CC BY
118
ОА НИКИТИНА, кандидат экономических наук, заведующая лабораторией Российской академии образования «Институт педагогических исследований одаренности детей» (ИПИО РАО), г. Новосибирск Тел./факс 8 (383) 345 8021 (раб.); niolga@mail.ru
ЭПИСТЕМНЫЙ АНАЛИЗ МЕТОДИЧЕСКИХ ПОДХОДОВ ПРЕПОДАВАНИЯ МАТЕМАТИКИ
В статье при помощи эпистем анализируются методики преподавания математики на основе работ Ю. М. Колягина, А. А. Никитина и др., а также рассматривается применение эпистемного подхода к методической работе на примере методических пособий для учителей 5-9-х классов к многоуровневым учебникам по математике при специализированном обучении и к формированию программы курсов повышения квалификации для учителей математики губернаторских специализированных классов Новосибирской области.
Ключевые слова: эпистемы, методика преподавания математики.
В работе [1, с. 190-191] было определено понятие эпистемы как некоторого элемента знания в применении к процессам обучения.
Этот подход позволяет рассматривать отношения между эпистемами, проводить сопоставительный анализ различных аспектов учебного процесса и его сопровождения и др.
В предлагаемой работе при помощи эпистем проведен анализ методики преподавания математики в общеобразовательной школе, изложенной в [2], подходов к методике профильного и специализированного обучения, изложенных в [3], и формирования программы курсов повышения квалификации для учителей математики губернаторских специализированных классов Новосибирской области [4].
Иерархии эпистем формируются либо переходом от более крупных эпистем к более мелким (элементарным), либо в обратном направлении - от элементарных к более крупным. Уровень разбиения зависит от потребностей исследования. В работе рассматривается формирование иерархий от более крупных к более мелким эпистемам.
Заметим, что иногда эпистемы одного уровня могут переходить на более высокий уровень, вследствие чего структура иерархии эпистем может содержать не все уровни построения.
На рис. 1 приведен пример двухуровневой иерархии, в которой элементы Вк... В1 второго уровня не совпадают с элементом А. первого уровня, а элемент первого уровня А. совпадает с элементом Вт второго уровня.
А = Вт ...
Т
Вк В1 Вт
Рис. 1. Пример двухуровневой иерархии
Построение иерархий эпистем позволяет устанавливать «вес» эпистем по отношению к элементарным эпистемам, что помогает в конечном итоге устанавливать разбиение эпистем на классы эквивалентности.
© О. А. Никитина
А.
Т
Т
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ
Проводя анализ труда [2], можно обнаружить, что в ней выделяется, как минимум, пять уровней построения методики. Глава V служит иллюстрацией такого выделения уровней:
(Уровень 1 - Авт.) «Глава V. Принципы, методы, формы и средства обучения математике <...>.
(Уровень 2 - Авт.) § 2. Методы и формы обучения математике <...>.
(Уровень 3 - Авт.) 2.5. Типология методов и форм обучения математике <...>. (Уровень 4 - Авт. ) 2. Методы изучения <...>.
(Уровень 5 - Авт.) 1. Научные методы изучения математики <...>.
(Уровень 5 - Авт.) 2. Учебные методы изучения математики» [2, с. 293-314].
На пятом уровне находятся эпистемы, принимаемые в определенный момент за элементарные. Из этих элементарных эпистем при переходе на следующий уровень складываются более общие. Отношения между эпистемами являются, как правило, эпистемами следующего уровня. Путем нескольких переходов выстраивается в целом глава «принципы, методы, формы и средства обучения математике», которую при таком рассмотрении можно считать элементом шестого уровня иерархии.
В концептуальной работе [3] «сформулированы основные подходы и требования к концепции и содержанию многоуровневого математического образования в средних общеобразовательных учебных заведениях» [3, с. 36-36] с точки зрения высшей школы. Рассматривая элементами иерархии пункты, подпункты, абзацы и предложения, входящие в абзац, можно выделить, например, шесть уровней построения иерархии эпистем (если рассматривать отдельные предложения как углубляющие предыдущие предложения):
(Уровень 1 - Авт.) «4. Особенности подходов <...>.
(Уровень 2 - Авт.) Аксиоматический метод <...>.
(Уровень 3 - Авт.) (Сложности, возникающие при изучении математики на аксиоматической основе - Авт.).
(Уровень 4 - Авт.) В-третьих, применение аксиоматического подхода
предполагает, что всякое вновь формулируемое утверждение подлежит доказательству, исходя из уже установленных утверждений, или должно приниматься в качестве новой аксиомы <...>
(Уровень 5 - Авт.) (Проблематичность реализации - Авт.).
(Уровень 6 - Авт.) (Ограничения - Авт.)» [3, с. 38-39]. Разбиение на эпистемы с точки зрения методики и с точки зрения изучения учебного материала учащимися может быть различным, поскольку методика является «надстройкой» над предметом. Например, с точки зрения методики математики важным элементом являются эпистемы в главе V: «научные методы изучения математики» и «учебные методы изучения математики», а с точки зрения учащихся важны конкретные изучаемые элементы математики. Кроме того, предполагается, что преподавателю в некотором смысле известны все эписте-мы, начиная с элементарных, а учащийся в процессе изучения шаг за шагом строит новые эпи-стемы.
Рассмотрим теперь методические пособия по математике для учителей 5-9-х классов [5, 6] к многоуровневым учебникам по математике [7] для пятых-девятых классов общеобразовательной школы. В каждом из этих учебных пособий расположение материала можно представить традиционным образом, выделив главы, параграфы, пункты, подпункты. Приведем иллюстрацию выделения уровней построения одной из глав методического пособия для пятого класса:
(Уровень 1 - Авт.) «Глава 2. Об измерении величин <...>.
(Уровень 2 - Авт.) § 3. Значения по недостатку и избытку <...>.
(Уровень 3 - Авт.) (11 - Авт.) Указания к решению наиболее трудных задач. (Уровень 4 - Авт.) Задача 1 <...>. (Уровень 4 - Авт.) Указание <...>. (Уровень 4 - Авт.) Ответ» [6, с. 10-31]. Рассмотрим количество эпистем по методическим составляющим процесса обучения при разбиении главы методического пособия на параграфы. В табл. 1 приведен соответствующий пример для главы 1 методического пособия по математике для 5-го класса.
Таблица 1 - Математика. 5-й класс. Глава 1. Разбиение по параграфам
———Количество эпистем в параграфе Методические составляющие ——— § 1 § 2 § 3 Кол-во эпистем в главе
Цели обучения 3 1 1 5
Особенности подачи учебного материала 8 4 12 24
Предварительные знания, умения и навыки 3 2 0 5
Вновь вводимые понятия 7 8 1 16
Вновь появляющиеся, вспомогательные понятия 2 3 8 13
Понятия для ознакомления и привыкания 0 1 0 1
Самостоятельная работа 0 0 0 0
Открытые вопросы к пунктам 11 11 5 27
Указания к решению наиболее трудных задач 5 4 8 17
Количество эпистем в параграфе 39 34 35
Суммарное количество эпистем в главе 108
Анализ таблицы показывает, что в первой гла -ве методического пособия по математике для учителей 5-го класса количество эпистем, кото -рыми должен владеть учитель в дополнение к эпи-стемам соответствующего учебника, распределено примерно равномерно по параграфам главы. Обратим внимание, что, с точки зрения авторов методических пособий, значительное внимание учителя должно быть уделено открытым вопросам к пунктам (примерно 25%) и особенностям подачи учебного материала (примерно 22%). Предполагается, что на каждую из рассматриваемых эпистем учитель затрачивает при изло-
жении примерно одинаковое количество времени.
Количественная характеристика, полученная при помощи эпистемного подхода, позволяет оценивать пункты методических составляющих, на которые необходимо обратить особое внимание, и формировать при использовании в учебном процессе совокупности конкретных эпистем для каждого урока, т. е. осуществлять поурочное планирование на этой основе.
В следующей таблице эпистемный подход применяется к методическим составляющим процесса обучения при разбиении методического пособия для 5-го класса на главы (табл. 2).
Таблица 2 - Математика. 5-й класс. Разбиение по главам
Номера глав Ме^\ тоди -ческие составляющие 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Кол-во эпистем в пособии
Цели обучения 5 8 10 5 1 6 3 8 2 5 12 3 5 1 0 74
Особенности подачи учебного материала 24 17 28 40 22 14 13 33 23 12 14 28 8 16 12 304
Предварительные знания, умения и навыки 5 9 2 9 8 3 11 16 17 1 13 11 8 1 0 114
Вновь вводимые понятия 16 16 17 19 16 10 7 21 15 7 21 4 13 4 0 186
Вновь появляющиеся, вспомогательные понятия 13 9 0 0 4 1 3 1 2 2 2 1 2 0 0 40
Понятия для ознакомления и привыкания 1 8 3 0 2 7 6 0 5 4 2 1 1 3 0 43
Окончание табл. 2
Номера глав Ме\ тоди -ческие составляющие\ І 2 3 4 5 б Т 8 9 ІО ІІ І2 ІЗ І4 І5 Кол-во эпистем в пособии
Самостоятельная работа 0 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2
Открытые вопросы к пунктам 2Т 2І 30 І9 25 І2 20 І9 ЗІ ІІ 34 Іб 28 І0 ІЗ 3X6
Указания к решению наиболее трудных задач ІТ І2 8 І0 ІІ 2І 3 ІТ 2І 22 Іб 25 4 б б X99
Количество эпистем в главе X08 X02 98 X02 89 74 бб XX5 Нб б4 XX4 89 б9 4X 3X
Суммарное количество эпистем в пособии X 278
Суммарное количество эпистем в пособии для 5-го класса составляет І2Т8 эпистем, из которых наиболее существенные значения приходятся на открытые вопросы к пунктам (ЗІ б эпистем, т. е. примерно 25%), особенности подачи учебного материала (304 эпистемы, т. е. примерно 24%), указания к решению наиболее трудных задач ( І 99 эпистем, т. е. примерно І 5%) и вновь вводимые понятия ( І 8б эпистем, т. е. примерно І4%), кото -рые вместе составляют примерно 80% всех эпистем, предложенных для рассмотрения учителям в 5-м классе.
Анализ табл. 2 показывает, что в методическом пособии по математике для учителей 5-го класса количество эпистем, которыми должен владеть учитель в дополнение к эпистемам соответствующих учебников, распределено неравномерно по главам, что определяет соответствующие составляющие учебного процесса: учебные планы, программы, поурочное планирование и т. д.
Сводные данные разбиения методических пособий для 5-9-х классов с точки зрения эпистем-ного подхода на методические составляющие представлены в табл. 3.
Таблица 3 - Математика. 5-9-е классы. Разбиение по классам
Классы Методические составляющие S б 7 8 9 Общее кол-во эпистем по составляющим обучения
Цели обучения Т4 9І 90 84 ТТ 4X6
Особенности подачи учебного материала 304 238 20б 2Т5 2ІЗ X 236
Предварительные знания, умения и навыки ІІ4 бТ 9І 4І І0 323
Вновь вводимые понятия І 8б ІЗ8 І 34 Т8 88 624
Вновь появляющиеся, вспомогательные понятия 40 34 28 2 ІІ XXS
Понятия для ознакомления и привыкания 43 ІІ 2 0 0 56
Самостоятельная работа 2 І 0 0 0 3
Открытые вопросы к пунктам ЗІб 305 ЗбТ ЗбО 292 X 640
Указания к решению наиболее трудных задач І99 20 І ІбІ ІТЗ І 98 932
Количество эпистем в пособии X 278 X 086 X 079 X 0X3 889
Суммарное количество эпистем в учебниках 5 345
Суммарное количество эпистем в пособиях составляет 5345 эпистем, из которых наиболее существенные значения приходятся на открытые вопросы к пунктам (1640 эпистем, т. е. примерно 31%), особенности подачи учебного материала (1236 эпистем, т. е. примерно 23%) и указания к решению наиболее трудных задач (932 эпистемы, т. е. примерно 17%) и которые вместе составляют примерно 71% всех эпистем, предложенных для рассмотрения учителям в 5-9-х классах.
Заметим, что повышенное (в то же время примерно равнозначное) внимание уделяется открытым вопросам, с одной стороны, потому что на них не содержится явных ответов в учебнике, а
с другой стороны, ответы на открытые вопросы являются существенными составляющими учебного процесса.
В 2010 г. в Новосибирской области были организованы губернаторские специализированные классы по математике. Программа курсов повышения квалификации для учителей математики специализированных классов [4] была составлена с учетом [2, 3] и рассчитана на 108 часов. При формировании программы было заранее определено примерное количество эпистем, необходимых для изучения: по 2-3 эпистемы на один учебный час. Разбиение тем программы на эпистемы приведено в табл. 4.
Таблица 4 - Описание программы курсов повышения квалификации учителей специализированных классов по математике
Наименование тем Кол-во эпистем
Элементы логики и теории множеств 28
Математическая индукция и ее применение 19
Целые числа. Основы теории чисел 16
Рациональные и действительные числа 18
Пределы последовательностей и функций 20
Производная и ее применение 16
Элементарные функции 24
Площадь и объем 27
Комплексные числа и многочлены 32
Избранные вопросы планиметрии 3
Элементы стереометрии 17
Элементы аналитической геометрии 15
Элементы теории вероятностей 6
Суммарное количество эпистем 241
В этой программе иерархия эпистем имеет, тему первого уровня входит в том числе эпис-
как минимум, два уровня. Например, в эписте- тема «операции над событиями» как эпистема
му «элементы теории вероятностей» как эпис- второго уровня.
Библиографический список
1. Никитин А. А., Ефремов А.П., Силантьев И.В. Анализ системы зачетных единиц: от высшей школы к профильному обучению и специализированной подготовке в общеобразовательной школе / Под ред. А.А. Никитина. -Новосибирск: РИЦ НГУ, 2006. - 200 с.
2. Колягин Ю.М., Луканкин Г. Л., Мерлина Н.И. и др. Методика преподавания математики в средней школе. Общая
методика: Учеб. пособие. - Чебоксары: Изд-во Чуваш. ун-та, 2009. - 732 с.
3. Никитин А.А., Белоносов В.С., Зеленяк Т.Н., Саханенко А.И., Смирнов Д.М., Вишневский М.Л., Мальцев А.А., Марковичев А. С., Войтишек В.В., Михеев Ю.В. Новые подходы во взаимодействии средней и высшей школы в математическом образовании / Вестник Новосибирского государственного университета. Т. 1 , вып. 1. - 2000. -С. 35-47.
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ
4. Марковичев А. С., Михеев Ю.В., Никитин А. А. Программа по математике для курсов повышения квалификации преподавателей специализированных классов Новосибирской области. Учебно-методическое пособие для учителей / Под ред. А.А. Никитина. - Новосибирск: Изд-во ИПИО РАО, 2010. - 10 с.
5. Белоносов В.С., Козлов В. В., Мальцев А.А., Марковичев А.С., Михеев Ю.В., Никитин А.А., Фокин М.В. Математика 5-9: Пятый-девятый классы. Три уровня обучения. Общеобразовательная школа. Учебники / Под ред. В.В. Козлова, А.А. Никитина. - Новосибирск: Изд-во ИПИО РАО, 2009-2010.
6. Никитин А. А., Белоносов В.С., Вишневский М.П., Войтишек В.В., Зеленяк Т.И., Мальцев А. А., Марковичев А.С., Михеев Ю.В., Саханенко А.И., Смирнов Д.М. Математика: Пособие для учителей к учебнику пятого класса средних общеобразовательных учебных заведений / Под ред. А.А. Никитина. - Новосибирск: Изд-во НИИ МИОО НГУ, 1998. - 208 с.
7. Белоносов В.С., Козлов В.В., Мальцев А.А., Марковичев А.С., Михеев Ю.В., Никитин А.А., Фокин М.В. Математика 5-9: Пятый-девятый классы. Три уровня обучения. Общеобразовательная школа. Учебно-методическое пособие для учителей / Под ред. В.В. Козлова, А.А. Никитина. - Новосибирск: Изд-во ИПИО РАО, 2009-2010.
O. A. NIKITINA
EPISTEMIC ANALISYS OF METHODS APPROACHES TO MATHEMATICS TEACHING
In this article with the help of epistemes the methods of mathematics teaching based on works Yu. M. Kolyagin, A. A. Nikitin and others are analyzed, and also there is considered an application of epistemic approach to methodological work based on the example of 5-9 grades teachers’ manuals to multi-level textbooks in mathematics designedfor specialized education and to composition of professional development course for mathematics teachers under the Novosibirsk region governors’ specialized classes program.
Key words: epistemes, methods of mathematics teaching.
