CC BY
18
УДК 621.785: 621.821
Ю. I. Шалапко
ЕВОЛЮЦ1ЙНА МОДЕЛЬ ФРИКЦ1ЙНО1 ВЗДеМОДП ПОВЕРХНЕВИХ ШАР1В ПРИ ФРЕТИНГУ
Представлено математичну модель динам1чно!' взаемодИ' двох т1л в присутност1 тре-тього тта, через яке вдбуваеться безпосередн1й контакт \ тертя. Розв'язуеться система двох диференцальних р1внянь як е операторами еволюцйно!'повед1нки контакту в умовах в1браи,1йного тангенцального навантаження. Еволюцйна модель дозволяе через експериментальн1 дан \ по в1дносному рус/ двох т1л \ пружн \ характеристики поверхневого шару оцнити реальн \ параметри малоампл1тудного фреттингу.
Вступ
Будь-як 1^кроперемЦення, ям вщбуваються на поверхн роздту двох поверхонь не е дзеркальним вщображенням руху вЫеТ деталi вщносно ЫшоТ. Точнiсть визначення вiдносних перемщень суттево для iдентифiкацií динамiки поверхневих шарiв в умовах мало амплпудного фретингу (1...10 мкм). Пружнi та пластичн деформацп приконтактних областей можуть бути однаковi за величиною проковзу-вання i тодi при наявносл змiцнення деталей буде вщсутне тертя мiж поверхнями. А перемщення поверхневих шарiв призведе до контактно'' втоми, пгтин-гу i нагрiву через дисипацiю енерги. Взаемозв'язок цих явищ е важливим з точки зору цтюносл ном^ нально - нерухомого фрикцiйного (ННФ) контакту в умовах вiбрацil' та ци^чного навантаження. Стан iнтерфейсу послйно трансформуеться пiд час цикл-iчного навантаження вiд сталого повного зчеплення до проковзування з утворенням "„третього" тiла (рис. 1). Ресурс посадки вичерпуеться за рахунок зно-шування та окислення, що призводе до переходу вщ сили статичного тертя до мнематичного.
Важливим з точки зору вiброактивностi е цтюнють мiсць ф^саци деталей в корпусах чи на фундамент. Особливо це стосуеться навюного об-ладнання в аерокосмiчнiй технiцi. В цьому випад-ку сила притиснення до основи менше за вагу i будь-який рух вiдносно основи дае значний вiбра-
а
цiйний фон у всм конструкци в цтому, вщчувають-ся шум, удари, скрипЫня, що для вiдповiдальних елементiв з'еднання може обернутися катастроф^ чними наслщками [1].
Таким чином, фрикцiйна поведЫка поверхонь при вiбрацiях е складною динамiчною системою, яка пiдлягае розв'язуванню для прогнозування характеристик малоамплiтудного фретингу i вста-новлення законiв еволюци iнтерфейсу у вщпов^ дальних спряженнях лп"аюв та космiчних апаратiв. Пщ динамiчною системою розумiють будь-який об'ект або процес, для яких однозначно визначе-ний стан системи через сукупнють величин в да-ний момент часу, а також вщомий оператор, який описуе еволюцю початкового стану в часк Динам-iчна система, яка описуеться еволюцiйним оператором мае свое вщображення в диферен^альних рiвняннях, теори графов, маршських ланцюгах, дискретних вiдображеннях i т.д. Вибiр способу для опису динамiчноl' системи обумовлюе вид матема-тично''' моделi. Математична модель динамiчноl' системи поверхневого шару, який деформуеться пщ дiею сил тертя та сил Ыерци, будемо вважати за-даною, якщо задаються параметри системи: гар-монiчний закон руху основи 1 та координати лл 2, 3, що однозначно визначають стан системи, а також вказаний еволюцмний оператор у виглядi системи диферен^альних рiвнянь, якi дозволяють виз-
б
Рис. 1. Поперечний перерiз iнтерфейсу двох поверхонь, що контактують в стаж знакозмЫного танген^ального навантаження: а - 1000 цикглв навантаження; б - 800 000 цикглв
© Ю. I. Шалапко 2006 г.
начити зм1ни стану системи в чаа:
(1)
Математична модель динамiчноí системи поверхонь роздшу двох тiл
Розглянемо фрикц1йну взаемодю поверхонь в умовах значного р1вня сил тертя, та малих в1днос-них в1брац1йних м1кропроковзувань в межах 1...10 мкм, як динам1чну модель в двох ступенях втьност (рис. 1).
На рис. 2 прийнят1 позначення: х,у,2 - пере-м1щення в1дпов1дно основи, маси т, маси М в не-рухом1й систем! координат; с - жорсткють пружини; ц - коефЩ1ент тертя м1ж деталями 1-2; N - нормальна сила, що д1е м1ж деталями 1-2; ю - кругова частота коливань детал1 1; г - час;
М - маса детал1 3;
т - маса детал1 2;
а - ампл1туда перем1щення детал1 1;
Р] - сила тертя в момент часу/.
Основа 1 рухаеться за гармон1чним законом:
2 = а 8т(юг) .
Рис. 2. Динам1чна система 1нтерфейсу при тангенц1ально-му цикп1чному збуджен1 основи
1нтервали часу Аг наст1льки мал1, що силу тертя на кожному з 1нтервал1в вважаемо пос-т1йною. Позначимо силу тертя, яка д1е на ] -му пром1жку
часу -\,г] ] через Р]. Тод1 диференц1ал р1внян-
ня, що описують еволюц1ю представлено! динам1-чно! модел1; запишуться у вигляд1
Зведемо цю систему р1внянь до одного:
(4)
(5)
(6)
Пщставимо р1вняння (5), (6) в (4)
(7)
Позначимо
Р1вняння (7) запишеться так:
(8)
(9)
(10)
Розв'язок р1вняння (10) шукаемо у вигляд1
(11)
де У од - розв'язок р1вняння: у(4) + а2 у" = 0 ,
а уг - частковий розв'язок р1вняння (10). Шукаемо у виглядк
Уog = е
кг.
„ ,2 кг (4) ,4 Уog = к е ; У о^ = к е
4 кг
Необх1дно знайти закон руху маси т та маси М. Подтимо весь 1нтервал часу в1д початку руху г 0 на однаков1 часов1 пром1жки тривалютю
(2)
4 2 2
де к + а к = 0 - характеристичне ршняння для диференцмного р1вняння (12). Його корен1 будуть
наступи: к1 = к2 = 0; к3 4 = ±аг (г2 = -1).
Розв'язок диференцмного р1вняння (12) запи-суеться:
(3)
(13)
7- От! 9яянЬестникядвигателестроенияяй 4/2)06 - 45 -
Частковий розв'язок диференцмного. р1вняння (10) шукаемо у виглядк
I, (14)
П1дставляемо ц1 значення в (10). Одержимо
а2 • 2 А = ЬРг. Зв1дси
(15)
Тод1, загальний розв'язок диференцшного р1вняння (12) запишеться:
|. (16)
Зв1дси
Тод1 з (6) одержимо:
(17)
Розв' язки (16), (17) м1стять пост1йн1 С1, С2, С3, С4, як1 являються незм1нними на кожному окремому часовому 1нтервал1 (г;--1; г]), а в1д
1нтервалу до 1нтервалу вони будуть зм1нюватись. Тому виг1дно цим константам дописати другий Ыдекс, який вщповщатиме номеру часового Ытер-
валу, тобто записувати не С1,С2,..., а С1],С2],... Позначимо:
1з (16) I (17) одержимо:
, (18)
_|. (19)
На початку кожного часового Ытервалу ({]-1; г]) задаемо початков! умови
х(г]-l), у(г]-l), х'(г]-l), у'(г]-1), як1 знаходи-мо в к1нц1 попереднього часового 1нтервалу
(г;- - 2; г]-1), тобто значення
х]-ь у]-l, х']-ь у' ]-1 е в1дом1.
Зв1дси одержуемо систему р1внянь для знаход-ження пост1йних С1],С2],Сз]С4] на 1нтервал1
(г]-1;г]):
, (20)
(21)
(22)
(23)
Розв'яжемо цю систему р1внянь методом вик-лючення. Для цього в1д (20) в1дн1мемо (21), а в1д (22) в1дн1мемо (23).
(24)
(25)
Розв 'яжемо одержану систему р1внянь (24), (25) в1дносно С3],С4] .
(27)
Маючи C3 j, C4j можна знайти C2j, Q j . З рiвняння (23) ^
|. (28)
З рiвняння (21) ^
(29)
Спростимо вирази для C2j, Q j i запишемо зна-чення xj .
; (28')
(29')
Якщо проковзування не буде, то потрiбно пере-рахувати силу тертя з умови:
(31)
Враховуючи , що zj = Va cos(atj ), одержимо:
(30)
. (32)
Формула (32) дае можливють знайти силу тертя Fj при вщсутносл проковзування. У випадку наявносл проковзування сила тертя дорiвнюе максималь-
7- 0219яянЬестникядвигателестроенияяй 4/т006 # 47 -
ному його значенню (N - нормальна реакц1я; | - коеф1ц1ент тертя пари 1-2).
Результати моделювання
При збудженн1 основи в тангенц1альному на-прямку можлив1 дек1лька сценарив поведЫки ди-нам1чноТ системи. Перший : вс1 т1ла коливаються разом з основою. Вважаючи т1ло 2 за тонкий по-верхневий шар, який мае в1дпов1дну масу, танген-ц1альну жорстк1сть (аналог пружного елементу на рис.2) I взаемод1е з основою через тертя, можна констатувати, що в систем! вщсутня будь-яка ди-сипац1я енергп I система абсолютно „"жорст-
ка" ( = х = у).
Другий сценарм: вщбуваеться в1дносне проков-зування поверхонь I вщсутня деформац1я прикон-
тактно!' зони ( ф х, х = у). Така взаемод1я м1ж еле-ментами динам1чноТ системи можлива при значн1й жорсткост1 поверхневого шару, що в реальност1 досягаеться зменшенням сили тертя I великою твер-д1стю поверхн1. Наступний сценар1й: за рахунок велико!' сили тертя тта 1 I 2 повнютю зчеплен1. Тод1
в1дсутне тертя ковзання I можлива знакозмЫна де-формац1я поверхневого шару завдяки мал1й танген-ц1альн1й жорсткост1 поверхн1 в сукупност1 з силами
Ыерци маси третього тта {т = х, х ф у). I останн1й випадок, коли можливий одночасний зсув матер1а-лу в поверхневому шар1 та проковзування
{, ф х, х ф у).
На рис. 3 представлен! результати перемщень системи двох мас, як1 коливаються разом з основою з частотою 22,5 Гц. Характер перем1щень свщчить, що в перший момент часу вщбуваеться зм1щення детал1 в1д початкового положення I про-цес стае аперюдичним з елементами проковзування тта 2 по основ1. Разом з тим, спостер1гаються в1дносне м1кроперем1щення м1ж т1лами 2 I 3 (рис. 3, б), за якими можна оцЫити розаювання енергИ' в поверхневому шар1 в результат! деформацИ'. Фазов1 д1аграми руху т1л 2 I 3 показують хаотичну динам1-ку. Однак, еволюц1я третього т1ла бтьш структури-зована, що може засвщчити детальний анал1з фрактально''' розм1рност1 або вейвлет-перетворення часо-вих ряд1в [2].
а
б
Рис. 3. Перем1щення елемент1в динам1чноТ системи. Частота коливань основи 22,5 Гц, ампл1туда коливань 5 мкм, сила тертя Р =8-105 Н, тангенц1альна жорстк1сть с = 6-1010 Н/м, а - часовий переб1г в1д 0 до 3 с; б - фрагмент вщ 0,106 до
0,207 с
а
б
Рис. 4. Фазов1 дiаграми перемщення тта 2 (а), тiла 3 (б)
Висновки
1. Представлена математична модель дина-мiчноl' системи поверхнi роздту двох тiл з вщок-ремленням контактно! област вiд деталi в цтому.
2. Отриманi еволюцiйнi оператори руху тiл.
3. Якюна картина фазових дiаграм може засв^ дчити про хаотичний рух тiл по основк
4. Визначена роль приконтактно'' областi, яка гасить високочастотнi коливання, що виникають в системi через тертя мiж поверхнями.
5. Використання технолопчних методiв обробки з метою досягнення вщповщноТ танген^ально''' жор-сткост поверхневого шару дасть можпивiсть усу-нути пошкодження вiд малоамплiтудного фретингу i пiтингу.
Список лiтератури
1. Шалапко Ю.И., Каплун В.Г., Гончар В.В.Лазер-ная обработка электроискровых покрытий для обеспечения фреттингостойкости// Вестник дви-гателестроения. №1, 2002. - С. 135-140.
2. Шалапко Ю.И., Камбург В.Г. Механика микроперемещений с трением в приложении вейв-лет-анализа// Труды международного симпозиума "Надежность и качество 2006", Пенза. 2006. - Т.2. - С. 293-297.
Поступила в редакцию 07.07.2006 г.
Представлена математическая модель динамического взаимодействия двух тел в присутствии третьего тела, через которое происходит непосредственный контакт и трение. Решается система двух дифференциальных уравнений, которые являются операторами эволюционного поведения контакта в условиях вибрационной тангенциальной нагрузки. Эволюционная модель позволяет через экспериментальные данные по относительному движению двух тел и упругие характеристики поверхностного слоя оценить реальные параметры малоамплитудного фреттинга.
Presented is a mathematical model of dynamic interaction of two bodies at presence of a third one through which direct contacting and friction occurs. The system of two differential equations is being solved which are operators of evolutional behavior of contact in conditions of vibrational tangential loading. Evolutional model enables to evaluate real parameters of low amplitude fretting through experimental data on relative motion of two bodies and rigid characteristics of surface layer.
—0219яянЬестникядвигателестроенияяй 4/т006 - 49 -
