Об устойчивости инвариантных решений уравнения Бюргерса на интервале Текст научной статьи по специальности «Математика»

Пропустите 2 пустые страницы

Пропустите пустую страницу

2009

НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК МГТУ ГА серия Математика и физика

№ 140

УДК 514.7

ОБ УСТОЙЧИВОСТИ инвариантных решении УРАВНЕНИЯ БЮРГЕРСА НА ИНТЕРВАЛЕ

Уравнение Бюргерса описывает движение слабо нелинейных волн в газах, когда необходимо учесть эффекты диссипации в первом приближении. В пределе исчезающе малой диссипации оно обеспечивает правильную интерпретацию решения в случае невязкой среды. В настоящей работе описываются некоторые инвариантные относительно симметрий решения уравнения Бюргерса на ограниченном интервале, которые оказываются асимптотически устойчивыми.

Ключевые слова: нелинейные волны, инвариантные решения, начально -краевая задача, асимптотика.

Уравнения газовой динамики представляют собой систему квазилинейных гиперболических уравнений. При этом нестационарные уравнения механики невязкой сплошной среды должны быть надлежащим образом включены в более полные уравнения вязкой среды. Одно из замечательных уравнений механики сплошной среды - уравнение Бюргерса - дает прекрасную иллюстрацию такого включения. Это уравнение описывает движение слабо нелинейных волн в газах, когда необходимо учесть эффекты диссипации в первом приближении. В пределе исчезающе малой диссипации оно обеспечивает правильную интерпретацию решения в случае невязкой среды. Это уравнение имеет богатую историю, обсуждать которую у нас здесь нет возможности. Оно было предложено Бюргерсом [1] как модельное уравнение для описания одномерной турбулентности. Лайтхилл [2] показал, что при правильной интерпретации это уравнение пригодно для описания распространения плоских волн небольшой амплитуды.

Уравнение Бюргерса имеет вид

где коэффициент г/ при нелинейном слагаемом связан с вязкостью среды, в которой распространяются колебания.

Из физических соображений ясно, что вязкость приводит к затуханию колебаний, за исключением узкого класса стационарных решений (1), которые являются автомодельными для некоторой подалгебры алгебры высших симметрий уравнения Бюргерса.

В настоящей работе рассматривается начально-краевая задача для уравнения Бюргерса на конечном интервале, что требует уточнения концепции симметрии в этой ситуации. Первоначальные результаты в этом направлении содержатся в работе [3].

Работа устроена следующим образом. В разделе 2 описывается концепция симметрий начально-краевой задачи, как общая, так и применительно к уравнения Бюргерса. В разделе 3 описаны важные для последующего решения этого уравнения типа ” бегущая волна” и стационарные. В разделе 4 содержатся результаты по устойчивости автомодельных решений, полученные в том числе с помощью численного моделирования в среде Мар1е.

Пусть А = А(и) — система к дифференциальных операторов на т-вектор и, зависящий от п независимых переменных Хі, заданных на некоторой области П. Пусть Г (и) — другая

1. Постановка задачи

щ(х, і) = ихх(х, і) + 2щ(х, і)их(х, і),

(1)

2. Симметрии начально-краевых задач

'Работа выполнена при частичной поддержке гранта НВНК/ОХНВ. 08-07-92496-0X115-а и гранта МГТУ ГА 2008 г.

система операторов, определенных в некоторой окрестности границы дП области Г). Тогда граничная задача формулируется следующим образом

А (и)\в = 0 (2)

Г(«) \ав = 0 (3)

Симметрия (р(и) уравнения А (и) = 0, где ср — еще одна система т операторов, задающих некоторый (инфинитезимальный) поток на решениях системы А (и) = 0 по формуле

иТ = (р(и). Таким образом

= Ьд(^)|д(«)=о = 0 (4)

Д(«)=0

и уравнение А (и) = 0 сохраняется этим потоком.

Однако этот поток как правило не сохраняет граничные условия Г(и) |д® = 0. Для того, чтобы они сохранялись, поток должен удовлетворять условию

[-^гЫ|г(«)=о]\до = 0. (5)

В случае, когда имеет место теорема существования и единственности решений граничной задачи (2), каждая симметрия граничных условий естественным образом порождает симметрию уравнения (поток на решениях системы уравнений возникает, если решать граничную задачу с новыми граничными условиями, измененными потоком на границе). Таким образом, мы получаем отображение

Т : Зут Г ар —> Зут А р.

Здесь Зут А обозначает симметрии уравнения А.

С другой стороны, всякий поток на решениях в области О порождает поток на дВ просто при помощи ограничения. Следовательно, возникает отображение

Л : Зут А о —> \'ее1 !Ю.

где \"ее1 |м обозначает пространство векторных полей на А/; очевидно, что Ко Т = 5(1.

В частности, если Г(и)|зд = 0 имеет вид «(ад — щ = 0, то

^г(¥3)|г(гг)=0 = <р(щ),

так что в этом случае (р(и) € ЗутГ^д тогда и только тогда, когда (р(щ)\д£> = 0.

В другом интересующем нас случае, когда Г(и)|з£) = 0 имеет вид их\д£> — щ = 0, то

^г(¥3)|г(гг)=0 = о)’

так что в этом случае ^р(и) € вутГ^д тогда и только тогда, когда ^^(ио)|в£) = 0 (здесь ^ обозначает полную производную по переменной х).

3. Решения и симметрии уравнения Бюргерса

Опишем некоторые классы решений уравнения Бюргерса, важные для дальнейшего изложения. Ниже мы принимаем, что г] = 1: этого можно добиться за счет нелинейности уравнения, масштабируя и.

в,

йт

А (и)

т=С\

Решениями типа ”бегущая волна” называются решения вида и(х,£) = /(ах + Ы + с) где а, Ь, с £ К — константы. Простое вычисление позволяет перечислить такие решения:

щх

и{х

щх

и{Х

V(X

t) = t) =

t) =

t) =

t) =

----h atanhfaa; + bi + c),

2 a

----ha coth(a:r + bi + c),

2 a

A-atan (ar + W + c),

2a

6 a

+

2a ax + bt + с

(в)

(7)

(8) (9)

(10)

Обратим внимание, что только два первых решения из списка (6) (10) ограничены на всей действительной оси. Соответственно, если начальная задача для уравнения (1) ставится на всей оси х G К, то только эти два решения являются физически осмысленными. Если же рассматривается начально-краевая задача

v(x, 0) = f(x), v(a, t) = l(t), v(P, t) = r{t) (11)

для интервала x G [a, /3], то в качестве начального распределения f(x) может быть выбрана

любая из функций списка (6) (10), при условии что сингулярность не попадает на интервал.

Еще один вариант начально-краевой задачи

v(x, 0) = f(x), v(a, t) = l(t), vx(a, t) = r(t) (12)

ставится для полупрямой ж G [а, оо).

При 6 = 0 решения становятся стационарными:

V [x t)

V [x t)

V [x t)

V [x t)

V [x t)

atanh(aa; + с),

acoth(aa; + с),

—a tan (аж + с) а

ах + с

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

Отметим также, что все неограниченные решения (15) (17) убывают, а ограниченные (13), (14) являются неубывающими.

Алгебра симметрий уравнения Бюргерса описана в [4]. Приведем здесь симметрии малого порядка (до третьего порядка по производным включительно):

V, = vx, (18)

V2 = (l + 2uxt), (19)

Х3 — 2vvx vxx, (20)

Х4 — uvxx + ~vxxx + vx + v vx, (21)

о

“b U'xxt (22)

0,7

0,6

0,5

0,4

0,3

0,2

0,1

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

.к

1 II о о ип r-h II О о н-> 1 1 II О о го 1 i II о

laiili(x) ■ ■ ■ t=0.13 -1=0

Рис. 1. Эволюция начального профиля ut=o(x,t) = 0.5 + 0.3 sin(a;), u(Q,t) = О, u(l,t) = tanli(l). Начиная с момента t = 0.2, график становится почти неотличим от и = tanh(a;)

Каждая симметрия Xj задает поток на пространстве решений уравнения (1) по правилу

ит = Xi, и\т=0 = u0{x,t). (23)

Здесь Ui){x,t) — произвольное решение (1). Решения потока (23), если они существуют, также являются решениями (1) при любом т.

Если Xj| uo = 0, то поток тривиален, и щ называется автомодельным (или инвариантным) относительно Xi-

Бегущая волна инвариантно относительно линейной комбинации аХз — ЬХ\, а стационарные решения ---- относительно Х3. Здесь уместно отметить, ЧТО ПОТОКИ, порожденные Х3

и Хц суть трансляции по t и х соответственно.

На пространстве симметрий действует оператор рекурсии

7Z = D + и + uxD^1, где D =

ах

так что, если X — симметрия, то 1Z{X) — тоже симметрия. В частности, Ц(Х\) = Х^.

4. Устойчивость инвариантных решений уравнения Бюргерса

Рассмотрим простейшую начально-краевую задачу для уравнения (1) вида (11)

и{х, 0) = f{x), u{Q,t) = A, u{l,t) = В, Л,В е 1. (24)

Если начальное условие и(х, 0) = f{x) игнорировать,то краевым данным соответствует единственное стационарное решение Уав{%)), которое можно получить из обыкновенного дифференциального уравнения на у{х)

у" + 2уу' = о, г/(0) = .4, г/(1 ) = в.

(25)

Рис. 2. Эволюция начального профиля щ = зт(7ж), и(0,£) = гл(1,*) = 1.И.

Начиная с момента £ = 6, график становится неотличим от и = <^апЬ(аж + 6), а = —6.6, 6 = —1.5

РИС. 3. Эволюция начального профиля щ=о(ж,£) = 8Іп(7ж), и(0, і) = вш(£), гл(1, і) = 1ап1і(1). Начиная с момента і = 10, график практически неотличим от и = а соИі(аж + Ь), а = 0.38, Ъ = —0.86

Именно к этому решению стремится при і —> оо решение задачи (24), каков бы ни был начальный профиль и(х, 0). Фактически переход и(х, 0) Уав{%)) происходит очень быстро,

как это видно из приведенных ниже примеров.

1=0 -- - 1=0.12 -1=0.09

2.7 (е"2'7х + е2'7х)

1=0.05 - 1-0.03 5.4 — е~2'7х + е2,7х

Рис. 4. Эволюция начального профиля щ=о (ж, і) = аіап1і(аж + 6), и{ 0, і) = 1, и(1,£) = 2 под действием симметрии Хз- Начиная с момента і = 0.5, график практи-

с(с1есх — е^сх)

чески неотличим от и = ------------------, а = 0.38, Ъ = —0.86

I + (1есх + е^сх ’

Интегрируя один раз уравнение (25), получим у' + у2 = А2 + 5. Отсюда легко получить, что в зависимости от начальных данных уравнение (25) имеет следующие решения (никаких других стационарных решений уравнения Бюргерса нет!)

" у{х) = кіап(—кх + т), при А2 + В < 0, к = л/—А2 — В, т = аг сі ап (.4//с)

= ^Їж+Т’ ПРИ + Б = 0, В ф 0;

_________ \

г/(х) = к соіЬ.(кх + т), при А2 + В > 0, к = л/А2 + В < |.4|, т = - 1п

-к + А

_____________ / к А

у(х) = к tanh(Lт + т), при А2 + В > 0, к = \/А2 + В > |.4|, т = - 1п ( --— ,,

у{х) = А, при В = 0.

(26)

Эти решения инвариантны относительно симметрии Хз, а также относительно башни симметрий вида %п{Х^). Например, решение А^ап11(Ъ; + т) инвариантно относительно

1 к2 1 2 2 к2 —7с(Аз) А5 'М'У'хх Н" Т^^ххх Н" У'х ^

ООО о

Поясним: оператор И содержит неопределенный интеграл , и — у- — подходящая для данного решения константа интегрирования. Далее,

\п2(Хн) = \щхг> - ^Хг) = X- - ^Х3 + сих,

о о о о

где новая константа интегрирования подбирается так, чтобы решение А^апЬ^з: + т) оставалось инвариантным, и так далее.

Отметим, что симметрия .V.-, — уиж имеет и другие инвариантные решения. Здесь мы не будем приводить их полного списка, укажем лишь один 3-параметрический класс, включающий гиперболические тангенсы и котангенсы из списка 26:

r(rlpcx — р^сх) и=рае--------е--)_ R

l + decx + ercx !

На рис. 1-3 представлены результаты численных расчетов по эволюции начального профиля начально-краевой задачи для уравнения Бюргерса на интервале [0,1].

На рис. 1 видна стабилизация решения при постоянных краевых условиях. Отметим, что начально-краевая задача не является даже непрерывной.

На рис. 2 краевые условия зависят от времени /.

Асимптотический профиль otanh(ox + b) (соответственно ocoth(ox + b)) в момент времени t можно определить просто точками (0, l(t)) и (1, r(t) (см. (12)), решая уравнения

otanh(6) = l(t), otanh(o + b) = r(t)

(соответственно acoth(6) = l(t), acoth(a + 6) = r(i)) относительно a,b, которые, таким образом, оказываются неявными функциями времени t. Выбор функции диктуется тем обстоятельством, что тангенсы здесь — возрастающие, а котангенсы — убывающие функции. На рис. 3 представлен случай, когда возрастание сменяется убыванием, и происходит смена типа аппроксимирующей функции (решения уравнения (25)).

На рис. 4 представлена эволюция стационарного решения уравнения Бюргерса под действием симметрии Х5 — уиж. Поскольку эта симметрия имеет третий порядок по переменной ж. то для расчета эволюции необходимо задать в краевых условиях не только значения профиля на концах интервала, но и первую производную по х на одном из концов. Если эти данные стационарны, то они однозначным образом определяют решение вида (27), к которому и стремится асимптотически исходный профиль.

ЛИТЕРАТУРА

1. Burgers J.M. A mathematical model illustrating the theory of turbulence // Adv. Appl. Mech.,vol. 1, № 1, 1948.

2. Lighthill M.J. Viscosity in waves of final amplitude //in book: ’’Surveys in mechanics” (eds. G. Bachelor and R.M. Davis), Cambridge, Cambridge University Press, 1956.

3. Habibullin I.T. Symmetry approach in boundary value problem // arXiv:solv-mt/9508005v2, 1995.

4. Samokhin A. V. Symmetries of linear and linearizable systems of differential equations // Acta Applicandae Mathematicae, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, Boston, London. V. 56, № 2&3, 1999.

5. Самохин А.В. Симметрии и законы сохранения уравнений математической физики. 2 изд., испр. и доп. - М.: Факториал, 2005, 474 с. (в соавторстве).

ON STABILITY OF SOLUTIONS OF THE BURGERS EQUATION

ON AN INTERVAL

Samokhin A.V.

The Burgers equation describes weakly nonlinear waves in gases when it is necessary to take the first approximation of dissipation into account. The equation gives a proper interpretation of solutions for a nonviscous media as the dissipation approaches zero. In this paper some symmetry invariant solutions as well as their asymptotic stability is studied.

Сведения об авторе

Самохин Алексей Васильевич, 1947 г. р., окончил МГУ им. М.В. Ломоносова (1971), доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой высшей математики МГТУ ГА, автор 36 научных работ, область научных интересов — уравнения математической физики, симметрии, законы сохранения.