Еще раз о парадоксе Эйнштейна-Подольского-Розена Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 530:145 Л. В. Прохоров

Вестник СПбГУ. Сер. 4, 2003, вып. 4 (№28)

ЕЩЕ РАЗ О ПАРАДОКСЕ ЭЙНШТЕЙНА-ПОДОЛЬСКОГО-РОЗЕНА

Введение. Парадоксу Эйнштейна — Подольского — Розена (ЭПР) [1] посвящена огромная литература. Лишь за последнее десятилетие появилось около десятка тысяч статей (Е. Б. Александров, частн. сообщ.). Проблема изучается не только теоретически, но и экспериментально (см., например, [2,3]). Обращает на себя внимание то, что вопрос рассматривается в постановке авторов [1], без учета уточнений, неизбежных в связи с приближенностью квантовомеханического, а тем более нерелятивистского описания (квантовая механика частицы есть «одночастичное приближение» в квантовой теории поля). Цель статьи — указать на некоторые аспекты проблемы, существенные для ее понимания и вытекающие из очевидного факта, что в основе всех явлений природы лежит квантовая теория поля.

Существо парадокса ЭПР заключается в следующем. Пусть система двух (нерелятивистских) частиц описывается волновой функцией Ф(а:], х2). Пусть имеются два некоммутирующих самосопряженных оператора А, В, относящихся к частице 1, с собственными функциями u7l, vn соответственно. Тогда для Ф справедливы разложения

Ъ(х1,х2) - '^2’Фгг{х2)ип(х1),

П

'И(Х1,Х2) = Y^Vri(x2)vn{x\).

П

Если экспериментатор при измерении физической величины, представляемой оператором А, убеждается, что частица 1 находится в состоянии ип, то частица 2 в результате «редукции волнового пакета» [1] оказывается в состоянии -фп. Если, однако, экспериментатор предпочел бы измерить величину В и обнаружил частицу 1 в состоянии v„, то частица 2 оказалась бы в состоянии ipn ф фп. Получается, что даже для удалившихся друг от друга частиц состояние частицы 2 зависит от выбора экспериментатором измеряемой величины в опыте с частицей 1. Это, казалось бы, возможно лишь, если или допустить мгновенное влияние друг на друга физических систем, разделенных пространственно-подобным интервалом, или признать, что в действительности частица может одновременно обладать определенными значениями и А, и В.

Именно вторая возможность обсуждалась в [1]. Если коммутатор [А, В] ф 0, то, согласно квантовой механике, частица не может одновременно характеризоваться определенными значениями А и В. Между тем в результате опытов только с частицей 1, т. е. без всякого влияния на частицу 2, последняя может оказаться в состоянии либо xjjn, либо в (рп. Функции фп и (рп могут быть собственными функциями некоммутирующих операторов, что подразумевает: «в действительности» частица 2 одновременно характеризуется определенными значениями обоих этих операторов. Отсюда делается вывод о неполноте квантовой механики, о существовании «скрытых параметров», допускающих более полное описание частиц.

Уже в этой оригинальной постановке проблемы [1] ощущается необходимость уточнений. Например, акт измерения никогда не происходит мгновенно. Всякое измерение

© JI. В. Прохоров, 2003

требует времени. Далее, не существует точечных частиц. Всякая частица есть квант (нелокальное возбуждение) поля. Наконец, редукция волнового пакета никогда не происходит мгновенно. Подобная идеализация допустима лишь в нерелятивистской теории. Но именно релятивизм (невозможность мгновенной передачи информации из одной точки пространства в другую) и лежит в основе парадокса.

Сделанные замечания, очевидно, не исчерпывают существа проблемы. Ее корень лежит в ответе на вопрос: какая физическая реальность отвечает волновой функции? Ниже волновая функция понимается так, как этого требует квантовая теория поля (и как вытекает из анализа [4-6]). Именно частица есть квант соответствующего поля, т. е. возбуждение поля в некоторой области пространства. Волновая функция описывает это возбуждение. Оказывается, что очевидная трудность такой точки зрения — нелокальное возбуждение поля ведет себя как частица — имеет объяснение в рамках самой теории поля [5,6].

Вероятностные предсказания. Классическая физика. Пусть шар может с вероятностью 1/2 попасть в одну из двух урн, удаленных друг от друга. Обнаружение шара в урне 1 означает его отсутствие в урне 2, т.е. мгновенно меняет информацию о местонахождении шара. Здесь, однако, нет мгновенной передачи информации о заполнении второй урны, есть изменение информации в результате измерения (акта наблюдения). Таким образом, в теории вероятностей мгновенное изменение информации в результате акта наблюдения не противоречит теории относительности. «Выбор траектории» шара был сделан при его движении к одной из урн.

Квантовая механика. Согласно анализу [4-6], квантовая механика оперирует «обычными» вероятностями. Специфика квантовой механики в том, что динамические переменные одновременно несут информацию и о вероятности принятия ими того или иного значения. Например, как отмечалось выше, в квантовой теории поля волновая функция частицы (кванта поля) есть функция, характеризующая возбуждение поля. Сведения о вероятностях зашифрованы в волновых функциях так, что для извлечения вероятностей необходимо произвести некоторые операции (скажем, умножить функцию на ее комплексно сопряженную). В остальном ситуация идентична классической.

Модель. Чтобы прояснить ситуацию с парадоксом ЭПР, рассмотрим модель, в которой пространство состоит из двух точек, а время меняется дискретно (рис. 1). Достоинство модели — ее максимальная простота. Здесь нет места для скрытых параметров, хотя в ее рамках можно сформулировать квантовую теорию.

1 о о о о о о о -------------------------------►

20000000 ‘

*2 Ч

Рис. 1.

В классической физике случайные перемещения частицы из точки г в момент времени в точку к в момент времени задаются положительными числами 2), i, к = 1, 2, ^2к = 1,

т. е. игцс есть вероятность для частицы перейти из точки г в точку к. Вероятность найти частицу в момент времени <з в точке к равна 3) = ги^(1, 2)ш^*(2, 3).

В квантовой механике соответствующие перемещения частицы описываются комплексными амплитудами -0^(1, 2), причем — 1. Вероятность в момент найти частицу в точке к равна

^гк{ 1.3) = , т.е. здесь появляются интерференционные члены. Тем не менее

обнаружение частицы в точке 1 исключает ее присутствие в точке 2. При этом в модели вообще нет смысла говорить о «сверхсветовой» передаче информации, поскольку пространство дискретно, хотя «квантовая механика» наличествует. Существенную роль играет закон сохранения частиц: если части-

ца обнаружена в точке 1, то ее заведомо нет в точке 2. Законы сохранения являют собой непременный атрибут систем, рассматриваемых в связи с проблемой ЭПР.

Йтак, и в классической, и в квантовой теориях мгновенное изменение информации о системе не свидетельствует о мгновенной передаче информации из одной точки в другую. Тот или иной результат измерения был предопределен на промежуточных этапах, причем детали соответствующих процессов находятся за рамками теорий (отсюда необходимость прибегать к вероятностям). Учет данных деталей сделал бы излишним обращение к теории вероятностей (правда, в случае броуновского движения, например, это предполагало бы умение решать задачу движения порядка 1023 частиц).

Более сложная модель. Следующая, более сложная конструкция моделирует пример ЭПР (рис. 2). Частица в каждой из точек 1, 2 может находиться в двух «состояниях». В классической физике они задаются 2-векторами ^ ^ ^^ ^ ^, в квантовой

1 \ / о

механике — «спинорами» ^ q J’ ^ ^ ) «с осью квантования г». Будем их обозначать |1) и |0).

1 © © © § © © © г©©©©©©©"' г1 h h

Рис. 2.

«Спиноры» с осью квантования г', образующей с осью 2 угол в, таковы:

|Т) = |1) cos0/2 + гjO) sin 0/2, jO'-) = ijl) sin9/2 + jO) cos9/2. (1)

Строго говоря, эти объекты не есть спиноры, поскольку здесь нет группы 50(3), осей л, z' и т.д. Но их можно наделить некоторыми чертами спиноров, позволяющими воспроизвести существо проблемы.

Классическая физика. Допустим, что имеющиеся две частицы не могут поместиться в одну ячейку (обе в ^ q ^ или в ^ 1 ))’ даже если они находятся в разных точках. Тогда обнаружение

частицы в точке 1 в ячейке 1 означает, что вторая частица находится в точке 2 в ячейке 2. Этот тривиальный случай рассмотрен ради возможности сравнить его со следующим примером. Квантовая механика. Частицы в конечном состоянии описываются вектором

\Ф) — 11)|0> cos^ + |0)|1) sin ф\ (2)

вектор, стоящий слева, описывает частицу в точке 1. Здесь важно, что каждая из частиц не находится в чистом состоянии, поэтому для выявления соответствующего вероятностного распределения необходимо проделать серию опытов. Для вектора |0) из обнаружения в точке 1 частицы в состоянии |1) следует, что частица в точке 2 находится в состоянии |0). То, что состояние каждой из частиц является смешанным, означает, что частицы лишь с какой-то вероятностью оказываются в состоянии, скажем, |1)|0). Очевидно, реализация вероятного события не влечет мгновенной передачи информации, и возможность суждения о состоянии частицы в точке 2 определяется лишь законом сохранения. Многократное повторение опыта показало бы, что в точке 1 частица находится в состоянии |1) с вероятностью cos2 ф.

Пусть в (2) ф = —7г/4. Тогда состояние | — 7г/4) инвариантно относительно преобразования (1) («синглет»):

|1>|0> — |0) 11) = |1/>|0,> — |0/)|1/).

Если теперь в точке 1 производится измерение «проекции спина» на ось z' и регистрируется состояние |1'), то частица 2 оказывается в состоянии |0'). Состояния |0) и |0'} являются собственными векторами некоммутирующих операторов, т.е. аналогия с операторами А и В полная.

Таким образом, важны следующие обстоятельства:

1) наличие закона сохранения (числа шаров или «спина»);

2) то, что каждая из частиц находится в смешанном состоянии.

Второе обстоятельство может породить недоразумения. При ф — 0 в (2) каждая частица находится в чистом состоянии, и ситуация теряет парадоксальность, ибо состояние частицы 2 определяется законом сохранения «спина» (ситуация полностью аналогична ситуации с шарами). Констатация того факта, что частица 1 оказывается в состоянии |1), мгновенно меняет информацию о частице 2, ибо тем самым устанавливается, что система не находится в состоянии |0)|1). При этом достаточно оперировать лишь с «классическими» вероятностями (состояния |1}|0) и |0)|1) аналогичны двум урнам в опыте с шарами). Если же 0 < ф < 7Г, то можно говорить лишь о вероятностях, с которыми частицы находятся в том или ином состоянии. В силу законов сохранения классическая теория вероятностей позволяет делать достоверные утверждения относительно удаленной части системы по результатам измерения в ее данной части. Частицы лишь с какой-то вероятностью описываются вектором |1}|0), и событием является реализация одного из состояний-. 11) |0) или |0)|1). Существенная особенность модели — отсутствие какой-либо связи между точками 1,2, что лишает смысла разговор о «мгновенном» обмене информацией между ними и о «скрытых параметрах». В данной элементарной модели для них нет места.

Итак, в принципиальном плане само по себе описание с помощью амплитуд вероятностей не ведет к парадоксам.

Аргументация Эйнштейна—Подольского—Розена. Целью авторов работы [1] было показать неполноту квантового описания. Они опирались на такие предположения:

1. «Каждый элемент физической реальности должен иметь отражение в физической теории» [1, с. 605].

2. «Если мы можем, без какого бы то ни было возмущения системы, предсказать с достоверностью значение некоторой физической величины, то существует элемент физической реальности, соответствующий этой физической величине» (там же).

Экспериментатор, не возмущая систему 2, может удостоверить, что она находится в состоянии с определенными значениями или координаты С?, или импульса Р. Следовательно, для системы 2 и и Р являются элементами физической реальности, тогда как квантовая механика утверждает, что любая система не может одновременно характеризоваться определенными значениями и <2, и Р. Отсюда делался вывод о неполноте квантовой механики (она не дает полной информации о системе). По этому поводу сделаем несколько замечаний:

1) может создаться впечатление, что авторы [1] доказывают неполноту квантовой механики, оставаясь в ее рамках, т. е. если их рассуждение безупречно, то они доказывают ее внутреннюю противоречивость (квантовая механика запрещает одновременное существование определенных и Р, & в работе [1] показывается, что это не так). В действительности в работе подчеркивается важность учета релятивизма;

2) авторы [1] сами указывают на слабый пункт своего анализа: «... мы не пришли бы к нашему заключению, если бы настаивали на том, что две или больше физических величин могут одновременно считаться элементами физической реальности только в том случае, если их можно одновременно измерить или предсказать» (с. 610). Таким образом, они, целиком полагаясь на математический аппарат квантовой механики, допускают возможность нарушения одного из основных его положений: система не может одновременно характеризоваться определенными значениями некоммутирующих операторов. По существу, допускается то, что требуется доказать;

3) авторы [1] полагают, что процесс измерения, проводимый «над первой системой ... никоим образом не влияет на вторую систему» (с. 610). Этот аргумент подчеркивает слабость позиций нерелятивистской квантовой механики. Действительно, в ней мгновенная редукция волновой функции всей системы меняет и состояние второй подсистемы. Если же теория релятивистская, то задача становится нестационарной, и следует отдельно рассматривать два случая: а) возмущение, вызванное измерением над системой 1, не дошло до системы 2; б) это возмущение дошло до системы 2. В случае а) состояние системы 2 по определению не может измениться, поэтому нельзя говорить о редукции волновой функции. В случае же б) нельзя говорить об отсутствии влияния со стороны системы 1.

Для формулирования парадокса в такой интерпретации нет необходимости прибегать к двум частицам. Достаточно рассмотреть частицу в некотором состоянии ф. Экспериментатор по своему выбору измеряет величину или ф, или Р. При этом он всегда получает определенное значение или <3, или Р. Уже то, что состояния, в которых обнаруживается частица, с одной стороны, отвечают двум взаимоисключающим величинам, а с другой — зависят от выбора экспериментатора, подразумевает, согласно логике [1], что частица должна одновременно характеризоваться определенными и <2, и Р. Это и есть та «неполнота» квантовой механики, которая которая обсуждалась в [1]. Привлечение частицы 2, удаленной на большое расстояние, и использование законов сохранения в сочетании с имеющимся у экспериментатора выбором измеряемой величины создают иллюзию возможности манипулирования ее состоянием в отсутствие на нее влияния, что и придает ситуации парадоксальность.

Но изучение подобных ЭПР-пар породило огромное число работ и указало новые направления исследований (квантовая телепортация, квантовая криптография).

Волновая функция. Очевидно, источником недоразумений служит отсутствие физического истолкования волновой функции. В общепринятой интерпретации не указывается, какой «элемент физической реальности» отражает волновая функция. Формулируются лишь правила обращения с ней. Между тем стандартная квантовая теория поля дает ясные указания на то, что такое частица и что такое ее волновая функция: частица есть одночастичное возбуждение («квант») поля, а ее волновая функция — функция, описывающая то возбуждение поля, которое отождествляется с частицей. Например, для частицы со спином 1/2, импульсом к и поляризацией а волновая функция дается

(0\фа(х)\к ,а)=е~1к*и"(к),

где ф(х) — оператор поля. В общем случае ф(х) —> ф(/) = /с13х/а(х)фа(х), т.е. функция /а(к.) = /г13х/а(х)е~гкхи%(к) описывает состояние частицы. Вместе с тем она характеризует возбуждение поля. В реальных случаях /а(х) отлична от нуля лишь в компактных областях пространства, т. е. волновая функция описывает возбуждение поля в конечной области. Размеры этой области, например, для фотона характеризуют длину (объем) когерентности.

Действительно, серьезная проблема — целостность частицы, фотона [5,6] (почему фотон ведет себя как частица, т.е. если поглощается — то целиком и т.д.?). Ответ на него такой же, что и на вопрос о том, почему в теории поля существуют топологические законы сохранения. Изменение топологии некоторой конфигурации полей возможно лишь, если допустить разрывные решения, т. е. если отказаться от требования их непрерывности, что неприемлемо. Разрыв поля означает появление ^-образной особенности у ее производной, а это ведет к появлению неинтегрируемой особенности (типа

[<5(а;)]2) в плотности энергии, т.е. изменение топологии предполагает преодоление бесконечного энергетического барьера. Но фотон есть когерентное возбуждение осцилляторов электромагнитного поля. Поля же взаимодействуют локально, т. е. взаимодействует лишь один осциллятор. Поэтому состояние, в котором один осциллятор передал всю свою энергию заряженному полю в данной точке, а остальные осцилляторы находятся в возбужденных состояниях, энергетически невозможно (состояние с «бесконечной» энергией). За время взаимодействия At остальные осцилляторы должны передать свою энергию заряженному полю, чтобы также перейти в основное состояние (отсюда и соотношение неопределенностей AtAE > h).

Еще один существенный момент связан с упоминавшимся выше дуализмом [4-6]: волновая функция в квантовой теории, с одной стороны, есть динамическая переменная, а с другой — амплитуда вероятности. В классической физике информация о системе после регистрации события может меняться мгновенно. В квантовой теории носитель информации — поле, а распространение возбуждения поля (передача информации) происходит причинным образом. Именно поэтому процесс измерения требует времени. Разумеется, и в квантовой теории изменение информации о системе может быть мгновенным (при учете законов сохранения).

Итак, если частица — нелокальное возбуждение поля, то парадокса не возникает. Реальная частица никогда не может иметь определенного значения ни координаты (возбуждение поля в точке обладает бесконечной энергией), ни импульса (в этом случае иоле возбуждено во всем пространстве). Координата частицы есть координата того возбужденного осциллятора, который взаимодействует с прибором, а само возбуждение поля — суперпозиция плоских волн с определенными импульсами, которые и образуют множество возможных импульсов частицы. Тем самым вопрос о том, почему частица не может одновременно характеризоваться определенными значениями импульса и координаты, теряет смысл: таковы изначальные свойства объекта, именуемого в квантовой теории «частицей».

Summary

Prokhorov L. V. Once more on the Einstein — Podolsky — Rosen paradox.

The Einstein — Podolsky — Rosen paradox is discussed from the point of view of quantum field theory. The arguments of the authors are analyzed. It is shown that there is no paradox if particles are considered as excitations of fields.

Литература

1. Einstein A., Podolsky B., Rosen N. /j Phys. Rev. 1935. Vol. 47. P. 777-780. [Пер.: Эйнштейн A. Собр. науч. трудов: В 4 т. М., 1966. Т. 3. С. 604-611.) 2. Weihs G., Jennenwein Т., Simon С. et al. // Phys. Rev. Lett. 1998. Vol. 81. P. 5039-5043. 3. Seife Ch. // Science. 2000. Vol. 287. P. 1909-1910.

4. Прохоров Л.В. //Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 4: Физика, химия. 1999. Вып. 4(№25). С. 136-137.

5. Прохоров Л. В. // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 4: Физика, химия. 2000. Вып. 4 (№28). С. 3-12.

6. Прохоров Л. В. О принципиальных проблемах квантовой механики. СПб., 2002.

Статья поступила в редакцию 25 марта 2003 г.