CC BY
84
УДК 539.219
ЭНТРОПИИНЫИ АНАЛИЗ ТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМ С РАЗНОУРОВНЕВОЙ ОРГАНИЗАЦИЕЙ
© 2013 г. А.В. Благин, А.Г. Козаева, В.В. Сахаров, Ю.В. Сахарова, А.А. Пухлова, А.Л. Юфанова
Благин Анатолий Вячеславович - д-р физ.-мат. наук, профессор, зав. кафедрой «Физика», Южно-Российский государственный технический университет (Новочеркасский политехнический институт). E-mail: [email protected]
Козаева Анастасия Георгиевна -ООО «Прог-Форс», г. Новочеркасск.
инженер-программист
Сахаров Валерий Васильевич - д-р техн. наук, профессор, кафедра «Социогуманитарные дисциплины», Волгодонский филиал, Южный федеральный университ.
Сахарова Юлия Валерьевна - канд. философских наук, доцент, кафедра «Социогуманитарные дисциплины», Вол-годонский филиал, Южный федеральный университет.
Пухлова Анастасия Александровна - студент, физ.-мат. факультет, Южно-Российский государственный технический университет (Новочеркасский политехнический институт).
Юфанова Анна Леонидовна - студент, физ.-мат. факультет, Южно-Российский государственный технический университет (Новочеркасский политехнический институт).
Blagin Anatoly Vyacheslavovich - Doctor of Physical and Mathematical Sciences, professor, head of department «Physics», South-Russia State Technical University (Novocherkassk Polytechnic Institute). E-mail: [email protected]
Kozaeva Anastasia Georgievna - Software Engineer «Prog-Fors», Novocherkassk.
Sakharov Valeriy Vasilevich - Doctor of Technical Sciences, professor, department «Social and Humanitarian Disciplines», Volgodonsk (branch) Southern Federal University.
Sakharova Julia Valerievna - Candidate of Philosophy Sciences, department «Social and Humanitarian Disciplines», Volgodonsk (branch) Southern Federal University.
Pukhlova Anastasia Alexandrovna - student, Department of Physics and matemachesky,South-Russia State Technical University (Polytechnic Institute).
Yufanova Anna Leonidovna - student, Department of Physics and matemachesky,South-Russia State Technical University (Polytechnic Institute).
Развиты подходы, позволяющие производить измерения структурной организации систем. Понятие энтропии расширяется и выступает в качестве асимметричного критерия сложности систем. Показана необходимость неравновесного подхода к описанию взаимодействия физических структур и возможность трактовки энтропии как меры структурного разнообразия систем.
Ключевые слова: энтропия; негэнтропия; коэнтропия; мера упорядоченности; структурное разнообразие; нормальное распределение; диссипативные системы; асимметричное строение; ортогональные распределения; инверсия зависимости.
Approaches which allow to make measurement of structural system's organisation are developed. The term of entropy expands and plays a role of asymmetric criterion of systems' complexity. Necessity of nonequilibrium approach for description ofphysical structures interaction and opportunity of entropy handling as measurement of structural systems variety is provided.
Keywords: entropy; negentropy; koentropy; orderliness measure; structural variety; normal distribution; dissipative systems; asymmetric structure; orthogonal distributions; dependence inversion.
Введение. Анализ уравнений статистической энтропии Больцмана
Проблема измерения структурной организации систем не имеет пока удовлетворительного решения. Одной из немногих довольно удачных и потому весьма распространенных структурных характеристик является энтропия. Она удобна в аналитическом отношении, допускает удовлетворительную физическую интерпретацию и, что особо важно, инвариантна по отношению к широкому классу преобразований.
Перспективные идеи по этой тематике возникли в 1970-х гг., но они носили обобщенный характер. В них лишь указаны пути количественного описания структурной организации. В настоящей работе предпринята попытка такого описания.
Рассмотрим некоторые положения энтропийного подхода к структурной организации систем.
В классической термодинамике энтропия, как отношение изменения количества теплоты в системе к температуре, при которой протекает термодинамический процесс, характеризует: а - направление течения процессов в замкнутой термодинамической системе в сторону теплового равновесия, которое соответствует экстремальному значению энтропии; б - совокупность возможных направленных превращений энергии системы - в полезную работу (величина работы находится с энтропией системы в обратной зависимости); в - количество энергии, необходимое для возвращения термодинамической системы в исходное состояние после совершения работы; г - меру свободной энергии системы.
Вместе с тем в статистической физике энтропия термодинамической системы связывается с термодинамической вероятностью ее состояний и в отношении структуры (распределения энергий по элементам системы) отражает меру энергетической неоднородности внутреннего строения, степень ее упорядоченности/неупорядоченности и, в этом смысле, уровень организованности/неорганизованности.
Статистическое выражение энтропии НБ, предложенное Л. Больцманом, записывается в следующем виде: НБ = k 1пЖ, где k - постоянный коэффициент; Ж - термодинамическая вероятность.
Для системы, состоящей из Nn частиц с общей энергией Е, число способов Ж размещения частиц Nn по т группам находится методами теории сочетаний. После замены факториалов приближенными значениями по формуле Стирлинга М = е-NNN получают параметрическое выражение термодинамической энтропии:
т
Нб * k(Nn 1п Nn -Е N] 1п N] ). (1)
1
Энтропия как показатель структурной организации систем
Охарактеризуем особенности понятия термодинамической энтропии, прямо или косвенно описывающие структурное строение систем и их организацию.
1. Значение константы k в уравнениях Больцмана и Гиббса имеет размерность энергии и эта постоянная играет в уравнениях статистической энтропии роль коэффициента, переводящего вероятностные безразмерные величины 1п Ж и другие в размерность энергии.
Как указано в [1], величина и единицы измерения коэффициента k зависят от того иерархического уровня организации материи, к которому относится исследуемая система (физический, биологический, социальный и т.д.), и для абстрактных систем константа k равна единице. С другой стороны, в иерархической структуре каждый уровень обладает своим порядком изменения во времени [2].
2. Статистическая интерпретация термодинамической энтропии показывает, что энтропия это не только физическое понятие - мера энергии, но и нечто более фундаментальное - общенаучная категория, численно характеризующая меру структурной неупорядоченности/упорядоченности внутренней организации системы. Больцман связывал энтропию с равномерностью распределения, описывающего систему, и с неупорядоченностью/вероятностью состояний элементов на микроуровне.
По этому поводу сегодня существуют разногласия. Так, в [3] утверждается, что интуитивно понятие упорядоченности структуры противопоставляется понятию хаоса, как состояния, полностью лишенного всякой структуры. Однако, как показал более тщательный анализ, такое противопоставление неверно -«хаос может быть различным, обладать разной степенью упорядоченности, разной структурой» [3]. Можно
сказать, что хаос - это очень сложный порядок, интегрирующий в себе множественную совокупность порядков. В [4] сделано заключение о том, что состояние с развитой структурой более вероятно (имеет большую энтропию), чем состояние, описываемое хаотическим - равномерным распределением вещества в пространстве.
Уравнение термодинамической энтропии (1) можно привести к безразмерному виду, характеризующему структурную энтропию:
НБ/k * Nn 1п Nn -Е N] 1п nN] .
Здесь первый член структурной функции - это предельная, максимально возможная структурная энтропия для заданного фиксированного значения пот
скольку это выполняется при значении Е N] 1п N] =0,
]=1
обозначим его НБ/- = N 1пМ„. Физическим примером такого состояния систем может быть газ при глубоком вакууме, когда его частицы практически не взаимодействуют между собой, а их поведение определяется столкновениями со стенкой сосуда. Второй член
т
Е N] 1п N] можно рассматривать как «устраненную»
]=1
в результате взаимовлияния частей системы энтропию, назовем ее структурной коэнтропией и обозначим ее как НБ/к.
Наличие указанного взаимодействия, связи есть наличие ограничений поведения частей из-за фикси-
т
рованной структуры. Если Е N] 1п N] стремится к
]=1
значению N,1nNn, то состояние системы приближается к максимальной связности - подобной жидкому, а затем и твердому состоянию вещества. Из уравнения также следует, что предельно максимальные значения порядка и беспорядка, энтропии и коэнтропии равны.
Во многих случаях понятия термодинамическая энтропия и энтропийная структурная функция тождественны. Но структурная энтропия неоднозначно связана с термодинамической, так как, например, холодный и горячий газ в состоянии равновесия равноценны по структуре и по сложности (распределение подчиняется закону Максвелла). К тому же, в физике сложность системы и ее энтропия относятся к разным объектам внимания: «энтропия - видит взаимодействие, энергию движения, а сложность вещественная отражает стационарные состояния - потенциальную энергию» [3], то есть интерпретации существенно разнятся.
В-третьих, из сопоставления формул структурной функции и термодинамической вероятности следует, что равенству НБ и НБ* соответствует некоторое пре-
тт-г* N т 1п Ып
дельно максимальное число ЖБ=е " " = Пе ] =
1
= N1¡N" возможных комбинаций совокупности частиц, имеющее место при числе степеней свободы системы, равном числу составляющих элементов
В свою очередь, поскольку коэнтропия - это логарифм факториалов групп распределения частиц, обусловливающих структурное строение системы, то произведение факториалов распределений частиц можно соотнести с некоторой термодинамической вероятностью, а именно
т
У N. 1п N. т иг 1 т N; 1п N1
Ws = е 1 = П е .
1
Соответственно, W = e
m N
У Ni ln -Nn-J N:
N
N, ln Nn
= П e
i
Отсюда выражение для термодинамической вероятности Больцмана можно представить в обобщенной форме: W* = WБWs и Ws = WГ .
Следовательно, термодинамические вероятности структурной энтропии и коэнтропии комплементарны. Свойство комплементарности выделено в [4] - энтропия разделяется на «структурную» (пространственную), т.е. собственно энтропию, с которой связывается рост сложности, и «энергетическую» (коэнтропию), отвечающую за упрощение. В [5] энтропия подразделяется на «импульсную» (термодинамическую) и «структурную» (коэнтропию) - все процессы во Вселенной представимы как процессы преобразования энтропии импульса в структурную энтропию (и, наоборот) при постоянной общей энтропии.
Одной из целей исследований Л. Больцмана являлось определение условного максимума статистической энтропии, соответствующего равновесному состоянию термодинамической системы. Предельное максимальное значение НБ = kNn1nNn очевидно из параметрического уравнения энтропии, но не укладывается в логику молекулярно-кинетических и термодинамических воззрений.
Для определения условного максимума статистической энтропии НБ°ах введем дополнительные усло-
У М} = ЫП; Е = У М} е; , 1=1 1=1 где обобщенный экстенсивный параметр системы -энергия Е распределяется по частицам и принимает значение 6^, когда данная частица находится в состоянии ]. Используя метод Лагранжа, получим
Ятах Б
-ße i
= k (Nn lnZ + ß E).
Чтобы величина термодинамической энтропии была больше единицы при определении энтропии по Гиббсу, изменяем знак перед логарифмом в (1). Имеем:
т
Нг * k (у Ы} - М„).
1=1
В отличие от формулы Больцмана, предельно минимальная величина энтропии НГт1П = 0 (в силу запрета на ее отрицательное значение), и это соответствует
т
случаю У N11пА1 = Ып; максимальная равна НГтах = 1=1
, 1п ^
п
Здесь Z = у е к- стандартная сумма по состояни-
1=1
ям Еу, Р = 1 / kT.
Дж. Гиббс, исследуя формулу статистической энтропии Больцмана - Планка, обнаружил, что правило аддитивности энтропии при смешении двух порций газа может нарушаться. Для разрешения этого парадокса он предложил рассчитывать термодинамическую вероятность №Г по формуле: WГ =-1-.
N2 !•••Nm !
= Nn 1п—-. Таким образом, энтропия по Гиббсу имеет е
более узкий интервал значений, нежели энтропия Больцмана, но позволяет при этом избежать парадокса при расчетах взаимодействующих систем.
Выражение для определения условного максимума статистической энтропии по Гиббсу имеет вид
Нтах =k N Шп - ^ - ^ 1nZ - Р Е).
Б. Лавенда указывает на возможность получения условного экстремума энтропии статистическим путем, без дополнительных условий, используемых в методе Лагранжа [6]. Определим статистический структурный параметр, отвечающий нормированному значению энтропии. Для этого приравняем уравнения условных максимумов энтропии по Больцману и по Гиббсу.
Распределения частиц в равновесном состоянии в обоих случаях будут одинаковыми:
2Щ- Ш + Р Е) =Щп 1п N -N0= kNn (1п N - 1).
Принимаем, как и при нормировке энтропии, 1nNn >>1 и после преобразований получаем
2 Н тах = Жп 1п N = Н
Отсюда значение условного экстремума энтропии будет равно
НБтах = 0,5 k N 1п ^ ; Nn= k N 1п ^.
Или, в безразмерном виде
НбТ = 0,5 ^ 1п Nn= ^ 1п ^.
Если согласиться, что указанные выше виды энтропии характеризуют степень структурного хаоса или порядка, то состояние равновесия представляется как их паритет.
Заметим, что условно максимальная энтропия системы равна половине предельно возможной, и что
параметр yJNn , определяющий величину удельной
(отнесенной к Nn) максимальной энтропии, представляет собой масштаб флуктуаций в системе - равновесное устойчивое состояние системы определяется механизмами флуктуаций. В таком случае состояние «динамического хаоса» в точке 0,5Nn1nNn, предшествующее бифуркации - это состояние паритета энтропии и коэнтропии.
N
Освободимся от параметра энергии Е и коэффициента Р в нормировочных уравнениях энтропии
Больцмана и Гиббса, учитывая, что kT =— е
и е ср =
= Е / Nn: H™x
3
= k (Nn lnZ + 2 Nn
Яшах
Г
2
зе ср
= k (Nn lnNn -
- К Ш - 2,5Nn).
Коэффициенты 3/2 и 5/2 в уравнениях указывают, что для идеального одноатомного газа, у которого число степеней свободы равно трем, выполняется уравнение Больцмана; для двухатомного же газа, имеющего число степеней свободы, равное пяти, -уравнение Гиббса.
Кроме того, эти значения могут быть связаны с величинами теплоемкости одноатомного газа Су, находящегося в поле потенциальных сил. Первый случай соответствует очень слабому потенциальному полю (Епот/Екин<< 1), а второй, напротив, - сильному: Е /Е >> 1
^пот' ^кин 1 ■
Таким образом, состояние и структурное строение систем существенно связано со степенью свободы частиц, ее образующих.
Как известно, в равновесном состоянии распределение частиц по уровням энергии подчиняется нормальному закону Гаусса, причем энтропия такого распределения максимальна и равна
Нн
_,=- N 1п 72
Это означает, что 72
яест
2
^ = in wA = in w- и
N Б Б
in W
"N!
■= in W,
V N
Воспользуемся приемом М. Планка - будем исследовать не сами удельные величины энтропий, а их плотности, т. е. значения, приходящиеся на единицу удельного числа вероятных состояний м, в зависимости от изменений этого числа:
ln Wr
h- =—Б; w
К =
in w„
w
Результаты выполненного графоаналитического анализа представлены на рис. 1. Из рисунка следует, что по мере увеличения термодинамической вероятности - числа возможных состояний системы мБ, и, соответственно, ее энтропии НБ плотность энтропии базового распределения НБ сначала более чем резко возрастает и быстро достигает экстремальной величины НБ = 0,368 при значении мБ = е.
Нб
НБ = 0 w- = 1
Н- = N,
S n
2лест" примерно равно -
величине флуктуаций системы. Если вынести постоянные величины из под логарифма, то
ННорм =- N (1п ст + 1,418).
В статистической теории числу 1,418 равно отношение максимальной и наиболее вероятной ошибки среднеарифметического значения исследуемой величины.
Из сопоставления нормированных формул энтропии Больцмана и Гаусса следует их очевидная изо-морфность. Незначительное отличие в постоянных 1,5 ф 1,418 может быть объяснено тем, что первая из них описывает дискретное, а вторая непрерывное распределения. Учитывая 1,5~1,418 (~ 5%) и формулу Больцмана, можно сделать вывод, что статистическая сумма по состояниям равна дисперсии Гаусса: 2~ ст .
Характер изменения энтропийных характеристик систем в зависимости от их состояний
Рассмотрим закономерности изменения указанных сопряженных энтропийных функций, учитывая вышеизложенные представления о структурной организации систем. Для унификации получаемых результатов отнесем значения энтропии и коэнтропии к числу элементов системы Nn:
= in Ws.
Нб,, =0,5^ 1п Nn 1пЖБ
Рис. 1. Изменение плотностей энтропии базового распределения НБ (кривая 1) и коэнтропии смежного распределения Н(кривая 2) при изменении числа возможных состояний ШБ системы. Сумма плотностей энтропий базового и смежного распределений (кривая 3)
После точки экстремума общая энтропия базового распределения продолжает возрастать, а ее плотность уже монотонно уменьшается до некоторой фиксированной величины. Экстремальное значение плотности энтропии позволяет предположить, что данная точка соответствует устойчивому, стационарному состоянию системы. А малое значение энтропии НБ указывает на то, что это упорядоченное состояние системы (таким состоянием, например, для газа может быть точка перехода от жидкого к газообразному). Соответственно, слева от экстремального значения НБ находится зона, которая идентифицируется как зона очень высокой упорядоченности (например, для газа -это его твердое и жидкое агрегатные состояния). Зона после экстремального значения - это зона перехода системы ко все более и более неупорядоченному состоянию, вплоть до полного хаоса в самом конце интервала.
Из рис. 1 также следует, что плотность коэнтро-пии, т. е. энтропии, распределенной «на поле» смежного распределения, изменяется «зеркально» по отношению к плотности базового распределения и его энтропии.
которой порядок и беспорядок уравновешиваются. Уместно указать не только на органичную взаимообусловленность, но и потенциальную обратимость (инверсию) понятий энтропии и коэнтропии, хаоса и порядка в структурном строении системы.
Характер изменения суммы плотностей энтропий поясняет кривая 3. Она имеет два максимума и один минимум, которые в теории систем рассматриваются как кризисные точки структурной организации. В процессе изменения термодинамической вероятности и энтропийных параметров системы с ней происходят качественные структурные преобразования, индикатором которых является существенное изменение и перераспределение структурной энтропии и коэнтропии между сопряженными (ортогональными) распределениями.
Равновесная точка с величиной является моментом энтропийной гомогенизации структуры - точкой структурной инверсии системы, разграничивающей диапазоны преобладающего в основном упорядоченного (слева) и в основном неупорядоченного (справа) строения, равновероятные в этой точке. Такие конкурирующие, разнонаправленные и нелинейные тенденции процессов реструктуризации систем, не совпадающие по характеру и экстремумам, свидетельствуют об их асимметричности и асинхронности, впоследствии находящие свое выражение в асимметричном, многоуровневом иерархическом строении сложных систем.
Функциональная зависимость соотношения энтропии и коэнтропии НБ / Hs от относительной энтропии D имеет вид:
точки пересечения кривых 1 и 2 - ^б < д/Nn , наблю- до = D. (1 - D.) или ДНБ . = НБ (1 - НБ . / H *),
J J J j 0 j
дается дальнейшее снижение плотности энтропии, но
поскольку при этом возрастает собственно энтропия и где ДОj (ДНБ ) - прирост структурной энтропии, наблюдается увеличение плотности коэнтропии, мож- j
но говорить об устойчивости системной структуры в соразмерный заданному текущему значению О( нбj ),
этой области. Для интервала от точки пересечения - т. е. масштаб естественного ее изменения.
Из выражения следует, что приращение энтропии
ДО}- (ДНб ) прямо пропорционально, с одной стороны, значениям исходных энтропийных параметров системы Dj и НБ - «накопленной энтропии» как продуцирующей способности ее дальнейшего увеличения, с другой - еще не реализованному потенциалу энтропии (1 - Dj), (1 - НБ / Н *). Это свидетельствует
о дихотомическом характере процесса реструктуризации системы, обусловленном разнонаправленным характером изменения («противоборством») движущих сил и сил сопротивления в этом процессе.
Центральным моментом реструктуризации системы является срединная точка с параметрами D = 0,5, которой соответствуют максимальное значение прироста относительной энтропии ДО;- = max = 0,25 и
значение Д Hj /Hj = 0,5. Полученное выражение исследовано на наличие точек бифуркации по модели Л.П. Каданова.
Очень высокое значение собственно энтропии НБ говорит о том, что это состояние системы является предельно неупорядоченным (таким состоянием, например для газа, может быть состояние умеренного вакуума, когда частицы хотя и изредка, но все же взаимодействуют - сталкиваются). Максимальное значение плотности коэнтропии в этой точке дает все же некоторые основания рассматривать такое состояние совокупности частей как системное. Но это уже предел существования системы как связанной совокупности. Далее взаимодействие частей уже пренебрежимо мало (например, для газа - это зона глубокого вакуума, когда его состояние определяется «механическими» закономерностями столкновения частиц со стенками сосуда, где они находятся). Зона правее данной точки - это зона бифуркаций.
Интервал между экстремумами учитывается уравнением энтропии по Гиббсу, внутри которого распределения описываются законом Пуассона, а за пределами этого интервала - формулой Пуассона для редких событий. Диапазон до первого экстремума соответствует недиссипативным структурам - структурам, для которых внешние потоки и взаимодействие со средой не принципиальны. Структурная конфигурация таких систем соответствует минимуму потенциальной энергии, когда она становится равновесной, весьма стабильной и не способной к развитию.
Правее второго экстремума располагается зона совокупностей из разобщенных элементов, которые лишь условно могут считаться системами. Указанные зоны - соответственно предыстория и постыстория систем.
Правее первого экстремума - когда мБ > е и до
М >\ Nn и до мБ < Nn /е имеет место дальнейшее
повышение общей энтропии, что свидетельствует об устойчивости состояний системы в этой области, хотя при этом продолжает снижаться упорядоченность ее строения в целом. На этом участке значения плотности коэнтропии выше плотности энтропии. Это означает, что статус показателя, определяющего структуру системы, переходит к плотности коэнтропии, которая по величине на всем указанном интервале становится преобладающей (т. е. значения величин плотности энтропии становятся теперь лишь дополняющими). Возрастание плотности коэнтропии до точки экстремума говорит о сохранении структурной устойчивости сопряженного распределения на этом отрезке интервала.
Точка пересечения кривых 1 и 2 - точка инверсии, когда превалирующая роль в структурной организации переходит от базового распределения к смежному. Это точка симметрии - равенства энтропии и ко-энтропии, точка глобального равновесия системы, в
Уравнение Кадомцева в параметрах относительной энтропии можно записать так:
D]+l = X DJ (1 - Ц), где X - значение параметра бифуркации, X = АЦ.
Анализ показывает, что точка порога бифуркации, соответствующая значению параметра X = 3, совпадает со значением Ц = 0,5. Эта же точка совпадает с положением точки инверсии, поскольку значения энтропии и коэнтропии в этой точке равны, что указывает на существенные структурные изменения, которые будут сопутствовать дальнейшему росту энтропии системы.
Примерами инверсии в физических системах служат процессы взаимодействия газа и жидкости в режимах эмульгирования или развитого барботажа -пенного взаимодействия (рис. 2), «кипения» слоя зернистого твердого материала в потоке газа и другие. При исследовании процесса эмульгирования в системе газ-жидкость группой ученых (В.В. Кафаровым и др.) открыто явление скачкообразного увеличения тепло- и массообмена между газовой и жидкой фазами в режиме инверсии фаз [7].
Жидкость
А
0 0 о о о 0 О о О
О О °О0
±
..-О........
OdBoo о оо ОО О CP О о оо ооср о О ОопвО
0оо о^о О
ооооо <° оо °о
[ОСТОС^ г1
±
В
— —|— — ▼
•ооа^оо-0 Ч|°о °о
oqU---
Газ
Рис. 2. Структура газожидкостной системы в режимах: А - барботажный режим. Газ в виде пузырей диспергирован в сплошном слое жидкости; В - струйно-капельный режим. Жидкость диспергирована в сплошной газовой фазе; Б -промежуточный инверсионный режим. Обе фазы являются диспергированно-сплошными
Один из интереснейших случаев структурной инверсии связан с понятием отрицательной абсолютной температуры. Наряду с молекулярно-кинетическим представлением, в физике существует интерпретация
температуры как функции распределения частиц системы по значениям энергии, которое может быть описано уравнением Больцмана для газа, находящегося в поле потенциальных сил.
Из такого подхода следует, что шкале положительных температур Т > 0 соответствует устойчивое (равновесное) состояние системы, а диапазону отрицательных температур Т < 0 - инвертированное, неустойчивое (неравновесное) распределение. При равновесном распределении число частиц щ с меньшим значением энергии Е1 преобладает над числом частиц n2 с большим значением энергии Е2. И наоборот, для инвертированных систем n2 > щ, если Е2 > E1.
Феномен отрицательной температуры является квантовым эффектом и достижим только в системах с конечным числом энергетических уровней. Рассмотрим систему, имеющую два уровня энергии (рис. 3).
При абсолютном нуле температуры +0 К все частицы щ (в примере 4 шт.) находятся на нижнем энергетическом уровне, соответственно, n2 = 0 и энтропия системы равна нулю: Н = 0.
Если подводить к системе энергию - повышать температуру, то частицы начнут переходить с нижнего уровня на верхний, вызывая рост энтропии (например, вероятно распределение щ = 3, n2 = 1). Возникает состояние системы, когда на обоих уровнях будет одинаковое число частиц щ = n2 (в примере щ = n2 = 2). Такое состояние можно реализовать наибольшим числом способов, и ему будет соответствовать максимальное значение энтропии Н = max. По формуле Больцмана равномерному распределению частиц системы соответствует бесконечно большая положительная или отрицательная температура T ~ да .
Если системе сообщить дополнительную энергию, то щ2 станет больше, чем щ (в примере щ = 1, щ2 = 3), при этом температура, в соответствии с формулой Больцмана, примет отрицательное значение. Несмотря на продолжающийся рост общей энергии системы, ее энтропия начнет уменьшаться. В предельном случае, когда все частицы соберутся на верхнем уровне (щ2 = 4), значения щ и энтропии H станут равными нулю. Подобному состоянию соответствует температура минус ноль градусов по шкале Кельвина (- 0 K). Энергия системы при этом достигнет некоторого максимального значения.
0
Верхний уровень с параметрами E2 и N2
00
000
T ~ + 0 K
СООЭ
ООО
T~ + го; —го
ОО
о
t ~ - о к
Нижний уровень с параметрами E1 и N1
Рис. 3. Простейший пример пяти состояний системы с ограниченным числом энергетических уровней, равным двум
Б
Следовательно, точка - 0 К обозначает состояние, наиболее удаленное от обычного абсолютного нуля (+0 К). Последовательность температур в порядке возрастания видна из рис. 3.
Зависимость энтропии от энергии для обычных систем изображается монотонно возрастающей сплошной кривой (рис. 4), так как в обычных системах не существует верхнего предела для значения энергии, а для систем с конечным числом энергетических уровней имеет вид пунктирной кривой.
5 = 0, Т=+0 К Точка 5 = 0, Т= - 0 К
инверсии Энергия системы
Рис. 4. Зависимость энтропии системы от ее энергии вблизи Т = +0 и -0 К
Несмотря на то что состояния с температурой +0 и - 0 К имеют одинаковую равную нулю энтропию, они являются двумя совершенно различными состояниями. При + 0 К энергия системы минимальна, а ее состояние устойчиво. При - 0 К энергия системы максимальна, а состояние, как и все состояния с отрицательной температурой, - метастабильно, т.е. неустойчиво и требует непрерывного подвода энергии к системе. Если тело с любой конечной отрицательной температурой привести в соприкосновение с телом, имеющим любую конечную положительную температуру, то энергия будет переходить от первого («холодного») ко второму («горячему»), а не наоборот. Эти явления предвидели знаменитые исследователи Н. Тесла и К.Э. Циолковский, считавшие, что в природе должны быть условия перехода тепла от холодных тел к более нагретым, что процессы рассеяния и концентрация энергии равноправны.
Отсюда следуют достаточно сильные заключения, например, о том, что в реальном мире абсолютно замкнутых систем нет ... и взаимодействие между материальными субстанциями происходит по более сложным законам, чем второе начало термодинами-
Поступила в редакцию
ки... - процессы рассеяния энергии и процессы ее сосредоточения существуют в единстве [5].
Ярким примером инверсии систем с разным уровнем организации является зарождение квазистабильных квантовых точек в присутствии упруго-напряженной поверхности. Модельные представления в этой области достаточно хорошо разработаны (см., например, [8]; развитый здесь метод, очевидно, найдет в соответствующих задачах широкое применение).
Заключение
Таким образом, перераспределение вкладов энтропии и коэнтропии между сопряженными (ортогональными) распределениями, соответствующими уровням однородных и разнородных элементов, можно считать индикатором качественных структурных преобразований систем. Точка инверсии с равными значениями энтропии и коэнтропии может рассматриваться как точка бифуркации более высокого порядка, по сравнению с рассматриваемыми традиционно элементарными бифуркациями. Примерами инверсии в физических системах могут служить процессы взаимодействия газа и жидкости в режимах эмульгирования или развитого барботажа - пенного взаимодействия, «кипения слоя зернистого твердого материала в потоке газа, генерации лазерного излучения, распада упругонапряженной поверхности кристалла на островки - квантовые точки.
Литература
1. Хазен А.М. Введение меры информации в аксиоматическую базу механики. М., 1998. С. 16, 30.
2. Яблонский А.И. Модели и методы исследования науки. М., 2001. С. 240.
3. Данилов Ю.А., Кадомцев Б.Б. Что такое синергетика? // Нелинейные волны. Самоорганизация. М., 1983. С. 10.
4. Генкин И.Л. Энтропия и эволюция Вселенной // Астрономия, методология, мировоззрение. М., 1979. С. 180 - 186.
5. Хайтун С.Д. Феномен человека на фоне универсальной эволюции. М., 2005. С. 70 - 71.
6. Лавенда Б. Статистическая физика. Вероятностный подход: пер. с англ. М., 1999. С. 32
7. Кафаров В.В. Основы массопередачи. М., 1979. 439 с.
8. Благин Л.В., Калинчук В.В., Лебедев В.И., Лунин Л.С. Физика кристаллизации и дефектов твердотельных структур на микро- и наноуровнях. Ростов н/Д., 2009. 288 с.
5 июня 2013 г.
