Энтропийный анализ сложных систем как инструмент инженерной деятельности Текст научной статьи по специальности «Физика»

Энтропийный анализ сложных систем как инструмент инженерной

деятельности

12 1 3

А.В. Благин , Л.В. Благина , И.Г. Попова , Ю.В. Сахарова

1 Донской государственный технический университет, Ростов-на-Дону 2Институт технологий ДГТУ, г. Волгодонск 3Центр дополнительного образования, г. Волгодонск

Аннотация: В работе обсуждаются модельные представления сложных систем как объектов с самоорганизованной структурой. Энтропия трактуется как мера структурного разнообразия систем. Этот подход, развитый в последние годы в информатике, используется авторами в теории неорганических систем, в частности, многокомпонентных полупроводниковых твердых растворов. Сформулированы закономерности динамического процесса самоорганизации сверхструктуры в полупроводниковой системе. Показано, что в ряде случаев исследователь может задавать физико-технологические условия согласованного поведения элементов системы, находящейся в состоянии с выбором сценария эволюции. Модель иллюстрируется результатами экспериментальных исследований кинетики кристаллизации твердых растворов с мезоструктурой. Ключевые слова: энтропия, негэнтропия, коэнтропия, мера упорядоченности, структурное разнообразие, нормальное распределение, диссипативные системы, асимметричное строение, ортогональные распределения, инверсия зависимости.

Введение

Энтропийный подход, традиционно используемый в неравновесной термодинамике, в последние десятилетия находит все более широкое применение в таких сферах научного знания, как информатика, теория времени, экология, методология научного познания [1-5].

Трактовка энтропии как меры теплосодержания системы и беспорядка в статистической физике расширяется - эта физическая величина может также играть роль показателя структурной организации сложных систем [6]. На первый план выступает удобство использования энтропии, обусловленное ее инвариантностью по отношению к широкому классу преобразований.

Прикладной областью, на которой иллюстрируются модели энтропийного подхода, является технология сложных полупроводников.

Статистической трактовкой энтропии является формула Больцмана:

S = kB ln Q, (1)

где кв = 1.38 • 10-23 ~ постоянная Больцмана; О - статистический вес

системы (число детальных равновесных состояний, соответствующих конкретному макросостоянию с определенными значениями давления, объема и температуры).

Теория сочетаний определяет статистический вес как число способов размещения частиц N по т группам, состоящим из Ы]... Ит частиц, как

N ! т

П =-— « Ып 1п-У N 1пN, (2)

NN ! Ы ^

у т- 1=1

где использовано приближение Стирлинга N!= eNNN для больших значений №). Тогда

т

8 = k(NN 1п NN-У N11п N). (3)

,=1

Уже сам Больцман понимал, что такое определение энтропии выходит далеко за рамки термодинамики и может выступать показателем структурного разнообразия сложных систем.

«Безразличие» системы к возможным способам организации ее макросостояний можно трактовать, как беспорядок на микроуровне, что не препятствует росту числа ее возможных упорядоченных состояний. Такая неоднозначность определения энтропии в физики конденсированного состояния была установлена в [7].

Физический хаос, согласно последним исследованиям [8], вовсе не является состоянием с предельно высоким уровнем беспорядка. Напротив, это состояние со сложным, многоуровневым порядком, для которого можно находить параметры только локально [9].

Введем безразмерную энтропию

8 т

д = - - NN 1пNN-У N11пN. (4)

к 1=1

Первое слагаемое справа - это максимально возможная структурная энтропия для фиксированной величины Ы„. Второе слагаемое может рассматриваться в качестве меры устраненного беспорядка (в теории информации Шеннона используется термин «негэнтропия» [9].

Удачной попыткой рассмотрения энтропии как меры разнообразия сложных систем является подход, развитый в [10]. Энтропия понимается как сумма импульсного и структурного факторов. Первый выражает разнообразие ресурсов системы, необходимых для ее эволюции и поддержания гомеостаза. Второй выступает фактором текущей организации системы. Такой подход допускает распространение понятия энтропии на все процессы, протекающие во Вселенной.

Модель структурной эволюции систем с использованием параметра

плотности энтропии

Аддитивность состояний системы задана уравнениями:

т

У N = ,

^^ г п5

г=1

т

где N - число частиц в системе с энергией Е = у ; 8 - энергия частицы в г

г =1

-м состоянии.

В этом случае условный максимум статистической энтропии может быть записан в виде

^ = к (N 1п г + вЕ),

п

где 1 = у е - статистическая сумма по состояниям с энергией 8, в = (кТ)_1,

г=1

Аддитивность энтропии может нарушаться (например, при образовании смеси газов).

Обратимся к выражению (2). Поскольку энтропия не может принимать

т

отрицательные значения, О тт=0, откуда у N1 1п N1. = Nn,. тогда максимум

1=1

Nr,I

энтр°пии ^ах = Nn 1П

е

По структуре это выражение соответствует гиббсовскому формализму, в котором впервые получили статистическое описание новые сложные объекты - многокомпонентные гетерогенные системы. По Гиббсу

8 = к(N 1пИп -Ип -Ип 1Па-РЕ).

Выражения для равновесных распределений частиц в подходах Больцмана и Гиббса совпадают:

2кN 1п7 + РЕ). = к(Мп 1пМп - Мп) = кНп (1пМп,).

Это позволяет согласовать определения условных максимумов энтропии: ^тзх = 8.Г тзх, или 2^тзх = кИп 1п = 8.Г, откуда, в безразмерном виде:

=1 Nn 1П Nnх « Ы^^.

Г тах 2 п пх п \ п

Таким образом, структурный хаос отвечает значению максимальной упорядоченности. Условный максимум энтропии составляет 1/2 от предельно возможной; параметр тЩ^, согласно базовым представлениям

неравновесной термодинамики определяет среднюю флуктуацию термодинамических параметров. Категория «беспорядка» при этом сохраняет свое значение только как фиксация состояния системы на пороге

бифуркации, чему соответствует точка 2 Кп 1п Кп.

Предшествующие - равновесные состояния описываются нормальным распределением Гаусса. Максимум распределения соответствует максимуму энтропии системы:

%Н0РМ = kNn Ыу12жа\ (5)

где а2 - средний квадрат отклонения параметра от среднего значения, по которому оценивается энтропия. (5) преобразуется к виду

йнорм * N Опа + аХ

где а =1,418 есть отношение максимальной и наиболее вероятной ошибок

среднего значения указанного выше параметра.

В больцмановской формулировке а = 1,5. Это различие связано с тем,

что по Гиббсу дискретное распределение заменятся непрерывным.

Используем методику М. Планка. Рассмотрим плотности энтропии - их

значения, отнесенные к отдельному числу возможных состояний ю (юВ -

ч , 1псв , 1пск

энтропия, юК - коэнтропия): Ив =-—, Ик =

Св (Ок

(число состояний есть отношение энтропии и коэнтропии к числу элементов

1п О в , ^ 1/ , 1п О к , _ 1 , ч системы, -— = 1п ОУмп = 1па>в и -— = 1пОк/мп = 1псок).

N N к

п п

Расчет на нормированном множестве значений фиксированного

термодинамического параметра, например, давления смеси газов, дает

характерные кривые, представленные на рис. 1 (пунктир - сумма плотностей).

Рис. 1 - Эволюция сложной системы в терминах плотности энтропии и коэнтропии

Видно, что резкий рост плотности энтропии Ив приводит к достижению экстремального значения (Нв «0,37). Этой точке соответствует устойчивое стационарное состояние системы.

Левее расположена зона значений параметра, отвечающих высокой упорядоченности системы (например, для газа - это жидкая фаза). Зона правее экстремума соответствует переходным хаотичным состояниям.

График симметричен по паре «энтропия-коэнтропия», таким образом, рост разупорядоченности зеркально сопровождается «устранением состояний».

Зона правее максимума коэнтропии является зоной бифуркаций (т. е., поливариантности эволюции).

Диапазон между пиками плотностей энтропии и коэнтропии соответствует распределению Пуассона; вне диапазона следует использовать формулу Пуассона для редких событий.

Область левее =%Втзх соответствует недиссипативным структурам

(для них не существенны процессы переноса импульса, энергии, массы и т. д.). Структуры в этой области «замораживаются»; их эволюция замедляется.

Точка пересечения кривых тВ =тк = соответствует так

называемой инверсии, энтропия и коэнтропия в этой точке равны; структура в этой точке может скачком переходить от исходного распределения к некому смежному. Минимум на кривой суммы плотностей энтропий (пунктир на рис. 1) соответствует структурной перестройке системы. Она разграничивает области упорядоченных (левее минимума) и неупорядоченных (правее) состояний. Стрелки указывают тенденции эволюции систем.

Таким образом, результаты расчета позволяют сделать нетривиальный вывод о равновероятных возможностях эволюции систем к беспорядку и порядку (при условии, если он достаточно сложен, и при описании систем

можно использовать приближение достаточно большого Nn - трактовки Больцмана и Гаусса совпадают в пределе Nn ^ ю).

Обозначим А)В - прирост структурной энтропии; ()В,) -относительная .энтропия; АDi - её прирост.

Тогда А), = )

В 0

Г ) Л 1 -еВ

где )) - среднее по состояниям )В, значение энтропии; АDl = Dl0 (1 - Dl).

Линейная зависимость приращения энтропии от исходных значений (АDi от АDi0 и А)В, от )В0 соответственно) отражает дихотомический

характер перестройки системы, обусловленный конкурентным механизмом тенденций сложной системы к порядку и беспорядку.

)В 0 - «накопленная энтропия»,

( ) Л

1 - * В,

- не задействованная,

У

«потенциальная» энтропия системы в её дальнейшей эволюции.

Следуя [11] проанализируем выражение (6) по методике Лео П.

Каданова на наличие точек бифуркации, введя параметр бифуркации Я =

Значению срединной точки D = 0,5 соответствует пороговая точка, соответствующая Я = 3. Одновременно это и точка инверсии, в которой накопленная энтропия Di равна её нереализованному потенциалу (1^,).

Одним из наглядных примеров инверсии неограниченной системы является процесс взаимодействия паровой и жидкой фазы в режиме барботирования, что представлено на рис. 2, где А - барботажный режим; В -инверсный режим; С - эмульсионный (капельный режим).

изменение сечения выхода

А в с ■

*- о о о -* о о л О о. О О - 0 С1 -0

А *

изменение давления струи пара

Рис. 2. - Процесс взаимодействия паровой и жидкой фазы в режиме

барботирования

Система «жидкость-струя пара» (В) может эволюционировать как к барботажу (А), так и к дисперсионной эмульсии (С) (рис. 2).

Ещё один механизм инверсии, зафиксированный авторами, заложен в термодинамически нестабильной двухфазной системе (бинарная подложка-многокомпонентный расплав), эволюция которой представлена на рис. 3 (А -эпитаксиальный монокристаллический слой; В - двухфазная система кристалл+расплав; С - система с мезоструктурой).

кр н ст аллизацня

1 А 1 В С г

А . А , Л — ш

\\\\Л\\\\\ ^- 0 у 0 -► \\ \ ^ V V V чТ"

* * А

нагрев

Рис.3 - Эволюция двухфазной многокомпонентной полупроводниковой

системы

Физические свойства системы с мезоструктурой описаны в [12].

Специфика градиентной эпитаксии пленок твердых растворов в условиях возвратного движения расплава изложена в [13].

Качественное описание возможного механизма скоррелированного поведения двухфазной многокомпонентных системы

Процессы самоорганизации [14], понимаемые как следствие нелокальных корреляций по макроскопическому объему системы, могут развиваться в открытых средах, далеких от равновесия, если через них упорядоченно перемещается вещество и/или теплота. При этом в системе должна поддерживаться положительная обратная связь.

В условиях направленной кристаллизации это означает влияние структуры, формирующейся в конце перемещения расплава в направлении, перпендикулярном плоскости кристаллической матрицы, на старт жидких зон следующего цикла. Схематически эволюцию системы можно представить, как «дерево сценариев» (рис. 4), где А - зона линейной зависимости Ф (Уф); В - переход к нелинейной эволюции системы; С -область бифуркаций; Б - область поливариантности системы (участки с наименьшими значениями Ф соответствуют росту монокристаллических пленок, далее, с ростом Ф - переход к мезоструктурам; поликристаллам; полупроводниковым стеклам).

Движущую силу процесса (градиент некоторой функции координат, в случае термомиграции - градиент температуры, обозначим Уф.

Обобщенный поток - Ф (в случае градиентной эпитаксии Ф играет роль твердой фазы).

А | 1 | 1 1 1 в _ 1 1 1 ■ 1 | С 1 1 1 1 —►

V*! Уф

Рис. 4 - Самоорганизация: зависимость обобщенного потока Ф от величины движущей силы Уф

В растворе-расплаве в качестве движущей силы может выступать избыточная энергия Гиббса [15]:

АР = - ЯТ 1пА,

V

где А0 - активность растворенного вещества в насыщенном; А - в пересыщенном растворах. Равновесное состояние имеет место при Уф = 0.

В случае малых отклонений от равновесия (область А) зависимость Ф (Уф) имеет линейный характер; поведение системы детерминировано. С ростом Уф возникает отклонение от нелинейности (область В). На графике с областью С система оказывается в области бифуркаций. Очевидно, пороговое значение Уф соответствует точке инверсии - равенства энтропии и коэнтропии (рис. 1).

Возникает несколько сценариев, которые можно считать равновероятными. Сценариям с меньшими значениями Ф (Уф) соответствует формирование упорядоченных фаз. При реализации больших значений потока возможно формирование аморфной фазы.

Процессы самоорганизации «запускаются» в точке бифуркации при соблюдении следующих физико-технологических условий:

1) достаточно большое значение движущей силы. В наших экспериментах необходимо достижение порогового значения градиента температуры 70 К/см [17];

2) чтобы система вышла в режим инверсии, необходимо обеспечить некоторое минимальное количество незатухающих флуктуаций (условие 2);

3) размер гетерокомпозиции «подложка-расплав» в направлении роста должен быть сопоставим с масштабом возмущений поверхности раздела (порядка 50 мкм), что достигается в технологии градиентной жидкофазной эпитаксии (ГЖЭ) с использованием точек расплава диаметром 30 мм.

Положительная обратная связь (условие 3) обеспечивается в случае, если зависимость Ф (Уф) нелинейна, при этом производная d0/d(Уф) должна быть положительна; (условие 4). В условиях ГЖЭ это выполняется, если величина концентрационного избытка возрастает при увеличении градиента температуры. Это требование представляется соблюденным a priori, однако перемещение может замедляться летучестью компонентов. Этот фактор устраняется повышением давления среды (Н2) от 1,5 до 1,7 атмосфер. Т.е., технолог управляет созданием условий для коррелированного поведения ростовой системы.

Дальнейший анализ может быть проведен в рамках теории хаотической динамики роста кристаллов и аморфных структур [16] с использованием критериев устойчивости по Ляпунову.

Заключение

В работе предпринята попытка описания процессов в неорганических системах, связанных с взаимодействием фаз, в терминах энтропийного подхода, основанного на фундаментальных работах Больцмана и Гиббса.

Существенно новым аспектом является расширение физического содержания понятия энтропии, как это ранее было сделано в теории информации.

Такая интерпретация результатов экспериментальных исследований, изложенных в предыдущих работах авторов, приводит к новым модельным представлениям об энтропии как о мере структурного разнообразия систем, применимым как к беспорядку, так и к сложному порядку.

Литература

1. Арманд А. Д. Иерархия информационных структур мира // Вестник РАН, 2001. Т.71. № 9. С.797-806.

2. Пригожин И.Р. От существующего к возникающему: время и сложность в физических науках. М.: КомКнига, 2006. 312 с.

3. Kauffinan S. At Home in the Universe. The Search for Laws of Self-Organization and Complexity. London: Viking, 1995. P.29.

4. Bimberg D., Richter U., Heudenreich J., Ustinov V.M., Kop'ev P.S., Alferov Zh.I. Self-Organization processes in MBE-grown quantum dot structures // Thin Solid Films. 1995. Vol. 267. pp. 32-36.

5. Сахаров В.В., Лукичев П.Н. Структура научного знания: концепция разнообразия / ЮРГТУ, ВРО РФО Волгодонск. Изд-во ВРО РФО, 2005. 96 с.

6. Сахарова Ю.В., Сахаров В.В. Очерки структурной организации сложных систем: приложение к журналу "Интегралы культуры" / Научн. издание. М.: Спутник+, 2008. 163 с.

7. Стишов С.М. Энтропия, беспорядок, плавление//Успехи физических наук. РАН, 1988. Т.154. С.119.

8. Денбиг К. К вопросу об энтропии, беспорядке и дезорганизации // Знание - сила, 1995. № 9. С. 44-51.

9. Хакен Г. Информация и самоорганизация. Макроскопический подход к сложным явлениям. М.: Мир, 1991. 24G с.

1G. Панченков А.Н. Энтропия. Н. Новгород. Изд-во «Интелсервис», 1999. 168 с.

11. Leo P. Kadanoff. Roads to Chaos. - Physics Today. - Dec.q1983. - pp. 46-53.

12. А.В. Благин, Л.В. Благина, В.В. Кодин, Н.А. Нефедова, И.Г. Попова / Физические свойства многокомпонентных узкозонных твердых растворов с мезоструктурой. Инженерный вестник Дона, 2G18. №2. URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/N2y2G18/483G.

13. А.В. Благин, Л.В. Благина, В.В. Кодин, Н.А. Нефедова, И.Г. Попова Структура эпитаксиальных слоев узкозонных твердых растворов и компенсация дефектов // Инженерный вестник Дона, 2G18. №2 URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/N2y2G18/482G.

14. Третьяков Ю.В., Олейников Н.Н., Гудилин Е.А. Самоорганизация в физико-химических системах на пути создания новых материалов // Изв. РАН. Неорганические материалы, 1994. Т. 3G. №3. С. 291-3G5.

15. Лозовский В.Н., Лунин Л.С., Благин А.В. Градиентная жидкофазная кристаллизация многокомпонентных полупроводниковых материалов. Ростов-на-Дону. Изд. СКНЦ ВШ, 2GG3. 376 с.

16. Вихров С.П., Бодягин Н.В., Ларина Т.Г., Мурсалов С.М. Процессы роста неупорядоченных полупроводников с позиций теории самоорганизации // Физика и техника полупроводников, 2GG5. Т. 39. Вып. 8. С. 953-959.

17. Благин А.В., Благина Л.В., Баранник А.А., Лунин Л.С., Сысоев И.А. Кинетика роста пленок и макродефекты гетероструктуры GaInAs<Bi>/AsIn в поле температурного градиента // Неорганические материалы, 2GG9. Т. 45. №8. С. 908-912.

References

1. Armand A.D. Vestnik RAN, 2001. V.71. № 9. рр. 797-806.

2. Prigozhin I.R. Ot sushchestvuyushchego k voznikayushchemu: vremya i slozhnost' v fizicheskikh naukakh [From existing to emerging: time and complexity in the physical Sciences]. M.: KomKniga, 2006. 312 p.

3. Kauffinan S. London: Viking, 1995. рр. .29.

4. Bimberg D., Richter U., Heudenreich J., Ustinov V.M., Kop'ev P.S., Alferov Zh.I. Thin Solid Films. 1995. Vol. 267. pp. 32-36.

5. Sakharov V.V., Lukichev P.N. Struktura nauchnogo znaniya: koncepciya raznoobraziya [Structure of scientific knowledge: the concept of diversity]. YURGTU, VRO RFO Volgodonsk. Izd-vo VRO RFO, 2005. 96 p.

6. Sakharova YU.V., Sakharov V.V. Ocherki strukturnoj organizacii slozhnykh sistem: pril. k zhurn. "Integraly kul'tury" [Essays on the structural organization of complex systems: application to the journal "Integrals of culture"]. Nauchn. izdanie. M.: Sputnik+, 2008. 163 p.

7. Stishov S.M. RAN, 1988. V.154. рр.119.

8. Denbig K. Znanie - sila, 1995. № 9. рр. 44-51.

9. K. Haken G. Informaciya i samoorganizaciya. Makroskopicheskij podkhod k slozhnym yavleniyam [Information and self-organization. Macroscopic approach to complex phenomena]. M.: Mir, 1991. 240 p.

10. Panchenkov A.N. Entropiya. N. Novgorod. Izd-vo «Intelservis», 1999. 168 p.

11. Leo P. Kadanoff. Roads to Chaos. Physics Today. Dec.q1983. рр. 46-53.

12. A.V. Blagin, L.V. Blagina, V.V. Kodin, N.A. Nefedova, I.G. Popova. Inzenernyj vestnik Dona (Rus), 2018. №2. URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/N2y2018/4830.

13. A.V. Blagin, L.V. Blagina, V.V. Kodin, N.A. Nefedova, I.G. Popova Inzenernyj vestnik Dona (Rus), 2018. №2 URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/N2y2018/4820.

14. Tret'yakov YU.V, Olejnikov N.N., Gudilin E.A. Izv. RAN. Neorganicheskie materialy, 1994. V. 30. №3. pp. 291-305.

15. Lozovskiy V.N., Lunin L. S., Blagin A.V. Gradientnaya zhidkofaznaya kristallizatsiya mnogokomponentnykh poluprovodnikovykh materialov [Gradient liquid-phase crystallization of multicomponent semiconductor materials]. Rostov-na-Donu. SKNTs VSh, 2003. 376 p.

16. Vikhrov S.P., Bodyagin N.V., Larina T.G., Mursalov S.M. Fizika i tekhnika poluprovodnikov, 2005. V. 39. Vyp. 8. pp. 953-959.

17. Blagin A.V., Blagina L.V., Barannik A.A., Lunin L.S., Sysoev I.A. Neorganicheskie materialy, 2009. V. 45. №8. pp. 908-912.