CC BY
22
Н.Р. Хуснутдинов, А.Р. Хабибуллин ЭНЕРГИЯ НУЛЕВЫХ КОЛЕБАНИЙ БЕЗМАССОВОГО СКАЛЯРНОГО ПОЛЯ В ПРОСТРАНСТВЕ-ВРЕМЕНИ КОСМИЧЕСКОЙ СТРУНЫ КОНЕЧНОГО ПОПЕРЕЧНОГО СЕЧЕНИЯ.
1. Введение
Энергия нулевых колебаний массивного скалярного поля на фоне пространства космической струны для размерности пространства 2+1 и малых дефицитов угла была получена в [1]. Было показано, что энергия равняется нулю с точностью до квадрата дефицита угла. В данной работе мы получим общее выражение для энергии нулевых колебаний для произвольного дефицита угла и вычислим в язном виде энергию до четвертой
степени малого дефицита угла. Мы рассматриваем 2+1 - мерное сечение пространства космической струны (z = const). Такое пространство описывает поле сферического тела с постоянной плотностью материи[2] в 2+1 гравитации.
Рассмотрим вначале модель пространства космической струны, предложенной Готтом [3], Хискоком [4] и Лине [5]. Модель представляет
т
собой космическую струну ненулевой толщины 0. Материя внутри струны имеет постоянную плотность энергии Е и уравнение состояния Е + Р = 0. Более общее распределение материи внутри струны было описано Лине [5].
Решение уравнений Эйнштейна с соответствующим тензором энергии-импульса в цилиндрических координатах, имеет следующую форму для внутренней и внешней областей струны:
ds2 --dt2 л-dp2 +-—-sin2{~)d(p2 + dz2, (la)
e Po
r2
ds2 = -dt2 + dr2 + — d(p2 + dz2. (lb)
v
Пространство-время покрывается двумя картами; внутренняя часть (1а) координатами (<.аг)е(-оо,-юо), ре[0,р0], ре[0,2*],
и внешняя (lb) координатами z) G (“°°>+00Х г е[го>+со]>
(р е [0,2к\ пространство-время внутри струны - это пространство постоянной кривизны. Пространство-время внешней части струны (lb) является таким же, как и пространство-время бесконечно тонкой струны [6].
Г'1
Метрика (1) и внешняя кривизна являются гладкими на поверхности струны, что ведет к исчезновению поверхностной энергии на по-
у
верхности струны, согласно Израилю [7]. “Внешний” 0 и “внутренний”
радиусы струны, и параметры £ и v подчиняются уравнениям:
r0 tan е | р0 1
~ ) COS £ — —, ~е' Р* “ - • (2)
Ро £ v Р* yJSnE
Энергия ^ на единицу длины струны, являющуюся произведением
Е1 1Ъпр\
постоянной плотности энергии Г() и площади поперечного сечения
струны, не зависит от радиуса струны и равна v как и для пространства-времени бесконечно тонкой струны. Напомним, что в случае
2+1, Е
единицу площади и GE! с имеет размерность обратного квадрата длины.
И. Энергии нулевых колебаний Мы воспользуемся подходом, предложенным в статьях [8-11], в рамках которого энергия пулевых колебаний:
m=±M*xz(xi,, +Ш!У'М=^*(*-4 о)
1 j (") z z
скалярного, массивного поля Ф выражается в терминах дзета-функции
размерности пространства-времени 2+1, и имеет размерность энергии на
,4
И'2--5
т' \-и ) 5 (4)
/ І (я)
где + т + & _ оператор Лапласа. Здесь ^ ^^і - двухмер-
Я. ч . + ш ~
ныи оператор Бельтрами. Собственные значения оператора У оператора ° находятся из граничного условия
^(1|)(Я,Л) = 0, (5)
где ^ означает некоторый параметр, характеризующий границу. Решения
/3* '>>ч/ этого уравнения зависят ог чисел и. кроме того, имеют ии-
дексы, 1 ~ .которые нумеруют решения граничного уравнения. Да-
лее. согласно (8-11], преобразуем сумму ряда по ^ в дзета-фуикшш в интеграл:
ад=-^м1'2—]<«(*• -»,)№,^1«ч’м(л.ях («)
I К * ок
4>
где функция вычисляегся на мнимой оси.
Выражение (6) расходшгся при $ ~^ _ Для перенормировки вычтем из вое слагаемые ^ ^.
все слагаемые ' ■'. которые останутся в пределе
Е ($) = Пт £(*)
т ->оо:
т
и определим перенормированную энергию в следующем виде:
£”=Ша(ад-£*(«). (8)
г-Я1
Поскольку структура нолюсон дзета-функции не зависит от значений
структуру рахюжеиия ДеВптта-Штоттера. которое в двухмерном случае имеет следующую форму:
а,т'-------=- -
Г(1-2»
+5,и=1(Ц1+Лт + В)_П£)
1 Г(*-±) 1 Г(.« у)
(9)
где а - коэффициенты теилавого ядра. Для того чтобы выделить расходящуюся часть эпергии, мы используем следующую процедуру [8-11]. Мы
прибавим к и отнимем из подынтигрального выражении равномерное расхождение ^ до степени т • Обозначим это разложение как (*°^||.)) • Используя эту процедуру, представим энергию в виде суммы
£(*) = £>„. СО+£«(*) (10)
конечной (в пределе > 0) цасти
(11)
Ь
и оставшейся от равномерного расхождении части
*,м=4м’‘ 4г(1п • (12)
2 <*> Я „ О*
Последнее выражение содержит все члены, который сохрапннпса II пределе т сС-
Используя полученные выражения в уравнении (8). представим его в следующем виде
фАП
£"■=£*,+££" (13,
где
(14а)
ем = Е„т = /лЛ1-»3
~(1п Ч-Л) - (1л ок
Е* •П$.фт{яУ-В*{л)). (14Ъ)
Расходящаяся часть ^ определена уравнением (9).
Е
Конечная часть вычисляется численно. Первая часть на практике
находится следующем образом. Используя равномерное расхождение
(1п4,("‘) , вычисляем в явном виде н затем в полученном выраже-
нии берем предел т ~* 00, (структура полюсов не меняется). Все члены» которые сохраняются в этом пределе, составляют разложение ДеВигто-Швипгсрв (9), которое мы вычитаем в уравнении (14Ь). Этот пуп. предпочтительнее. потому что мы можем получить в явной форме коэффициенты теплового ядра. Вычисления коэффиниагтов теплового ядра в рамках этого подхода показывают. что подход применим как дня гладких фонов, так и для многообразий с сишулярнымн поверхностями коразмерности ОДИН [12] и два 11), общие формулы для которых были получены В [131 и 114).
Используем этот подход для космической струны конечной толщины. метрика которой описывается уравнением (I) при 2=сопх1. Опуская некоторые промежуточные вычисления, получаем следующее выражение для регуляризовиниой энергии
Е(я) = Е'ш (.?) + £“' (з), (15)
где
£“»=-мг,^£1уХ [</*(*•'-т:у яб)
2л Й I дк
является регуляризовинной энергией нулевых колебаний для пространства-
времени бесконечно тонкой космической струны (при * “ ^ ), а внутренняя структура дает дополнительный вклад:
Я"($)=-Л/,'^^УаГ, Г(й[*' -Л11]|'1~'^-1П*"'"Ч,/,(Й), (17)
2д “ ' дк
где функция Йоста на мнимой оси имеет следующий вид:
N7
/.(*)- Г"е.'(—)*" {<,(*Г0)/ГЧС08С]+
ч / ГЛС <7 Я '
сове е
£ЯП£
+*,Л*го)/Г1«>8г]
*Ро
Наша цель состоит теперь в том, чтоб и получить равномерное разложение дня функции Йоста. Для этого мы используем равномерное рзехож-лспис функций Бесселя и их прокзиодных т (15] и равномерное расхождение функции Лежоидра н их производных, полученное в [16]. Использование этих формул дает возможность получить выражения для энергии нулевых колебаний для произвольного угла и массы поля. Здесь мы обсудим ЮЛкко случай нулевых масс, т ~ Мы хотели бы обраплъ внимание, что в случае размерности 2+1 не возникает проблем с пределом т 0.
Используя вышеуказанный подход, получаем следующее выражение для нулевой энергии колебаний для произвольного дефицита угла:
Е"" = -~Е0({,с), 2 яг..
(19)
><„ (-2) - -• «<-£- -1) -
2 1ап л 245Н1 е
_««)+ “£ Г «7 *
8 5тс[_ 2е ^1+Уап’с
+ |1п /й(г5т: |[1п/0(г81п'г £) - (|п £•))'“]|1*
О I
+ 2£ )11п/.(гяо!г)-(1п/.( 28Ш2 г:))" I
Здесь
(Ь/„Г
асим1гготичсское разложение
1п/,
(20)
анализ функции для различных ^ показывает, что нулевая энер-
гия колебаний отрицательна для всех дефицитов угла. Для малого дефицита угла получаем приближенно
(21)
2лг,
г-i
гдс'7 = 0-05д,,*£ = 0и'> = °.02.ши'’ 6.
Аналогичные результаты для энергии Казимира были получены в работах [17-19]. Параметром малости, подобным параметру е % является параметр (fi ~£^)Че\ +£i). который характеризует малость отличия
проницаемостей и ь* диэлектрического цилиндра, при условии равенства скоростей свега внутри и вис цилиндра. Энергии Казимира обращается в ноль с точностью до квадрата этого параметра. В [19] было показано, «по энергия tie равна нулю, а пропорциональна четвертой степени параметра.
В будущем мы планируем исследовать обратную реакцию энергии квантовых флуктуаций на метрический тензор.
Работа частично была поддержана грантом РФФИ Хя 02-02-17177.
Литература
[ 11 Khusnutdinov N.R. and Bordag М.. Phys. Rev. [>59, 064017 (1999).
[2] Gott J.R. and Alpert М.. Gen. Rel. Grav 16,243(1984).
[3] Gott J.R., Astrophys. i. 288.422 (1985).
[4] Hiscock W.A. Phys. Rev. D31,3288 (1985).
[5J Linei B.. Gen. Rel. Grav. 17. 1109 (1985).
[6] Vilenkin A., Phys. Rev. D23. 852 (1981).
[7] Israel W., Nuovo Cim. BXL1V. 1 (1966).
[8] Bocdag М.. J. Phys. A28,755 (1995).
[9] Bordag M. and Kirsten K., Phys. Rev. [>53. 5753 (1996).
[10] Bordag М., ElizaldeE., and Kirsten K., J. Math. Phys., 37. 895 (1996).
[11] Bordag М., ElizaldeE., Kirsten K., and Leseduarte S., Phys. Rev. D56,4896(1997).
[12] Khusnutdinov N.R. and Sushkov S.V., Phys. Rev. D65. 084028 (2002).
[13] Gilkey P.B., Kirsten K. and Vassilevieh D.V., Nucl. Phys. B601, 125 (2001).
[14] Fureacv D.V., Phys. Lett. B334,53 (1994).
[151 Справочник по специальным функциям, под редакцией М. Абрамовица и И. Сптш, М.: Наука, (1979).
[16] Khusnutdinov N.R., У Math. Phys., 44,2320 (2003).
[17] Larabiase G„ Nesterenko V.V. and Bordag М., J. Math. Phys. 40. 6254(1999).
[18] Milton К.Л., Nesterenko A.V. and Nesterenko V.V.. Phys. Rev. [>59, 105009(1999).
[19] Nesterenko V.V. and Pirozhenko I.G., Phys. Rev. D60, 125007 (1999).
