev. B. 1991. V. 43. 6087 p. 22. Wang, J. S., Swendsen R. H. Cluster Monte Carlo algorithms // Physica A. 1990. V. 167. 565 p. 23. Wolff U. Collective Monte Carlo Updating for Spin Systems // Phys. Lett. 1989. V. 62. 361 p. 24. Wu F. Y. The Potts Model. Rev. Mod. Phys. 1982. V. 54. 235 p.

Статья поступила в редакцию 16.01.2014 г.

УДК 541.64:678.01

ПРОЦЕССЫ ВЯЗКОУПРУГОЙ РЕЛАКСАЦИИ В ПОЛИМЕРНЫХ КОМПОЗИЦИЯХ НА ОСНОВЕ ЖИДКОКРИСТАЛЛИЧЕСКИХ СОПОЛИЭФИРОВ

THE PROCESS OF VISCOELASTIC RELAXATION IN POLYMER COMPOSITIONS BASED ON LIQUID

CRYSTAL SOPOLIMEROV

Dagestan State Pedagogical University

Резюме. На основе экспериментальных данных установлено, что компоненты поли-бутилентерефталата (ПБТФ) и жидкокристаллического сополиэфира (ЖКСПЭ) в композиции частично совместимы в исследуемых областях температур, так как для них характерны две близкие температуры стеклования (Т'1-Т"1 = 15иС), они сохраняют индивидуальность компонента ЖКСПЭ - оксибензойной кислоты. Увеличение концентрации ЖКСПЭ в композиции способствует более плотной упаковке полимерных цепей, уменьшению неоднородности структуры за счет взаимодействия ПБТФ и одного из компонентов ЖКСПЭ - полиэтилентерефталата.

Abstract. On the basis of experimental data it was established that the components of polybutylene terephthalate (PBTF) and liquid crystal wpolymer (LCD copolymer) in the composition partially compliant in the investigated temperature since they are characterized by two relatives of glass transition temperature (T'1-T 1 = S), they retain their individuality component of LCD copolymer, oxybenzone acid. The increase in the concentration of LCD copolymer in the composition promotes denser packing polymer chains, reducing the structure heterogeneity due to the interaction of PBTF with one of the components of LCD copolymer, polyethylene terephthalate.

Rezjume. Na osnove jeksperimental'nyh dannyh ustanovleno, chto komponenty polibutilente-reftalata (PBTF) i zhidkokristallicheskogo sopolijefira (ZhKSPJe) v kompozicii chastichno sovmes-timy v issleduemyh oblastjah temperatur t.k. dlja nih harakterny dve blizkie temperatury steklo-vanija (T'1-T"1 = 1500S), oni sohranjajut svoju individual'nost' komponenta ZhKSPJe - OBK. Uvelichenie koncentracii ZhKSPJe v kompozicii sposobstvuet bolee plotnoj upakovke polimernyh cepej, umen 'sheniju neodnorodnosti struktury za schet vzaimodejstvija PBTF i odnoj iz komponenty ZhKSPJe - polijetilentereftalata.

Фазовые переходы и критические явления в трехвершинной ферромагнитной модели Поттса на треугольной решетке Текст научной статьи по специальности «Физика»

Текст научной работы на тему «Фазовые переходы и критические явления в трехвершинной ферромагнитной модели Поттса на треугольной решетке»