CC BY
91
теплоносителя. Полное решение этой проблемы требует всестороннего анализа гидродинамических и тепловых процессов в АТП и дальнейшего его технического совершенствования. Для этого в настоящей работе разработана физико-математиче-
ская модель таких процессов, позволяющая детально производить необходимый анализ.
Работа выполнена при финансовой поддержке Комитета по науке Министерства образования и науки РК (Договор №511 от 05.04.2012 г.).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Соколов Е.А. Теплофикация и тепловые сети. - М.: Энергоиз-дат, 1982. - 360 с.
2. Ионин А.А. Теплоснабжение. - М.: Стройиздат, 1982. - 336 с.
3. Френкель Н.З. Гидравлика. - М.-Л.: Госэнергоиздат, 1956. -456 с.
4. Беннет К.О., Майерс Дж.Е. Гидродинамика, теплообмен и мас-сообмен / Пер. с англ. М.С. Ассмус и В.М. Ентова / под ред.
Н.И. Гельперина и И.А. Чарного. - М.: Недра, 1966. - 726 с.
5. Лойцянский Л.Г Механика жидкости и газа. - М.: Наука, 1987.
- 840 с.
Поступила 09.07.2012 г.
УДК 532.5+536.24
ЭНЕРГОСБЕРЕЖЕНИЕ В ТЕПЛОВЫХ ПУНКТАХ ЖИЛЫХ И ОБЩЕСТВЕННЫХ ЗДАНИЙ.
Ч. 2. МОДЕЛЬ ОБОГРЕВА ЗДАНИЯ
Б.А. Унаспеков, К.О. Сабденов, М.Ж. Кокарев, М.В. Колобердин, Б.А. Игембаев
Евразийский национальный университет им. Л.Н. Гумилева, г. Астана, Казахстан E-mail: sabdenovko@yandex.kz
Разработана простая модель обогрева здания с произвольным числом этажей, включенного в систему центрального отопления. Несмотря на простоту, она может применяться для моделирования обогрева здания совместно с его тепловым пунктом для последующего поиска оптимальных режимов работы теплового пункта. Проведены тестовые расчеты по определению температуры теплоносителя и средней температуры в помещениях для 9-этажного здания. Сформулированы условия применимости методов механики сплошной среды для описания температурного режима в здании.
Ключевые слова:
Температура и скорость движения теплоносителя, температура в помещениях, тепловой пункт, теплообмен, приближение механики сплошной среды, температура на входе и выходе системы отопления.
Key words:
Coolant temperature and speed of movement, temperature in rooms, thermal point, heat exchange, continuum mechanics approximation, input and output temperature of heating system.
Введение
Моделирование гидродинамических и тепловых процессов в автоматизированном тепловом пункте (АТП) требует знания температуры на входе Тп,2 и выходе ТотЦ системы отопления обслуживаемого здания. В частности, справедливо уравнение (1)
ln-2 - (T _ T ) _SLuL(T _ T )
, (Tin T in,2 'о 7 (Tin,2 T out,2 ',
dt d2 S0 d2
(1)
где иь, и2 - соответственно скорости теплоносителя на входе в АТП и в узле смешения; £0, ¿1 - соответственно площади сечения магистральной трубы АТП и трубы узла смешения диаметра й2.
Температуры Тщд и Тоти можно теоретически рассчитать, если смоделировать процессы теплопе-реноса и теплообмена в здании. Излагаемый ниже материал посвящен разработке требуемой модели.
Математическая модель отопления здания
Будем считать, что теплоноситель подается в здание с самого верхнего этажа вниз. Полагаем
его высоту равной Ьг (рис. 1). Температуру теплоносителя обозначим за Т, а температуру в помещениях здания - за Ть.
Скорость движения теплоносителя на входе в систему отопления и3 рассчитывается по уравнениям, приведенным в работе [1]. В самой системе отопления скорость теплоносителя и=и3-й?02/Д£2, где Д£ - эффективный диаметр трубопровода системы отопления. Будем считать, что она сохраняется по всему зданию. За переменную х примем координату вдоль направления и. Тогда в рамках приближения механики сплошной среды справедливы следующие уравнения [2]:
dT + дТ ТЛ
-----+ u— -_a(T _ T.),
dt дх h
dTT -a(T _ Th) _Y(Th _ Tc), dt
(2)
где параметр а>0 характеризует скорость теплообмена между системой отопления и помещениями; а параметр у - между помещениями и наружным
воздухом. Оба эти параметра имеют положительный знак, 7>0.
(Т т\ и— = -а(Т - Ть),
ах
а(Т -Ть) -у(Тъ - Тс) = 0,
(4)
-Т + -
а+у а+у
используем его в первом уравнении (4). После вы полнения элементарных преобразований прихо дим к уравнению
аТ
ау
и— =------------------(Т - Тс)
ах
а + у
Оно легко решается: Т = С ■ ехр| -
ау
а + у и )
где постоянная интегрирования С находится из граничного условия (3), и она имеет значение С=ТЬ2-Тс. Таким образом,
Т = (Тп,2 - Тс) ■ ехР-
ау х а + у и
(6)
Теперь средняя температура здания получается из (5):
Т = (Тів2 -Тс)-
а
а+у
-■ ехР
£ 1 + Т.
а + у и )
(7)
Сравнивая эти формулы, видим, что они отличаются множителем
1.
Рис. 1. Упрощенное представление движения теплоносителя при обогреве здания и система координат
Температуры Т и Ть в (2) являются функциями времени / и координаты х:
Т=Т(/, х), ТгТД х).
Обращает на себя внимание отсутствие в (2) температуры Тщ. Она присутствует только в граничном условии
Т (/,0)=^. (3)
Кроме граничного условия уравнения (2) должны быть дополнены начальными условиями: по одному на каждое уравнение.
Нестационарные решения уравнения (2) представляют интерес, когда во времени меняются температуры Тщд и Тс. Но на достаточно большом промежутке времени они остаются постоянными. Тогда можно рассмотреть только стационарные решения. Полагая в (2) ЗТ/3/=5Т11/3/=0, получим
а + у
Это означает выполнение неравенства Т> Т при любых х, если Тп,2>Тс, т. е. при нормальном обогреве дома температура в помещениях всегда ниже температуры в системе отопления.
Из (7) следует, что во входной части системы отопления (в сущности, на верхних этажах здания) средняя температура в доме равна (х=0)
а
а
ТЬ(0) = (Тп,2 - Тс)- . ..
а+у а+у
Эту формулу можно записать как
Т+
7
а + у
Ть(0) = Тп.
1 --
Т - Т
1 іп,2 1 с
а + г Тп
Выражение в скобках меньше единицы, если Тп,2>Тс, и, наоборот, больше единицы, если Тп,2<Тс. В первом случае происходит преимущественно обогрев дома за счет подачи относительно горячего теплоносителя, а во втором случае обогрева недостаточно, температура в здании меньше температуры Тп,2.
Теперь выясним, чему равны температуры на выходе системы обогрева, т. е. фактически на нижних этажах здания. Полагая в (6) и (7) х=Х2, находим
= (Тп,2 - Тс) ■ ЄХР| -
где частная производная заменена полной производной ввиду зависимости температур только от одной переменной х.
Выразив из второго уравнения (4) Т через Т:
“ - ^ (5)
аУ 4
а + у и
+ Тс,
ТН,ои1 = (Тіп,2 Тс ) "
а
-■ ехр
аУ к
а+у ^ а+у и
Из второй формулы следует, что средняя температура на нижних этажах здания всегда ниже средней температуры верхних этажей.
Уравнения (2) пригодны только для случая одноэтажного здания или для высотных зданий (это будет показано ниже). При их формулировке принят в расчет только тот факт, что теплообмен между телами возникает только при различии их температур. Но не конкретизируется скорость этого теплообмена, которая может зависеть как от физических свойств материалов контактирующих тел, окружающей их среды, величины разности температур и т. д., так и от условий гидродинамического
течения, которые реализуются в процессе теплообмена. Все эти факторы заключены в эмпирические параметры а и у. В общем случае такой подход оказывается грубым, т. к. а и у оказываются сложными функциями переменных, характеризующих перечисленные факторы. Но в рассматриваемом случае температура в помещениях меняется в незначительных пределах. Так что а и у можно считать практически постоянными величинами.
Пусть теперь рассматриваемое здание имеет п этажей, которые могут обмениваться теплом друг с другом только через систему теплоснабжения. Пронумеруем этажи так: первым считается самый верхний этаж, последний номер имеет самый нижний этаж. Тогда термодинамическое состояние самого верхнего этажа будет задаваться температурами Т1 и Ты, состояние следующего (нижнего) этажа - температурами Т2 и Ти и т. д.
Далее предположим, что в пределах этажа температуры могут зависеть только от времени. Тогда из (2) после формальной процедуры аппроксимации производной
дТ
дх к
по расстоянию к между этажами для этажа с номером 1 получим
= и(Тп,2 - Т)- а(Т - Ты), аґ к
аТЫ
а
= а(Т1 - ТЫ)-У(ТЫ - Тс) + &
где д\ - функция источника тепла на первом этаже, и частные производные по времени заменены полной производной.
Источниками (внутренними) тепла выступают главным образом электробытовые приборы и лампы освещения. В основном их действие носит временный характер. Поэтому необходимо считать наличие функциональной зависимости д'1=д'1(1).
По аналогии с приведенной парой уравнений для второго этажа с функцией внутреннего источника д 2 имеем следующую пару уравнений:
^ = и (Т - Т2)-а(Т2 - Ти), с к
СТН2
Сґ
= а(Т2- Тъ2) -г(Ты - Т)+42.
Согласно первому уравнению с первого этажа теплоноситель на второй этаж подается с несколько пониженной температурой Т1, т. к. он частично потерял внутреннюю энергию при обогреве этажа с номером 1.
Из приведенных выше форм уравнений для теплоносителя и помещений уже становится понятно, что для всех п этажей получается система из 2п связанных друг с другом дифференциальных уравнений
= и(Тп2 -Т)-а(Т -Ты), аґ к
Сґ
= а(Ті- Ты) -г(Тш - Тс)+
^ = и (Ті - Т2)-а(Т2 - Ти), аґ к
СТН2
Сґ
= а(Т2 - ТН2) - КТН2 - Тс) + 42 ;
^ = и (Т-1 - Тп)-а{Тп - Ты), аґ к
Сґ
= а(Тп - ТЫ ) -7(ТЫ - Тс) + Я'п.
(8)
Здесь д '=д';(0, /=1,2,..., п.
Константы а и 7 для многоквартирного дома могут быть приняты одинаковыми. Но если речь идет об административном или общественном здании, где планировка этажей может сильно различаться, то для каждого этажа будет свое значение констант а и у.
Температура теплоносителя на этаже с номером п равна температуре на выходе из системы отопления здания:
Т=Т
На этом формулировка математической модели отопления здания завершена. При моделировании уравнения (8) необходимо дополнить начальными условиями
Т<*=0)=Ти, Ты(/=0)=Тм,;; Т0,;=сош^ Тм,;=со^.
Следующий вопрос касается учета тепловой инерционности обогреваемых помещений и системы отопления. Температура теплоносителя меняется согласно уравнениям (8) за характерное время к/и. Но, т. к. система трубопровода в помещениях имеет большую длину, по сравнению с к, то учет этого фактора приводит к тому, что эта система должна обладать характерным временем прогрева т.
Температура в помещениях из-за низкой теплопроводности воздуха и его относительно большого объема меняется существенно медленнее, чем в системе отопления. Сказывается также наличие предметов в помещениях с аналогичной теплопроводностью (дерево, пластик и пр.). Поэтому сами помещения будем характеризовать временем прогрева ты.
С учетом сказанного в системе (8) необходимо сделать замену
<СТ, СТ ,
— —-
аґ аґ
аТ
аТ
л -Ц-. (9)
Решение уравнений (8) с поправками (9) проводилось численным методом по схеме Эйлера-Крамера [3] для девятиэтажного жилого здания. Время Т, ты подбиралось так, чтобы установление темпе-
ратур происходило в течение наблюдаемых на практике значений. В расчетах полагалось т;=10 с, ты=60 с. Параметры а=у=0,05; среднее расстояние между этажами к=2,5 м; д]=0. Один из результатов пробного расчета приведен на рис. 2.
І, І11ІІ1
Рис. 2. Распределение температуры (С) теплоносителя Т, ¡=1,2,.,9 (линии вверху, нумерация сверху вниз) и внутри помещений Т (линии внизу) по этажам и с течением времени. Начальная температура теплоносителя в системе отопления здания 20 °С, начальная температура в самих помещениях 0 °С
Как видно, температура в помещениях устанавливается в пределах от 24 до 32 °С, а температура в системе отопления - в пределах от 65 до 87 °С. При этом температура теплоносителя на входе в систему отопления задавалась 90 °С, а скорость теплоносителя и=2,5 м/с.
Из хода рассуждений, приведших к уравнениям (8), видим, что различие между этажами стирается, если к/Ь^0. Этот предел собственно и устанавливает границу применимости приближения механики сплошной среды, т. е. уравнений (2).
Гидродинамические процессы в тепловом пункте по сравнению с тепловыми процессами в здании можно считать быстропротекающими. Действительно, геометрические размеры теплового пункта Ь~1 м, скорость теплоносителя и~1 м/с. Поэтому характерное время процессов движения жидкости 1~~Ь/и~1 с. Характерное же время тепловых процессов в помещениях ^ имеет порядок нескольких десятков минут. Вытекающее отсюда неравенство /Д« 1, собственно, и позволяет пользоваться стационарными уравнениями гидродинамики при моделировании процессов в тепловом пункте, что и сделано в [1].
Заключение
Таким образом, сформулирована физико-математическая модель процесса обогрева здания в системе центрального отопления. Показана ее физическая непротиворечивость, указаны пределы применимости к зданиям различной высотности и конфигурации. Предложенная модель в совокупности с моделью гидродинамических и теплофизических процессов в тепловом пункте образует новую модель системы «тепловой пункт+здание».
Работа выполнена при финансовой поддержке Комитета по науке Министерства образования и науки РК (Договор №511 от 05.04.2012 г.).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Унаспеков Б.А., Сабденов К.О., Кокарев М.Ж., Колобердин М.В., Игембаев Б.А. Энергосбережение в тепловых пунктах жилых и общественных зданий. Ч. 1. Общая модель теплового пункта // Известия Томского политехнического университета.
- 2012. - Т. 321. - №4. - С. 31-35.
2. Беннет К.О., Майерс Дж. Е. Гидродинамика, теплообмен и массообмен / Пер. с англ. М.С. Ассмус и В.М. Ентова / под ред. Н.И. Гельперина и И.А. Чарного. - М.: Недра, 1966. -726 с.
3. Сабденов К.О., Юшицин К.В., Данейкин Ю.В. Основы моделирования и анализа процессов в физико-энергетических установках. - Томск: Изд-во ТПУ, 2004. - 126 с.
Поступила 09.07.2012 г.
