CC BY
13
Буренин А.А., Ткачева А.В. Эволюция температурных напряжений в задаче Гадолина о сборке двухслойной упругопластиче-ской трубы // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. 2020. № 3. С. 20-31. DOI: 10.15593/perm.mech/2020.3.03
Burenin A.A., Tkacheva A.V. Evolution of temperature stresses in the Gadolin problem of assembling a two-layer elastoplastic pipe. PNRPUMechanics Bulletin, 2020, no. 3, pp. 20-31. DOI: 10.15593/perm.mech/2020.3.03
ВЕСТНИК ПНИПУ. МЕХАНИКА
№ 3,2020 PNRPU MECHANICS BULLETIN
https://ered.pstu.ru/index.php/mechanics/index
DOI: 10Л5593/perm.mech/2020.3.03 УДК 539.3
ЭВОЛЮЦИЯ ТЕМПЕРАТУРНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ В ЗАДАЧЕ ГАДОЛИНА О СБОРКЕ ДВУХСЛОЙНОЙ УПРУГОПЛАСТИЧЕСКОЙ ТРУБЫ
А.А. Буренин, А.В. Ткачева
Институт машиноведения и металлургии ДВО РАН, Комсомольск-на-Амуре, Россия
О СТАТЬЕ АННОТАЦИЯ
Работа направлена на решение задачи теории неустановившихся температурных напряжений, моделирующей операцию сборки двухслойной упругопластической трубы способом горячей посадки (задача Гадолина). Условие пластического течения принимается в форме кусочно-линейного условия максимальных приведенных напряжений (условие Иш-линского - Ивлева) с пределом текучести, параболически зависящим от температуры. Показано, что при решении механической части несвязной задачи теории температурных напряжений расчеты обратимых и необратимых деформаций и напряжений возможно провести численно-аналитически без обращения к приближенным процедурам вычисления и, следовательно, без дискретизации расчетных областей. Рассматривается последовательность возникновения и исчезновения разных областей пластического течения в зависимости от перехода напряженных состояний с одной грани поверхности нагружения (призмы Ивлева) на ее ребро и далее на иную грань при производстве сборки и последующем ее остывании. При разном выборе параметров задачи некоторые из отмеченных пластических областей могут не появляться. Однако других областей пластического течения, изменяя геометрию задачи, свойства материалов сборки и уровень нагрева, получить невозможно. В этом заключается полнота расчетов. Появляются и исчезают только такие пластические области, которые здесь схематически представлены.
В отличие от классического случая, заключающегося в равномерном нагреве внешней трубы, в данной статье рассматривается широко используемый на практике случай неравномерного нагрева внешней трубы с внутренней поверхности. При этом рассчитываются, а после учитываются необратимые деформации, зародившиеся в материале трубы до момента посадки. Приводится сравнение распределения остаточных напряжений, полученных при равномерном и не равномерном нагреве внешней трубы.
© ПНИПУ
Получена: 06 августа 2020 г. Принята: 29 сентября 2020 г. Опубликована: 09 ноября 2020 г.
Ключевые слова:
упругость, пластичность, температурные напряжения, кусочно-линейное условие пластического течения, сборка с натягом, горячая посадка.
© Буренин Анатолий Александрович - д.ф.-м.н., член-корр. РАН, г.н.с., e-mail: aaburenin@yandex.ru, : 0000-0003-4502-9547.
Ткачева Анастасия Валерьевна - к.ф.-м.н., с.н.с., e-mail: 4nansi4@mail.ru, : 0000-0003-1795-0021.
Anatoly A. Burenin - Doctor of Physics and Mathematics, Corresponding Member of the Russian Academy of Sciences, Chief Researcher, e-mail: aaburenin@yandex.ru, : 0000-0003-4502-9547. Anastasia V. Tkacheva - CSc of Physical and Mathematical Sciences, Senior Researcher, e-mail: 4nansi4@mail.ru, : 0000-0003-1795-0021.
Эта статья доступна в соответствии с условиями лицензии Creative Commons Attribution-NonCommercial 4.0 International License (CC BY-NC 4.0)
This work is licensed under a Creative Commons Attribution-NonCommercial 4.0 International License (CC BY-NC 4.0)
EVOLUTION OF TEMPERATURE STRESSES IN THE GADOLIN PROBLEM OF ASSEMBLING A TWO-LAYER ELASTOPLASTIC PIPE
A.A. Burenin, A.V. Tkacheva
Institute of Engineering and Metallurgy FEB RAS, Komsomolsk-on-Amur, Russian Federation
ABSTRACT
The work aims at solving the problem of the theory of unsteady thermal stresses simulating the assembling of the two-layer elastoplastic pipe using the shrink fit (Gadolin problem). The plastic flow condition is taken in the form of a piecewise linear condition of maximum reduced stresses (the Ishlinsky - Ivlev condition) with a parabolic yield point depending on temperature. It is shown that when solving the mechanical part of a disconnected problem of the theory of temperature stresses, the calculations of reversible and irreversible deformations and stresses can be carried out numerically, i.e. analytically without resorting to approximate calculation procedures and, therefore, without discretizing the computational domains. We present a diagram of the emergence and disappearance of plastic flow regions under the assembly conditions and its subsequent cooling. With a different choice of problem parameters, some plastic regions may not appear. However, it is impossible to obtain other areas of plastic flow by changing the geometry of the problem, properties of assembly materials, and the level of heating. This is the adequacy of the calculations. Only those plastic areas that are shown in the diagram appear and disappear.
In contrast to the classical case of uniform heating of the outer pipe, this article deals with a widely used case of an uneven heating of the outer pipe from the inner surface. In this case, irreversible deformations are calculated, and then taken into account, which originated in the pipe material before the moment of landing. A comparison of the distribution of residual stresses obtained during the uniform and non-uniform heating of the outer pipe is given. As a result, the interference with the uniform heating exceeds the interference formed with the non-uniform heating of the pipe.
© PNRPU
ARTICLE INFO
Received: 06 August 2020 Accepted: 29 September 2020 Published: 09 November 2020
Keywords:
elasticity, plasticity, temperature, voltage, piecewise linear plastic flow condition, the assembly with an interference fit, shrink fit.
Введение
Технологическая операция горячей посадки цилиндрических элементов конструкций остается достаточно используемой в ряду технологий сборки с натягом [1]. Еще в самом начале прошлого века А.В. Гадолин предложил в качестве средства повышения прочности стволов артиллерийских орудий использовать их двухслойными и предварительно напряженными, применяя как раз технологию их сборки способом горячей посадки. Такие стволы выдерживали повышенные давления пороховых газов без увеличения их массы, повышая тем самым прицельную дальность стрельбы.
Методическое обеспечение расчетов технологий сборки способом горячей посадки до настоящего времени базируется на теории температурных напряжений в термоупругих телах [1-3]. Необратимое деформирование исключается ввиду существенного повышения в таком случае сложности в расчетах. Действительно, процесс сборки с необходимостью включает в себя как активный процесс нагружения при нагревании, так и процесс разгрузки при остывании сборки. Расчетные области разделяются на области обратимого деформирования и области пластического течения, отделяемые продвигающимися упругопластическими границами, положения которых необходимо указать на каждом временном шаге расчетов. Более того, следует алгоритмически отслеживать моменты и места возникновения и исчезновения областей течения, формировать массивы неизменяющихся необратимых деформаций и исполь-
зовать их в расчетах напряжений при разгрузке и остывании, включая возникающие при этом повторные (обратные) пластические течения. Эти обстоятельства затрудняют использование в расчетах наработанных приближенных процедур (конечно-разностных, конечно-элементных), основанных на дискретизации расчетных областей. Только современные вычислительные возможности позволили решить ряд квазистатических задач теории неустановившихся температурных напряжений [4-10], включая задачи, связанные с моделированием операции горячей посадки [11-30].
Известно, что в теории пластичности определенный прогресс был достигнут при использовании кусочно-линейных условий пластического течения [20, 21]. Но применительно к квазистационарным задачам теории неустановившихся температурных напряжений встречаем здесь иную трудность. Д. Бленд, рассматривая задачу о нагреве трубы [22], заметил, что область течения может разделяться на части, где деформирование подчинено разным системам уравнений в зависимости от принадлежности напряжений различным граням и ребрам поверхности текучести. Поэтому число подвижных граничных поверхностей, разделяющих область деформирования на части, увеличивается; повышается и число разных расчетных областей, где приходится интегрировать различные системы уравнений и сопрягать такие расчеты на продвигающихся границах. Тем не менее в [17, 19] при использовании кусочно-линейного условия пластического течения максимальных касательных напряжений [21] (условий Треска - Сен-Вена-
на) было показано, что во всех возможных случаях одномерную систему уравнений в задаче посадки трубы на вал даже при зависимости предела текучести от температуры можно записать в перемещениях и проинтегрировать. Следующие на таком пути конечные соотношения позволяют представить напряжения и деформации в каждый рассчитываемый момент времени конкретными зависимостями от распределения температуры по элементам сборки в этот момент времени. Таким способом последовательными шагами расчетов по времени удается избежать необходимости приближенного решения с дискретизацией расчетных областей и отслеживать в каждый такой момент положения граничных поверхностей, включая моменты времени и места в теле их возникновения. Это оказывается справедливым [18] и в случае условия текучести максимальных приведенных напряжений (условие Ишлин-ского - Ивлева).
Здесь рассмотрим классическую задачу Гадолина о сборке горячей посадкой двухслойной трубы. Отличие от случая [19], рассмотренного ранее, будет заключаться, во-первых, в максимально возможном приближении постановочной части задачи к техническим производственным условиям, а именно: до момента посадки охватывающая труба индуктивно разогревается по своей внутренней поверхности и, следовательно, в момент посадки имеем уже неоднородное по радиусу распределение температуры (в отличие от [19]). Во-вторых, в качестве условия пластического течения вместо классических условий максимальных касательных напряжений (условий Треска - Сен-Венана), принимаемых в [17, 19], будем использовать также кусочно-линейное классическое условие пластического течения максимальных приведенных напряжений [20, 21] (условие Ишлинского - Ив-лева). Последнее вносит отличительные особенности [10] в методику расчетов. Новые области пластического течения могут в этом случае зарождаться не только на границах деформируемых тел, что неизменно отмечалось в условиях Треска - Сен-Венана [17, 19], но и внутри деформируемой области.
1. Соотношения математической модели. Постановка задачи
В задаче Гадолина о сборке двухслойной металлической трубы допущение о малости деформаций ев не
вызывает сомнений. Изменений формы деформируемых тел не происходит, а наибольшие объемные деформации задаются тепловым расширением по толщине труб. Тогда в прямоугольной декартовой системе координат в условиях изотропии в механических свойствах материала справедливы зависимости:
в,=2 (+ии )=+еч, (11)
= ( - 3аК (Т - Т.))+ 2цев..
Здесь ев., ер - обратимые (термоупругие) и необратимые (пластические) составляющие полных деформаций е.; и1 - компоненты вектора перемещений; X, ц, 2
К =Х+—ц - упругие постоянные; а - коэффициент
линейного расширения; Т , Т0 - текущая температура и температура свободного состояния тела (комнатная температура) соответственно. Второе соотношение из (1.1), где ст.. - компоненты тензора напряжений, называют законом Дюамеля - Неймана [2]. Его можно получить в качестве следствия закона сохранения энергии. Другим следствием этого закона является уравнение баланса энтропии; для плотности распределения энтропии 5 имеем
д(Р*)
1
1
д(
= -Ji,; +7ТСТ/ер Р
Т
Т 2
ёи ,
ёеР
(1.2)
Ж 7 Ж В (1.2) qj, Jj - компоненты векторов потока тепла и энтропии; , е. - компоненты вектора скорости
и тензора скоростей пластических деформаций. Последнее слагаемое в (1.2) задает производство энтропии в необратимом процессе теплопроводности, предпоследнее - за счет процесса роста пластических деформаций в условиях принадлежности напряжений поверхности / (ст.., к) = 0 (к - предел текучести) нагружения (текучести) в пространстве напряжений ст... Принимая условия принципа максимума Мизеса [20], имеем ассоциированный с поверхностью / (ст.., к ) = 0 закон пластического течения
ер =
ёер д/ (ст., к) —— = ' '; ф> 0. ё дст..
(1.3)
В качестве уравнения поверхности нагружения здесь будем использовать уравнение поверхности наклонной призмы Ивлева [21] в пространстве главных напряжений ст..
тах|ст,.-ст= 4к; ст= 1^ = 3( +ст2 +ст3). (1.4)
Заметим, что в качестве предела текучести к в (1.4) принимается предел текучести в опытах на чистый сдвиг. Его связь с температурой постулируем в виде
( Т _т
Т - Т
V р 10
(1.5)
Здесь к0 - предел текучести при комнатной температуре Т0; Тр - температура плавления материала. Со-
гласно (1.2) получаем уравнения теплопроводности. Для такой цели полагаем изотропию в теплофизических свойствах материала, закон теплопроводности принимаем в форме Фурье. Уравнение теплопроводности следует записать в этом случае в виде
50 А Я - = аА " - ÖS,
dt " h
+ (сл )
T - T
(1.6)
В (1.6) а - коэффициент температуропроводности; с, - удельная теплоемкость материала. Коэффициент связанности 5 для материала является малой величиной. Производством тепла за счет необратимого деформирования (последний слагаемый в (1.6)) будем также пренебрегать, считая его неизмеримо малым по сравнению с теплом, поступающим от внешних источников. В таком случае имеем несвязанную теорию, называемую теорией температурных напряжений.
Задача Гадолина является задачей сборки способом горячей посадки длинной трубы на такую же трубу. Чаще всего материалы труб одинаковы, но бывают и исключения. Перед посадкой охватывающую трубу Я < г < Я2 следует нагреть. При крупногабаритных
элементах сборки нагрев осуществляется подводом тепла к внутренней поверхности г = Я охватывающей трубы. Поэтому рассмотрим первоначально температурную часть задачи теории температурных напряжений. Распределение температуры в этой теории находится отдельно и предварительно. В цилиндрической системе координат г, ф, г уравнение теплопроводности при сделанных допущениях в (1.6) запишется в виде
0,t = а (0, „ + г-10г).
(1.7)
Здесь индексом после запятой обозначена частная производная по данной независимой переменной. Краевыми и начальными условиями для (1.7) при предварительном нагреве охватывающей трубы будут соотношения:
't (R t ) = q (t), >,г Rt) = Ъ0,
0(г,О) = 0
(1.8)
В (1.8) Х1 - коэффициент теплоотдачи от трубы в окружающую среду; он зависит от геометрии трубы, теплофизических свойств окружающей среды и др. Здесь будем считать ^ постоянным. Перед моментом посадки г = 4. подвод тепла к охватывающей трубе прекращается. Считаем, что в этот момент времени внутренний радиус охватывающей трубы Я оказывается равным внешнему радиусу охватываемой Я, (Я = Я1). Даже если это точно не выполняется, то выполнится за необходимо малое время до г за счет остывания охватывающей трубы и нагрева охватываемой. Тогда, начи-
(1.9)
ная с момента посадки, уравнение (1.7) следует дополнить условиями:
е(1) (г, 4, ) = я (г ) при Я1 < г < Я2, е(2) (г, 4 ) = 0 при Я0 < г < Я1,
е? (Я2, г ) = х.е(1), е(г2) (Яо, г ) = Х2 е(2), е(1) (я1, г) = е(2) (я1, г), (я„ г ) = ^ е(г2) (я„ г).
Здесь е(1), е(2) , , V2, Х1, Х2 - безразмерная температура, коэффициенты теплопроводности и коэффициенты теплоотдачи охватывающего и охватываемого элементов сборки соответственно; я (г) - рассчитанное в момент времени г = 4 распределение температуры по охватывающей трубе. Неизменность граничных Я2 и Я0 поверхностей сборки при нагревании в (1.9) связана с последовательным использованием допущения о малости деформаций.
Для расчетов распределений температуры численным решением задач (1.7)-(1.8) или (1.7)-(1.9) препятствий не существует. Имеем для этого ряд отработанных вычисленных алгоритмов и программ расчетов. Для целей настоящей работы удобны вычисления последовательными шагами по времени, так как именно такими шагами будут рассчитываться и напряженно -деформированные состояния. Далее будем считать, что в каждый рассматриваемый момент времени распределение температуры по материалам сборки известно (найдено) на каждом последовательном временном шаге расчетов.
2. Деформирование охватывающей трубы до момента посадки
Обратимся к схеме (рис. 1), где фиксируются возникающие и исчезающие области пластического течения. Данная схема эволюции областей пластического течения, диктуемая эволюцией напряженных состояний, является итогом расчетов. Приводим ее в начале изложения только с целью более ясного дальнейшего представления. Итак, с момента начала нагрева г = 0 материал трубы деформируется обратимо (термоупруго) (рис. 1, а) до некоторого (рассчитываемого) момента времени г = г1 > 0, когда на граничной поверхности г = Я трубы выполнится условие пластического течения в форме 2стг -стф -ст2 = 4к. На рис. 2 представлено
сечение поверхности текучести (1.4) девиаторной плоскостью стг +стф +ст2 = 0 . Грань поверхности текучести, указываемая на рис. 1, соответствует такому же отрезку прямой на рис. 2. Упругопластическая граница г = п (г) в своем продвижении (направление движения на рис. 1
указывается стрелками) по материалу трубы оставляет за собой область пластического течения Я < г < п1 (г).
В некоторый последующий момент времени г = г2 > г1 на упругопластической границе г = п1 (г) наряду с условием 2стг - стф - ст2 = 4к выполняется еще и условие стг +стф- 2ст2 = 4к, т.е. выполняются условия ребра призмы Ивлева. Расчеты показывают, что с момента г = г2 на поверхности г = п () рождаются две граничные поверхности (рис. 1, в). Одна из них г = п3 (г) является новой упругопластической границей
и, опережая г = п (г), движется далее к внешней поверхности трубы. Она оставляет за собой пластическую область п2 (г) < г < п (г), где течение происходит в соответствии грани стг + стф - 2ст2 = 4к призмы Ивлева. Граница г = п (г) этой области продолжает продвигаться по материалу, но теперь она оказывается граничной поверхностью, разделяющей область пластического течения. В таком же качестве выступает граничная поверхность г = п2 (г), которая движется в обратную сторону к внутренней поверхности трубы. Область пластического течения таким способом поверхностями
г = п (г) и г = п2 (г) разделяется на три части (см. рис.
1, в), в которых течение подчинено разным системам уравнений из-за того, что в них выполнены различные требования условий пластического течения.
Спустя некоторое время при г = гз > г2 поверхность
г = п2 (г) выходит на границу г = Я и одна из областей пластического течения исчезает (рис. 1, г). Деформирование с двумя Я < г < п (г) и п (г) < г < п3 (г) областями пластического течения продолжается далее до момента времени г = г4 > г3, когда нагрев прекращается.
За технологический промежуток времени от г = г4 до момента посадки г* пластическое течение в деталях сборки прекращается, но это процесс со своими знаковыми моментами времени. Так, в момент времени г = г4 на границе трубы г = Я зарождается и продвигается внутрь тела новая граничная поверхность г = п4 (г), которая, разделяя
область течения, оставляет за собой область, где течение происходит согласно условию стг + стф - 2ст2 = 4к, т.е.
в соответствие уже не ребру, а грани поверхности текучести (рис. 1, д). Быстро продвигаясь, граница г = п4 (г)
настигает поверхность г = п1 (г).
Рис. 1. Схема возникновения и исчезновения областей пластического течения в материале охватывающей трубы
Fig. 1. Diagram of the emergence and disappearance of plastic flow regions in the material of the enclosing pipe
Начиная с этого момента времени t = t5 > t4 во всей пластической области Я < г < п3 (t) течение происходит в соответствие грани аг + стф - 2а2 = 4к наклонной призмы, поверхность которой является поверхностью текучести в трехмерном пространстве аг, стф, а2. Последующий момент времени t = t6 > t5 (рис. 1, е)) порождает разгружающую упругопластическую границу г = п5 (). Продвигаясь, последняя встречает поверхность г = п3 (V) (она меняет направления движения) при t = > t6, и после этого пластические области исчезают, а материал охватывающей трубы во всем своем объеме деформируется обратимо.
Уже отмечалось, что расчеты проводим последовательными шагами по времени. Первоначально материал трубы деформируется обратимо. Для деформаций и напряжений согласно (1.1) в цилиндрических координатах имеем:
ер = в? = еР = 0; е = ее = и еф = еф = г-1и
г = ( + 2ц) ег + Яеф- 3аКТ09, ?=( + 2ц)е?+Хег - 3аКТ9, ^г = % + е?)- 3аК709.
(2.1)
Подстановка (2.1) в уравнение равновесия
аг,г + г-1 (аг -а?) = 0 (2.2)
приводит к обыкновенному (время t выступает в квазистатической задаче в качестве параметра) дифференциальному уравнению
5 [ 1 5 , Л аКТ0 59 —I —К) I=-0--.
5г Vг 5г ) Я + 2ц 5г
(2.3)
Полагая в рассматриваемый момент времени распределение температуры 9( г) известным (найденным
решением температурной задачи), после интегрирования (2.3) находим:
3аКТ0
х9(х,I)ск + 2С® (/)
С® (/)
г (Я + 2ц)г •
г
аг = (Я + ц)С® () - 2цг-2С® () - 6ацТ01х9 (х,I) с1х,
Я
а? = (Я + ц)С,(1) () + 2цг-2С2(1) () + (2.4)
+ 6ацК (Я + ц)-1 Т0 [ | х9 (х, г)с!х - 9 (г, г) ,
V я )
а2 = ЯС® (/) - 6ацК (Я + ц)-1 Г09 (х, г).
В рассчитываемый момент времени значения функций С1(1) (?) и С21) (?) находим, выполняя граничные
условия аг (Я, ?) = аг (Я2, ?) = 0. Наличие зависимос-
тей (2.4) позволяет обойтись при решении механической части задачи без дискретизации расчетной области и использования приближенных методов расчетов. Здесь покажем, что подобное справедливо для любых областей как пластического течения, так и обратимого деформирования при наличии накопленных необратимых деформаций.
Продолжая расчеты последовательными шагами по времени, приходим к моменту времени t = когда при
г = Я образуется область пластического течения с уп-
ругопластического границей г = пх (?). Соотношения
закона Дюамеля - Неймана задают зависимости:
аг = (Я + 2ц) (иг г - ерг) + Я (г-1иг - ефр - ер) - 3аКГ09, а? = ( + 2ц) (г> - е? ^ - ер - ер)- 339, (2.5)
аг = (Я + 2ц) (-е?) + Я (игг - е? + г-1иг - ефр) - 3аКГ09.
Необратимые деформации исключаются из (2.5) с помощью ассоциированного с гранью 2аг - а? - а2 = 4к поверхности текучести закона пластического течения. Таким способом уравнение равновесия (2.2) приобретает форму
5 и 1 5и ,2 и —2- +--- -
5г г 5г г
к =
2 [ 25к к ^ ^ 59
- + -!+ 3аТ0—, (2.6)
3К V 5г
3Я+5ц 3Я + 2ц.
5г'
Полагаем, что распределение температуры 9( г, ?)
в данный момент времени уже рассчитано. Интегрируя (2.6), найдем
иг (г, t) = 1,5к-1 ((к +1) Ф(г, 5,к) + (к -1) Ф(г, 5, -к)) + + (3Кк )-1 ((2к -1) Т (г, 5, к) - (2к +1) Т (г, 5, -к)) --(2кгк ) С(2) (t) + гкС22) (t), аг = 1,5К (кг)-1 (к2 -1) (Ф (г, 5, -к) - Ф (г, 5, к)) --(3кг )-1 ((к -1) (2к -1) Т (г, 5, к) + (к +1) (2к +1) Т (г, 5, -к)) + + (к -1) (2кгк+1 ) КС1(2) (t) + (к +1) (Л1) КС<2) ^), аф = -Т (г, 5, -к ))3Кгк )-1 (2к + 1) )К (к +1) + ц) --Т (г,5,к))3Кгк)-1 (2к -1)(К (1 - к) + ц) + + 1,5Ф(г,5,-к))к - 1))гк)-1 (К (к +1 ) + ц) + + 1,5Ф(г,5, к)(к + \)(гк)-1 (К (1 - к) + ц) --2к - (К (1 - к) + ц) (2Й/+1 )-1 С® (/) +
+ (К (к + 1) + ц)(гк-1 )С22) (/), ер = -2еф = 2аТ09 - 2 (2ц + Я) (3цК )-1 к + + (4к2 -1) (9Ккг)-1 (Т(г, 5,к) - Т(г, 5, -к)) -
(2.7)
+ (Ihr)-1 ((h -1) (2h -1) Ф (r, s, -h) - (h +1) (2h +1) Ф (r, s, h)) +
+ (2h +1) (6hrh+1 )-1 C® (t) + 3-1 (2h -l)(rh-1 )C22) (t). Ф(г, s, h) = aT0r-h j ph0(p)p; x¥(r,s,h) = r-h Jphk(p)p; s = R.
На каждом временном шаге расчетов теперь следует определить значения четырех функций С1 (t), С,1"1 (t),
С(2) (t), С2,2) (t) и положение в этот момент времени упругопластической границы n1 (t). Для этой цели имеем условия отсутствия напряжения ar на граничных поверхностях r = R и r = R2, а также условия непрерывности перемещения ur, напряжения ar на продвигающейся поверхности r = n1 (t) и выполнения на ней
условия пластического течения. Такую систему алгебраических соотношений приходится разрешать на каждом шаге расчетов. С появлением новых областей течения порядок подобной системы уравнений будет расти. Далее на этом останавливаться не будем, но заметим, что подобные значения и рассчитываемые положения поверхностей, делящих область деформирования на части, всегда имеют для своего определения необходимое число граничных условий и условий на продвигающихся граничных поверхностях.
После момента времени t = t2 область пластического течения разделяется уже на три части (см. рис. 1, в)). В части R < r < n2 (t) справедливыми остаются зависимости (2.7). Аналог (2.7) для области течения n1 (t) < r < n3 (t) следует записать, заменив уравнение
грани призмы текучести (призмы Ивлева) на иное -стг +стф - 2ctz = 4k (см. рис. 1, 2). Эти действия не несут
в себе дополнительных сложностей и позволяют записать
ur =- 3К ((r, s,1) + *(r, s,-1)) +
+ ЗФ(г,s,1) + -^C? (t) + ^,
ar =-j- T(r, s,-1) + С1(3) (t ),
СТф=-32^(r,s,-1)-jk(r) + С(3) (t),
az =- J!: Q(r, s,-1)-3 k (r ) + С(3) (t ), epr = -3r-1Ф(г,s,1) + 2aT00(r)- 2(K^k(r) +
+32k (s,1)-3-1 T(r,s,-1)) +
+ C1(3) (t) c2(3) (t) ()
+---^-Pr (r),
6K r2 rV 7
4 ч 2 (3K + 2ц)
ep =-Y(r, s,-1)+^-^ k (r ) -
ф 9 Kr 9цК
(2.8)
/4 Cf (t) - a7O0 (r )--Ш - рф(г ),s = ).
3K
Рис. 2. Сечение поверхности текучести в девиаторной плоскости
Fig. 2. The cross section of the fluidity surface in the deviator plane
В области n2 (t) < r < n (t) пластическое течение
происходит в соответствие напряжений ребру поверхности текучести в пространстве главных напряжений (см. рис. 2). Оно образовано пересечением граней 2стг -стф -az = 4k и стг +стф - 2ctz = 4k. На этом ребре
призмы Ивлева стг -стф = 4/3k. Уравнение равновесия (2.2) в данном случае интегрируется (задача оказывается статически определимой). Ассоциированный закон пластического течения вместе с условиями пластичности приводят к зависимостям:
U =Ф(г, 5,1)--—2--¥(r, 5,1) +
К + ц
3(К + ц)
C24) (t )
+ ± rC(4) (t) + 2 1 W r
Tr = /ц 4y(r, s,1)--76ц—г Ф(:, s,1) +
r 3r (К + ц) V ' r (К + ц) V '
+kc;"(, )-МЩ,
аф =
4ц
3 (К + ц)
k (r ) -
Y(r, s,1)
(2.9)
6цК
Ф(:, s,1)
-aTo0(r )
К + ц^ r
+^ (t )+,
в! (г, г) = ^к ч е(г)- х/2цч к (г)+1 с™ (г), гУ ' 2(К + ц) 3ц(К + ц) 6 1
s = п1 (г).
Зависимости (2.9) включают в себя необратимые деформации рг (г) и рф (г), которые были накоплены
r
+
в условиях пластического течения, предваряющего течение в соответствие ребру поверхности текучести максимальных приведенных напряжений. Перед продвигающейся поверхностью г = п (?) течение осуществляется при соответствии напряжений грани аг + аф - 2а, = 4к наклонной призмы Ивлева, а перед
поверхностью г = п2 () - грани 2аг - аф - а, = 4к этой
призмы. Таким образом, рг (г) и рф (г) в области
п2 (?) < г < п (?) являются пластическими деформациями, произведенными в условиях течения при 2аг - аф - а, = 4к до момента времени г = С > t2, когда
данной поверхности достигает граница г = п2 (). Иначе рг (г) = ер (г,/*), рф(г) = ефр (г,/*) и t* является моментом прихода в данную точку материала упругопла-стической границы. Это разные моменты времени для разных точек тела. Далее при t > t эти накопленные пластические деформации со временем не меняются. В иных условиях пластического течения, в данном конкретном случае в условиях соответствия напряжений ребру поверхности текучести, рг (г) и рф (г) предстают в качестве начальных условий для дальнейшего изменения со временем ер (г,?) и еф (г,?) в области
п2 (?) < г < п (?). Это же относится к области течения п1 (?) < г < п3 (?). Алгоритм расчетов должен предусмотреть способ формирования подобных массивов, не изменяющихся со временем необратимых деформаций, и их использование в дальнейших расчетах. Далее на подобной операции специально останавливаться не будем; она всегда имеет место, если только граничная поверхность движется в область, где пластическое течение происходило. Это касается и разгружающих упругопластических границ. Несмотря на то, что за такими поверхностями деформирование обратимо, происходит оно в присутствии неизменяющихся необратимых деформаций. Соотношения (2.1) и (2.3) в таком случае обязаны содержать слагаемые, задаваемые такими деформациями.
Соотношения (2.7)-(2.9) включают в себя шесть неизвестных функций времени С1(2), с22), с1(3), с23), с1(4), с1-4-1. К ним необходимо добавить еще с1(1), с21-1, п1 , п2, п3 . Следовательно, на каждом шаге расчетов, исходя из граничных условий и условий на продвигающихся поверхностях, делящих область пластического течения, требуется сформировать и разрешить систему 11 алгебраических уравнений.
Последующие расчеты покажут, что поверхность г = п2 () перемещается быстрее остальных и достигает
границы трубы г = Я в некоторый момент времени t = t3 (рис. 1, г). При t > t3 остаются три области де-
формирования. В области п3 (?) < г < Я2 материал деформируется обратимо в соответствии с зависимостями (2.4). В областях п2 (?) < г < п3 (?) и Я < г < п (?) справедливы зависимости (2.8) и (2.9) соответственно. При таком продолжающемся деформировании трубы удается достичь температуры на поверхности г = Я, определенной техническими условиями операции сборки горячей посадкой. Нагревание прекращается, и за время подготовки операции посадки происходят процессы, связанные с разгрузкой материала трубы. На рис. 1 быстрый процесс разгрузки иллюстрируется промежутком времени от момента времени t = когда нагрев прекращается, до момента посадки t = ^ > . Расчетами установлено, что в момент времени t = t4 от граничной поверхности г = Я отделяется и распространяется по материалу поверхность г = п5 ^). Вслед за моментом исчезновения
пластической области п5 (¿) < г < п3 (I) на поверхности г = Я образуется разгружающая упругопластическая граница г = п6 (^), которая в своем последующем движении (см. рис. 1) оставляет за собой область обратимого деформирования Я < г < п6 (I). Из-за наличия в этой
области неизменяющихся пластических деформаций зависимости (2.1) и (2.4) оказываются несправедливыми. Следует получить интегрированием уравнения равновесия новые зависимости, учитывающие накопленные прежде необратимые деформации. В отличие от (2.3) уравнение равновесия в области Я < г < п6 (теперь принимает форму
д_
5г
1 5( гиг)
5г
аКТ0 59
2ц
Я + 2ц5г (Я + 2ц)г
Я 5
(г - рф)~
5рг + +
5г Я + 2ц 5г
(г + рф),
(2.10)
рг (г) = еРг (г, ^); рф (г) = ефр (г, t*); А (г) = ер (г ^).
Интегрированием (2.10) получаем распределение перемещения иг в зависимости от распределения температуры в рассчитываемый момент времени и, следовательно, распределения в этот момент времени деформаций и напряжений. Из-за громоздкости этих конечных зависимостей здесь их не выписываем. На каждом шаге таких расчетов, как и всюду ранее, приходится пересчитывать значения постоянных, появившихся после интегрирования (2.10), и положения продвигающихся граничных поверхностей.
3. Деформирование после момента посадки
Моментом посадки считаем последующий момент времени / = /8 = /* (рис. 3, ж)), когда внутренний ради-
ус охватывающей трубы равен внешнему радиусу охватываемой ( R = R1 ). Первоначально при t > t сборка
деформируется обратимо согласно уравнениям равновесия (2.10) для охватывающего и (2.3) для охватываемого элементов сборки. Но на некотором последующем шаге расчетов t = t9 на границе r = R1 охватывающей трубы зарождается повторное (обратное) пластическое течение в условиях грани 2ar - аф - az = -4k призмы
Ивлева (рис. 3, б). Уравнение равновесия в области повторного пластического течения R1 < r < «6 (t), где
r = n6 (t) - уравнение продвигающейся упругопластической границы, будет вполне аналогично (2.10), если в нем учесть обратность пластического течения (изменение знака правой части в условии течения). Проинтегрировав его, найдем
иг = 1,5 h-1 ((h +1) ©(r, s, h ) + (h -1 ) ©(r, s, -h )) -- (3Kh)-1 ((2h -1) Q (r, s, h) + (2h +1) Q (r, s, -h)) + +^2Kh)-1 (Тф (r, s, -h) - Тф (r, s, h ) + +Tz (r, s, -h)-Tz (r, s,h))-(2hrh ) C1(6) (t)+ rhC(f) (t);
ar = 1,5K (hr)-1 (h2 -1) (© (r, s, -h)-©(:, s, h)) + + (3hr)-1 ((A - 1)(2h - 1)Q(r,s,h)--(h + 1)(2h + 1)Q(r, s, -h )) + + ц(h +1) (Ihr)-1 (Tz (r, s, -h) - Тф (r, s, -h)) + + ц( -1)(Ihr)-1 (Тz (r, s, h) - Тф (r, s, h)) + + (h -1) (2hrh+1 )-1 КС(6) (t) + (h + 1)(/-1 )KC2(6) (t)
(3.1)
стф = П (г, 5, -А) (3КгА )-1 (2А +1) (кК (А +1) + ц) +
+ п(г, 5, А )(3КгА )-1 (2А - 1)(к (1 - А ) + ц) + ц(р2 - Рф) +
+ ((г (г, 5, -А) - Тф (г, 5, -А)) (3КгА)-1 (2А +1) х
х(( (А +1) + ц) + (ф (г, 5, А) - Тг (г, 5, А)) х
х (3КгА)-1 (2А -1) (К (1 - А) + ц) +
+ 1,5© (г, 5, -А) (А -1) (гА)-1 (К (А +1) + ц) +
+ 1,5 ©(г, 5, А ) (А +1) (гА)-1 (К (1 - А ) + ц) -
- 2к -(К (1 - А) + ц) (Аг^1 )-1 С(6) (г) +
+ (К(А + 1) + ц)(гА-1 )С26) (г);
ер =-2вр = 2е + 2(2ц + Х)(3цК)-1 к -(4А2 - 1)х
х(9КАг )-1 (П(г, 5, А )-П(г, 5, -А )) +
+ (2Аг)-1 ((А -1) (2А -1) © (г, 5, -А) -
-(А +1)(2А +1)©(г,5,А)) + (2А +1)) С(6) (г) +
+ 3-1 (2А -1) (гА-1) С26) (г)- рг +ц(2А -1) (6гАК)-1 х
х(Т2 (г,5,-А)-Тф(г,5,-А)) +
+ ц(2А +1) (6гАК)-1 ((г (г, 5, А) - Тф (г, 5, А)).
Последовательность появления и исчезновения областей пластического течения представлена схематически на рис. 3, а—ж вместе с характерными моментами
времени (?8 - г14). Стрелками указаны направления
движения упругопластических границ. Необратимое деформирование охватываемой детали сборки начинается в момент расчетов г10 > г9 и связано с выполнением условия 2стг - а -аг = 4к.
Рис. 3. Схема возникновения и исчезновения областей пластического течения в условиях сборки
и последующего ее остывания
Fig. 3. Scheme of the appearance and disappearance of plastic flow regions under assembly conditions and its subsequent cooling
Зависимости распределения напряжений и деформаций от распределения температуры в каждый момент времени даются формулами (2.7), в которых следует принять
5 = п7 (?). Такие зависимости для области п8 () < г < Я1
аналогичны и следуют после интегрирования уравнения вида (2.10). Следовательно, какие бы области пластического течения ни появлялись, всегда можно получить конечные зависимости, связывающие в каждый рассчитываемый момент времени распределения температуры с распределением по сборке деформаций и напряжений.
На рис. 4 показано распределение напряжений в текущий момент времени ? б(10, ^). С целью полноты
расчетов, когда учитывается возникновение всех возможных областей пластического течения, геометрические размеры и термомеханические постоянные материалов элементов сборки были выбраны следующими: Я = 0,06 м, Я1 = 0,08 м, Я2 = 0,1 м; для охватывающей
детали сборки р = 2,8 -103 кг/м3, ср = 0,922 кДж/(кгК), Х = 10 Вт/(м2К), ф = 130 Вт/(мК), Е = 72 ГПа, у = 0,3, к = 255 МПа, Тр = 660 °С; для охватываемой трубы р = 2,7 -103 кг/м3, ср = 0,903 кДж/(кгК), х = 10 Вт/(м2К), ф = 188 Вт/(мК), Е = 70 ГПа, у = 0,3, к = 210 МПа, Тр = 660 °С.
Рис. 4. Распределения напряжений в материале сборки Fig. 4. Stress distributions in the material of the assembly
Сплошной линией на рис. 4 обозначена безразмерная компонента напряжений стг, штриховой - стф,,
штрихпунктирной - ctz . Эти обозначения сохраняются
и для рис. 5, 6. На рис. 5 показано распределение остаточных напряжений в случае, когда нагревом на внутренней поверхности охватывающей трубы достигалась температура T = 400 °С. Для сравнения на рис. 6 указывается распределение по сборке остаточных напряжений, когда до посадки температура по охватывающей
детали распределена однородно T (r) = 400 °С - const.
Натяг в сборке в рассматриваемом случае оказался значительно меньшим и равным 41 МПа. В случае однородного нагрева (см. рис. 6) натяг в сборке 83 МПа.
Для обеспечения последнего в рассматриваемом случае требуется более интенсивный нагрев поверхности r = R.
2 1,5 I
0.5 0
-0,5 0(.6 0,2______
-1
0.9
-1,5
Рис. 5. Распределения остаточных напряжений в материале сборки
Fig. 5. Residual stress distributions in the assembly material
При ином выборе параметров задачи некоторые пластические области могут не появляться. Однако других областей пластического течения, изменяя геометрию задачи, свойства материалов сборки и уровень нагрева, получить невозможно. В этом заключается полнота расчетов. Появляются и исчезают только такие пластические области, которые представлены на рис. 1, 2.
1.5 1
0,5 о
-0,5 -1 -1,5
---------
6 0",7....."О- 8 0,9 1
Рис. 6. Распределения остаточных напряжений в материале сборки
Fig. 6. Residual stress distributions in the assembly material
Заключение
Полученное решение задачи Гадолина для упруго-пластических материалов элементов сборки является численно-аналитическим. В рассмотренном случае возможно записать решение в аналитической форме. Для этого достаточно записать в аналитическом виде решение температурной части задачи, что в данном случае возможно, и воспользоваться аналитическими зависимостями, которые здесь получены. Однако в таком случае для каждого временного промежутка, на которые разбивается технологическая операция (см. рис. 1, 3), имели бы набор необозримых зависимостей и формул, анализировать которые снова пришлось бы численно. Следовательно, предложенный метод расчетов последовательными шагами по времени позволяет избежать
утомительных аналитических расчетов. С другой стороны, таким способом удается обойтись без использования приближенных методов расчета, опирающихся на дискретизацию расчетных областей. В условиях изменяющихся границ расчетных областей, появления новых областей пластического течения и исчезновения старых потребуются специальные алгоритмические приемы, позволяющие отслеживать эти изменения, что приводит к усложнению приближенных методов (сеточных, конечно-элементных) расчетов.
Важно отметить, что полученное численно-аналитическое решение является полным, поскольку иных (новых) областей пластического течения в рамках описанной постановки задачи появиться не может. Однако при других условиях в геометрии элементов сборки, степени нагрева, механических свойствах материалов некоторые пластические области могут не появиться. При нагреве охватывающей трубы, обеспечивающем требуемый натяг в сборке, проявляется повторное (обратное) пластическое течение для всех исследуемых конструкционных материалов как в рамках условия пластич-
Библиографический список
1. Берникер Е.И. Посадка с натягом в машиностроении. -Л.: Машиностроение, 1966. - 168 с.
2. Боли Б., Уэйнер Дж. Теория температурных напряжений. - М.: Мир, 1964. - 517с.
3. Карноухов В.Г. Связанные задачи термоупругости. -Киев: Наукова думка, 1982. - 206 с.
4. Lippmann H. The effect of a temperature cycle on the stress distribution in a shrink fit // Intern. J. Plasticity. - 1992. -Vol. 8. - P. 567-582.
5. Гаффаров Р.Ф., Щенятский А.В. Применение метода конечных элементов для повышения нагрузочной способности соединений, собираемых термическим методом // Высокие технологии. - 2004. - Вып. 3. - С. 162-167.
6. Александров С.Е., Ломакин Е.А., Дзенг Й.-Р. Решение термоупругопластической задачи для тонкого диска из пластически сжимаемого материала, подверженного термическому нагружению // ДАН. - 2012. - Т. 443, № 3. - С. 310-312.
7. Александров С.Е., Лямина Е.А., Новожилова О.В. Влияние зависимости предела текучести от температуры на напряженное состояние в тонком полом диске // Проблемы машиностроения и надежности машин. - 2013. - № 3. - С. 43-48.
8. Шевченко Ю.Н., Стеблянко П.А., Петров А.Д. Численные методы в нестационарных задачах теории термопластичности // Проблемы вычислительной механики и прочности конструкций. - 2014. - Вып. 22. - С. 250-264.
9. Буренин А.А., Дац Е.П., Мурашкин Е.В. Формирование поля остаточных напряжений в условиях локального теплового воздействия // Изв. РАН МТТ. - 2014. - № 2. - С. 124-131.
10. Температурные напряжения в упругопластической трубе в зависимости от выбора условия пластичности / Е.П. Дац, Е.В. Мурашкин, А.В. Ткачева, Г.А. Щербатюк // Изв. РАН. МТТ. - 2018. - № 1. - С. 32-43.
11. Gamer U.F. concise treatment of the shrink fit withelastic plastic hab // Int. J. Solids. Struct. - 1992. - Vol. 29. -P. 2463-2469.
12. Mack W. Thermal assembly of an elastic-plastic hub and a solid shaft // Arch. Appl. Mech. - 1993. - Vol. 63. - P. 42-50.
13. Bengeri M., Mack W. The influence of the temperature dependence of the yield stress on the stress distribution in a
ности Ишлинского - Ивлева, так и при условии пластического течения Треска - Сен-Венана.
Если отказаться от использования кусочно-линейного условия пластического течения, т.е. принять в таком качестве гладкую поверхность нагружения, например условие пластичности Мизеса, то получить аналитическое или численно-аналитическое решение невозможно. В этом случае такой альтернативы приближенным численным методам не существует [8, 12-14]. В любом случае предложенный способ расчетов может использоваться в качестве тестового при отладке программ приближенных расчетов.
Благодарности
Работа выполнена в рамках государственного задания ХФИЦ ДВО РАН.
Acknowledgments
The work was supported within the State Assignment of Khabarovsk Federal Research Center, FEB RAS.
thermally assembled elastic-plastic shrink fit // Acta Mechanica. -1994. - Vol. 103. - P. 243-257.
14. Kovacs А. Residual Stresses in Thermally Loaded Shrink Fits. Periodica Polytechnica. Ser. Mech. Eng. -1996 -Vol. 40, № 2. - P. 103-112.
15. Дац Е.П., Ткачева А. В., Шпорт Р. В. Сборка конструкции «кольцо в кольце» способом горячей посадки // Вестник ЧГПУ им. И.Я. Яковлева. Серия: Механика предельного состояния. - 2014. - № 4(22). - С. 204-213.
16. Дац Е. П., Ткачева А.В. Технологические температурные напряжения в процессах горячей посадки цилиндрических тел при учете пластических течений // ПМТФ. -2016. -Т. 57, № 3(337). - С. 208-216.
17. Буренин А.А., Ткачева А.В., Щербатюк Г.А. К расчету неустоявшихся температурных напряжений в упруго-пластических телах // Вычислительная механика сплошных сред. - 2017. - Т. 10, № 3. - С. 245-259.
18. Буренин А.А., Матвеенко В.П., Ткачева А.В. Температурные напряжения в процессе сборки двухслойного вала способом горячей посадки // Ученые записки Комсомольского-на-Амуре государственного технического университета. -2018. - № 3 (35). - С. 31-41.
19. Буренин А.А., Ткачева А.В. О сборке двухслойной металлической трубы способом горячей посадки // Изв. РАН. МТТ. - 2019. - № 3. - С. 86-99.
20. Быковцев Г.И., Ивлев Д.Д. Теория пластичности. -Владивосток: Дальнаука, 1998. - 528 с.
21. Ишлинский А. Ю., Ивлев Д.Д. Математическая теория пластичности. - М.: Физматлит, 2001. - 704 с.
22. Bland D.R. Elastoplastic thick-walled tubes of work-hardening material subject to internal and external pressures and to temperature gradients // J. of the Mechanics and Physics of Solids. - 1956. - Vol. 4. - P. 209-229.
23. Sen S., Aksakal B. Stress analysis of interference fitted shaft-hub system under transient heat transfer conditions // Materials and Design. - 2004. - Vol. 25. - P. 407-417.
24. Stress analysis of shrink-fitted joints for various fit forms via finite element method / A. Ozel, S. Temiz, M. Demir Aydin, S. Sen // Materials and Design. -2005. - Vol. 26. - P. 281-289.
25. Truman C.E., Booker J.D. Analysis of a shrink-fit failure on a gear hub/shaft assembly // Engineering Failure Analysis. -2007. - Vol. 14. - P. 557-572.
26. Antoni N., Gaisne F. Analytical modelling for static stress analysis of pin-loaded lugs with bush fitting //Applied Mathematical Modelling. - 2011. -Vol. 35. - P. 1-21.
27. Apatay T., Arslan E., Mack W. Effects of homogeneous and inhomogeneous heating on rotating shrink fits with annular inclusion and functionally graded hub // Journal of thermal stresses. - 2019. - Vol. 42, № 11. - P. 1458-1479.
References
1. Berniker E.I. Posadka s natiagom v mashinostroenii [An interference fit in mechanical engineering]. Mashinostroenie, Leningrad, 1966, 168 p.
2. Pain B., Weiner J. Teoriia temperaturnykh napriazhenii [Theory of thermal stress]. Moskva, Mir, 1964, 517 p.
3. Karnoukhov V.G. Sviazannye zadachi termouprugosti [Related problems of thermoelasticity]. Kiev, Naukova dumka, 1982, 206 p.
4. Lippmann H. The effect of a temperature cycle on the stress distribution in a shrink fit. Intern. J. Plasticity, 1992, vol. 8, pp. 567-582.
5. Gaffarov R.F., Schenyatsky A.V. Primenenie metoda konechnykh elementov dlia povysheniia nagruzochnoi sposobnosti soedinenii, sobiraemyi termicheskim metodom [The use of the finite element method to increase the load capacity of compounds assembled by the thermal method]. Vysokie tekhnologii, 2004, iss, 3, pp. 162-167.
6. Aleksandrov S.E., Lomakin E.A., Dzeng I.-R. Reshenie termouprugoplasticheskoi zadachi dlia tonkogo diska iz plasticheski szhimaemogo materiala, podverzhennogo termi-cheskomu nagruzheniiu [Thermoelastoplastic problem solution for a thin disc made of a plastically compressible material subjected to thermal loading] DAN, 2012, vol. 443, no 3, pp. 310-312.
7. Aleksandrov S.E., Liamina E.A., Novozhilova O.V. Vliianie zavisimosti predela tekuchesti ot temperatury na napriazhennoe sostoianie v tonkom polom diske [The effect of the dependence of yield strength on temperature on the stress state in a thin hollow disk]. Problemy mashinostroeniia i nadezhnosti mashin, 2013, no 3, pp. 43-48.
8. Shevchenko Iu.N., Steblianko P.A., Petrov A.D. Chislen-nye metody v nestatsionarnykh zadachakh teorii termoplasticnosti [Numerical methods in non-stationary problems of the theory of thermoplasticity]. Problemy vychislitel'noi mekhaniki i prochnosti konstruktsii, 2014, vol. 22, pp. 250-264.
9. Burenin A.A., Dats E.P., Murashkin E.V. Formirovanie polia ostatochnykh napriazhenii v usloviiakh lokal'nogo teplovogo vozdeistviia [Formation of the field of residual stresses under conditions of local heat exposure]. Izv. RAN MTT, 2014, no 2, pp. 124-131.
10. Dats E.P., Murashkin E.V., Tkacheva A.V., Scherbatyuk G.A. Temperaturnye napriazheniia v uprugoplasticheskoi trube v zavisimosti ot vybora usloviia plastichnosti [Temperature stresses in an elastoplastic pipe depending on the choice of the plasticity condition]. Izv. RAS. MTT, 2018, no. 1, pp. 32-43.
11. Gamer U. F. concise treatment of the shrink fit withelastic plastic hab. Int. J. Solids. Struct., 1992, vol. 29, pp. 2463-2469.
12. Mack W. Thermal assembly of an elastic-plastic hub and a solid shaft. Arch. Appl. Mech., 1993, vol. 63. pp. 42-50.
13. Bengeri M., Mack W. The influence of the temperature dependence of the yield stress on the stress distribution in a thermally assembled elastic-plastic shrink fit. Acta Mechanica, 1994, vol. 103, pp. 243-257.
14. Kovacs A. Residual Stresses in Thermally Loaded Shrink Fits. Periodica Polytechnica. Ser. Mech. Eng., 1996, vol. 40, no. 2, pp. 103-112.
15. Dats E.P., Tkacheva A.V., Shport R.V. Sborka konstruktsii «kol'tso v kol'tse» sposobom goriachei posadki [Shrink fit ring-in-ring assembly]. Vestnik ChGPU im. I. Ia. Iakovleva, seriia: mekhanika predel'nogo sostoianiia, 2014, no. 4(22), pp. 204-213.
28. Dolezel I., Kotlan V., Ulrych B. Design of joint between disk and shaft based on induction shrink fit // Journal of Computational and Applied Mathematics. - 2014. - Vol. 270. -P. 52-62.
29. Siemiqtkowski Z., Rucki M., Lavrynenko S. Investigations on the modeled shrink fitted joints of assembled crankshafts // J. Mach. Constr. Maint. -2018. - Vol. 108. - P. 33-44.
30. Apatay T., Arslan E., Mack W. Thermally loaded elastic-plastic shrink fit with FGM-Hub // Proc. Appl. Math. Mech. -2017. - Vol. 17, № 1. - P. 285-286.
16. Dats E.P., Tkacheva A.V. Technological thermal stresses in the shrink fitting of cylindrical bodies with consideration of plastic flows. Journal of Applied Mechanics and Technical Physics, 2016, vol. 57, no 3, pp. 569-576.
17. Burenin A.A., Tkacheva A.V., Scherbatyuk G.A. K raschetu neustoiavshikhsia temperaturnykh napriazhenii v uprugoplasticheskikh telakh [To the calculation of unstable temperature stresses in elastoplastic bodies]. Vychislitel'naia mekhanika sploshnykh sred, 2017, vol. 10, no. 3. pp. 245-259.
18. Burenin A.A., Matveenko V.P., Tkacheva A.V. Tempe-raturnye napriazheniia v protsesse sborki dvukhsloinogo vala sposobom goriachei posadki [Temperature stresses in the process of assembling a two-layer shaft by means of a hot landing]. Uchenye zapiski Komsomol'skogo-na-Amure gosudarstvennogo tekhnicheskogo universiteta, 2018, no. 3 (35). pp. 31-41.
19. Burenin A.A., Tkacheva A.V. O sborke dvukhsloinoi metallicheskoi truby sposobom goriachei posadki [On the assembly of a two-layer metal pipe by the method of hot landing]. Izv. RAS. MTT, 2019, no. 3, pp. 86-99.
20. Bykovtsev G.I., Ivlev D.D. Teoriia plastichnosti [Theory of plasticity]. Vladivostok, Dal'nauka, 1998, 528 p.
21. Ishlinsky A.Yu., Ivlev D.D. Matematicheskaia teoriia plastichnosti [The mathematical theory of plasticity]. Moscow, Fizmatlit, 2001, 704 p.
22. Bland D. R. Elastoplastic thick-walled tubes of work-hardening material subject to internal and external pressures and to temperature gradients. J. of the Mechanics and Physics of Solids, 1956, vol. 4, pp. 209-229.
23. Sen S., Aksakal B. Stress analysis of interference fitted shaft-hub system under transient heat transfer conditions. Materials and Design, 2004, vol. 25, pp. 407-417.
24. Ozel A., Temiz S., Demir Aydin M., Sen S. Stress analysis of shrink-fitted joints for various fit forms via finite element method. Materials and Design, 2005, vol. 26, pp. 281-289.
25. Truman C.E., Booker J.D. Analysis of a shrink-fit failure on a gear hub/shaft assembly. Engineering Failure Analysis, 2007, vol. 14, pp. 557-572.
26. Antoni N., Gaisne F. Analytical modelling for static stress analysis of pin-loaded lugs with bush fitting. Applied Mathematical Modelling, 2011, vol. 35, pp. 1-21.
27. Apatay T., Arslan E., Mack W. Effects of homogeneous and inhomogeneous heating on rotating shrink fits with annular inclusion and functionally graded hub. Journal of thermal stresses, 2019, vol. 42, no. 11, pp. 1458-1479.
28. Dolezel I., Kotlan V., Ulrych B. Design of joint between disk and shaft based on induction shrink fit. Journal of Computational and Applied Mathematics, 2014, vol. 270, pp. 52-62.
29. Siemiqtkowski Z., Rucki M., Lavrynenko S., Investigations on the modeled shrink fitted joints of assembled crankshafts. J. Mach. Constr. Maint., 2018, vol. 108, pp. 33-44.
30. Apatay T., Arslan E., Mack W. Thermally loaded elastic-plastic shrink fit with FGM-Hub. Proc. Appl. Math. Mech, 2017, vol. 17, no. 1, pp. 285-286.
