CC BY
5529.04.08 ФЛЮ
ЗДЕСУЩИЕ ФРАКТАЛЫ!
(Окончание. Начало в № 1(12) за 2007 г.)
Метель лепила на стекле Кружки и стрелы. Свеча горела на столе, _ Свеча горела. ^ -
Б. Паст ернак /Зимняя ночь)
■ЯПшН
9
I
И**
Маргарита Ивановна Турбина,
редактор редакционно-издателъского отдела Института мерзлотоведения им. П.И. Мельникова СО РАН.
Изучение процессов и явлений окружающего нас мира, привычных, казалось бы, объектов показало невозможность описания и обнаружения скрытых в них особенностей традиционными математическими методами. Небезынтересно вспомнить, что попытка измерить длину береговой линии - очень простой, на первый взгляд, задачи - привела к «проявлению» первого природного фрактала. По заданию военного ведомства знаменитый английский гидромеханик Л.Ф. Ричардсон (1881-1953) должен был вычислить по географическим картам протяженность побережья Британии. В результате он установил, что понятие длины в данном случае неприменимо, поскольку береговая линия является объектом дробной размерности. Такой вывод настолько ошеломил заказчика, что его реакцию история не сохранила по соображениям общественной морали [1].
С той поры прошло не мало лет. Интерес Б. Мандельброта к необычным объектам и добровольное, по его признанию, странствие между мате-
Г ЗГ
М. И. Турбина
матикой и другими науками не были безрезультатными: оказалось возможным не только говорить о береговых линиях и облаках, но и заглянуть в глубины «его величества Детерминированного Хаоса»1. «Эт о явление настолько просто, красиво и парадоксально, чт о остает сялишь удивляться, почему оно не было открыто полвека, а то и век тому назад» [4; 5, стр. 23]. Фрактальный подход оказался одним из нестандартных м етодов, позволивших приоткрыть тайну хаоса, контуры которого только начали вырисовываться.
Тогда, в середине 70-х годов прошлого столетия, Мандельброт еще не видел связи между фрактальной геометрией и хаосом. Однако ему и молодому поколению математиков, развивавших теорию хаоса и другие разделы теории динамических систем, не потребовалось много времени чтобы понять - образом хаоса в фазовом пространстве2 является хаотический аттрактор3, который может служить «изысканнейшим примером фрактала» [8, 9]. Так в теории фракталов по-
1 Термин «хаЭс» в контексте нелинейной динамики был введен в 1975 г. американскими математиками Т. Ли и Д. Йорке в статье «Период три означает хаос» [2]. Хаотические процессы в детерминированных нелинейных системах возникают в результате экспоненциальной неустойчивости режимов [3]. Возможность подобных явлений понимал и предвидел один из величайших математиков Анри Пуанкаре (1854-1912), заложивший основы теории динамических систем.
На фото вверху - трехмерное предст авление множества Мандельброта. Оно «... может оказаться одним из ключевых элемент ов некоторой ''натуральной'' математики, так же, как прямая линия являет ся одним из основных элемент ов евклидовой геометрии» [4, стр. 10; фото на обл.].
Рис. 1. Аттракт ор Лоренца, вид кот оро-го породил понятие «эффект бабочки», относящееся к невозможности делать долгосрочные прогнозы погоды [10].
явилось направление, связанное с изучением динамики целостных систем, обладающих свойством самоподобия во времени. Оно позволило не только моделировать сложнейшие нелинейные процессы, но и видеть красоту научных результатов.
Впервые наблюдал хаотический аттрактор в непрерывной динамической системе Эдвард Лоренц в 1963 г. (рис. 1). Он работал метеорологом в Массачусетском технологическом институте и анализировал атмосферные течения, чтобы понять трудности прогноза погоды. Занимаясь численным исследованием процессов конвекции, Лоренц сильно упростил исходные условия и получил всего три дифференциальных уравнения. Однако и такая система вела себя очень сложно! Результат компьютерного эксперимента ошеломил и заворожил его. На экране дисплея вместо «... ожидаемого эффект а появилось нечт о бесконечно запут анное, всегда расположенное в определенных границах, но никогда и не повт оряющееся. Изгибы линий приобрет али ст ран-ные, весьма характерные очерт ания, чт о-то похожее на два крыла бабочки или на двойную спираль в т рех-мерном пространстве. И эта форма свидетельствовала о полной неупорядоченности, поскольку ни одна из т очек или их комбинаций не повт орялась» [11, стр. 43].
Оказалось, что в результате численного моделирования Лоренц получил ст ранныйаттрактор. Такие образования проявляют существенную зависимость от начальных условий, называемую эффект ом бабочки. Это свойство определяет одну из «странностей» хаотических аттракторов. Другая странность обусловлена их
геометрическими особенностями - это сложные структуры, обладающие масшт абной инвариантностью. Они и выглядят странно - не являются гладкими кривыми или поверхностями, т.е. имеют дробную размерность и являются фрактальными объектами [2, 12].
Фракталы естественным образом порождаются хаосом. Это связано с необычной динамикой системы: «... близлежащие т раект ории, хотя они и расходят ся, должны, в конечном счете, изогнуться и пройти поблизости друг от друга. Эт о повт оряет ся снова и снова, порождая складки внутри складок, и т .д. до бесконечности» [6, стр. 23]. Другими словами, хаотический аттрактор - это фрактал с красивейшей микроскопической структурой.
Наглядное представление о том, что происходит с траекториями в фазовом пространстве может дать процесс вымешивания теста (раскатывание и складывание) с каплей какой-нибудь темной краски [6]. А смысл эффект а бабочки Лоренц разъяснил в статье «Предсказуемость: может ли взмах крылышек бабочки в Бразилии привести к образованию торнадо в Техасе?», опубликованной в 1979 г. [13]. Он теперь мог, по крайней мере, оправдать неспособность метеорологов давать надеж-
4
ные долгосрочные прогнозы погоды .
Попытка понять некоторые секреты нелинейных процессов привела к обнаружению хаоса в дискретных системах, а их сложная структура была проявлена благодаря компьютерам, которые действуют «... как мощные хирургические пинцеты, извлекая фракт алы из темных закоулков абстрактной математики и выставляя на яркий свет их т ончайшие геомет рические особенности» [14, стр. 19]. Эффектным примером построения таких систем является графическое представление мно-
Рис. 2. Множество Мандельброта для процесса Х ® Х2+ С[по 4, стр. 25].
2 Фазовое пространство (ФП) - абстрактное пространство, позволяющее наглядно наблюдать поведение системы во времени, при этом координатами служат компоненты ее состояния, выбираемые в зависимости от контекста. Например, это могут быть положение и скорость (в случае механической системы) или параметры популяции различных биологических видов (в случае экологической модели). ФП дает мощное средство для изучения хаотических систем, т.к. позволяет представить их эволюцию в геометрической форме. Траектория может иметь вид, например, «клубка» (см. рис. 1 и сноску 3). Оказалось, что «клубок» имеет отношение к динамике лазеров, перемешиванию коктейлей и системам охлаждения атомных станций [5, 6].
3 Аттрактор (англ. attract - привлекательный, притягательный) - область в фазовом пространстве с меньшей размерностью, к которой стремятся траектории. Эта область характеризует поведение системы в ее установившемся режиме. Термин «странный аттрактор» впервые появился в 1971 г. в статье «Природа турбулентности» Д. Рюэля и Ф. Такенса [6, 7].
4 Справедливости ради надо отметить, что гораздо раньше это заметил А. Пуанкаре (см. сноски 1, 11), однако Лоренц не был знаком с его трудами. А работа Лоренца, к сожалению, оставалась невостребованной вплоть до 1971 г. (см. сноску 3).
а дМ б
¿ь 4 ^
шм . гУУГТ- - |
% 1
ш ^ !г1 \Г Л А *
1 ^¿Р
Рис. 3. Связное множество Жюлиа при некот ором значении С,
принадлежащем М (а) [4, фот о 18]; когда С пересекает границу М, множества Жюлиа превращают ся в пыль (б) [10].
жеств Жюлиа и Мандельброта на плоскости, чарующее красотой фрактальных образов [13].
Еще в 1918 г. французские математики Гастон Жюлиа (1893-1978) и Пьер Фату (1878-1929), занимаясь изучением комплексных чисел, исследовали поведение последовательности точек на комплексной плоскости, порождаемых нелинейным преобразованием довольно простого вида: Zm1 = Z2 + С, где Z и С - комплексные переменная и константа, соответственно.
Оказалось, что динамика этих точек зависит от значения Они либо свободно путешествуют по плоскости, постепенно уходя в бесконечность (множество «беглецов»), - бесконечность является аттрактором для процесса итерации, либо замыкаются в определенной комплексной области (множество «пленников») - нуль является аттрактором [4, 15]. Таким образом, плоскость делится как бы на зоны влияния. А вид границы между ними зависит от комплексного числа С, причем проявляется ярко выраженная нелинейность: при самом малом изменении С этот вид претерпевает значительные изменения. Когда это число равно нулю, то граница - окружность единичного радиуса - гладкая кривая. При С, отличном от нуля, например, С = - 0,12375 + 0, 56508 /, начинаются сюрпризы: внутренний аттрактор уже не является нулем, а граница уже не гладкая. Линия окружности не только деформируется, но и становится сильно изломанной, что видно и при увеличении, причем одна и та же форма встречается в разных местах, что говорит о самоподобии. Именно эти свойства Б. Мандельброт отнес к фракт альным. В математике границы такого рода называют множествами Жюлиа [4].
Увлекательная работа Жюлиа и Фату была мало известна даже большинству математиков, так как без компьютера выразить их изящные идеи было почти невозможно. Например, Жюлиа и Фату установили, что всю границу можно определить по любой малой ее части, используя конечное число итераций приведенной выше формулы, т.е. они уже тогда имели представление о самоподобии [4].
Мандельброт впервые случайно увидел примитив-
ные рисунки Жюлиа, будучи студентом. Однако они не вы-звали у него интереса. И только спустя полвека, в конце 70-х гг., Мандельброт обратился к «погребенным в песках забвения» работам Г Жюлиа и П. Фату. Он вспомнил рисунки Жюлиа и понял, что видел грубые наброски сложных форм с фрактальной структурой! Придав визуальное представление его идеям, Манде-льброт как бы оживил их [2, 8].
Пытаясь классифицировать бесконечное разнообразие множеств Жюлиа, Мандельбрототкрыл очень простой способ построения на комплексной плоскости единого изображения, которое служит своеобразным каталогом возможных их вариантов [8]. Он рассмотрел приведенное выше квадратичное преобразование, но при других начальных условиях. Вот как вспоминает об этом сам Б. Мандельброт: «В 1906 г. Фату удалось показать, чт о для некоторых С бесконечно удаленная т очка при-т ягивает всю комплексную плоскость, кроме множества Жюлиа, которое являет ся очень «тонким» и образует то, что теперь называют «фракт альной пылью». Пыль не может быть границей какого бы то ни было множества независимо от его типа, и, следовательно, искомое множество М'должно быть подмножеством множества т аких С, для которых множество Жюлиа не являет ся пылью, т .е. связно. Именно последнему множеству (обозначим его М) присвоили мое имя5» [16, стр. 134] (рис. 2).
Эта черная структура определяет вид множеств Жюлиа при каждом конкретном значении С. Они являются связными, если С лежит внутри М (рис. 3, а) и распадаются на изолированные части, если С находится вне М. «... самые драматические качественные изменения с соответ ствующими множествами Жюлиа происходят , когда С пересекает границу М: они, как будт о взорвавшись, превращаются в облако из бесконечного числа разобщенныхт очек»[4, стр. 27] - пыль Фату (рис. 3, б).
Для каждого значения С можно получить большое разнообразие множеств Жюлиа: «... одни из них похожи на большие ''толстые'' тучи, другие напоминают редкие кусты ежевики, т ретьи выглядят, как искры, лет я-щие в небе во время фейерверка. Одно множество имеет форму кролика, у многих других хвосты, как у морского конька...» [17 стр. 141]. Увеличение степени разрешения6 проявляет новые детали контура этих фракталов, причем в последовательности структур, вложенных одна в другую, они похожи, но никогда не идентичны друг другу [8].
Существует бесконечное количество множеств Жюлиа, тогда как множество Мандельброта уникально. Этот открытый ученым «фрагмент абст рактной математики» оказался очень сложным, о чем он не подозревал на начальном этапе его построения. Самые первые компьютерные изображения структур были размытыми. Мандельброт даже решил, что они являются результа-
5 Множество назвал именем Мандельброта французский математик А. Дуади, так как тот впервые получил его в 1980 г. с помощью компьютера и положил начало описанию [4].
6 Т.е. учет все большего количества знаков после запятой при вычислении Z.
Рис. 4. а1 - множество Мандельброта; а2 - его главная впадина с «долиной морских коньков» (справа)[4, фот о 34-35]; а3, а4 - увеличенные фрагменты эт ой долины - впечат ляющие изображения водоворот ов, спиралей, напоминающих органические сущности, и др. [4, фот о 36, 38]; б1 - фрагмент хвоста морского конька; б2 - его увеличенная деталь [4, фото 43-44]. Примечание. Здесь и далее на фот о область последующего увеличения показана рамкой.
том сбоя программы! Интуиция и здесь не подвела его. Ученый чувствовал и понимал - за их неясными очертаниями скрывается нечто интересное. Эти структуры оказались частью фантастически причудливого множества, получаемого удивительно простым образом! Однако для создания даже грубого его изображения требуются миллионы вычислений [4, 7].
А. Дуади очень подробно описывает этот знаменитый фрактал: «Если взглянуть на множество Ман-дельброт а, то первое, чт о бросает ся в глаза - это область, ограниченная кардиоидой7. Затем виден касательный к кардиоиде круг ... и наконец бесчисленное множество меньших областей, которые т акже касательны к кардиоиде, а по форме напоминают круг ... Но и это еще не все!.» [17, стр. 142] (см. рис. 2). И действительно, более подробное рассмотрение выявляет большое количество округлых выступов с краями, густо усеянными образованиями такой же формы. Все это создает своего рода бородавчатую структуру, связанную с главной кардиоидой «нитями», насыщенными малыми формами типа кардиоид. Во впадине между самыми крупными областями обнаруживается множество мельчайших наростиков на фоне общего беспорядочного завихрения [17, 19] (см. рис. 4, а2).
Повышение разрешающей способности вычислений позволяет совершить путешествие вглубь черной структуры. Зафиксированное на видеопленке, оно «... пред-ст авляет собой незабываемый опыт. По мере т ого, как масшт аб съемки растет , и изображение границы укрупняется, кажется, что прорастают побеги и уси-
ки, которые, после очередного увеличения, растворяют ся в огромном количестве форм - спиралей внутри спиралей, морских коньков и водоворотов, снова и снова повторяющих одни и те же паттерны» [8, стр. 126] (рис. 4).
Мощности современных компьютеров могут дать 100 000 000-кратное увеличение! Каждая стадия изменения масштаба дает удивительные картины во всей их бесконечной сложности. «И на каждом шагу нас ждет головокружительное открытие: мы снова и снова обнаруживаем мельчайшую копию всего множества Ман-дельброт а, глубоко запрятанную в ст рукт уре его границы» [8, стр. 126]. Она почти неотличима от оригинала и имеет аналогично расположенных собственных «детенышей» (рис. 5). Их исследование при постоянном увеличении разрешающей способности системы наблюдения показывает бесконечное разнообразие фантастических сцен невероятной сложности [19]. Здесь кстати вспомнить генетическую организацию высших организмов: «. каждая клетка содержит полный геном, совокупность всех форм проявления, но в любой т очке организма на самом деле проявляется только некоторая малая часть этих форм» [4, стр. 33].
Выдающийся ученый современности Роджер Пенро-уз, известный своими работами в различных областях математики, общей теории относительности, квантовой теории и космологии, задается вопросом, насколько реальны объекты математического мира или это - просто понятия, представляющие собой мысленные идеализации, рожденные разумом абстракции? Он относит
7 Кардиоида [кардио... + гр. е1^э - вид] - мат. плоская кривая, описываемая точкой окружности, катящейся без скольжения по неподвижной окружности того же радиуса и имеющей с первой окружностью внешнее касание; по форме напоминает контур сердца [18, стр. 216-217].
%
Ьк : '
tf&ktJ^i, ил.'
Б
ii *
**
&Г
Рис. 5. Сильно увеличенная крошечная деталь фрагмента границы М из долины морских коньков (а) и ее дальнейшее увеличение, обнаружившее «дет енышей» (б, в) [4, фот о 47-49].
себя к математическим платонистам8 и предлагает отбросить сомнения в том, что экзотические структуры существуют вполне реально, и их можно исследовать так же, как изучаются, например, джунгли [19]. «Множество Мандельброт а - это не плод человеческого воображения, а открытие. Подобно горе Эверест, множество Мандельброт а уже существовало ''т ам вовне''!» - считает Пенроуз и добавляет, что это ''существование'' есть свойство его абсолютной природы [19, стр. 87]. Оно не зависит ни от математика, ни от компьютера, с помощью которого его исследуют. «Эт а ''независимость-от-математика'' множества Мандельброт а и обеспечивает ему платоническое существование. Более т ого, наиболее тонкие детали этого множества лежат за пределами т ого, чт о можно достигнуть с помощью компьют ера. Эт и устройст ва способны только аппроксимировать структуры, имеющие свое, более глубокое и ''не зависящее-от-компьютера'', существование» [19, стр. 102]. Такова позиция ученого. Однако он не исключает и другие разумные точки зрения, позволяющие исследовать данный вопрос.
Нетривиальный подход к познанию закономерностей «безжалостно нелинейной Природы» использовали физики [8]. Они плодотворно применили идеи самоподобия при исследовании процессов фазовых переходов, и в частности, - между магнитным и немагнитным состоянием вещества. Вплоть до конца 60-х годов прошлого века оставался загадочным тот факт, что совершенно разные системы, например, магнит вблизи точки Кюри (Тс)9 и жидкость в критической точке оказываются похожими в количественном отношении. «Микроскопическая природа порядка, казалось, не имела значения для понимания этого явления. Что же т огда было основной причиной наблюдаемого сходства?» [4, стр. 112].
Решающая идея решения проблемы принадлежит американскому физику Л.П. Каданову (19б6 г). Не используя
явно сам термин «самоподобие», ученый предложил основную концепцию, выражающую это понятие. Идея заключалась в том, чтобы рассматривать свойства одного и того же магнита в различных масштабах и связать их с изменением температуры10. Она позволила удовлетворительно объяснить физику фазовых переходов. Но Каданову не удалось прийти к законченной теории -настолько трудным оказался путь от идеи перенормировки до ее логического завершения. Преодолеть препятствия удалось в 1970 г К.Г. Вильсону - лауреату Нобелевской премии по физике, - развившему метод перенормировок [4]. Дальнейшее совершенствование этой теории показало, что фазовый переход ферромагнетика в области точки Кюри порождает фрактальную границу раздела фаз. Эту задачу рассматривали много лет назад американские физики, лауреаты Нобелевской премии Т. Ли и Ч. Янг [20]. Оказалось, что «...физика фазовых переходов соприкасает ся с мат емат икой множест в Жюлиа» [4, стр. 111] (рис. 6). Это явление может быть типичным, и тогда обнаруженная связь с идеей Каданова о самоподобии подвигнет на изучение физического смысла такого математического феномена [4].
Исследования показали, что множество процессов,
Рис. 6. Гоафическая форма решения Янгом и Ли задачи о пере-магничивании при Т„, полученная с помощью мощной вычислит ельной т ехники. Хорошо видно самоподобие процесса: в разном масштабе геометрия фазовых границ не меняет ся [4, фот о 12-13].
8 « Точка зрения, согласно которой математические понятия могут существовать в высшем, вневременном смысле, была впервые высказана еще в древности (около 360 года до н.э.) великим греческим философом Платоном» [19, стр. 89].
9 Т - температура, выше которой ферромагнетики теряют намагниченность и становятся парамагнетиками [18, стр. 268].
10 Анализ поведения атомных магнитов при огрублении шкалы от нанометров до микрометров выявил, что в таком случае магнит при заданной температуре выглядит так, как будто его температура различна. «Можно говорить, что масштабное преобразование вызывает соответ ствующую перенормировку температ уры» [4, стр. 113]. Если температура магнита равна Т„ его вид не меняется при любых масштабах. Считается, что в этом случае в нем существуют согласованные флуктуации любых масштабов, причем малые включены в большие. Таким образом, получается, что флуктуации при такой температуре самоподобны!
Й<
Рис. 7. Компьют ерное представление границы между тремя парами притягивающихся т ел (решение задачи трех т ел). «Желтым, голубым и серым цвет ом окрашены определяемыеалгорит мом Ньютона области влияния для корней некоторого полиномиального уравнения. Где бы ни встретились, чт обы образовать границу, две области, ... третья область посылает туда цепочку своих ст орожевых пост ов. Чт обы эти ст орожевые посты не сформировали двухсторонние границы со своими соседями, они, в свою очередь, окружают ся цепочками островов, образуя структуры, повторяющиеся вновь и вновь до бесконечно малых размеров» [4, стр. 35; фот о 75].
Примечание. Маленькая «луна» показывает обратную ст орону«планеты».
описываемых в различных физических и математических задачах «... имеют одно общее - это конкуренцию нескольких центров за доминирование на плоскости. Простые границы между территориями в результ ате т акого соперничества возникают редко. Чаще имеет мест о нескончаемое филигранное переплетение и непрекращающаяся борьба даже за самые малые участки» [4, стр. 20]. Именно эта пограничная область характеризуется переходом от одной формы существования к другой, например, от намагниченного состояния к
ненамагниченному. Все зависит от интерпретации примыкающих к границе сущностей.
В знаменитой проблеме трех тел11 в небесной механике рассматривается, например, граница, в каждой точке которой «... пересекаются все три границы между всеми тремя парами притягивающихся тел» [20, стр. 15]. Картину строят методом компьютерной графики, используя алгоритм Ньютона, трансформирующий задачу нахождения корней уравнения ^) = 0 в динамический процесс. Вычисления начинают, не зная точного решения. «Прилюбом начальном значении алгоритм Ньют она приводит к значению, более близкому к одному из решений» [4, стр. 34], которые действуют как центры притяжения поля сил12. Сложная структура границы, т.е. множества Жюлиа, показана на рис. 7.
Такие головоломные, на первый взгляд, но завораживающие, картины показывают, что изучению поддается и сложное: в его поведении существуют определенные правила. Однако даже в случае простейших нелинейных соотношений реальный процесс может иметь области, которые в принципе нельзя исследовать экспериментальными методами. Поэтому фракталы сегодня служат одним из самых мощных средств моделирования сложных нелинейных процессов. Введение новых количественных показателей в виде дробных размерностей дает возможность изучать не только топологию объектов, но и процессы эволюции систем, а также их динамические свойства, а фантастическая феноменология возникающих сложных границ вызывает эстетическое наслаждение [4].
Математики и физики нередко использовали эстетические категории в качестве критерия, если не истины, то, по крайней мере, завершенности. Выдающийся немецкий математик Герман Вейль (1885-1955) откровенно признался: «В своей работе я всегда пытался объединить истину с красотой, а когда мне приходилось выбирать между ними, я обычно выбирал красот у» [4, стр. 20].
Не исключено, что развитие науки из-за возрастающей ее сложности в принципе станет невозможным, если не использовать методы искусства [22]. Наука и искусство являются дополняющими друг друга способами познания природы - аналитическим и интуитивным. Нередко методы искусства позволяют воспринимать мир глубже, освобождая научную мысль от оков условностей , большинство из которых неестественно человеческой сути13. Фрактальная графика как раз и становится связующим началом между рациональным научным познанием и искусством [21].
11 В 1887 г. был объявлен конкурс с денежной премией тому, кто докажет устойчивость орбит Солнечной системы. Победил в нем А. Пуанкаре, хотя и не решил полностью поставленной задачи. Он применил свой топологический метод к слегка упрощенной проблеме трех тел, определив только общую форму их траекторий, отличающуюся устрашающей сложностью. В готовящейся к печати статье другой математик обнаружил ошибку. Публикация ее была отложена на год. Пуанкаре пришлось потратить почти всю премию на исправление ошибки, зато она помогла ему обнаружить «гомоклинические точки» (аттрактор), что заложило основы теории хаоса. Статья «О задаче трех тел и об уравнениях динамики» была опубликована в 1889 г. Именно в ней он пришел к необычной ситуации, когда «небольшие расхождения в начальных условиях ведут к огромным различиям в наблюдаемых в итоге явлениях». Однако работы Пуанкаре оказались востребованными только в конце 60-х годов XX в., когда ученым пришлось разбираться в сложностях хаоса [8, 22].
12 В этом появляется одна из любимых Ньютоном тем! «Ньютон горевал (или радовался), что единственной проблемой, от которой у него когда-либо болела голова, было вычисление орбиты Луны. Действительно, наш верный спутник притягивает не только Земля, но и Солнце, делая его членом системы из трех тел» [7, стр. 146].
Вопрос о дальности влияния притяжения различных центров и характере границы между ними еще в 1879 г. интересовал А. Кэли (1821-1895), но он оказался слишком сложным. Эта проблема и явилась отправной точкой для Жюлиа и Фату в построении великолепной теории итераций рациональных функций на комплексной плоскости [4].
Конечно же, надо допускать, что некоторые свойства, относимые к компьютерным рисункам, не очень естественны. «Бесконечная микроскопическая глубина, на которую, кажется, простирается самоподобие, являет ся математической конструкцией, не существующей в реальном мире. Физические объекты редко оказываются самоподобными при увеличении более чем на четыре порядка. В биологии новые принципы самоорганизации проявляются при увеличении обычно на два порядка (макромолекулы имеют диаметр, примерно равный 100 атомам, простые клетки - диамет р около 100 макромолекул и т .д.). Следовательно, рас-смот ренный нами квадратичный процесс ® + С не дает т очного описания реального мира» [4, стр. 34]. Это и понято, ведь каждый закон имеет свою область применения, которую необходимо точно определить. Трудно ожидать, например, что с помощью множеств Жюлиа можно создать модель какого-либо биологического явления, но несомненно, что «... онипредст авляют собой поразительный пример того, как очень простая динамическая система может развить незначительную информацию, содержащуюся в ключе, и породить разнообразные высокоорганизованные структуры» [17, стр. 153].
Основные понятия теории фракталов все еще обсуждаются, но это не мешает ее приложению к различным областям естествознания и даже заключать пари. Предметом спора известного специалиста по исследованиям крупномасштабных структур в расширяющейся Вселенной М. Дэвиса и привнесшего в астрофизику новые идеи из статистической физики и науки о сложности Л. Пиетро-неро является сущий «пустячок»: однородна14 или фрак-тальна15 Вселенная на масштабах, больше чем 15 Мпк (1 пк = 3 • 1016 м). Главный вопрос, составляющий смысл этого спора, - как измерять внегалактические фракталы -все еще остается предметом дискуссий. Поэтому вино продолжает зреть в своих бутылках [7].
А нам только и остается, что завершить наше совместное путешествие в удивительный мир, который открыл Б. Мандельброт, обратив внимание и по-новому взглянув (в том числе и с точки зрения мухи!) на то, что встречалось в повседневной жизни буквально на каждом шагу и оставалось незамеченным. Автор статьи надеется, что фантастические и изумительные картины фрактальных ландшафтов подвигнут читателей на самостоятельные странствия по извилистым, изрезанным тропинкам в их таинственно-сказочном пространстве. Если заблудитесь, не волнуйтесь, чтобы не «свалиться» на такой странный аттрактор Лоренца. Несмотря на то, что он красив и напоминает крылья бабочки, придется оч-ч-чень лихо покувыркаться! (См. рис. 1).
Литература
1. Соколов Д. Фракт алы, самоподобие, ст рукт уры [herba.msu.ru/russian/symposium/2001/morpho/sokolof.rtf]
2. Рюэль Д. Случайность и хаос. - Ижевск: НИЦ «Регулярная ихаотическаядинамика», 2001. -192 с.
3. Анищенко В.С. Детерминированный хаос / Сорос. образ. журн. -1997. - № 6. - Стр. 70-76.
4. Пайтген Х.-О., Рихтер П.Х. Красота фракт алов. Образы комплексных динамических систем / Пер. с англ. - М.: Мир, 1993. -176 с.
5. Малинецкий Г., Пот апов А. Джокеры, русла, или поиски т ретьей парадигмы //Знание - сила. - 1998. -№ 3. - С. 19-35.
6. Кратчфилд Джеймс П., Фармер Дж. Дойн, Паккард Норман Х., Шоу Роберт С. Хаос // В мире науки. -1987. - № 2. - С. 16-28.
7. Барышев Ю. и Пекка Теерикорпи. Фракт альная структура Вселенной. Очерк развития космологии. -Нижний Архыз: Изд-во САО РАН, 2005. - 396 с.
8. Капра Ф. Паутина жизни. Новое научное понимание живых систем / Пер. с англ. - К.: София; М.: София, 2003. - 336. с.
9. Дмитриев А. Хаос, фракталы и информация // Наука и жизнь. -2001. - № 5. - С. 44-52.
10. http://ru.wikipedia.org/wiki/
11. Глейк Дж. Хаос. Создание новой науки. - СПб.: Амфора, 2001. - 300 с.
12. МалинцкийГ.Г.Хаос. Структуры. Вычислительный эксперимент: Введение в нелинейную динамику. -М.: Эдит ориал УРСС, 2000. -256с.
13. Кроновер Р. Фракт алы и хаос в динамических системах / Пер. с англ. - М.: Пост маркет, 2000. - 350 с.
14. Шрёдер М. Фракт алы, хаос, степенные законы. - Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001. - 528 с.
15. Юргенс Х., Пайтген Х.-О., Заупе Д. Язык фрак-т алов //В мире науки. -1990. - № 10. - С. 36-44.
16. Мандельброт Б.Б. Фракт алы и возрождение теории итераций // Пайтген Х.-О., Рихтер П.Х. Красот а фракт алов. Образы комплексных динамических систем/Пер. с англ. - М.: Мир, 1993. - С. 131-140.
17. Дуади А. Множества Жюлиа и множество Мандельброт а //Пайтген Х.-О., Рихтер П.Х. Красота фрак-т алов. Образы комплексных динамических систем / Пер. с англ. - М.: Мир, 1993. - С. 141-153.
18. Словарь иностранных слов. - 13-е изд. стереотип. -М.: С48Рус. яз., 1986. -608 с.
19. Пенроуз Р. Новый ум короля: О компьютерах, мышлении и законах физики / Пер. с англ.; общ. ред. В.О. Малышенко. - М.: Едит ориал УРСС, 2003. - 384 с.
20. Транковский С. Красота хаоса // Наука и жизнь. -1994. - № 4. - С. 14-17.
21. Галиулин Р. От мавританских орнаментов к фракталам // Наука и жизнь. -1995. - № 8 - С. 59-65.
22. Уиггинс А., Уинн Ч. Пять нерешенных проблем науки/Пер. с англ. - М.: ФАИР-ПРЕСС, 2005. - 304 с.
13 Эстетическое восприятие спасло интересный результат моделирования поля сил, действующих на заряженную частицу в кристаллической решетке, когда с фрактальных позиций попытались подойти к проблеме высокотемпературной сверхпроводимости. Неправдоподобную картинку, имеющую все свойства фрактала, не посчитали ошибкой благодаря ее красоте [21].
14 Л. Пиетронеро выставляет лучшее итальянское вино [7].
15 М. Дэвис ставит ящик лучшего калифорнийского вина [7].
