CC BY
19
Институт Государственного управления, Главный редактор - д.э.н., профессор К.А. Кирсанов
права и инновационных технологий (ИГУПИТ) тел. для справок: +7 (925) 853-04-57 (с 1100 - до 1800)
Краснобаев Игорь Алексеевич
Krasnobaev Igor A.
Ростовский государственный строительный университет Rostov State University of civil engenering Профессор / Professor Кандидат технических наук E-Mail: sopromat@rgsu.ru
Маяцкая Ирина Александровна
Mayatskaya Irina A.
Ростовский государственный строительный университет Rostov State University of civil engenering Доцент / Associate Professor Кандидат технических наук E-Mail: irina.mayatskaya@mail.ru
Икуру Г одфрей Аарон
Ikura Aaron Godfrey Ростовский государственный строительный университет Rostov State University of civil engenering Аспирант / postgraduate E-Mail: sopromat@rgsu.ru
05.23.17 - Строительная механика
Энергия деформации составной конструкции, состоящей из шестиугольной пластины и круговой цилиндрической оболочки
The deformation energy of the composite structure consisting of hexagonal plates and
circular cylindrical shell
Аннотация: Энергия деформации составной конструкции, состоящей из
шестиугольной пластины и круговой цилиндрической оболочки, представлена в виде функционала, зависящего от коэффициентов при аппроксимирующих функциях.
The Abstract: The deformation energy of the composite structure consisting of hexagonal plates and circular cylindrical shells, is presented in the form of functional which depends on the coefficients of the approximating function.
Ключевые слова: Пластина, оболочка, прочность, составная конструкция.
Keywords: Plate, shell, the strength, the composite structure.
***
Рассмотрим составную конструкцию, состоящей из шестиугольной пластины и круговой цилиндрической оболочки. Толщины пластинки и цилиндрической оболочки достаточно малы, поэтому к ним при построении теории применима гипотеза Кирхгоффа-Лява. Материал блока принят упругим, однородным, изотропным. Внешняя нагрузка считается приложенной в вершинах шестиугольных пластин оснований.
Если известны величины энергии тел, входящих в составную конструкцию, то
Институт Государственного управления, Главный редактор - д.э.н., профессор К.А. Кирсанов
права и инновационных технологий (ИГУПИТ) тел. для справок: +7 (925) 853-04-57 (с 1100 - до 1800)
суммарную энергию деформации блока можно записать в форме функционала, зависящего от коэффициентов при аппроксимирующих функциях. Кроме того, известны соотношения сопряжения тел друг с другом. Далее можно выбрать одно их двух направлений: первое -определение условий экстремума функционала, т.е. нужно вводить неопределенные множители Лагранжа, второе - надо выразить часть коэффициентов через остальные, при этом порядок аппроксимирующих функций будет уменьшаться. Выбираем второй подход. В этом случае учитываем, что сопряжение по линии заменяется сопряжением в конечном числе точек, которых можно взять сколь угодно. Преимущество этого подхода состоит в том, что он позволяет получить окончательную систему уравнений относительно неизвестных коэффициентов при аппроксимирующих функциях меньшего порядка. Конструкция, рассчитываемая таким способом, будет менее жесткая, чем реальная, что позволяет оценить ее прочность с небольшим запасом.
Таким образом, часть коэффициентов можно представить в виде:
= У У 1аР* Мт + У У 1 а I1 М+ У У 1 а - Мт ;
ш тоУо 1тп тп тУопУ) 3тп тп тУопУ) 3тп тп а {1\л = У У 1 а 1П Мт!п + У У 1 а111 мЩп + У У 1 а1 мЩп
21 ¿ка пУ0 2,тп гко п=0 3тп тп тка пУ0 3,тп ^ .
?
Ш V V 1 11 \zr7i , V V 1 Ш д^87 . V1 V 1 Ш \zr4i ,
а3-11 = ^ т тп ,£,„1=0 ,тп тп + т5о„Ю азт<пМт" +
+ у у 1а1тпмтп + у у 1а2гтпмтп.
т=о п=0 , т=Оп=0 ,
а1,11 = У У 1 а11ппМтп + У У 1 а2,тпМтп + У У 1а\тпМтп ;
т=Оп=0 ’ т=Оп=0 т=Оп=0
а 1}лл = У У 1а{1П мЩ + = = 1 а{П М™ + У У 1а 1 мЩ
2,П тУоУ0 1,тп тп тУо пу0 2тп тп гУоУ0 2,тп тп
= у у^мтп + у учтм3. (1)
^ = уу 'азтитп +у=у -1 м 1з-
т=оп=0 ’ т=оп=0
Функции м ^ (] = 1,2,... 17; п = 1,2,...б) в формулах (1) удовлетворяют условиям
сопряжения 2.1 2.5 2.8. и определяются по формулам:
Ф Ч* <\ ■ Ф
* • А
М1 Фк\тпг ; М2/ '1 ■ Фк1,тп ; М3* <2 ■ 31Пф_<3 ■С03ф;
М тп ~ т!■ М тп = • М тп ~ ■
Фкш '8 '8
,,ц Фк2,тп,г . ,,5/ <4 ' Ф'К2_„ . Мб/ <\ - С0Ф + '3 -™Ф ■
Мтп =-77^~ ’ мППп =-------------------------------------^-’ Мтп =-/-’
Ф< <
Фк 2,11 <9 <9
А ■ фШ / ^Ш Л А
7i 5 к1,тп ; 8/ 5 ■ к2,тп ; М 9 = _2 ; М10/ 7
тп =~----------ц-----’ Мтп =~-------------’ Мтп = * ’ Мтп =~у* 77*
<9 ■ Фк2,11 <9 - ФК2,11 '9 ФК2,11 ■ ФК2,11
,11,- ФК1тп81П*; М12 _ фкк2~тпС05*; мпз* =_фкк!,
' тп =--------7----- М тп ~ п М тп ~ Т!
-,Л ,ф,li гЬ1*
Ф л л л Ф 1 11 Ф 1 1 1
к1,11 к1,11 к1,11
Ф Ч1 СОЪФ ф Щ зт Ф ФФ П1
М14* = к1,тп ; л15* = к2,тп v';li{1бi = к2,тп ;tf17i = к2,тп ; (2)
М тп = ^ М тп = 7- М тп = 7 М тп = 7
Фк2,11 Фк2,11 Фк2,11 ФА ,11
Институт Государственного управления, Главный редактор - д.э.н., профессор К.А. Кирсанов
права и инновационных технологий (ИГУПИТ) тел. для справок: +7 (925) 853-04-57 (с 1100 - до 1800)
Параметры tk (i = 1,2,...6;к = 1,2,...9) определяются по формулам:
¿ = ф • sin ф-ф • cosф; ti = ф1 л -ф1 • ф11^ ;
1 к1,11,х г к1,11, y 2 к1,тп,х к1,11 к1,тп к1,11,х
4 = Фк1 ,тп,y ' Фк1,11 - Фк1 ,тп ' Фк1,11,y; t4 = ФК1,11,х 'cos j + ФКК1,11,y 'sin j;
t5 = Фк2,11,y ' COs j' Фк1,11 - Фк1,11,x 'sin j' Фк2,11; (3)
t6=ФК2,11, y •sin j • ФК1,11+ФК1,11,x •cos j • ФК2,11;
t7 = Фк2,тп,y • Фк2,11 + Фк2,тп ’ ФКк2,11,y; t8 = ФК1,11 • ФЙ,11; 4 = Фк2,11 • ФКц 1.
В соответствии с принципом минимума полной энергии действительным перемещениям соответствует экстремальное значение величины энергии. Поскольку все перемещения разложены в ряды по аппроксимирующим функциям, то минимизировать энергию можно только варьируя коэффициенты при аппроксимирующих функциях. Записывая условие функционала полной энергии, получим бесконечную алгебраическую систему относительно коэффициентов при аппроксимирующих функциях.
Если полную энергию блока обозначить П, тогда
= 0, (4)
Эа р иакт,г$
где у = I,II - номер тела; г = 1,2,...6- номер нагружения; т = 1,2,3- номер координатной оси; г, s = 0,1,2,..., п - номер приближения.
Поскольку энергия есть квадратичная форма относительно перемещений, а они в свою очередь линейно связаны с коэффициентами, то производные энергии по коэффициентам будут линейно зависеть от коэффициентов. Выражение для функционала, зависящего от коэффициентов при аппроксимирующих функциях., определяющие систему уравнений, можно записать в матричном виде:
^ ji 1 кт ыкт N кт P к ’ ( )
®акту$
=’Му •’ аР —’мЦ >?<:
р кт кт кт к
1кт/8
где у = I,II - номер тела; I = 1,2,...- номер загружения пары соответствующих вершин; г = 1,2,...6— номер нагружения; к = 1,2,... - номер блока; т = 1,2,3- номер координатной оси;
’ ар - матрица неизвестных коэффициентов системы при загружении пары
кт-
соответствующих вершин тела I и тела II некоторой нагрузкой РЦ; ’мрт - некоторая
числовая матрица при неизвестных коэффициентах, если загружена пара соответствующих
вершин в к — ом блок; ’Р^^ - матрица нагрузок, приложенных в той же паре вершин; ’-
некоторая числовая матрица аппроксимирующих функций, вычисленных в точках приложения нагрузок. Порядок алгебраической системы определяется по формуле:
пс = (п-п — 1) • 6 .
Институт Государственного управления, права и инновационных технологий (ИГУПИТ)
Главный редактор - д.э.н., профессор К.А. Кирсанов тел. для справок: +7 (925) 853-04-57 (с 1100 - до 1800) Опубликовать статью в журнале - http://publ.naukovedenie.ru
ЛИТЕРАТУРА
1. Амосов А. А. Техническая теория тонких упругих оболочек [Текст]: Монография / А. А. Амосов.- М.:АСВ, 2009. - 332 с.
2. Филин А.П. Элементы теории оболочек [Текст]: Монография / А.П. Филин.- Л.: Стройиздат, 1975. - 256 с.
3 Огибалов П.М., Колтунов М. Л. Оболочки и пластины [Текст]: Монография / П.М. Огибалов, М.Л.Колтунов.- М.:МГУ, 1969. - 696 с.
4. Тимошенко С.П., Войновский-Кригер С. Пластинки и оболочки [Текст]: Монография / Тимошенко С.П., Войновский-Кригер С .-М.: Наука, 1966. - 636 с.
5. Краснобаев И. А., Маяцкая И. А. Основы расчета на изгиб тонких жестких пластин [Текст]: Монография / Краснобаев И. А., Маяцкая И. А. - Ростов н/Д, РГСУ, 2011.- 108 с.
6. Краснобаев И.А., Маяцкая И.А., Смирнов И.И., Языев Б.М. Теория пластин и оболочек: [Текст]: Монография / Краснобаев И.А., Маяцкая И. А., Смирнов И.И., Языев Б.М. -Ростов н/Д, РГСУ, 2011.- 120 с.
Рецензент: Языев Батыр Меретович, доктор технических наук, профессор, Ростовский государственный строительный университет, заведующий кафедрой "Сопротивление материалов".
