CC BY
73
УДК 514.7
ЭВОЛЮЦИЯ НАЧАЛЬНЫХ ДАННЫХ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ БЮРГЕРСА С ФИКСИРОВАННЫМИ ЗНАЧЕНИЯМИ НА ГРАНИЦЕ
А.В. САМОХИН
Уравнение Бюргерса описывает движение слабо нелинейных волн в газах, когда необходимо учесть эффекты диссипации в первом приближении. В работе изучается сходимость решений уравнения Бюргерса с постоянными граничными условиями на ограниченном интервале к стационарным решениям.
Ключевые слова: нелинейные волны, инвариантные решения, начально-краевая задача, асимптотика.
1. Постановка задачи
Одно из уравнений механики сплошной среды - уравнение Бюргерса - описывает движение слабо нелинейных волн в газах, когда необходимо учесть эффекты диссипации в первом приближении. В пределе исчезающе малой диссипации оно обеспечивает правильную интерпретацию решения в случае невязкой среды. Это уравнение имеет богатую историю. Оно было предложено Бюргерсом [1] как модельное уравнение для описания одномерной турбулентности. Лайтхилл [2] показал, что при правильной интерпретации это уравнение пригодно для описания распространения плоских волн небольшой амплитуды.
Уравнение Бюргерса имеет вид
ut (x, t) = ux (x, t) + 2hu( x, t )ux (x, t), (1)
где коэффициент h при нелинейном слагаемом связан с вязкостью среды, в которой распространяются колебания.
Из физических соображений ясно, что вязкость приводит к затуханию колебаний, за исключением узкого класса стационарных решений (1), которые являются автомодельными для некоторой подалгебры алгебры высших симметрий уравнения Бюргерса.
В настоящей работе рассматривается начально-краевая задача для уравнения Бюргерса на конечном интервале, что требует уточнения концепции симметрии и автомодельности в этой ситуации.
Работа устроена следующим образом. В разделе 2 изложена концепция симметрий начально-краевой задачи применительно к уравнению Бюргерса и описаны важные решения уравнения типа "бегущая волна" и стационарные. В разделе 3 содержатся результаты по устойчивости автомодельных решений, полученные, в том числе, с помощью численного моделирования в среде Maple.
2. Решения и симметрии уравнения Бюргерса
Опишем некоторые классы решений уравнения Бюргерса, важные для дальнейшего изложения. Ниже мы принимаем, что h = 1: этого можно добиться за счёт нелинейности уравнения, масштабируя u .
Решениями типа "бегущая волна" называются решения вида u(x, t) = f (ax + bt + c), где a, b, c e R — константы. Простое вычисление позволяет перечислить такие решения:
u( x, t) = c; (2)
u (x, t) = b + a tanh(ax + bt + c); (3)
2a
u (x, t) = b + a coth(ax + bt + c); (4)
2a
и (х, г) = —— а tan(aх + Ьг + с); (5)
2а
Ь а
и(х, г) = — +-. (6)
2а ах + Ьг + с
Обратим внимание, что только два первых решения из списка (2)-(6) ограничены на всей действительной оси. Соответственно, если начальная задача для уравнения (1) ставится на всей оси х е Я, то только эти два решения являются физически осмысленными. Если же рассматривается начально-краевая задача
и (х, 0) = / (х), и (а, г) = I (г), и(0, г) = г (г) (7)
для интервала х е [а,Ь], то в качестве начального распределения /(х) может быть выбрана любая из функций списка (2)-(6), при условии, что сингулярность не попадает на интервал.
Ещё один вариант начально-краевой задачи
и( х, 0) = / (х), и(а, г) = I (г), их (а, г) = г (г) (8)
ставится для полупрямой х е [а,¥.
При Ь = 0 решения становятся стационарными.
и( х, г) = с; (9)
и( х, г) = а 1аиЬ(ах + с); (10)
и( х, г) = а со1Ь(ах + с); (11)
и( х, г) =-а 1аи(ах + с); (12)
а
и(х, г) =-. (13)
ах + с
Отметим также, что все неограниченные решения (11)-(13) убывают, а ограниченные (9), (10) являются неубывающими.
Алгебра симметрий уравнения Бюргерса описана в [4]. Приведем здесь симметрии малого порядка (до третьего порядка по производным включительно).
X = их; (14)
X = (1 + 2ихг); (15)
хз = 2иих + ихх; (16)
Х4 = иихх + 3 иххх + их + и \ ; (17)
Х5 = 2 и + их + 2 хих + 2иихг. (18)
Каждая симметрия Х{ задает поток на пространстве решений уравнения (1) по правилу
ит= Хг, и| т=0 = и0(х г). (19)
Здесь и0(х,г) - произвольное решение (1). Решения потока (19), если они существуют, также являются решениями (1) при любом т.
Если Хг|и0 = 0, то и0 - его неподвижная точка; решение и0 называется автомодельным (или инвариантным) относительно X .
Бегущая волна инвариантно относительно линейной комбинации аХ3 -ЬХ1 , а стационар-
ные решения - относительно Х3. Здесь уместно отметить, что потоки, порождённые Х3 и Хг,
суть трансляции по t и x соответственно.
На пространстве симметрий действует оператор рекурсии
R = D + u + uxD~\ где D = d,
dx
так что, если X - симметрия, то R(X) - тоже симметрия. В частности, R(Xj) = X3. Рассмотрим простейшую начально-краевую задачу для уравнения (1) вида (7)
u(x, 0) = f(x), u(0, t) = A, u(1, t) = B, A, B e R. (20)
Если начальное условие u(x, 0) = f (x) игнорировать, то краевым данным соответствует единственное стационарное решение yAB (x), которое можно получить из обыкновенного дифференциального уравнения на y( x)
y' + 2 yy' = 0, y(0) = A, /(1) = B. (21)
Именно к этому решению стремится при t ® ¥ решение задачи (20), каков бы ни был начальный профиль u(x, 0). Обычно переход u(x, 0) ® yAB (x)) происходит достаточно быстро.
Интегрируя один раз уравнение (21), получим y + y2 = A2 + B . Отсюда легко получить, что в зависимости от начальных данных уравнение (21) имеет следующие решения (никаких других стационарных решений уравнения Бюргерса нет!)
y(x) = k tan(-kx + m), при A2 + B < 0, k = ^-A2 - B, m = arctan(A / k) ;
y( x) = —A—, Ax +1
y (x) = k coth(kx + m),
y( x) = k tanh(kx + m), y( x) = A,
при A2 + B = 0, B Ф 0; при A2 + B > 0, k = VA2 + B <| A |,
m
Iln (k±±
2 I -k + A
k+A
(22)
при A2 + B > 0, k = VA2 + B >| A |, m = 1|n -при B = 0.
Эти решения инвариантны относительно симметрии Х3, а также относительно башни симметрий вида Я"(Х3). Например, решение к 1апЬ(£х + т) инвариантно относительно
1
k
1
k2
-R(Х3) = Х5 ux = uuxx +- uxxx + ux + uux - — ux ■
3
3
3
3
Поясним: оператор Я содержит неопределённый интеграл Б 1 и — -3- — подходящая для данного решения константа интегрирования. Далее
11 к2 к2
-Я2(Х3) = -Я(Х5 ——Х1) = Х7 ~Х3 + си , 3 3 3 7 3 3 х
где новая константа интегрирования подбирается так, чтобы решение к 1апЬ(кх + т) оставалось инвариантным и т. д.
Отметим, что симметрия Х5 — -^тих имеет и другие инвариантные решения. Здесь мы не будем приводить их полного списка, укажем лишь один 3-параметрический класс, включающий гиперболические тангенсы и котангенсы из (22)
с(ёесх — в~сс)
u = -
l + de™ + e~
c, d, l e R.
(23)
2
3. Устойчивость инвариантных решений уравнения Бюргерса
Уравнение Бюргерса
иг = ихх + 2иих (24)
с нулевыми граничными условиями на интервале [а,Ь]
и(г, а) = и(г, Ь) = 0, и(0, х)|[аЬ] = / (х) (25)
монотонно сходится к нулю в IX -метрике и вот почему
Э гЬ ГЬ ^ ¡.Ь
— I и
Эг
— í u2dx = í 2uutdx = 2í u(ux + 2uux)dx = (26)
Ja Ja Ja
b
Íb 2 3 b fb 2 Гь 2
udu +—u = 2uu - 2 u dx = -2 u dx < 0.
-a x 3 x|a Ja x Ja x
J a
Чем больше производная, тем выше сходимость! Это объясняет, почему в случаях разрывной начально-граничной задачи в наших экспериментах двухгодичной давности, [6], сначала затягивались разрывы - там производная близка к бесконечности. Если условия ненулевые
u(0, x)|[a,b] = f (x) u (t, a) = f (a) = A, u(t, b) = f (b) = B, (27)
то можно ожидать сходимости к соответствующему стационарному решению уравнения Бюр-герса, т. е.
m+2mm = о, m(a) = a, mb=в (28)
(такое решение существует в виде tan или tanh в зависимости от соотношения между A, B ). Посмотрим, как эволюционирует разница между m и решением (28). Обозначим v(t,x) = u(t,x) -m(x), т.е. u(t, x) = v(t,x) + m(x). Подставляя в (24)
ut = (v(t, x) + m( x))t = v(t, x)t = u„ + 2uux = (v(t, x)+m(x))xx+2(v(t, x)+m(x))(v(t, x)+m(x)) x = (29)
v+2vvx + m+2mmx ]+2{ vm+vmx}.
Выражение в квадратных скобках равно нулю (28). Окончательно
v = v + 2vvx + 2(vm)x. (30)
При этом граничные условия для v нулевые по определению. Вычислим скорость сходимости для v по аналогии с (26)
Э fb 2 pb pb
— I v dx = I 2vvtdx = 21 v(vxx + 2vvx + 2(vm)x)dx =
'Ja Ja Ja
Эt■
4 зb v
3
Íb 4 3 fb
vdvx + -v + 41 vd(vm)
a x a
2vvx\ba-2_[ v2xdx + 4v(vm)|ba-4_[ mvvxdx = (31)
-2 íb v2dx - 2 íb mdv2 = -2 íb v2 dx + 2 íb mxv2dx - 2v2mb =
a x a a x a x a
-2_[b (v2-mxv2} dx.
Окончательно,
| ¡У* = —2\Ьа )(х
(32)
Таким образом, монотонность X2 - сходимость гарантированна не всегда, а например, при ¡их £ 0 (убывающие начальные данные).
Численные эксперименты подтверждают, что при больших значениях производной сходимости нет (рис. 1, 2).
Рис. 1. Нижняя кривая - стационарное решение 1 = 441апЬ(44х); верхняя - начальная конфигурация —44 х2 при г = 0
Для растущих начальных данных разница не становится нулевой, а (для многих функций) застревает на полдороге. Вариационное исчисление учит нас искать такого рода стационарные точки притяжения в экстремалях функционала (32)
д£
IЪ ((п + £И)1 —1х (п + еК)2 ] (X = 0,
е=0 а
(33)
то есть
откуда
£ (пхКх —1пК)(х = Ухк\Ъа - £ (УхК — 1хУк)(х =
Г (—пхх —1ху)- К(х = 0, "К(х)(К(а) = К(Ъ) = 0),
а
Пхх +1П =
(34)
ите - ^.-ОООиЭО
I-1-1-1-1-1-1-1-1-1-
1 -0.3 -0.6 -0.4 -0.Э О.
Рис. 2. Стационарное распределение 1 = 441аиЬ(44 х) и устойчивое численное решение при t = 200
Трудность сравнения экспериментальной экстремали (похожей на ударную волну) с решениями (34) состоит в том, что именно численные решения получить не так-то просто. Дело в том, что растущие стационарные решения уравнения Бюргерса - это функции вида 1(х) = a tanh(aх + Ь) и потенциал линейной задачи (34) ¡х, фактически является финитным (рис. 3). Почти все решения (34) разрывны и это приводит к быстроосциллирующим решениям и хаосу на численном графике. Вот аналитическая форма решения в случае ¡(х) = tаnh(х) и
К-1) = о
п( х) = C •
- Я V 3 +75 3+75 4 ' 4 2 +75 1 2 (в2 +1)2 ^ } 4в2 ) Г в2 +1 ^ V 2 ) 75 (2 oosh(2 х) - 2)1
Г в* Я V 3-75 3 -75 4 ' 4 2 -75 2 (в2 +1)2" ' 4в2 У 7sinh(2 х)
X
хЯ
3-75 3-75
2-75
0(^(2 х) +1
2
^2 008^2х) + 2 собЦх)
ж
+
3 Г
(2008^2х)-2)4 Я
+ С •
3 +75 3 ^>/5
2 + 75
oosh(2 х) +1 2
Л
Л/2е08Ъ(2х) + 2
,- -/5
■ч/sinh(2х) oosh(х) 2
4
4
2
4
4
2
1Щ-
що -
1Ш -
фоо -
шо -
/ 500 -
/ 600 -
/ 400 -
/ 200 -111111 1111 11111 11111
О
0Л5
Мо
-0.10 -0.0;
Графин; прошЕоднай 44 гапЫ-^х).
Рис. 3. Потенциал в случае ¡ = 441аиЬ(44 х)
Здесь С - произвольная постоянная, а Н - гипергеометрическая функция. График этого решения при С = 1 представлен на рис. 4 и имеет конечный разрыв в нуле. Видимо, немонотонная часть численно устойчивого решения на рис. 2, отличная от стационарного решения уравнения Бюргерса, кусочно составлена из экстремалей - решений уравнения (34). Этот вопрос ещё заслуживает дальнейшего рассмотрения.
Рис. 4. Разрыв решения линейной задачи (34) при ¡( х) = 1аиЬ( х), п(-1) = 0
ЛИТЕРАТУРА
1. Burgers J.M. A mathematical model illustrating the theory of turbulence // Adv. Appl. Mech.,vol. 1, № 1, 1948.
2. Lighthill M.J. Viscosity in waves of final amplitude // in book: "Surveys in mechanics" (eds. G. Bachelor and R.M. Davis), Cambridge, Cambridge University Press, 1956.
3. Habibullin I.T. Symmetry approach in boundary value problem // arXiv:solv-mt/9508005v2, 1995.
4. Samokhin A.V. Symmetries of linear and linearizable systems of differential equations // Acta Applicandae Math-ematicae, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, Boston, London. V. 56, № 2&3, 1999.
5. Самохин А.В. Симметрии и законы сохранения уравнений математической физики. - 2-е изд., испр. и доп. - М.: Факториал, 2005.
6. Самохин А.В. Об устойчивости инвариантных решений уравнения Бюргерса на интервале // Научный Вестник МГТУ ГА. - 2009. - № 140. - С. 29-35.
AN EVOLUTION OF INITIAL VALUES FOR THE BURGERS EQUATION WITH FIXED BOUNDARY CONDITIONS
Samokhin A.V.
The Burgers equation describes weakly nonlinear waves in gases when it is necessary to take the dissipation's first approximation into account. The Burgers equation symmetry invariant solutions asymptotic stability is studied.
Key words: nonlinear waves, invariant solutions, initial-boundary problem, asymptotics.
Сведения об авторе
Самохин Алексей Васильевич, 1947 г.р., окончил МГУ им. М.В. Ломоносова (1971), доктор технических наук, профессор кафедры высшей математики МГТУ ГА, автор более 40 научных работ, область научных интересов - уравнения математической физики, симметрии, законы сохранения.
