ФАЗИРОВАНИЕ ТУРБОКОДОВ В УСЛОВИЯХ АПРИОРНОЙ НЕОПРЕДЕЛёННОСТИ Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 621.3

ФАЗИРОВАНИЕ ТУРБОКОДОВ В УСЛОВИЯХ АПРИОРНОЙ НЕОПРЕДЕЛЁННОСТИ

К.Н. Бирюков, О.В. Ланкин, А.А. Малышев, В.В. Назаров, К.Ю. Рюмшин

Рассмотрены свойства спектров кодового слова блочного турбокода при параметрической неопределенности структуры кодера. Выявлены признаки синхронного состояния декодера при фазировании по границам кодовых слов блочного турбокода, предложена рекуррентная формула для вычисления признаков

Ключевые слова: турбокод, турбослово

Одним из основных направлений развития телекоммуникационных систем в последние годы вновь стало повышение надежности передачи информации за счет совершенствования канального кодирования. Роль корректирующих кодов значительно возросла в связи с повсеместным переходом к цифровым способам передачи информации. Основные фундаментальные работы, посвящённые корректирующему кодированию, были опубликованы в 60-70-е годы прошлого века. Следует отметить, что в указанный период большое количество работ отечественных ученых также было посвящено данной тематике. С 80-х годов в области развития корректирующих кодов в основном велись работы не в направлении разработки и использования новых кодов, а по созданию конкатенаций существующих кодов и нахождению эффективных сигнально-кодовых конструкций.

Однако в настоящее время вновь возник интерес к разработкам в области создания конструктивных схем и алгоритмов кодирования и декодирования, дающих возможность приблизиться к границе Шеннона.

В последнее время большое внимание в теории и практике кодирования уделяется так называемым турбокодам, которые впервые были описаны в 1993 году [1]. Они сразу же привлекли внимание специалистов, поскольку применение этой технологии дает возможность обеспечить высокую помехоустойчивость передачи сигналов, недостижимую при реализации любого другого из существующих методов [2]. _

В системах связи, использующих блочные турбокоды, для синхронизации приёмных и передающих узлов используются синхрокомбинации дли- _

ной 20 бит и более, которые располагаются

Бирюков Константин Николаевич - ВГТУ, соискатель, _

тел. 8(903)4538773

Ланкин Олег Викторович - ВИПС ФСО РФ, канд. техн. наук, доцент, тел. 8(910)2406760

Малышев Анатолий Алексеевич - ВИПС ФСО РФ, со- _

искатель, тел. 8(916)2048049

Назаров Владимир Васильевич - ВИПС ФСО РФ, соискатель, E-mail: [email protected]

Рюмшин Константин Юрьевич - канд. техн. наук, _

ВИПС ФСО РФ, соискатель, тел. 8(910)2612896

между кодовыми словами блочного турбокода.

Использование синхрокомбинации снижает скорость передачи данных.

Турбокоды, построенные на базе блочных кодов (ТКб), являются произведением расширенных блочных кодов.

Систематическое представление кода получается из систематических представлений составных кодов. Матричная модель двумерного

Рис. 1. Матричная модель блочного турбокода

Рассмотрим представленные на рис. 1 обозначения:

блок информационных битов образует матрицу I;

каждая строка матрицы I кодируется кодером К1 , образуя матрицу проверочных битов Р 1 ;

общие биты чётности, строк матрицы данных I и строк матрицы проверочных битов Р1, образует матрицу Н1;

каждый столбец матрицы (I и Р1 и Н 1) кодируется кодером К 2, образуя матрицу проверочных битов Р 2;

общие биты чётности столбцов матрицы (I и Р1 и Н 1 ) и столбцов матрицы Р2 образует матрицу Н2.

Матрица турбокода, образованная после операции кодирования, рис. 1, передаётся в канал связи построчно, таким образом, в канал связи

поступает турбослово. Модель турбослова в канале связи представлена на рис. 2.

р1, II.

Н!

Рис. 2. Модель блочного турбослова в канале связи

Турбослово блочного турбокода можно представить как совокупность передаваемых элементарных кодовых слов нерасширенных блочных кодов, как представлено на рис. 3.

Сш

с*)

С, :Ю

—'V-ЖІ И 1_

—V

ТТЛ

Рис. 3. Преобразованная модель блочного турбослова, передаваемого в канале связи

Из рис. 1 видно, что матрица Р2 образованна столбцами матрицы (I и Р1 и Н1). Каждый элемент строки Р2 представляет собой сумму строго определённых элементов строк матрицы (I и Р1 и Н1), а следовательно, каждая

строка матрицы Р2 образована суммой строго определённых элементов строк матрицы

(I и Р1 и Н1). Таким образом, полученные

строки матрицы Р2 также являются кодовыми

словами кодера К1 . Матрица Н 2 образована

суммой всех столбцов матрицы (I и Р1 и Н1)

и Р2 , а следовательно также является кодовым

словом кодера К1.

Заметим, что параметр ", являющийся

длиной нерасширенного кодового слова кодера

К1, определяет длину элементарного кодового

слова в преобразованной модели. Параметр ,

являющийся показателем длины нерасширенного

кодового слова кодера К2 , определяет число элементарных кодовых слов в преобразованной модели.

Рассмотрим кодовые слова преобразованной модели блочного турбослова:

1 слово = С1( х) = /1( х) g (х);

2 слово = С2( х) = [г2( х) g (х)] х"1+1;

3 слово = С3( х) = [г3( х) g (х)] х2(" +1);

("2 +1) слово = С (П2 +1) (х) = [/("2 +ч( х) g (х)] х"2|>1 +°.

Биты чётности, матрица Н1, и оставшиеся биты, в свою очередь, представим как некое кодовое слово с разнесёнными битами:

1 символ =

2 символ =

3 символ =

к символ =

( к + 1 ) символ

2 ( п 1 + 1 ) - 1

3 ( п 1 + 1 ) - 1

к ( п 1 + 1) - 1 .

(к +1)

( к + 1)( п 1 + 1) - 1

п 2 ( п 1 + 1 ) - 1

Так как проводится анализ кодовых слов нерасширенных блочных кодов, то бит

(" 2 + 1) исключается из рассмотрения. Исключение данного бита из анализа турбослова не приводит к каким-либо существенным изменениям, так как данный бит представляет собой бит проверки на чётность. Анализируемая линейная модель турбослова представлена на рис. 4.

№ «і Ш И] Са:Л

Рис. 4. Анализируемая линейная модель турбослова

Кодовые слова циклического кода в полиномиальной форме можно представить следующим образом:

^х) = g(/ + йх + • • •+ gn-2х~2 + gn-1X~l,(1) следовательно, согласно анализируемой линейной модели, запишем полиномиальное выражение второго кода:

g2( х) = и1 х0 + и2 х1 +-------+ М"2 х"1-1,(2)

полученный полином делится нацело на полином

g2(X), являющимся порождающим полиномом

данного кода. Эти символы в анализируемой линейной модели определяются следующим образом:

g2(X) = и1 жщ + и2X2(щ+1) 1 + ••• + ип X

2 (п +1)-1 .(3)

Проведя преобразования, получим:

g2(х) = и1х"1 + и2 х2|л+1)-1 + ... + и"2 х"2("1+1)-1 = (4)

= х"1(и1х0 + и2 х"1+1 + и3 х 2("1+1) +-+ и^х^"2 -1)("1+1)) =

= х"1(и1х0 + и2 х1 + и3 х2 +-+ ип2 х"2-1)"1+1.

Следовательно, исходя из формул 1-4, биты четности, и оставшиеся биты представляют собой циклический код, который можно представить как г пров ( х ) g 2 ( х ).

Исходя из вышеописанного, турбослово можно представить как совокупность нескольких кодовых слов разных кодов:

Стк (х) = ¿1 (х)gl (х) + [г2 (х)gl (х)]х"1+1 + •

+ [гп2+1(х)gl(х)]х"2(П1+1) + хП1 (гпров (х)g2 (х))П1

и , X

и о X

2

и X

и

X

к

и

X

п

символ

и

X

2

п

Если g 1( X) = g 2 (X) = g (X) то турбослово можно представить следующим образом:

С тк ( X ) = g ( X )[ 11 ( X ) + І 2 ( X ) Xй + 1 + ••• ]. Представление турбослова как совокупности нескольких кодовых слов разных кодов справедливо и для турбокода, состоящего из большего количества кодеров.

Таким образом, можно сделать вывод, что если порождающие полиномы элементарных кодеров g ;(X), g 2(X), • ••, gn (^ являются

взаимно простыми, то общее слово невозможно представить как циклический код. Если же порождающие полиномы элементарных кодеров g і (X) , g2 (X) , g п (X) имеют общий делитель, то общее турбослово делится на НОД этих полиномов. Если же g 1( X ) = g 2( X ) = g ( X )

общее турбослово делится на полином g ( X ).

Для того чтобы турбослово можно было рассматривать как кодовое слово циклического кода, необходимо и достаточно, чтобы порождающие полиномы элементарных кодеров не были взаимно простыми, а также имели общий делитель, либо были равны друг другу.

Если необходимые и достаточные условия выполняются, то турбослово можно рассматривать как расширенный циклический код. Исходя из данного свойства, следует, что турбослово представляет собой вектор-строку циклической мультипликативной (конечной) группы порядка

Ь = (рт - 1) + 1, где Ь - длина турбослова. Турбослово имеет характеристический циклотомический класс по модулю Ь, образованный нулевыми спектральными компонентами (корнями многочлена) при дискретном преобразование Фурье-Галуа (ДПФГ) [3, 4].

В зависимости от структуры турбокодера, т.е. количества элементарных кодеров и их характеристик (порождающих полиномов), при условии выполнения необходимых и достаточных условий, результирующее турбослово будет иметь характеризующий, структуру турбокодера, циклотомический класс по модулю Ь = (рт - 1) + 1.

Свойство цикличности турбослова легло в основу фазирования методом последовательных сдвигов, основанного на отличии синхронного состояния приёмника от асинхронного, где под синхронным понимается такое состояние, в котором принимаются только кодовые слова (без учёта влияния ошибок в линии связи). Обычно отличительным признаком, используемым в алгоритмах фазирования, является равенство нулю синдрома. Отметим, что именно сложность вычисления синдрома в большинстве случаев является определяющей в оценке вычислительных и временных затрат, так как эта операция осуществляется на каждом шаге фазирования [5].

Для блочного турбокода, удовлетворяющего необходимым и достаточным условиям, равенство нулю синдрома равносильно наличию соответствующих нулевых спектральных компонентов при ДПФГ турбослова. Поэтому фазирование

блочных турбокодов может производиться путём выделения моментов появления нулевых спектральных компонентов, образующих определённый циклотомический класс при ДПФГ исследуемого сигнала методом последовательных сдвигов, а само получение циклотомических классов нулевых составляющих спектра после их корреляционного анализа является признаком достижения синхронного состояния.

Фазирование методом последовательных сдвигов не на общем турбослове, а на кодовых словах элементарных кодеров, с одной стороны ускоряет процесс вычисления синдрома, но в общем случае не применимо, так как, во-первых, не позволяет найти границы турбослова без использования синхрокомбинации, во-вторых, данный способ не учитывает особенности внутренней структуры турбослова, т.е. не даёт возможности определить границы элементарных кодеров, когда полиномы элементарных кодеров равны. Поэтому фазирование блочных турбокодов путём выделения моментов появления нулевых спектральных компонентов, образующих определённый циклотомический класс, необходимо производить по турбослову.

Известно, что если {/. }^. {р . |} яв-

ляются парой ДПФГ, то парами ДПФГ являются также

}« {р((.. 1 ))Ц,

{/«,-1))}« а Р}, (5)

где / - '-й символ кодового слова, Р. - .-я спектральный компонент, а - примитивный элемент поля, а двойные скобки означают, что индексы

вычисляются по модулю длины турбослова Ь . Из выражения (5) видно, что при циклическом сдвиге преобразуемого турбослова изменяются ненулевые компоненты спектра, тогда как нулевые компоненты и, следовательно, циклотомический класс не изменяются. Так как изменение спектра не затрагивает положенного в основу фазирования блочных турбокодов признака, то можно существенно ускорить вычисления путём использования в процессе определения количества нулевых спектральных компонентов вместо выражения

П — 1

р. = Е /а'1, . = 0(1) ь -1 (6)

' = 0

или его быстрых алгоритмов рекуррентной формулы, полученной с учётом соотношений (1) [6],

Р. (*) = Р. (* - 1) + (/* +"—1 - Л—1 )а ((*—1 , 1 = 0(1)Ь - Ь (7) где Р( * ) - 1-й спектральный компонент на *-м

шаге фазирования, /* -1 - первый символ преобразовываемого фрагмента сигнала на *-м шаге фазирования, * - номер шага фазирования.

Вид функции нулевых спектральных компонентов при вычислении ДПФГ по формулам (6)

и (7) будет одинаков, а при достижении синхронных состояний будет иметь место появление циклотомического класса, причём период его появления будет равен длине турбослова L. При необходимости анализа ненулевых компонентов истинный вид спектра можно восстановить исходя из (5). Однако, при решении задачи фазирования блочных турбокодов отказ от восстановления позволяет сократить требуемый объём вычислений в конечном итоге в log L/2 раза и соответственно

уменьшить общее время фазирования. Кроме того, данный способ фазирования блочных турбокодов позволяет отказаться от использования синхрокомбинации между турбословами, тем самым увеличить скорость передачи данных.

В результате проведенных исследований разработана методика синхронизации турбокодов при априорной структурной и параметрической неопределённости. Предлагаемая методика позволяет организовывать системы связи без дополнительных символов синхронизации и каналов управления, что в свою очередь приводит к более эффективному использованию пропускной способности канала связи и отсутствию необходимости использовать дополнительные каналы управления в системах связи дальнего космоса.

Данная методика также может быть с успехом использован и для решения задач связанных с мониторингом различных систем связи и переда-

чи данных при техническом анализе сигналов данных систем.

Литература

1. Berrou C, Glavieux A., Thitmasjshma P. Near Shannon limit error-correcting coding and decoding: Turbo-codes(l) // Proc. IEEE Int. Conf. of Commin. May. 1993.

2. Рюмшин К.Ю. Анализ турбокодов и перспективы их применения // Комплексная защита информации: Труды. VI Международная конференция. Суздаль. 2002 г.

3. Блейхут Р.Э. Теория и практика кодов, контролирующих ошибки: Пер. с англ. М.: Мир, 1986.

4. Мак-Вильямс Ф.Дж., Слоэн Н.Дж.А. Теория кодов, исправляющих ошибки: Пер. с англ. М.: Связь, 1979.

5. Зайцев И.Е. Формирование признаков для фазирования кодов Рида-Соломона в условиях параметрической неопределённости структуры кодера // Известия ВУЗов Приборостроение. 1998. №8.

6. Зайцев И.Е., Баушев С.В. Быстрый алгоритм фазирования кодов Рида-Соломина методом последовательных сдвигов // Компьютерные методы исследования проблем теории и техники передачи дискретных сигналов по радиоканалам: Тез. докл. Всесоюз. научная.-техн. конф., 3-5 сентября 1990 г., г. Евпатория. М.: Радио и связь, 1990.

Воронежский институт правительственной связи (филиал) Академии Федеральной службы охраны

Российской Федерации

Воронежский государственный технический университет

PHASING TURBO OF CODES IN CONDITIONS OF AN APRIORISTIC UNCERTAINTY

K.N. Birjukov, O.V. Lankin, A.A. Malyashev, V.V. Nazarov, K.Ju. Rjumshin

Properties of spectra of a code word block turbo of codes are viewed at a parametrical uncertainty of a structure of the coder. Attributes of a synchronous state of the decoder are revealed at phasing on margins of code words block turbo of codes, and the recurrent formula for calculation of attributes is tendered

Key words: turbo a code, a turbo a word