Энергетические показатели синхронного частотно-регулируемого электропривода Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

Энергетика. Изв. высш. учеб. заведений и энерг. объединений СНГ. Т. 61, № 4 (2018), с. 287-298 Energetika. Proc. CIS Higher Educ. Inst. and Power Eng. Assoc. V. 61, No 4 (2018), pp. 287-298 287

https://doi.org/10.21122/1029-7448-2018-61-4-287-298 УДК 621.31.83.52

Энергетические показатели синхронного частотно-регулируемого электропривода

Б. И. Фираго1*, С. В. Александровский1*

'^Белорусский национальный технический университет (Минск, Республика Беларусь)

© Белорусский национальный технический университет, 2018 Belarusian National Technical University, 2018

Реферат. По сравнению с асинхронными частотно-регулируемыми электроприводами синхронные имеют меньшие потери мощности, жесткие механические характеристики без обратной связи по скорости, самое простое частотное управление (когда напряжение изменяется пропорционально частоте). Проведено аналитическое исследование энергетических показателей (потери мощности, коэффициент полезного действия, коэффициент мощности) частотно-регулируемого синхронного двигателя с электромагнитным возбуждением и с возбуждением от постоянных магнитов. Коэффициент полезного действия силового преобразователя, в рассматриваемом случае преобразователя частоты, зависит от структуры преобразователя (одно- или двухзвенный), применяемых силовых полупроводниковых приборов, дополнительных элементов (дросселей, конденсаторов, трансформаторов, активных сопротивлений и т. д.). КПД синхронного электродвигателя, входящего сомножителем в общий КПД регулируемого синхронного электропривода, представляет интерес при скалярном частотном управлении этого синхронного двигателя, так как публикаций на данную тему почти нет. Поэтому рассмотрена эффективность преобразования энергии синхронным двигателем, который получает ее от преобразователя частоты при различных частотах и преобразует в механическую энергию. В целях удобства аналитического исследования использовали широко применяемое понятие относительной частоты как отношение текущего значения частоты напряжения к номинальному. Показано, что максимум КПД смещается в сторону меньшего коэффициента загрузки при уменьшении относительной частоты питающего двигатель напряжения. Разработанная методика расчета энергетических показателей частотно-регулируемого синхронного двигателя иллюстрируется графиками КПД и соэф для двигателя типа СД3 13-34-6 мощностью 500 кВт и напряжением 6 кВ и синхронного двигателя с постоянными магнитами типа YGT132S4 мощностью 5,5 кВт.

Ключевые слова: синхронный двигатель, частотное управление, потери мощности, коэффициент полезного действия, коэффициент мощности

Для цитирования: Фираго, Б. И. Энергетические показатели синхронного частотно-регулируемого электропривода / Б. И. Фираго, С. В. Александровский // Энергетика. Изв. высш. учеб. заведений и энерг. объединений СНГ. 2018. Т. 61, № 4. С. 287-298. https://doi.org/10. 21122/1029-7448-2018-61 -4-287-298

Адрес для переписки Address for correspondence

Фираго Бронислав Иосифович Firago Bronislav I.

Белорусский национальный технический университет Belarusian National Technical University

просп. Независимости, 65, 65 Nezavisimosty Ave.,

220013, г. Минск, Республика Беларусь 220013, Minsk, Republic of Belarus

Тел.: +375 17 293-95-61 Tel.: +375 17 293-95-61

eapu@bntu.by

eapu@bntu.by

Energetic Factors of a Frequency-Controlled Synchronous Electric Drive

B. I. Firago1*, S. V. Aleksandrovsky1*

'-Belarusian National Technical University (Minsk, Republic of Belarus)

Abstract. As compared to asynchronous frequency-controlled electric drives, synchronous drives are characterized by lower power losses, rigid mechanical characteristics without speed feedback and by the simplest law of frequency control (when the voltage changes proportionally to the frequency). An analytical study of energy factors (power loss, efficiency, power factor) of frequency-controlled synchronous motor with electromagnetic ignition and with excitation caused by permanent magnets has been fulfilled. The efficiency of the power converter, in this case (i. e. in the case of the frequency converter), depends on the structure of the converter (single-link or two-link), on the power semiconductor devices being used, on additional elements (i. e. chokes, capacitors, transformers, active resistance, etc.). The efficiency of a synchronous electric motor (which is a cofactor of general efficiency of a controlled synchronous electric drive) is of an interest in the scalar frequency control of the mentioned synchronous motor, since there are almost no publications on this subject. Therefore, the energy conversion efficiency of the synchronous motor, which receives energy from the frequency converter at different frequencies and converts to mechanical energy, has been considered. For the convenience of analytical research, we used the widely used concept of relative frequency as the ratio of the current value of the voltage frequency to the nominal one. It is demonstrated that the maximum efficiency is shifted in the direction of a lower load factor with a decrease in the relative frequency of the motor supply voltage. The method of calculating the energy performance of variable frequency synchronous motor that has been developed is illustrated by the graphs of efficiency and cos9 for the engine of the SD3 13-34-6 type of the capacity of 500 kW and of a voltage of 6 kV and for a synchronous motor with permanent magnets of the YGT132S4 type of a capacity of 5.5 kW.

Keywords: synchronous motor, frequency control, power losses, efficiency, power factor

For citation: Firago B. I., Aleksandrovsky S. V. (2018) Energetic Factors of a Frequency-Controlled Synchronous Electric Drive. Епе^еИка. Proс. СШ Higher Educ. Inst. аnd Power Eng. Assoc. 61 (4) 287-298. https://doi.org/10.21122/1029-7448-2018-61-4-287-298 (in Russian)

Введение

Долгое время основной областью применения синхронных электродвигателей (СД) был нерегулируемый электропривод средней и большой мощности. Стремление к экономии электроэнергии при изменении производительности механизмов, приводимых в движение синхронными электродвигателями, привело к развитию регулируемых синхронных электроприводов. В настоящее время это частотно-регулируемые электроприводы, где синхронные электродвигатели применяются в двух вариантах:

1) при изменении частоты питающего напряжения в функции угловой скорости двигателя и управлении преобразователем частоты по углу положения ротора - так называемые вентильные двигатели, или, по-другому, двигатели с электронной коммутацией тока якоря [1-4];

2) при независимом задании частоты на выходе преобразователя, аналогично частотному управлению асинхронными двигателями, при этом величина напряжения изменяется в функции задаваемой частоты с учетом принятого закона частотного управления [5, 6].

В первом варианте частотного управления СД характеристики и свойства его подобны характеристикам и свойствам двигателя постоянного тока [4]. Поэтому вентильные синхронные двигатели с электромагнитным возбуждением или возбуждением от постоянных магнитов в настоящее время применяются как в маломощных электроприводах (так называемых сервоприводах) [1-3], так и в приводах средней и большой мощности, особенно при векторном управлении [3, 7]. Достигнуты значительные успехи в теоретическом исследовании и практической реализации этих электроприводов.

В меньшей мере исследованы более простые частотно-регулируемые синхронные электродвигатели при скалярном частотном управлении, когда поддерживается постоянный магнитный поток (обычно на номинальном уровне). Такие электродвигатели средней мощности могут обеспечить экономичное регулирование производительности механизмов с постоянным статическим моментом за счет изменения скорости. В связи с этим представляет интерес исследовать энергетические показатели (коэффициент полезного действия, коэффициент мощности) в частотно-регулируемом синхронном электродвигателе. Определение энергетических показателей основано на расчете потерь мощности, которые также используются в качестве критерия проверки двигателя по нагреву при циклическом характере нагрузки.

Рассматриваемые в статье вопросы базируются на публикации [8]. Приведем аналитический метод расчета энергетических показателей синхронного частотно-регулируемого электропривода.

Потери мощности и коэффициент полезного действия

синхронного электродвигателя

при скалярном частотном управлении

Потери мощности при исследовании коэффициента полезного действия п и коэффициента мощности cos9 синхронного частотно-регулируемого электропривода рассматриваются для установившегося режима работы синхронного двигателя, когда ю = ю0 = const. Поэтому демпферная обмотка не оказывает никакого влияния на потери мощности, так как при ю = ю0 в демпферной обмотке отсутствуют токи.

В регулируемом электроприводе сохраняется деление потерь на так называемые постоянные и переменные [9, 10]. К постоянным относят потери мощности, практически не зависящие от нагрузки. В частотно-регулируемом СД постоянные потери мощности состоят:

• из потерь на возбуждение AP^

• из потерь в стали статора [9]

( Ф V ( * V

APстl APст1,ном

Ф

ном

fl

Л.

(1)

■ из механических потерь

AP = AP

мх мх,ном

f га ^

га

га

ном

(2)

где Ф, Фном - текущее и номинальное значения магнитного потока; /1, /1,ном -то же частоты изменения питающего статор напряжения; ДРст1,ном - номинальные потери в стали статора; q - показатель степени, характеризующий потери в стали от изменения частоты, который находится в пределах 1,3-1,5, для современных электротехнических сталей рекомендуют принимать q = 1,5; га, ганом - текущее и номинальное значения угловой скорости ротора; ДРмх,ном - номинальные механические потери.

В основном диапазоне частотного регулирования скорости магнитный поток поддерживается постоянным, обычно равным номинальному. Поэтому в указанном диапазоне постоянные потери

(

AP = AP

^^ пост ^^ ст1,ном

f

1

fu

AP„

( га v

га

га

V ном у

- AP

(3)

Переменные потери частотно-регулируемого СД включают потери в обмотке статора

AP^n! = 3/i2 Ri,

(4)

где 11 - действующее значение тока фазы статора, имеющего активное сопротивление R1. Если ввести:

• относительную частоту а

/1 гао .

а =-

fi,

(5)

■ относительную угловую скорость ротора v

га га

V =-=-;

(6)

■ относительный ток статора ii

i =

i_ /i.

(7)

■ относительный момент ц

Ц =

М

М„„,

(8)

то суммарные потери мощности в частотно-регулируемом СД в установившемся режиме, когда га = га0 = const, можно записать в виде

А ^ном +APcтl,H0M а1'5 ^^а2 + , (9)

ГДе Мерином = ^ном К1.

Для удобства расчетов необходимо найти функциональную зависимость между 11 и ц. Действующее значение тока статора I определяют через составляющие токов 11с1 и по оси ё-д при допущении Я1 = 0 [4]

I =VI'd + Il2q , (10)

U sin 6эЛ .

где 11с =- 1 эл; (11)

Х1д

= Е- и1cos е3л;

Х1ё

и1, Е1 - действующее значение фазного напряжения статора и фазной ЭДС взаимоиндукции; Х1а, Х1д - индуктивное сопротивление СД по осям ё-д.

При частотном управлении СД с постоянным магнитным потоком существуют зависимости [8]:

юо =аюо,ном; U1 =аи1,ном; Е1 =аЕ1,ном;

X1d =aX1d,ном ; X1q =аХ1д,ном ,

(13)

где величины с индексом «ном» относят к номинальной частоте /1>ном. Вводя относительные значения токов по осям д и ё:

С = у^-; С = (14)

1,ном 1,ном

и используя соотношения (11), (12) и (13), можно получить зависимости:

* = ЯПезл ; . = к1 - Cosезл

1д V* ' 1а ~ V* ' (15)

Х1д Хи

1 X IX

1,ном 1д,ном „* 1,ном 1а ,ном

где Х1д =-, Х1а =- - относительное индуктивное со-

и1, ном и1,ном

Е

противление СД по осям д и ё; кх =—,ном; езл - электрический угол

и1,ном

нагрузки СД.

Квадрат относительного тока статора, который входит в выражение переменных потерь статора, теперь можно записать в виде

,2 2 е3л + (¿1-cosе3л)2

1 = г*2 +-77*2-. (16)

Связь между углом 93л и относительным моментом ц находим из линеаризованной угловой характеристики [8, 9]

М

ме3п

А зл

зл,ном

в виде

Азл =ЦАзл,Ном. (17)

После этого выражаем переменные потери мощности в статоре через относительный электромагнитный момент

АРпер1 АРпер1,ном

2 (Цезл,ном) , [к1 - С0Фезл,ном)]

Л1д ЛЫ

(18)

В том случае, когда для проверки злектродвигателя по нагреву используется метод средних потерь мощности за цикл нагрузочной диаграммы, т. е. с учетом переходных процессов, необходимо учитывать переменные потери в демпферной обмотке ротора, которые удобно выразить через момент

А^пер2 = М^) К (0 )], (19)

где М(0, ю0(0, ®(0 - момент, синхронная скорость и скорость ротора в переходном процессе, определяемые в соответствии с [8].

КПД двигателя определяется как отношение выходной мощности на валу Р2 к входной злектрической мощности Р1

Р Р

Пд = ^ = —. (20)

д Р1 Р2 + АР

Выходную мощность синхронного двигателя выражаем через момент на валу М2 и угловую скорость ротора ю = ю0

Р2 = М2ю0 « Мю0,

где М = М2 + АМ - злектромагнитный момент двигателя; АМ - потеря момента, обусловленная механическими потерями.

В установившемся режиме работы с учетом (5) и (8) механическую мощность Р2 на валу СД можно выразить таким образом:

Р = ацРном. (21)

Подставляем (9), (18) и (21) в (20) и получаем общее выражение для КПД СД при скалярном частотном управлении

Пд =

aKc

aKc

AP

■AP, a

ст1,ном

1,5

AP

a

+AP

пер,1 ном

f sin2 (^e

X

эл,ном *2 1q

) [kx - шф^омМ

2

X

(22)

Анализ (22) показывает, что КПД является функцией двух независимых переменных: относительной частоты а и относительного момента ц.

Для иллюстрации теоретических исследований проведены расчеты КПД синхронного двигателя типа СД3 13-34-6 мощностью 500 кВт и напряжением 6000 В по формуле (22) при изменении относительного момента 0 < ц < 1,9 для ряда значений относительной частоты а = 0,1; 0,5; 1,0 (рис. 1). 1=0 Л

1,В Ц 2:0

Рис. 1. Зависимость коэффициента полезного действия синхронного электродвигателя типа СД3 13-34-6 от относительного момента

Fig. 1. The dependence of the efficiency of the synchronous motor of SD3 13-34-6 the type on the relative torque

Потери мощности и коэффициент полезного действия синхронного электродвигателя с постоянными магнитами при скалярном частотном управлении

Потери мощности в частотно регулируемом синхронном двигателе с постоянным магнитным потоком состоят из постоянных потерь

(

AP = AP , + AP.„ = AP„

f1

Л

1,5

f1,>

(

-AP.,

ю

У

юп

и переменных потерь от протекания тока 1\ по трем фазам обмотки статора, определяемых по (4).

Теперь постоянные потери мощности с учетом (5) можно записать в виде

АР =АР а1,5 +АР а2 «АР а2

пост ^^ст 1, ном ^ ^мх,ном^ ^-"постчном^

где АРпост,ном АРст1,ном + АРмх,ном.

При постоянном магнитном потоке относительный ток статора 11 является козффициентом загрузки кз, т. е.

1 =

М

/1.,

М

= ц = кз.

При таком допущении суммарные потери в частотно-регулируемом синхронном двигателе с постоянными магнитами запишутся

АР = АР +АР , = АР , а2 +£2АР , =

пост пер1 пост1,ном з пер1,ном

= АР

пер1,ном

АР

пост,ном 2.12

АР

а2 + k2

пер1,ном

Обозначим относительные постоянные потери мощности в частотно-регулируемом синхронном двигателе с постоянными магнитами

АР

Р0 =

пост,ном

АР

пер1,ном

В результате получаем выражение потерь мощности в виде

АР = АР

пер1,ном

(р*а2 + kз2).

(23)

Подставляем (23) и (21) в (20) и получаем общее выражение для КПД синхронного злектродвигателя с постоянными магнитами при скалярном частотном управлении

Пд =-

к аР

з ном

к аР +АР , .

з ном пер1,ном '

,(р*а2 + ^)'

Разделив числитель и знаменатель на Рном, получим уравнение

Пд =

Л Р * 2 /

1 + пер1,ном р0а + ^ Р„™ ^а

Обозначим

АР

АР

пер1,ном

тогда

Пд =

1+ АР

пер1,ном

пер1,ном

* 2 т 2

к а

(24)

При а = 1 и кз = 1 имеем номинальный КПД, т. е. пд = Пном. При этих условиях из (24) можно найти

AP

1

пер1,ном

* 1

Ро +1

1

-1

п

ном

и записать окончательное выражение для КПД синхронного частотно-регулируемого двигателя с постоянными магнитами

Пд =

1

(

* 1

Ро + 1

1

-1

Л * 2

Роа

п

V 1ном J

к, а

(25)

Известно, что при работе электродвигателя с постоянным магнитным потоком максимум КПД наступает, когда постоянные потери равны переменным. Для рассматриваемого синхронного электродвигателя это соответствует равенству

AP а2 = к2 ЛР

пост1,ном з,опт пер1,ном'

откуда находим величину оптимального коэффициента загрузки кз опт = а^р*, при котором КПД принимает максимальное значение

Пд

-1

П

2V Р*

V шом у

* 1

Р* +1

То есть при принятых допущениях максимум КПД остается таким же, как и для номинальной скорости ю0 = ю0,ном или а = 1, но величина этого максимума достигается при меньшем коэффициенте загрузки, поскольку здесь рассматривается регулирование частоты а и, соответственно, синхронной угловой скорости ю0 в диапазоне частот атт < а < 1 или ютт <

< Юо < Юо,нам.

Следовательно, при принятых допущениях относительно зависимости постоянных потерь мощности от относительной частоты а и коэффициента загрузки по моменту, равного коэффициенту загрузки по току, получили зависимость КПД частотно-регулируемого синхронного электродвигателя с постоянными магнитами от относительной скорости а и коэффициента загрузки кз такого же характера, как и для асинхронного частотно-регулируемого двигателя с постоянным магнитным потоком (потокосцеплени-ем) [4]. Но КПД этого синхронного двигателя будет больше, чем у асинхронного двигателя, поскольку отсутствуют потери мощности в роторе при таком же развиваемом моменте.

Для иллюстрации теоретических исследований проведены расчеты КПД синхронного двигателя с постоянными магнитами типа YGT132S4 мощностью 5,5 кВт по формуле (25) при изменении коэффициента загрузки 0 < кз < 1 для ряда значений относительной частоты а = 0,1; 0,5; 1,0 (рис. 2).

1.00 п

0,1 0.2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1,0 1,1 Коэффициент загрузки

Рис. 2. Зависимость коэффициента полезного действия синхронного двигателя с постоянными магнитами типа YGT132S4 от коэффициента загрузки при различных значениях относительной частоты

Fig. 2. The dependence of the efficiency of the synchronous motor with permanent magnets of the YGT132S4 type on load factor for different values of relative frequency

Коэффициент мощности частотно-регулируемого синхронного электродвигателя с постоянными магнитами

Коэффициент мощности cosф рассчитываем для первой гармоники питающего двигатель напряжения и1, которое изменяется при частотном управлении по закону и1 = аи1ном, по формуле

cos ф =

P

3UI

где P\ - потребляемая трехфазным синхронным двигателем активная мощность; и1 - действующее значение фазного напряжения обмотки статора; 11 - то же фазного тока статора.

Потребляемую двигателем мощность определяем следующим образом:

P\ = Pэм + АсТ1 + АПер1 =Ы «0 + АсТ1 + АПер1. (26)

С учетом принятых обозначений относительной частоты а (5), относительного тока статора 11 (7), относительного момента ц (8) выражение (26) можно записать в виде

(27)

P = ац^ом +APCTl a1'5 +APr

i2.

пер1,ном 1

Исходя из допустимого по условиям нагрева момента синхронного двигателя, получим следующую зависимость:

I2 =

' a ^

vx:,

2a 1

+-ГТ + -

ац

X*2 X*2

О- X)2'

где а = -

Е1,

U

; X* - относительное значение синхронного индуктивного

1,ном

сопротивления неявнополюсного синхронного двигателя; Хт - номинальная перегрузочная способность синхронного двигателя.

Обозначим:

• относительные номинальные потери мощности в стали

ДР

ст1,ном

■ относительные номинальные переменные потери в обмотке статора

ДР

42 =■

пер1,ном

• относительную потребляемую активную мощность синхронного двигателя

*

q =

Теперь cos9 можно представить в виде

cos ф =

Р,,

q

ач 3Ui ii

По полученным выражениям произведем расчет и построение коэффициента мощности синхронного двигателя с постоянными магнитами типа YGT132S4 в функции относительного момента 0,1 < ц < 1 для а = 0,1; 0,5; 1,0 (рис. 3).

1,0 а^ф

0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2

/ 1 2 3 1 -2 -3 - а = 1, 0,5 0,1 0

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 ц 1,0

Рис. 3. Зависимость коэффициента мощности синхронного двигателя с постоянными магнитами типа YGT132S4 от относительного момента

Fig. 3. The dependence of the power factor of a synchronous motor with permanent magnets of the YGT132S4 type on the relative moment

ВЫВОДЫ

1. Разработана методика расчета энергетических показателей, которая позволяет определять потери мощности, коэффициент полезного действия, коэффициент мощности частотно-регулируемых синхронных электродвигателей при постоянном магнитном потоке.

2. Показано, что при уменьшении частоты питающего двигатель напряжения максимум коэффициента полезного действия смещается в сторону меньших нагрузок, практически сохраняя свою величину.

*

ЛИТЕРАТУРА

1. Зиннер, Л. Я. Вентильные двигатели постоянного и переменного тока / Л. Я. Зиннер, А. И. Скороспешкин. М.: Энергоиздат, 1981. 136 с.

2. Овчинников, И. Е. Теория вентильных электрических двигателей / И. Е. Овчинников. Л.: Наука, 1985. 164 с.

3. Zawirski, K. Sterowanie Silnikiem Synchronicznyna Magnesach Trwalych / К. Zawirski. Poznan: Wydawnictwo Politechniki Poznanskiej, 2005. 179 р.

4. Фираго, Б. И. Регулируемые электроприводы переменного тока / Б. И. Фираго, Л. Б. Пав-лячик. Минск: Техноперспектива, 2006. 363 с.

5. Брускин, Д. Э. Электрические машины. Ч. 2. 2-е изд. переаб. и доп. / Д. Э. Брускин, А. Е. Зо-рохович, В. С. Хвостов. М.: Высш. шк., 1987. 355 с.

6. Осин, И. Л. Электрические машины: синхронные машины / И. Л. Осин, Ю. Г. Шакарян. М.: Высш. шк., 1990. 304 с.

7. Фираго, Б. И. Векторные системы управления электроприводами / Б. И. Фираго, Д. С. Васильев. Минск: Вышэйш. шк., 2016. 159 с.

8. Фираго, Б. И. Исследование переходных процессов частотно-регулируемого синхронного электропривода / Б. И. Фираго, С. В. Александровский // Энергетика. Изв. высш. учеб. заведений и энерг. объединений СНГ. 2016. Т. 59, № 6. С. 507-518. https://doi.org/10. 21122/1029-7448-2016-59-6-507-518.

9. Фираго, Б. И. Теория электропривода / Б. И. Фираго, Л. Б. Павлячик. Минск: Технопер-спектива, 2007. 585 с.

10. Trzynadlowski, A. Control of Induction Motors / А. Trzynadlowski. London: Academic Press, 2001. 228 p. https://doi.org/10.1016/b978-0-12-701510-1.x5000-4.

Поступила 15.11.2017 Подписана в печать 19.03.2018 Опубликована онлайн 27.07.2018

REFERENCES

1. Zinner L. Ya., Skorospeshkin A. I. (1981) Switched Induction DC and AC Motors. Moscow, Energoizdat Publ. 136 (in Russian).

2. Ovchinnikov I. E. (1985) The Theory of Switched Induction Electric Motors. Leningrad, Nauka Publ. 164 (in Russian).

3. Zawirski K. (2005) Sterowanie Silnikiem Synchronicznyna Magnesach Trwalych. Poznan, Wydawnictwo Politechniki Poznanskiej. 179 (in Polich).

4. Firago B. I., Pawlaczyk L. B. (2006) Regulated Alternative Current Drives. Minsk, Tech-noperspektiva Publ. 363 (in Russian).

5. Bruskin D. E., Zorokhovich A. E., Khvostov V. S. (1987) Electric Machines. Part 2. Moscow, Vysshaya Shkola Publ. 335 (in Russian).

6. Osin I. L., Shakaryan Yu. G. (1990) Electric Machines: Synchronous Machines. Moscow, Vysshaya Shkola Publ. 304 (in Russian).

7. Firago B. I., Vasil'ev D. S. (2016) Vector Systems Control of Electrical Drives. Minsk, Vysheishaya Shkola Publ. 159 (in Russian).

8. Firago B. I., Aleksandrovsky S. V. (2016) The Study of Transient Processes of the Frequency-Regulated Synchronous Electric Drive. Izvestiya Vysshikh Uchebnykh Zavedenii i Energeti-cheskikh Ob'edenenii SNG = Energetika. Proceedings of the CIS Higher Educational Institutions and Power Engineering Associations, 59 (6), 507-518 (in Russian). https://doi.org/10. 21122/1029-7448-2016-59-6-507-518.

9. Firago B. I., Pawlaczyk L. B. (2007) The Theory of Electrical Drives. Minsk, Technoperspek-tiva Publ. 585 (in Russian).

10. Trzynadlowski A. (2001) Control of Induction Motors. London, Academic Press. 228. https://doi.org/10.1016/b978-0-12-701510-1.x5000-4.

Recеived: 15 November 2017

Accepted: 19 March 2018

Published online: 27 July 2018