Энергетическая оценка критических чисел Рейнольдса в сверхзвуковом течении Куэтта колебательно-возбужденного двухатомного газа Текст научной статьи по специальности «Математика»

2014 Математика и механика № 6(32)

УДК 532.5:532.517.4

И.В. Ершов

ЭНЕРГЕТИЧЕСКАЯ ОЦЕНКА КРИТИЧЕСКИХ ЧИСЕЛ РЕЙНОЛЬДСА В СВЕРХЗВУКОВОМ ТЕЧЕНИИ КУЭТТА КОЛЕБАТЕЛЬНО-ВОЗБУЖДЕННОГО ДВУХАТОМНОГО ГАЗА1

В рамках энергетической теории гидродинамической устойчивости исследовано сверхзвуковое плоское течение Куэтта колебательно-возбужденного двухатомного газа. Течение газа описывалось системой уравнений двухтем-пературной аэродинамики, в которых учитывалась зависимость коэффициентов переноса от температуры потока. Соответствующая спектральная задача для критических значений числа Рейнольдса Recr, определяющих возможное начало ламинарно-турбулентного перехода, решалась численно с помощью метода коллокаций и QZ-алгоритма. Расчеты показали, что в сверхзвуковом диапазоне, когда M > 1, рассчитанные значения Recr могут превосходить соответствующие значения для дозвуковых чисел Маха M < 1 примерно на два порядка. Исследование влияния изменения степени возбуждения колебательной энергии молекул газа, времени колебательной релаксации, объемной вязкости и числа Маха на Recr показали, что наибольшее воздействие на возрастание Recr при M > 1 оказывает рост числа Маха (сжимаемость). При этом в диапазоне значений M = 2^5 критические числа Рей-нольдса увеличиваются более чем на порядок. Вместе с тем степень влияния возбуждения колебательных мод молекул и времени колебательной релаксации, определявших основное воздействие при M < 1, при переходе к сверхзвуковому режиму остаются на прежнем уровне.

Ключевые слова: энергетическая теория, гидродинамическая устойчивость, колебательная релаксация, уравнения двухтемпературной аэродинамики, критическое число Рейнольдса.

В [1] на основе энергетической теории исследовалась устойчивость дозвукового плоского течения Куэтта колебательно-возбужденного молекулярного газа. Течение газа описывалось системой уравнений двухтемпературной аэродинамики, в которых учитывалась зависимость коэффициентов переноса от температуры потока. Найденные значения Recr по порядку величины совпадали с результатами, полученными в аналогичной постановке для несжимаемого течения [2]. Это еще раз подтвердило известное представление о том, что дозвуковое течение Куэтта можно считать практически несжимаемым. Вместе с тем немногочисленные исследования [3-5], выполненные в постановке классической линейной теории, показывают, что в рамках данного подхода вопрос гидродинамической устойчивости течения Куэтта сжимаемого совершенного газа до последнего времени не имеет однозначного решения. В частности, в работе [3] было констатировано абсолютное стабилизирующее влияние вязкости и отсутствие неустойчивости вплоть до чисел Re = 5-106 при сверхзвуковых числах Маха M = 2^5. В то же вре-

1 Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 11-01-00064).

мя в более поздних публикациях [4, 5] были рассчитаны критические числа Рейнольдса в пределах Recr ~(2^5)-104 при числах M = 3^12.

Таким образом, исходя из результатов численных расчетов [3-5], имеет место следующая ситуация. В рамках линейной теории устойчивости течение Куэтта совершенного газа устойчиво в ближней сверхзвуковой области M < 3 и может проявлять неустойчивость при дальнейшем возрастании числа Маха. Такое положение определило интерес к распространению начатых в [1] исследований на сверхзвуковой диапазон M = 2^5, которым посвящена настоящая работа. Полученные данные для зависимостей критических чисел Рейнольдса от параметров течения представляют самостоятельный интерес. Кроме того, использованная в работе модель двухтемпературной газодинамики при отсутствии возбуждения колебательной моды переходит в модель совершенного газа, что позволяет провести сравнение с результатами линейной теории устойчивости [4, 5].

Постановка задачи и основные уравнения

Задача устойчивости течения Куэтта колебательно-возбужденного молекулярного газа рассматривается в расчетной области Q, представляющей собой прямоугольный параллелепипед, грани которого параллельны координатным плоскостям декартовой системы (xb x2, x3), а центр совпадает с началом координат. Непроницаемые бесконечные пластины, вдоль которых направлено основное течение, перпендикулярны оси x2.

Исходной математической моделью течения газа служит система уравнений двухтемпературной аэродинамики, в которых учитывается зависимость коэффициентов переноса от температуры потока. В качестве температурной зависимости коэффициентов переноса выбран степенной закон Tn с показателем n < 1. Выбранная зависимость соответствует условиям относительно холодного несущего потока (мягким потенциалам межмолекулярного взаимодействия [6, 7]). Предполагается, что удельные теплоемкости не зависят от статической и колебательной температур потока и постоянны. В соответствии с физическими представлениями [7-9] модель двухтемпературной аэродинамики является общепринятой физико-математической моделью течений колебательно-возбужденного молекулярного газа, когда диссоциацией молекул, возбуждением верхних колебательных уровней и поправками на ангармонизм колебаний можно пренебречь.

В качестве характерных величин для обезразмеривания использованы полуширина канала L по оси x2, модуль скорости потока U0 на непроницаемых стенках канала, постоянные плотность р0 и температура T0 основного течения и образованные из них время р0 = L/U0 и давление p0 = p0U02. Коэффициенты переноса обезразмеривались на их значения при температуре T0: сдвиговая и объемная вязкости на По и п ь,0, а коэффициенты теплопроводности, обусловленные упругими энергообменами между поступательными степенями свободы молекул и неупругими обменами энергией вращательных и колебательных степеней свободы молекул с поступательными модами молекул, соответственно на Х^, Xrot,0, Xvib,0.

В качестве основного (несущего) потока выбрано плоское течение Куэтта с линейным профилем скорости и однородным распределением плотности и температур:

Us(x2) = (x2,0,0), Ts = TVib,5 = ps = 1, ps = 1/(YM2), где pS - статическое давление, постоянное поперек канала.

Представление мгновенных значений гидродинамических величин возмущенного течения в виде

щ = и8А + и', р = 1 + р ', Т = 1 + Т', ГтЬ = 1 + Т^, р = 1/(у М2) + р'

позволяет получить из системы уравнений двухтемпературной аэродинамики уравнения для возмущений р ', и',, Т', Т'у,ъ, р' основного течения, которые с точность до членов первого порядка малости по возмущениям примут вид [1]

д р ' г г д р ' д и'

+ + —= о,

д t ' д х, д х,

ди' тт ди' ,ди8Л др' 1 д2 и' 1 ( 1 V д и) —-+и5—-+и',—- = ——+--^+—| а +- I-—+

дt 5, 1 дх, 1 дX, дх Яе дх2 ЯеI 1 3)дхдх1 ■> ■> 1 ■>

п

+ -

Яе д х1

Т'

(д и8,, д и5 ] V -+- 1

д х, д X: V 1 ' )

(1)

+ и дП + (у- пМ = 1 д2 ТУу1Ъ (ТУъ -Т') дt 5,1 дх] ^ 'дх, ЯеРг дх2 Хух(1 -У*ъ) '

У*ъ (д+ и д Т'ъ )= 20УУу1ъ д2 Т^ъ - Ууъ (Къ - Т')

(1 - У У1Ъ)

д t 1 д х,

1)

33ЯеРг(1 -уУ1ъ) дх2 хут(1 -Уу1ъ)

уМ2р' = р ' + Т', ' = 1,2,3, 1 = 1,2,3.

По повторяющимся индексам в уравнениях системы (1) подразумевается суммирование, а параметры, входящие в эти уравнения, определяются следующим образом: а1 = пъ 0 /П0 - отношение объемной и сдвиговой вязкостей; а2 = ХУ1Ъ 0 /(X4г 0 +X го0);

параметр уУ1Ъ = сУ1Ъ /(с1г + сго1 + сУ1Ъ) определяет долю внутренней энергии

газа, приходящуюся на колебательные моды молекул, и в каком-то смысле характеризует степень неравновесности последних [1, 9]; безразмерные критерии

Яе = и0 П0, М = и0^у ^ и Рг = п С + с

го1) /(11г,0 + 1 го1,0 ) есть соответственно числа Рейнольдса, Маха и Прандтля несущего потока, где у = (сг + сго1 + Я)/(с1г + сго1) - показатель адиабаты, Я - газовая постоянная и с4г, сго, су1ъ - соответственно удельные теплоемкости при постоянном объеме, определяющие энергоемкость поступательных, вращательных и колебательной мод молекул газа.

В качестве краевых условий в задаче устойчивости принималось, что при х! = ±п /а и х! = ±п /5 возмущения гидродинамических переменных удовлетворяют периодическим граничным условиям, а на непроницаемых границах х2 = ±1 принимают нулевые значения. Здесь а, 5 - модули проекций волнового вектора возмущения к на оси координат (хь х3).

Нижний предел уУ1Ъ = 0 соответствует случаю невозбуждения колебательной моды молекул. С другой стороны, равнораспределение энергии по степеням свободы молекул не является здесь верхним пределом для параметра у„1ъ, поскольку

закон равнораспределения энергии неприменим в неравновесной ситуации, описываемой системой уравнений (1), когда разрыв между статической температурой потока Т и колебательной температурой ТУ1Ь может быть достаточно велик. В [8] показано, что при Т = 300 К неравновесная теплоемкость сУ1Ь«1,8,К. Используя равнораспределение энергии в состоянии термодинамического квазиравновесия по поступательным и вращательным модам молекул, получаем, что параметр уу1Ь « 0,42. С ростом разрыва между температурами ТУ1Ь и Т значение уУ1ь увеличивается, приближаясь в пределе к единице, когда энергия колебательной моды молекул существенно превышает температуру квазиравновесного термостата, определяемого поступательными и вращательными степенями свободы молекул. В расчетах максимальное значение параметра уУ1Ь было выбрано равным 0,4, с тем, чтобы остаться в рамках используемой модели, избежав возбуждения высоких колебательных уровней энергии.

В работе [1] из системы уравнений (1) было выведено уравнение энергетического баланса для полной пульсационной энергии возмущений колебательно-неравновесного молекулярного газа, которое записывается следующим образом:

((ТУь-Т '}2)~

(2)

(у - 1)ЯеРгМ

Здесь положительно определенная квадратичная форма

Е (/) =1

и'2 +-

1

у М2

Р '2 +

1

(

у -1

у т'2 ^ т' 2 + уу1ь у1ь

1 - Ту1ь

определяет полную пульсационную энергию возмущений, а угловые скобки обозначают усреднение по пространству расчетной области О в виде

п/а п/5 1

<... > = | Сх1 | Сх2 | сХ3 (...).

- п/а

- л/8

Из уравнения (2) следует, что для фиксированных значений параметров М, а!, Тут и уУ1Ь уменьшение числа Рейнольдса, начиная с некоторого критического значения Яеск, сделают правую часть уравнения (2) отрицательной. При этом с1Е?./Ж < 0 и любые возмущения будут затухать. Критическое число Рейнольдса Яесг соответствует нейтральным возмущениям, когда СЕ^/С/ = 0, и вычисляется как минимум функционала Ф в правой части энергетического уравнения (2).

Спектральная задача и ее качественные свойства

Из условия экстремума функционала Ф (2) на множестве допустимых функций следуют уравнения Эйлера - Лагранжа, определяющие обобщенную дифференциальную задачу на собственные значения со спектральным параметром Яе.

С учетом профилей гидродинамических величин основного потока (2) эти уравнения принимают вид

1 |д Б п д Т Яе , - =— и2,

Д и1 +1 а1 +

3удх1 2 дх2

Д и'2 +1 а1 +

1А д Б п д Т Яе

3удх2 2 дх1

л ' I 1 АдБ

Д и3 +1а> + 3 ^ = 0,

(3)

Д Т - е1

д и[ + д и'2 д х2 д х1

20 е 2 Ту

33

Яе(Ту'Ь -Т), ДТ' = е2Яе(Т' -Т)

где

д д д Д =—- +—- + -

д и1 д и2 д и2 Б =—1 + —^ + - 2

д х2 д х22 д х32' д х1 д х2 д х3 ' а параметры е1, е2 и у У записываются следующим образом:

1 2 33Рг у Ь е1 = -п (у - 1)М2 Рг, е2 = --, уу - Ту1Ь

2 20утУт

1 - У уь

Граничные условия, которым удовлетворяют амплитудные функции и' / , Т' и Т ' у1Ь в уравнениях системы (3), аналогичны условиям, поставленным для системы уравнений (1).

После подстановки в уравнения (3) вектора возмущений

q' (х1, х2, х3) = q (х2)ехр[-/ (а х1 + 5 х3)]

(где q' = (и[,и'2,и'3,Т',ТУ'1Ь), q(х2) = (и,V,м,0,0У), а / - мнимая единица) спектральная задача сводится к системе обыкновенных дифференциальных уравнений для амплитуд пульсаций и, V, м, 6 и 6У:

Яе V

и -

а2 [ а1 + А | + 52

и + /а| а1 + -31V - а5[ а1 + -31м+2

а1 + -3 | V "- (а2 + 52) V + /а | а1 + 3 | и' + / 5| а1 + м' - ■/аП-(

2

Яе и

а2 + 521 а1 + 1

м - а51 а1 + 3 у и + /51 а1 + 3 ^ V = 0,

(4)

0'' - (а2 + 52) 0 - е1(v' -/аи) =

20е2уу

33

Яе(0 - 0у),

0У - (а2 + 52) 0у = е2 Яе(0у - 0),

Чх, =±1

= V

х2 =±1

= м

х2 =±1

= 0|.

х2 =±1 У 1х2 =±1

= 0,

(5)

где штрихи у неизвестных функций обозначают производные соответствующего порядка по переменной х2.

Спектральная задача (4), (5) имеет следующие свойства.

1. Спектр собственных значений Яе задачи (4), (5) вещественен. Это свойство следует из энергетического тождества для системы (4), (5), которое получается умножением уравнений (4) на комплексно-сопряженные функции и , V , м> , 6 , 6У , суммированием их и интегрированием по интервалу х2е[-1, 1]. С учетом однородных граничных условий (5) имеет место следующее выражение:

Яег Г/ * п 2уу |0-0У|2 "

-J (и V + uv ) у 1 у|

2

4

3

dx2 +

+1 а2 +1 а +4 152

w |2 +■

Y (Y - 1)M2 Тух _

Л |2 +(а2 + 52 )|

|0'|2 +(а2 + 52)|0|2 20 Yv (К I2 +(а2 + 52 )|0V |2)

v |2 +1 w' |2 +(52 +( аа + 3] а2

(Y -1)M2Pr

33(y -1)PrM2

v|2 +

dx2 +

+а5((а, + J (u*w+uw*)dx2 -n J (ur0'r -u'0i)dx2 + 2а((а, + ijj (urv- + u'vr)dx2

( 1 j i i +2§(а, + 3 j J (vw\ + v' wr )dx2 + аn J (Vr0г - v 0r) ^ = °

(6)

где индексы r и i обозначают вещественную и мнимую части соответствующих комплекснозначных функций.

Вещественность спектрального параметра Re определяется вещественностью всех слагаемых равенства (6). Вместе с тем квадратичная форма, которую определяет энергетическое тождество (8), не является положительно определенной. Это означает, что собственные значения могут быть также отрицательными, поэтому в расчетах следует искать минимальное по модулю собственное значение min |Re|.

2. Спектр собственных значений Re(a, 5) задачи (4), (5) симметричен относительно осей а = 0, 5 = 0 на плоскости волновых чисел (а, 5). Действительно, из уравнений системы (4) следует, что каждому собственному значению Re(a, 5) с собственными функциями u, v, w, 6, 6V соответствует равное ему собственное значение Re(-a, -5) с собственными функциями u , v , w , 6 , 6V . Также то же собственное значение Re(a, 5) соответствует паре волновых чисел (а, -5) с набором собственных функций u, v, -w, 6, 6V и паре волновых чисел (-а, 5) с набором собственных функций u , v , -w , 6 , 6V .

В [10] показано, что если в качестве молекул несущего газа рассматриваются «максвелловские» молекулы [6, 7], то для задачи (4), (5) в случае длинноволновых продольных (а << 1, 5 = 0) и поперечных (а = 0, 5 << 1) возмущений имеют место асимптотические оценки критических чисел Рейнольдса в виде

•( 20 YvibPrV а + 4/3

RC = у

1-

(Y -1) M2 Pr

2 п2

1-

10 YTVX + 33PrV0^

-па| а +1

ReC5) =-

1 -

(Y -1) M2 Pr (

2 п2

1 -

20 YvibPrV а + 4/3 10 ytvx + 33PrV0^

(7)

Численное решение спектральной задачи

Для произвольных значений волновых чисел а, 5 (длин волн возмущений) спектральная задача (4), (5) решалась численно с помощью метода коллокаций [11, 12], в основе которого лежит алгебраическое интерполирование искомого решения по некоторой чебышевской системе функций. В данном случае использовался инструментарий математического пакета Matlab, где в случае непериодических функций применяется полиномиальная интерполяция полиномами Чебы-шева Tk(x2) = cos(k arcos x2), k = 0, 1, 2, ... . Такой выбор обеспечивает экспоненциально быструю сходимость аппроксимирующего ряда для произвольных граничных условий, по крайней мере, в классе бесконечно дифференцируемых функций. На практике этим достигается высокая точность вычислений даже на грубых сетках. В качестве узлов коллокации (интерполяции) выбирались точки Гаусса - Ло-батто x2k = cos(nk/ N), k = 0, 1, ..., N, в которых полином Чебышева N-й степени имеет экстремумы на отрезке x2e [—1, 1].

Дифференциальные операторы первого порядка, входящие в спектральную задачу, аппроксимируются на данном шаблоне матрицей коллокационных производных DN [11, 12] размером (N+1)x(N+1), элементы которой определяются по формулам

D,

N ,ij

(-1)

1+j

sj(x2,i x:

2, j'

a2, j

2(1-x22,;) 2 N2 +1 6 , 2 N2 +1

í * j,

1 < í = j < N -1,

l = j = 0,

i = j = N,

sj =

{2

j = 0, N, j = 1,2, •

, N -1.

При этом элементы 1-й строки матрицы DN являются коэффициентами разностной аппроксимации первой производной в 1-м узле коллокации на шаблоне {х2,к}, k = 0, 1, ..N. Дифференциальные операторы второго порядка аппроксимируются суперпозицией DN = DlN DlN .

В терминах введенных аппроксимаций задача (4), (5) сводится к обобщенной задаче на собственные значения (линейному матричному пучку) относительно спектрального параметра 1 = Яе/2:

5 N+4

X -1 Fк])г; = 0, k = 0,1,2, + 4. (8)

1 =о

5^+1) в (8) состоит из значений собственных

Вектор неизвестных r размером функций в узлах коллокации:

r(x2)=(u0,u

, uN, V0, V,

, W0, ж

, WN , 00, 0!

vv,0'vv,1'

),

а матрицы G, F размером 5^+1)х5^+1) вычисляются с использованием специальной процедуры МаНаЪ по формулам

G = А ® D2N + В ® DlN + С ® ^, F = К ® ^,

где знак «®» обозначает прямое (тензорное) произведение матриц [13]; 1Ы - единичная матрица размером (Ж+1)х(Ж+1); А, В, С - матрицы размером 5x5:

( 1

A--

0

4

0 а1 +— 1 3

0 0

0 0

0 0

1 0 0 1

0 0

0

0

0 0

20 Yvib

33(1 - Yvib),

B--

га| а, + з

iS1 а1 +-

0

C =

4', 2 а, + — I а

1 3,

0

-а8| а1 + 3

-(а2+S2)

■ (у -1)M2 Pr

--(Y-1)M2 Pr

-а8| а1 + 3 0

а1 + 4 I S2 0

0 0

0 га n

0

iS | а1 +-

0 0

0 0

-(а2+S2)

K =

0

Г0 1 0 1 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 -

0

20 Yvib (а

-S2 )

33(1 - Yvib)

0 0 0

Y vib Pr

0 0 0

Yvib Pr

y(1 - yvib) tvt yv^b pr

Y(1 - Y vib) tvt Y vib pr

Y (1- Y vib) Y (1- Yvib) LVX Однородные граничные условия (5) для уравнения (8) учитываются неявно через оператор DlN и на дискретном уровне реализуются заменой матриц D^ (k = 1, 2) на окаймленные матрицы размером (N-1)x(N-1) [11, 12]. Последние получаются при выполнении условий

D0,; = DlN] = 0, D[0 = DlN = 0, i = 0,1,...,N, j = 0,1,...,N, l = 1,2.

Для нахождения всех собственных значений и функций обобщенной спектральной задачи (10) использовалась процедура Matlab, реализующая QZ-алгоритм [14], который позволяет одновременным ортогональным преобразованием привести пару матриц G, F к обобщенной верхней треугольной форме.

В результате применения данной процедуры для фиксированных значений числа Маха M, объемной вязкости аь степени неравновесности колебательной энергии у vib, времени колебательной релаксации тух и каждой пары волновых чисел (а, 5) получался набор N+1 собственных значений, среди которых находилось минимальное по модулю число Рейнольдса Re^,5) = 2 | Хт1П(а,5)|. Значение критического числа Рейнольдса Recr для данных M, а!, тух и у vib принималось равным минимальному значению Re во всем диапазоне волновых чисел Re^,5): Recr = min Re^, 5). Затем вычислялись соответствующие Recr собственные функ-

(а,5)

ции u, v, w, 0, 0v.

Вычисления спектров собственных значений Х(а, 5, М, аь Туг, уУ1Ь) выполнялись для случая, когда в качестве молекул несущего газа рассматриваются «мак-свелловские» молекулы, тогда п = 1 [6, 7]. Все расчеты велись в диапазоне волновых чисел а = -10^10, 5 = -10^10 при следующих значениях параметров: Уу1Ь = 0^0,4; тут = Н4; а! = 0^2; М = 2^5; Рг = 3/4; у = 7/5. Шаги изменения волновых чисел были выбраны равными Иа = к5 = 0,001. Число узлов коллокации в интервале х2е[-1, 1] принималось равным Ж+1 = 50. Для проверки точности расчетов проводилось варьирование числа узлов коллокации в диапазоне Ж+1 = 32^100.

Результаты расчетов и их обсуждение

Расчеты показали, что при всех рассматриваемых значениях степени неравновесности колебательной энергии уУ1Ь, времени колебательной релаксации хут, объемной вязкости а! и числа Маха М минимальные по модулю собственные значения Яе(а,5) = 2 | ХШ1П(а,5)| достигаются на оси а Ф 0 (при 5 = 0) в плоскости волновых чисел (а, 5). Изолинии Яе(а,5) приведены на рис. 1.

Рис. 1. Изолинии поверхностей Яе(а,5) для М = 3 (а, б) и М = 5 (в, г) при а! = 0, Тут = 2 (а, в - уу1Ь = 0, б, г - уу1Ь = 0,4; точки на линии 5 = 0 фиксируют критические значения числа Рейнольдса для данного режима)

Как и в случае дозвуковых числе Маха [1], наиболее «опасными» являются возмущения продольной моды. С учетом периодичности полученного решения по продольной координате х эти возмущения представляют собой пары двумерных вихрей, вращающихся в противоположных направлениях, с осями, перпендикулярными несущему потоку. Распределение завихренности в этих вихрях вычисляется по формуле

ю( x1, x2) = —

1

юп

d ur

аvi +--- IсоБ(аxj) + | аvr--- Isin^xj)

d ui

2 / V 2

Здесь иг (х2), и(х2), vr(x2), vI(x2) - вещественные и мнимые части собственных функций и, V, а нормировочный множитель ю0 представляет собой безразмерный поток завихренности через расчетную область (циркуляцию вектора скорости по границе), вычисляемый по формуле

п/а 1

Ю0 =

J J ra(x1, x2) dx1dx2.

- п/а -1

На рис. 2 представлены изолинии завихренностей ю(хь х2), при различных критических числах Рейнольдса Яесг(а, М, а1, хут, уУ1ь) и значениях амплитуд возмущений скорости, составляющих 10 % значения модуля скорости несущего потока на непроницаемых границах.

Рис. 2. Изолинии завихренности критических возмущений ro(xb x2) для M = 3, а1 = 0, Tvt = 2 (а - Yvib = 0, Recr = 53,1; б - у^ = 0,2, Recr = 86,6; в - yv1b = 0,4, Recr = 100,5; точки на линии x2 = 0 фиксируют максимальное и минимальное значения ю для данного режима)

а*!

1

Зависимость числа Рейнольдса для продольных мод возмущений от волнового числа а представлена на рис. 3, где штрихпунктирные линии соединяют значения абсолютных минимумов на параметризованных по уУ1Ь и тут кривых Яе(а), что позволяет проследить эволюцию Яесг. На рис. 4 приведена зависимость Яесг от степени неравновесности у„1Ь. На рис. 1, 3, 4 видно, что с увеличением значений параметров М, а!, тут, уУ1Ь критические числа Рейнольдса Яесг и соответствующие им значения волнового числа а возрастают. Сопоставление полученных результатов с формулой для КеСа) из (7) показывает, что длинноволновая асимптотика КеСа) на качественном уровне правильно воспроизводит зависимость Яесг от параметров течения в области волновых чисел а~0(1).

Яе Яе

Яе Яе

Рис. 3. Зависимость Яе(а) для продольных мод возмущений при числах Маха М = 3 (а, б) и М = 5 (в, г} (а, в - а! = 0; б, г - а! = 2; 1, 1' - уиЬ = 0,2; 2, 2' - уиЬ = 0,3; 3, 3' - уиЬ = 0,4; сплошные линии - Тут = 1, штриховые - Тут = 3, штрихпунктирные - зависимость критического числа Рейнольдса Яесг от волнового числа а)

Критические значения числа Рейнольдса Кесг(аь тут, у„1Ь, М) и соответствующие им значения волновых чисел а приведены в сводной таблице. Из данных таблицы следует, что максимальный диапазон изменения Яесг при рассмотренных вариациях параметров задачи приближается к полутора порядкам, что существенно больше, чем было получено в [1] для дозвукового течения.

Reer Reer

Рис. 4. Зависимость критического числа Рейнольдса Recг от степени неравновесности колебательной моды уиЬ (а - а; = 0; б - ^ = 2; 1, 1' - М = 2; 2, 2' - М = 3; 3, 3' - М = 4; 4, 4' -М = 5; сплошные линии - Тут = 1, штриховые - Тут = 3)

Значения критических чисел Рейнольдса Кесг( М, а!, Тут, Ууш) и соответствующие им значения волновых чисел а

M Туг = 1 Туг = 4

Yvib = 0,1 Yvib = 0,2 Yvib = 0,4 Yvib = 0,1 Yvib = 0,2 Yvib = 0,4

а! = 0

2 Reer = 24,11 26,51 29,91 29,91 34,71 41,49

а = 0,672 0,733 0,855 0,855 1,099 1,587

3 Reer = 69,85 76,81 86,64 86,64 100,5 120,2

а = 0,718 0,784 0,914 0,914 1,175 1,689

4 Reer = 164,4 180,8 203,9 203,9 236,6 282,9

а = 0,868 0,947 1,105 1,105 1,421 2,052

5 Reer = 325,7 358,1 403,9 403,9 468,8 560,4

а = 1,063 1,160 1,353 1,353 1,739 2,513

aj = 2

2 Reer = 31,04 34,13 38,49 38,49 44,67 53,41

а = 1,548 1,689 1,970 1,970 2,533 3,658

3 Reer = 89,91 98,86 111,5 111,5 129,4 154,7

а = 1,656 1,806 2,107 2,107 2,709 3,913

4 Reer = 211,6 232,7 262,5 262,5 304,6 364,1

а = 2,001 2,183 2,547 2,547 3,275 4,731

5 Reer = 419,2 460,9 519,9 519,9 603,4 721,3

а = 2,450 2,673 3,118 3,118 4,009 5,791

Действительно, при М > 1 критические значения числа Рейнольдса лежат в пределах Recг « (0,24^7,21)-102, а при М < 1 и тех же значениях параметров аь тут, ут1Ь, что и в данной работе, соответствующие пределы составляют Recг « « (0,75^1,85)-101 [1]. Рассматривая степень влияния каждого параметра на Recг при фиксированных значениях остальных параметров, можно заметить, что наибольшее воздействие на возрастание Recг здесь оказывает рост числа Маха (сжимаемость). При этом в диапазоне значений М = 2^5 критические числа Рейнольдса увеличиваются более чем на порядок. В то же время при изменении числа Маха

в дозвуковом диапазоне M = 0,2^0,8 возрастание Recr лежит в пределах 10 % [1]. Вместе с тем степень влияния коэффициента возбуждения yvlb и времени релаксации Тут, определявших основное воздействие при M < 1, при переходе к сверхзвуковому режиму остаются на прежнем уровне. Тем не менее сделанный в [1] вывод о возможности управления потоком с помощью лазерного возбуждения колебательной моды остается в силе, так как в расчетных пределах изменения yvlb число Recr возрастает здесь приблизительно на 30 %.

В заключение следует отметить, что полученные значения Recr почти на два порядка меньше значений критических чисел Рейнольдса, рассчитанных в рамках линейной теории устойчивости для совершенного газа [4, 5]. Кроме того, имеется качественное различие в зависимостях Recr(M). Если в данном случае Recr с ростом числа Маха в диапазоне M = 2^5 монотонно возрастает, то в рамках линейной теории в этом диапазоне Recr, наоборот, убывает.

ЛИТЕРАТУРА

1. Ершов И.В. Устойчивость течения Куэтта колебательно-неравновесного молекулярного газа. Энергетический подход // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2013. № 3(25). С. 76-88.

2. ГольдштикМ.А., Штерн В.Н. Гидродинамическая устойчивость и турбулентность. Новосибирск: Наука, 1977. 367 с.

3. Duck P.W., Erlebacher G., Hussaini M.Y. On the linear stability of compressible plane Couette flow // J. of Fluid Mech. 1994. Vol. 258. P 131-165.

4. Hu S., Zhong X. Linear stability of viscous supersonic plane Couette flow // Phys. of Fluids. 1998. Vol. 10. No. 3. P. 709-729.

5. MalikM., Dey J., Alam M. Linear stability, transient energy growth, and the role of viscosity stratification in compressible plane Couette flow // Physical Rev. E. 2008. V. 77, Issue 3. P. 036322(1)-036322(15).

6. Чепмен С., Каулинг Т. Математическая теория неоднородных газов. М.: ИЛ, 1960. 510 с.

7. Жданов В. М., Алиевский М.Е. Процессы переноса и релаксации в молекулярных газах. М.: Наука, 1989. 336 с.

8. Нагнибеда Е. А., Кустова Е.В. Кинетическая теория процессов переноса и релаксации в потоках неравновесных реагирующих газов. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2003. 272 с.

9. Григорьев Ю.Н., Ершов И.В. Устойчивость течений релаксирующих молекулярных газов. Новосибирск: Изд-во СО РАН, 2012. 230 с.

10. Ершов И.В. Энергетическая оценка критических чисел Рейнольдса в течении Куэтта колебательно- неравновесного молекулярного газа // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2012. № 2(20). С. 99-112 .

11. Canuto C., Hussaini M.Y., Quarteroni A., Zang T.A. Spectral methods in fluid dynamics: Springer series in Computational Physics. Berlin: Springer-Verlag, 1988. 564 p.

12. Trefethen L.N. Spectral methods in Matlab. Philadelphia: Soc. for Industr. and Appl. Math., 2000. 160 p.

13. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике. М.: Наука, 1970. 720 с.

14. Moler C.B., Stewart G.W. An algorithm for generalized matrix eigenvalue problems // SIAM J. Numer. Anal. 1973. Vol. 10. No. 2. P. 241-256.

Статья поступила 11.12.2013 г.

Ershov I.V. ENERGY ESTIMATE OF CRITICAL REYNOLDS NUMBERS IN THE SUPERSONIC COUETTE FLOW OF A VIBRATIONALLY EXCITED DIATOMIC GAS

The supersonic plane Couette flow of a vibrationally excited diatomic gas is investigated within the energy theory of hydrodynamic stability. The flow was described by a system of equations of two-temperature aerodynamics, which takes into account the dependence of the transport coefficients on the flow temperature. The corresponding spectral problem for the critical

Reynolds number Recr determining the possible start of the laminar-turbulent transition was solved numerically using the method of collocations and QZ-algorithm. The calculations showed that in the supersonic range, when M > 1, the calculated values Recr may exceed the corresponding values for subsonic Mach numbers M > 1 by about two orders of magnitude. Investigation of how Recr is affected by changes in the degree of vibrational energy excitation of gas molecules, vibrational relaxation time, bulk viscosity, and Mach number showed that the greatest impact on the increase in Recr at M>1 is exerted by the growth of the Mach number (compressibility). In the range of M = 2^5, critical Reynolds numbers increase more than by an order of magnitude. However, the excitation of vibrational modes of gas molecules and the vibrational relaxation time which determine main effects at M < 1 have an effect at the same level with the transition to the supersonic regime.

Keywords: energy theory, hydrodynamic stability, equations of two-temperature aerodynamics, vibrational relaxation, critical Reynolds number.

Ershov Igor Valer'evich (Candidate of of Physics and Mathematics, Novosibirsk State University of Architecture and Civil Engineering (Sibstrin), Novosibirsk, Russian Federation)

E-mail: i_ershov@ngs.ru

REFERENCES

1. Ershov I.V. Ustoychivost' techeniya Kuetta kolebatel'no-neravnovesnogo molekulyarnogo gaza. Energeticheskiy podkhod. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Matematika i mekhanika, 2013, no. 3(25), pp. 76-88. (in Russian)

2. Gol'dshtik M.A., Shtern V.N. Gidrodinamicheskaya ustoychivost' i turbulentnost'. Novosibirsk, Nauka Publ., 1977. 367 p. (in Russian)

3. Duck P.W., Erlebacher G., Hussaini M.Y. On the linear stability of compressible plane Couette flow. J. of FluidMech., 1994, vol. 258. P 131-165.

4. Hu S., Zhong X. Linear stability of viscous supersonic plane Couette flow. Phys. of Fluids, 1998, vol. 10, no. 3, pp. 709-729.

5. Malik M., Dey J., Alam M. Linear stability, transient energy growth, and the role of viscosity stratification in compressible plane Couette flow. Physical Rev. E., 2008, vol. 77, issue 3, pp. 036322(1)-036322(15).

6. Chepmen S., Kauling T. Matematicheskaya teoriya neodnorodnykh gazov. Moskow, IL Publ., 1960. 510 p. (in Russian)

7. Zhdanov V.M., Alievskiy M.E. Protsessy perenosa i relaksatsii v molekulyarnykh gazakh. Moskow, Nauka Publ., 1989. 336 p. (in Russian)

8. Nagnibeda E. A., Kustova E.V. Kineticheskaya teoriya protsessov perenosa i relaksatsii v potokakh neravnovesnykh reagiruyushchikh gazov. St. Petersburg, St. Petersburg Univ. Publ., 2003. 272 p. (in Russian)

9. Grigor'ev Yu.N., Ershov I.V. Ustoychivost' techeniy relaksiruyushchikh molekulyarnykh gazov. Novosibirsk, Izd-vo SO RAN, 2012. 230 p. (in Russian)

10. Ershov I.V. Energeticheskaya otsenka kriticheskikh chisel Reynol'dsa v techenii Kuetta kolebatel'no-neravnovesnogo molekulyarnogo gaza. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Matematika i mekhanika, 2012, no. 2(20), pp. 99-112. (in Russian)

11. Canuto C., Hussaini M.Y., Quarteroni A., Zang T.A. Spectral methods in fluid dynamics: Springer series in Computational Physics. Berlin, Springer-Verlag, 1988. 564 p.

12. Trefethen L.N. Spectral methods in Matlab. Philadelphia, Soc. for Industr. and Appl. Math., 2000. 160 p.

13. Korn G., Korn T. Spravochnik po matematike. Moskow, Nauka Publ., 1970. 720 p. (in Russian)

14. Moler C.B., Stewart G.W. An algorithm for generalized matrix eigenvalue problems. SIAM J. Numer. Anal., 1973, vol. 10, no. 2, pp. 241-256.