Фановые модели электрического поля нуклонов и электронов Текст научной статьи по специальности «Математика»

теоретическая физика

УДК 539.1.01

А.В. Пашковский', В.И. Пашковский2

'Северо-Кавказский федеральный университет, Россия компьютерная лаборатория сверхсложных прикладных задач (BNAMapl), Израиль

ФАНОВЫЕ МОДЕЛИ ЗЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ НУКЛОНОВ И ЭЛЕКТРОНОВ

В статье строятся модели, описывающие потенциал распределенных электрических зарядов с помощью вырождающихся уравнений с частными производными. Доказано, что потенциал облака электрона в атоме водорода в основном состоянии и сам атом водорода могут быть описаны такими уравнениями. Представленное описание освобождает от необходимости использовать понятие точечного заряда; ответственность за свойства среды возлагается на коэффициенты уравнений (обращаются в бесконечность), а также на выбор решения из определенного класса функций.

ФАН, ФАНОВАЯ модель, НУКЛОН, ЭЛЕКТРОН, АТОМ ВОДОРОДА, ТОЧЕЧНыЙ ЗАРЯД, распределенный заряд, потенциал, вырождающееся уравнение с частными производными, коллоидный раствор, супрахимия.

Введение

Современные задачи нанотехнологии, биомедицины, прогнозирования свойств новых материалов требуют расчета локальных электромагнитных полей в особых неоднородных средах, содержащих, в частности, наночастицы, квантовые точки, кластеры молекул. Во многих случаях применение квантовой механики для расчета локальных полей в таких средах оказывается невозможным ввиду огромного объема вычислений. В связи с этим задача построения новых физико-математических моделей подобных сред и физических явлений в таких объектах весьма актуальна.

Необходимо отметить, что в настоящей статье не рассматриваются какие-либо новации квантовой механики. Предметом исследования является лишь электростатическое поле с точки зрения разрабатываемой фановой теории.

В работе [1] нами был рассмотрен пример использования вырождающихся уравнений с частными производными для опи-

сания электрического поля протона. При этом было показано, что одно и то же явление можно адекватно описать различными моделями. В частности, потенциал поля внутри протона можно сопоставить с потенциалом поля некоторого «фана» (название произведено от слова «фантом» (phantom); подробности описаны в работе [1]).

Естественно, для развития теории фанов было бы желательно найти и другие примеры частиц и их совокупностей, электростатические поля которых описываются с помощью фановой теории. Однако чтобы быть ближе к известным распределениям электростатических полей реальных частиц, нами были рассмотрены распределения электростатических полей как облака электрона атома водорода, так и самого атома водорода, находящегося в основном состоянии. Это позволило проиллюстрировать использование теории фанов для описания электростатических полей рассмотренных частиц, включающих и одноименные, и противоположные по знаку заряды.

Понятие «фана» было введено в работе [2], а затем использовано в работах [3 — 5] как объекта, потенциал и которого удовлетворяет уравнению

&у(8 Егаё и) = qlq2(1 - р)8(0) (1)

при условии, что в окрестности нуля функция и и коэффициент е ведут себя следующим образом:

|г

21 г

-р.

^ гв-1 + с, 4п

(2)

(3)

где 21, 22, в, с — постоянные; 5 — дельта-функция; константа в = вр = 3 для протона.

Такое определение рассматривало единичный фан, у которого фановая проницаемость е имела особенность только в одной точке. Затем это определение было расширено на систему точечных зарядов на основе использования уравнения

((

Шу

±1

Л

+ е,

§гаё и

= +4в, -1)8(г),(4)

где г. обращаются в нуль в точках расположения заряда; е1 — некоторая гладкая функция; поведение потенциала фана и в каждой точке г согласовывается с особенностями е, в соответствии с формулами (2) и (3).

Цель данной статьи — показать, что при распределении зарядов на поверхностях фановая проницаемость может иметь особенности и на этих поверхностях.

Основные определения

Под «фаном» будем понимать объект, который описывает электрические или гравитационные поля. Его свойства должны определяться уравнениями типа Максвелла или Шредингера с коэффициентами, принимающими произвольные значения, в том числе нулевые или обращающиеся в бесконечность в некоторых точках или поверхностях в пространстве.

Вполне вероятно, что в процессе развития фановой теории и ее применения в различных областях это определение будет претерпевать видоизменения.

Коэффициент е, используемый в задачах, решения которых описывают электрические поля, будем называть «электрической фановой проницаемостью». Поскольку вырождающиеся уравнения могут аналогично описывать и гравитационные поля, позволяя плотности пространства иметь особенности, коэффициент е в соответствующих задачах мы будем рассматривать как «гравитационную фановую проницаемость».

Разумеется, не следует формально воспринимать вышеприведенные понятия как изменение классических представлений о диэлектрической и магнитной проницаемости, о плотности материи или воспринимать их как новые требования к прежним фундаментальным основам теории электромагнитного поля. «Фановые проницаемости» е — это коэффициенты в уравнениях типа (1), позволяющие строить новые модели сред и объектов, которым во многих задачах можно придать определенный физический смысл.

Например, в центрально-симметричных случаях, в области, где отсутствуют особенности коэффициента е, уравнение (1) становится однородным и имеет вид

-\(ег Ч )г =0.

Отсюда следует, что

е =

где с — постоянная.

г 2и„

(5)

(6)

Преимущества и недостатки фановых моделей

Формула (6) позволяет определять е экспериментально, для чего необходимо измерять силу, действующую на пробный заряд, так как сила связана с градиентом потенциала, который в этом случае выражается через иг.

Использование в фановых моделях вырождающихся уравнений типа (5) позволяет отказаться в некоторых задачах от решения уравнения Пуассона. Для этого необходимо допустить, что коэффициенты вырожденных уравнений, представляющие такие параметры среды, как электрическая и/или

к

магнитная фановая проницаемость, а также фановая плотность материи могут обращаться в нуль или бесконечность.

Однако в фановых моделях отсутствует свойство суперпозиции. Это означает, что если два заряда созданы с помощью фановых проницаемостей е1 и е2, то при этом вовсе не подразумевается, что сумма их потенциалов будет обеспечиваться сложением величин е1 и е2.

Действительно, пусть потенциал и1 в стационарном центрально-симметричном случае удовлетворяет уравнению

s i г \ r) г = О,

(7)

где е1 имеет особенность в точке г = 0.

Пусть аналогично потенциал и2 удовлетворяет уравнению

-г(8 2r \ r ) г = 0'

(8)

где е2 также имеет особенность в точке г = 0.

Найдем фановую проницаемость е3, при которой создается суммарный потенциал и3, равный

и3 = и1 + и2 .

Для этого необходимо, чтобы выполнялось равенство

~2 rUr )r =8(0),

(9)

или

1 - ..2

(S3r (u,r + u2r))г = 8(0). r

Из уравнений (7) и (8) следует, что

В силу равенства (9) получим следующее соотношение:

1

(

С1 +

\\

VS1

= 8(0).

^2 ))

Тогда выражение для величины е3 принимает такой окончательный вид:

83 = | г 2Ь(0)йг—^-.

^ 2 I С2 ^ 1

Здесь интересно отметить, что величина

е3 вне точки г = 0 может быть представлена в виде

Полученное выражение, несомненно, напоминает формулу

УА + У2 е2

которую обычно используют для вычисления эффективной диэлектрической проницаемости последовательно соединенных диэлектриков с диэлектрическими прони-цаемостями е1, е2 и долями объемного содержания (объемные концентрации) первого и второго компонента у1, у2 в плоском конденсаторе.

Следует отметить, что все аналитические результаты в этой работе получены для центрально-симметричного случая. При расчетах электростатических полей в расчетных областях более сложной формы необходимо применять численные методы. Так, в работе [1] был приведен пример, показывающий, что задача численного расчета полей в наносредах неустойчива и что для подобных сред необходимо применять только блочные численно-аналитические методы (ВКЛМ) [5]. Указанные методы основаны на значительном использовании аналитических приемов, обладают повышенной точностью и позволяют численно решать краевые задачи в средах, где потенциал резко меняется как по величине, так и по форме.

Следует отметить, что фаны обладают значительной гибкостью за счет возможности выбора различных порядков обращения в бесконечность коэффициентов как в точках, так и на поверхностях, а также возможностью почти произвольного выбора значений функции е в местах, где нет особенностей. Это позволяет моделировать такие сложные среды, как биологические, как растворы, как материалы с наночастицами. Особую пользу эти модели могут принести в супрахимии, где известно пространственное расположение зарядов и необходимо найти их силовое взаимодействие с учетом перекрытия электронных оболочек.

c

c

2

U1r =

U2r =

2

2

S,r

S2r

2

Рис. 1. График функции плотности электронного облака в атоме водорода; а0 — радиус первой боровской орбиты

Фановая модель облака электронов

Для построения фана, соответствующего облаку электрона в атоме водорода в основном состоянии, рассмотрим плотность распределения электронов в атоме водорода, которая представляется функцией Б = 4лг2\¥|2 (рис. 1), а также потенциал и в облаке, который удовлетворяет уравнению

Ди = - ^ г2 е-г / *,

(10)

где де — заряд электрона.

Найдем значение ее, при котором потенциал и удовлетворяет уравнению

&у(ее §гаё и) = 2122(1 - Р)5(0).

В силу центральной симметрии уравнение (10) можно записать в виде

"Г (г \ )г =-

4п • 2,

е г2е-г/Ь,

откуда следует, что

4пЬ 22е

е„ г

и = -

(г3 + 6 Ьг2 +

+18Ь г + 24Ь )е/Ь + -1 + с2, г2

где с1, с2 — постоянные.

Выберем значения с1 и с2 такими, чтобы потенциал в начале координат был конеч-

ным. Для этого воспользуемся разложением

е-/Ь = 1 -- +

2 3

г г г

■ +... .

Ь 2Ь2 6Ь3

Тогда для потенциала и получим следующее представление:

и = ^ (-96 • Ь5 — + 24Ь4 +

е0 г

+ 4Ьг3 + 2г4 + ....) + С1 + с2.

г

Если положить, что постоянные с1 и с2 следуют выражениям

96пЬ52е _

1

24пЬ4 2,

+ С3,

где с3 — произвольная константа, то получим для потенциала и представление (11) и его значение в начале координат (12):

и = -

4пЬ \

(г3 + 6Ьг2 + 18Ь2 г + 24Ь3)е / Ь +

9бп а, Ь5д 1 24па, Ь4 а (11)

+-;——---;—— + с3,

е о г е о

и = ^ (4Ьг3 + 2г4 + ...) + с3. (12)

е0

Отметим, что в силу выражения (12) по-

е

0

е

0

0

е0г

тенциал иг в начале координат имеет нуль второго порядка. Вне начала координат уравнение (1) однородно и из него следует, что

е„ =

2

г и.

(13)

и, следовательно, ее будет иметь особенность четвертого порядка.

Таким образом, для потенциала и и ее выполнены условия (2), (3) при в = 4, а сам потенциал удовлетворяет уравнению (1). При этом ее определяется по формуле (13), а и — по следующей формуле:

4 пЬ qe

-г / Ь

+ 4Ьг2 + 12Ь2 г + 24Ь3 +

( 4 9бпа1Ь5 1

24Ь - ■

е0 г/у

Можно заключить, что облако электронов в атоме водорода, в основном своем состоянии, также является фаном и для его описания может быть использована фановая математическая модель.

Фановая модель системы зарядов различных знаков в точках и на поверхностях

В моделях, использующих фаны, нет понятия точечного заряда, а наличие заряда обуславливается присутствием особенностей определенного порядка у функции е в

вырождающемся уравнении. Способ находить величину е при наличии особенностей в точках, мы уже показали на предыдущих примерах.

Рассмотрим теперь методику нахождения величины е для случая, когда ее особенности находятся как в точке, так и на поверхности. Для этого рассмотрим потенциал, удовлетворяющий уравнению

Ди = - ^г2(г1 - г)е-г/Ь.

(14)

В правой части этого уравнения стоит функция, изменяющая знак при переходе через значение г = гх, то есть заряд имеет положительное значение при г < г1 и отрицательное при г > г1. Такое распределение имеет место, например в нейтроне (рис. 2) или в атоме водорода.

Найдем еп такое, чтобы оно имело особенности различного знака в начале координат и на сфере при г = г1. При этом особенности у еп должны быть такого типа, чтобы оператор

вычисленный от потенциала и, выбрасывал 5-функции, сосредоточенные в начале координат и на сфере г = г1.

В силу центральной симметрии можно записать:

Рис. 2. Радиальные распределения плотности зарядов в протоне (1) и нейтроне (2);

р(г) — функция плотности заряда

0

(г\)г =-^г4(г1 - г)е"/Ь,

откуда следует, что

г 4( гх - г) е- 7 Ьйт-

I г- ,

Для исследования поведения иг в начале координат, заменим под интегралом функцию е -г/Ь ее разложением в ряд Маклоре-на:

| г4(г1 - г)е/Ьс1г

г8 + (-гт - — | г7 + 6Ь2 16Ь2 3Ь 1

+ 1 -11 I г6 + (-4Ь + г1)г5 +

6Ь 6,

+ (-5Ь2 + г1 Ь)г4 + 120Ь6 - 24г1 Ь5 + ... . Тогда справедливо выражение

и = -

6 6 2

■ +

1

6Ь2 3Ь

г5 +

+ 1 | - 11 | + (-4Ь + г^г3 +

6Ь 6 + (-5Ь2 + гхЬ)г2 + Если положить

120Ь6 - 24гЬ5 с

с2 = 120Ь6 - 24г1Ь5,

то имеем:

4ще

¡_ - ± 6Ь2 I 6Ь2 3Ь

+11 I " Т I г2 + (^4Ь + г1 )г + (-5Ь2 + г^) |;

и = --

А

4262

■ +

1

3662 18Ь

г +

+

г-Н 1 г 5 + з /-ь + г 4 +

30Ь 30 I I 4

-5Ь2 + /:Ь 3 +--— г3

Л

+ с.

Таким образом, потенциал иг имеет нуль второго порядка в начале координат, а для потенциала и будет характерно поведение вида (3) при в = 4.

Действительно, в точке начала координат имеем:

г ^0

4п(-5Ь2 + г1Ь)ае 3 --1—- г + с;

3е„

4п(-5Ь2 + гхЬ)ае г2

(15)

(16)

г.

Теперь рассмотрим уравнение

&у(еп £гаёи) = 0

вне начала координат и вне точки г Найдем также функцию еп, при которой функция и удовлетворяет уравнению (16).

В силу центральной симметрии из уравнения (16) следует, что

сл

е_ =

г 2и,

и, следовательно, в силу выражения (15) функция еп будет иметь особенность четвертого порядка в начале координат. Действительно,

1

'п г^0"

4п(-5Ь2 + г1Ь) г4

Таким образом, величины е и и будут удовлетворять условиям (2), (3) при в = 4, и, следовательно, будут давать вклад в правую часть уравнения, равный

4п- с45(0).

Рассмотрим теперь вклад в правую часть уравнения, определяемый поведением функции и при г = г1. Поскольку уравнение (16) однородно, выберем еп следующим образом:

е„ =

2

г и

, г < г1,

(17)

г >г1.

г и.

Это естественно, так как еп отражает свойства пространства, обеспечивающие величину заряда, а условия склейки определяются на основе физической постановки задачи.

Воспользуемся определением оператора Лапласа в терминах пространств Соболева и обобщенных функций. Тогда, если ф — финитная функция на промежутке [0, да], то имеем:

0

0

0

0

с

4

0

'1

11 = |У(епУф)и^ = 4п | (г2епф • г)ги¿г +

0

да г1 -е2

+ 4п | (г2епф • г)ги^г = | (г2епфги)г^г -

г1+е2 0

г1 -е2 г1 -е2

- 4п | (г2епигф)гй?г + 4тс | (г2епиг)гс1г + 0 0

+ 4п | (г2епфги)гйг - 471 | (г2епигф)г^г +

1 +е2 1 +е2

да

+ 4п | (г2епиг)гйг.

г1 +е2

Ввиду того, что функция и удовлетворяет уравнению (16), третий и шестой интегралы представления 11 будут равны нулю. В этом случае

/•1 -82 ! -82

/1 = 4п | (г2епфги)гй?г - 4п | (г2епигф)^г + 0 0

да да

+ 4п | (г2епфги)г^г - 4п | (г2епигф)г ¿г. г1 +82 г1 + 82 В силу финитности функции ф выражение принимает вид

/1 = 4п(г28пфги - г2еигф)| ¡1+¡82. С учетом (17) можем записать 11 как

I, = 4 п(С4 - С 4 ф) |г =ч-82 +

иг

+ 4п(с4- С4ф)| г=|1 +82 . иг

Налагаем условие, согласно которому и|г= , = 0.

Поскольку нуль в точке г1 у функции и будет более высокого порядка, чем у функции иг , справедливо равенство

и| = 0.

иг =г1

Следовательно, переходя к пределу при е2 ^ 0, получим:

/1 = -8п • с4ф(г1).

Таким образом, интеграл /1 выбросил значение ф в точке г1, а это значит, что оператор будет выражаться как

^(8пУи) \г=,. = 8п • сда.

Учитывая приведенные выше выкладки, получим следующее равенство:

д1у(епgгadu) = 4пс+(0) - 8пс4-5(г).

Заключение

Сравнение результатов, полученных в данной статье, с представленными ранее и основанными на формуле (4), показывает, что в итоге проведенного исследования появляются новые возможности использования фановой модели. Так, можно дополнительно строить фановые модели облаков зарядов, расположенных в различных областях сред и объектов: в сферическом слое; в шаре с одним знаком заряда и с окружающим его сферическим слоем зарядов противоположного знака.

Во втором случае необходимо задавать особенности функции е как в центре шара, так и на его поверхности.

Кроме того, важно отметить, что «электрическая фановая проницаемость» е может быть функцией, зависящей от времени. В предлагаемой статье зависимость е от времени не рассматривалась, однако авторами уже получена фановая модель квантовой точки, излучающей на частоте, зависящей от размеров квантовой точки и от материала, в котором она создана. Результаты расчетов совпадают с известными экспериментальными данными. Все это подтверждает необходимость дальнейшего расширения понятия фана.

Следует повториться, что при более сложных расчетных областях необходимо применять блочные численно-аналитические методы (ВИЛМ), использующие в значительной степени аналитические выкладки и позволяющие численно-аналитически решать краевые задачи в наносредах.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Пашковский А.В., Пашковский В.И. Блочные численно-аналитические методы и новые математические модели в расчете силовых взаимодействий наночастиц // Научно-технические ведомости СПбГПУ. Физико-математические науки. 2012. № 4 (158). С. 39-44.

2. Пашковский В.И. Фаны в атомном и на-номире, численно-аналитический метод СЭМ в расчетах полевых задач нанотехнологий // Творческие поиски ученых Израиля сегодня. Ежегодник. Ашкелон: Международный центр научных исследований и практики творчества, 2009. № 13. C. 92-95.

3. Pashkovsky V. Method of standard elements

(SEM) in nanomaterials designing, measurements and nanobiological models. ECASIA'09 book of abstracts. 13-th European Conference on Applications of Surface and Interface Analysis. 18.10. 2009. Antalya, Turkey, pp. 55-56.

4. Пашковский В.И. Создание антител методами нанотехнологии // Творческие поиски ученых Израиля сегодня. Ежегодник. Ашкелон: Международный центр научных исследований и практики творчества, 2010. № 14. С. 91-93.

5. Пашковский В.И. BNAM-блочные численно-аналитические методы [Электронный ресурс]. Режим доступа: http://sites.google.com/ site/bnamapl/home (дата обращения: 15.06.13).

СВЕДЕНИЯ ОБ АВТОРАХ

ПАШКОВСКИй Александр Владимирович — кандидат технических наук, доцент кафедры информационных систем, электропривода и автоматики Невинномысского технологического института (филиал ФГБОУВПО Северо-Кавказского федерального университета), Россия. 357108, Россия, Ставропольский край, г. Невинномысск, ул. Гагарина, 1 alecsandг 607@rambler.ru

ПАШКОВСКИй Владимир Изефович — кандидат физико-математических наук, президент компьютерной лаборатории сверхсложных прикладных задач (BNAMapl), г. Ашдод, Израиль. 77336, Израиль, г. Ашдод, ул. Эвен Гвироль, 7 pp-vladimir@013.net.il

Pashkovsky A.V., Pashkovsky V.I. PHAN MODELS OF ELECTRIC FIELD OF NUCLEONS AND ELECTRONS.

In this article, we construct a model which describes the potential of electric charges distribution using degenerate partial differential equations. It has been proved that the potential of the electron cloud in the hydrogen atom being in the ground state and a hydrogen atom itself can be described by such equations. This description obviates the need to use the notion of a point charge. The medium properties are modeled by the equation coefficients, which can turn into infinity, solutions being sought in a certain class of functions. We name the constructed models "phan models". We put forward a construction technique of phan models for different media containing divided charges, such as colloids and biological media. The models may be used in suprachemistry to calculate force interactions between the particles. Phan models are close to the Maxwell ones. Their applications are promising for cases when the quantum-mechanical calculations are too complex and conventional electromechanical models are not able to reflect accurately the medium properties. The examples given show the possibilities for the further development of phan theory.

PHAN, PHAN MODEL, NUCLEON, ELECTRON, HYDROGEN ATOM, POINT CHARGE, POTENTIAL, DEGENERATE PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATION, COLLOIDAL SOLUTION, SUPRACHEMISTRY.

REFERENCES

1. Pashkovsky A.V., Pashkovsky V.I.

Blochnye chislenno-analiticheskie metody i novye matematicheskie modeli v raschete silovykh vzaimodejstvij nanochastits. St. Petersburg State Polytechnical University Journal: Physics and Mathematics, 2012, No. 4 (158), pp. 39-44. (rus)

2. Pashkovsky V.I. Fany v atomnom i nanomire, chislenno-analiticheskij metod SEM v raschetakh

polevykh zadach nanotekhnologij. Tvorcheskie poiski uchenykh Izrailya segodnya, Ezhegodnik. Ashkelon, Mezhdunarodnyj tsentr nauchnykh issledovanij i praktiki tvorchestva, 2009, № 13, pp. 92-95. (rus)

3. Pashkovsky V. Method of standard elements (SEM) in nanomaterials designing, measurements and nanobiological models. ECASIA'09 book of

abstracts. 13-th European Conference on Applications of Surface and Interface Analysis. 18.10.2009. Antalya-Turkey, 2009, pp.55- 56.

4. Pashkovsky V.I. Sozdanie antitel metodami nanotekhnologii. Tvorcheskie poiski uchenykh Izrailya segodnya. Ezhegodnik, Ashkelon, Mezhdunarodnyj

tsentr nauchnykh issledovanij i praktiki tvorchestva, 2010. No. 14, pp. 91-93. (rus)

5. Pashkovsky V.I. BNAM-blochnye chislenno-analiticheskie metody. Available at: http://sites. google.com/site/bnamapl/home(dataobrashcheniya: 15.06.13). (rus)

THE AUTHORS

PASHKOVSKY Alexander V.

Nevinnomyssk Institute of Technology (branch of North-Caucasus Federal University) 1 Gagarina St., Nevinnomyssk, 357108, Russia alecsandr 607@rambler.ru

PASHKOVSKY Vladimir I.

Computing laboratory of super-difficult applied problems 7 Even Gvirol St., Ashdod, 77336, Israel pp-vladimir@013.net.il

© Санкт-Петербургский государственный политехнический университет, 2014