CC BY
35
МЕХАНИКА. Механика деформируемого твердого тела
DOI.org/10.5281/zenodo.2008644 УДК 539.3
М.А. Барботько
МАКСИМ АНДРЕЕВИЧ БАРБОТЬКО - аспирант, e-mail: [email protected] Кафедра гидротехники, теории зданий и сооружений Инженерной школы Дальневосточный федеральный университет Суханова ул., 8, Владивосток, 690091
Численное моделирование термических напряжений и деформаций в цилиндре с упругопластической оболочкой и вязкоупругим заполнителем
Аннотация: В данной работе численно решена задача деформирования упругопластическо-го цилиндра при горячей посадке на вязкоупругий вал. Задача записана для нестационарного изменения температуры, с использованием предположения об обобщенном плоском деформируемом состоянии в системе вал-цилиндр. Учет накопления необратимых пластических деформаций в цилиндре проводился методом дополнительных деформаций. Поверхность текучести задана уравнением Губера-Мизеса. Вязкоупругопластическое деформирование вала описывается уравнениями Больцмана-Вольтерра.
Ключевые слова: температурные напряжения, пластические деформации, термовязкоупругопла-стические напряжения и деформации, осесимметричный составной цилиндр, горячая посадка.
Введение
Сложность моделирования свойств и напряженного состояния сложных составных деталей, получаемых методами температурной обработки, например методом горячей посадки, обусловлена разным характером деформирования соединяемых деталей [3, 9, 10]. Материалы, из которых методом горячей посадки изготавливаются новые слоистые композиты, такие как биметаллы, триметаллы и стеклометаллические трубы, обладают комплексом новых свойств, которые зависят от характера деформирования, уровня остаточных напряжений и от накопления необратимых деформаций. Вместе с тем задачи по определению термических напряжений и деформаций в условиях нелинейной зависимости свойств от температуры в слоистых конструкционных материалах практически не имеют аналитических решений, несмотря на постоянный интерес исследователей [1, 6, 11, 12, 14, 15]. Поэтому актуальна разработка качественных и приближенных аналитических методов исследования математических моделей для технологий тепловой обработки слоистых конструкционных материалов и сопряженных систем деталей с учетом возникающих областей пластического деформирования и изменения их границ.
Цель данной статьи - разработка численной модели для определения термовязкоупру-гопластических напряжений и деформаций в осесимметричном составном цилиндре при условии неравномерного изменения температуры по радиусу цилиндра.
Постановка задачи
Рассматривается задача изменения напряженно-деформированного состояния после горячей посадки цилиндра, предварительно значительно нагретого, на холодный вал (рис. 1).
© Барботько М.А., 2018
О статье: поступила 23.10.2018; финансирование: бюджет ДВФУ.
Рис. 1. Составной цилиндр: I - вязкоупругий материал; II - упругопластический материал.
При математическом моделировании мы выдвигаем следующие гипотезы:
• тепловой поток в процессе нагрева и выдержки намного превосходит тепловую энергию деформирования, поэтому используется несвязная задача термодеформирования, т.е. последовательно решаются задачи по определению распределения температуры при теплообмене в системе цилиндр-вал, затем решается краевая задача определения напряженно-деформированного состояния для конструкции, состоящей из термовязкоупругого вала и термоупругопластического цилиндра;
• принимаются также гипотезы об осесимметричном распределении напряжений и деформаций и об обобщенном плоском деформируемом состоянии.
Задача определения температуры цилиндра и вала в данной работе подробно не рассматривается; считается, что функция температуры в каждый момент времени и в каждой точке известна. При принятых допущениях в ряде работ получены аналитические и численные решения [3-5, 7-9, 13]. Математическая постановка задачи заключается в определении функций: компонентов тензоров напряжений Оу и деформаций 81]. Поставленная задача записывается в цилиндрической системе координат.
Принято, что в начальный момент времени напряжения и перемещения равны нулю (1):
и(г, 0) = 0; ^¡(г, 0) = 0; /,} = г, ф, х. (1)
Также примем, что напряжения на внешней границе отсутствуют (2):
аг(И,1) = 0. (2)
В точке сопряжения двух слоев напряжения по радиусу первого слоя равны напряжениям второго слоя (3):
= а?, (3)
где а]. - напряжения по г первого слоя, а].1 - напряжения по г второго слоя.
Перемещения (4) в этой точке также равны:
и1 = и", (4)
Связь деформаций и перемещений имеет вид (5): ди и
здесь предлагается гипотезу о плоском деформированном состоянии использовать в обобщенном виде.
Для определения переменных С3(0 и Сг(Ь) краевые условия дополняются условием отсутствия нагрузки на торцах (6):
ВЕСТНИК ИНЖЕНЕРНОЙ ШКОЛЫ ДВФУ. 2018. № 4(37)
аI гйг = 0 и Iг а2 гйг = 0. (6)
Учет проскальзывания цилиндра относительно вала может быть определен через зависимость между осевыми деформациями (7) [15, 17]:
4 - Е? = (7)
С учетом всех принятых предположений уравнение равновесия принимает вид (8): дог ог — а—
~Т + --— = 0. (8)
ог г
Деформация может быть представлена в виде суммы упругой и пластической частей и температурного расширения (9):
£ = £е + £Р + £Т; (9)
температурная деформация подчиняется закону теплового расширения (10):
ет = аЛТ, (10)
где а - температурный коэффициент линейного расширения, ЛТ - приращение температуры по времени.
Тогда уравнения состояния для упругопластического цилиндра примут вид (11): аг = (Л + 2/л)ег + Ле— + Ле2 — 2цер — ЗКаЛТ;
а— = Лег + (Л + 2у.)Е— + Ле2 — 2церР — ЗКаЛТ; (11)
а2 = Лег + Ле— + (Л + 2ц)е2 — 2церр — ЗКаЛТ.
где Л = 2у) И ^ = 2(1^/) - упругие постоянные Ламе, К = Л + - модуль всесторон-
него сжатия, V здесь - коэффициент Пуассона.
Уравнения состояния для вязкоупругого вала записываются в линейной постановке теории вязкоупругости [12] по принципу Больцмана-Вольтерра и с учетом принятых выше допущений имеют вид (12):
аг = (Л + 2//)£г + Л(е—+ е2) — ЗКа — 2ц I М(Ь,^) 2£г —+
Г* \2 1 1
= (Л + 2ц)е—+ Л(ег + е2) — ЗКа — 2ц I М(Ь^) — г—^ — (£г + £2)\й^, (12)
^о I-3 3 J
а2 = Л(ег + е—) + (Л + 2ц)е2 — ЗКсс — 2ц( М(г, г')
о
Т
здесь Л,ц и К - параметры Ламе и коэффициент объемного расширения, а = ]т а(Т)йТ,
а( Т) - функция, характеризующая коэффициент линейного температурного расширения, Т0 - начальная температура нагрева или охлаждения, М(^ I') - функция сдвиговой релаксации.
Для неизотермического процесса сдвиговая релаксация хорошо описывается функцией Максвелла (13) [17]:
где Ь = 1, ^ - время релаксации свойства (например, напряжений), ^ ( ^ - функция приведенного времени, ^ - вязкость, ^ = —, где К - коэффициент пропорциональности.
К'
На начальном этапе пластические деформации отсутствуют, но по мере роста напряжений при достижении предела текучести в материале начинается пластическое течение. Пластические деформации вычисляются через девиаторы напряжений (14), (17):
ВЕСТНИК ИНЖЕНЕРНОЙ ШКОЛЫ ДВФУ. 2018. № 4(37)
ЕР = сг =
ЕР =
,Р _
2 • д'
5,
<р
2 • д'
(14)
•-г т >
2 • д
Девиаторы напряжений равны (15):
2
1
= д • - д • (о^ + о2);
21
^ = 3 • - 3 • (от + °г);
(15)
2
1
= д • - ^ • + О^р). Интенсивность пластических деформаций (16):
е?= 12
(Ер - г?) + (Ер - Ер)2 + (е* - Ер)
(16)
Р 3 • е[ £Р = -- • 5 ■
С у л гр ^у»
ер =
2 •а7 г' — • 5 ■
т и(0>
2 • ат *
а' 3 • Е*
(17)
= о _т ^г.
2 • а'
Для представленных выше уравнений было разработано численное решение, основанное на конечностно-разностном методе с использованием итерационного метода при определении пластических деформаций. Модель построена в программе Matlab R2018a.
Рис. 2. Блок-схема алгоритма.
Общая схема вычислений выглядит следующим образом. На каждом шаге проводится проверка выполнения условия начала пластического течения. На первом итерационном шагу рассчитываются напряжения без учета пластических деформаций. На втором - проводится расчет напряжений с использованием метода малых деформаций. Если проверка показала, что материал находится в зоне пластичности, то цикл повторяется на том же шаге по времени, иначе переходит на следующий (рис. 2).
2
9
Результаты решения задачи по определению термоупругопластичных напряжений и деформаций приведены для определенных материалов цилиндра и вала (см. таблицу).
Физико-механические свойства материалов
Материал Модуль упругости E, МПа Коэффициент Пуассона V Температурный коэффициент линейного расширения а Предел текучести а, МПа
I (0,1-0,59)-105 0,25 (63-210)-10-7 -
II (1,6-2,1)105 0,3 (121-152)-10-7 130-282
Рисунок 3 иллюстрирует: учет пластических деформаций в цилиндре существенно влияет на величину остаточных напряжений, уменьшая их почти в два раза. Пластические деформации возникают в цилиндре при снижении температуры на 470 °С. Вместе с тем в цилиндре развиваются необратимые пластические деформации, которые влияют на предел пластического течения при последующей нагрузке (рис. 4).
— — ■
к - ■
ч
\
s
\
\
ч
Ч
0.001 0.002 0.003 0.004 0.005
-Г-4И0 ■
— ■ Г=А
Т .160--Г= 240 ---Т .20
а б
Рис. 3. Интенсивность напряжений в зависимости от радиуса: а - с учетом пластических деформаций, б - без учета пластических деформаций.
а б
Рис. 4. Интенсивность пластических деформаций в зависимости от: а - радиуса, б - температуры.
На рис. 5 представлен график зависимости интенсивности напряжений от температуры в некоторых точках цилиндра.
0 100 200 300 400 500 600
т
I с: юй 1 1 ■ ■ На оратще между 1»П слоями
--Целой — ■ На внешней границе
Рис 5. Интенсивность напряжений в зависимости от температуры с учетом пластических деформаций.
Заключение
Разработанный алгоритм позволяет определить термические напряжения и деформации в цилиндре с упругопластичной оболочкой и вязкоупругим заполнителем при условии неравномерного изменения температуры по радиусу цилиндра. Дискретизация по временной шкале позволяет на каждом временном шаге определять возможность появления области пластического деформирования, ее границы и рассчитать напряженно-деформируемое состояние во всей сборке.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Боли Б., Уэйнер Д. Теория температурных напряжений. М.: Мир, 1964. 520 с.
2. Буренин А.А., Дац Е.П., Мурашкин Е.В. Формирование поля остаточных напряжений в условиях локального теплового воздействия // Изв. РАН. МТТ. 2014. № 2. С. 124-131.
3. Буренин А.А., Дац Е.П., Ткачева А.В. К моделированию технологии горячей посадки // Сиб. журн. индустриальной математики. 2014. Т. 17, № 3. С. 40-47.
4. Буренин А.А., Ткачева А.В., Щербатюк Г.А. К использованию кусочно-линейных пластических потенциалов в нестационарной теории температурных напряжений // Вестн. Самарского гос. техн. ун-та. Сер. Физ.-математ. науки. 2018. Т. 22, № 1. С. 23-39.
5. Буренин А.А., Ткачева А.В., Щербатюк Г.А. К расчету неустановившихся температурных напряжений в упругопластиских телах // Вычислительная механика сплошных сред. 2017. Т. 10, № 3. С. 245-259.
6. Быковцев Г.И., Ивлев Д.Д. Теория пластичности. Владивосток: Дальнаука, 1998. 528 с.
7. Горшков С.А., Дац Е.П., Мурашкин Е.В. Расчет плоского поля температурных напряжений в условиях пластического течения и разгрузки // Вестник ЧГПУ им. И.Я. Яковлева. 2014. № 3(21). С. 169-175.
8. Дац Е.П., Мурашкин Е.В., Ткачева А.В., Щербатюк Г.А. Температурные напряжения в упру-гопластической трубе в зависимости от выбора условия пластичности // Изв. РАН. МТТ. 2018. № 1. С. 32-43.
9. Дац Е.П., Ткачева А.В., Шпорт Р.В. Сборка конструкции «кольцо в кольце» способом горячей посадки // Вестник Чувашского гос. пед. ун-та им. И.Я. Яковлева. Сер. Механика предельного состояния, 2014. № 4(22). С. 225-235.
10. Жорник В.А., Прокопенко Ю.А. Температурные напряжения в двухслойных цилиндрах // Наука и технологии: тр. XXVIII Рос. шк. / РАН. М., 2008. Т. 1. С. 62-70.
11. Зарубин В.С., Кувыркин Г.Н. Математические модели термомеханики. М.: Физматлит, 2002. 168 с.
12. Ильюшин А.А., Победря Б.Е. Основы математической теории термовязкоупругости. М.: Наука, 1970. 280 с.
13. Карташов Э.М. Аналитические методы в теории теплопроводности твердых тел. М.: Высш. шк., 2001. 550 с.
14. Качанов Л.М. Основы теории пластичности. М.: Наука, 1969. 420 с.
15. Малинин Н.Н. Прикладная теория пластичности и ползучести. М.: Машиностроение, 1968. 400 с.
16. Савельева И.Ю. Динамические температурные напряжения в упругом теле с криволинейной границей // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2018. № 1. C. 38-46. DOI: 10.18698/1812-3368-2018-1-38-46
17. Солоненко Э.П. Вычисление температурных напряжений в вязкоупругом цилиндрическом спае. Св-во о гос. регистрации программы для ЭВМ № 2016661022. Рег. 28.09.2016.
18. Lyubimova O.N., Solonenko E.P. Thermo-mechanical relaxation of stresses in a glass-metal junction. J.l of Physics: Conference Series. 2016(754)-082002.
THIS ARTICLE IN ENGLISH SEE NEXT PAGE
Deformable Solids
DOI.org/10.5281/zenodo.2008644
Barbotko M.
MAXIM BARBOTKO, Postgraduate Student, e-mail: [email protected] Department of Hydraulic Engineering, Theory of Buildings and Structures of the School of Engineering Far Eastern Federal University 8 Sukhanova St., Vladivostok, Russia, 690091
Numerical simulation of thermal stresses and strains
in a cylinder with an elastoplastic shell and viscoelastic aggregate
Abstract: In this work, the problem of deforming an elastoplastic cylinder during a hot landing on a viscoelastic shaft has been solved numerically. The problem is written for a non-stationary temperature change, using the assumption of a generalized flat deformable state in the shaft-cylinder system. Accounting for the accumulation of irreversible plastic deformations in the cylinder is carried out by the method of additional deformations. The flow surface is given by the Huber-Mises equation. Viscoelastoplastic shaft deformation is described by the Boltzman-Volterra equations. Keywords: temperature stresses, plastic deformations, thermo-visco-elastic-plastic stresses and deformations, axisymmetric composite cylinder, hot charging.
REFERENCES
1. Boley B., Weiner J. Theory of temperature stress. M., Mir, 1964, 520 p.
2. Burenin A.A., Dats E.P., Murashkin E.V. Formation of residual stress field in conditions of local thermal exposure. Izv. RAS. MTT. 2014;2:124-131.
3. Burenin A.A., Dats E.P., Tkacheva A.V. To modeling hot landing. Sibir. J. industry mat. 2014(17);3:40-47.
4. Burenin A.A., Tkacheva A.V., Scherbatyuk G.A. On the use of piecewise linear plastic potentials in the nonstationary theory of thermal stresses. Vestn. Samar. State Tech. Univ. Ser. Phys.-mat. science. 2018(22);1:23-39
5. Burenin A.A., Tkacheva A.V., Scherbatyuk G.A. To the calculation of unsteady temperature stresses in elastoplastic bodies. Computational mechanics of continuous media. 2017(10);3:245-259.
6. Bykovtsev G.I., Ivlev D.D. The theory of plasticity. Vladivostok, Dal'nauka, 1998, 528 p.
7. Gorshkov S.A., Dats E.P., Murashkin E.V. Calculation of a flat field of temperature stresses under conditions of plastic flow and unloading. Bulletin of ChSPU named I.Ya. Yakovleva. 2014;3:169-175.
8. Dats E.P., Murashkin E.V., Tkacheva A.V., Scherbatyuk G.A. Temperature stresses in an elastoplastic pipe depending on the choice of plasticity condition. Izv. RAS. MTT. 2018;1:32-43.
9. Dats E.P., Tkacheva A.V., Shport R.V. Assembly design "ring in the ring" method of hot landing. Bulletin of the Chuvash State Pedagogical University. I.Ya. Yakovlev. Ser. Mechanics of limit state. 2014;4:225-235.
10. Zhornik V.A., Prokopenko Yu.A. Temperature stresses in two-layer cylinders. Science and Technology: tr. XXVIII Ros. Wk. RAS. Vol. 1. M., 2008, p. 62-70.
11. Zarubin V.S., Kuvyrkin G.N. Mathematical models of thermomechanics. M., Fizmatlit, 2002, 168 p.
12. Ilyushin A.A., Pobedrya B.E. Fundamentals of the mathematical theory of thermoviscoelasticity. M., Nauka, 1970, 280 p.
13. Kartashov E.M. Analytical methods in the theory of thermal conductivity of solids. M., Higher School, 2001, 550 p.
14. Kachanov L.M. Fundamentals of the theory of plasticity. M., Science, 1969, 420 p.
15. Malinin N.N. Applied theory of plasticity and creep. M., Mechanical Engineering, 1968, 400 p.
16. Savelieva I.Yu. Dynamic temperature stresses in an elastic body with a curvilinear boundary. Vestnik MGTU im. N.E. Bauman. Ser. Natural Sciences. 2018;1:38-46. DOI: 10.18698 / 1812-3368-2018-1-38-46
17. Solonenko E.P. Calculation of temperature stresses in a viscoelastic cylindrical junction. Sv-in about state. Computer software registration number 2016661022. Reg. 09/28/2016.
18. Lyubimova O.N., Solonenko E.P. Thermo-mechanical relaxation of stresses in a glass-metal junction. J. l of Physics: Conference Series. 2016 (754)-082002.
