Устойчивость течения Куэтта колебательно-неравновесного молекулярного газа. Энергетический подход Текст научной статьи по специальности «Физика»

ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

2013

Математика и механика

№ 3(23)

УДК 532.5:532.517.4

И.В. Ершов

УСТОЙЧИВОСТЬ течения куэтта колебательнонеравновесного МОЛЕКУЛЯРНО!"О ГАЗА. ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ ПОДХОД*

В рамках энергетической теории гидродинамической устойчивости с помощью метода коллокаций численно решена вариационная задача определения критического числа Рейнольдса ламинарно-турбулентного перехода для течения Куэтта колебательно-возбужденного молекулярного газа. Течение газа описывалось системой уравнений двухтемпературной аэродинамики, в которых учитывалась зависимость коэффициентов переноса от температуры потока. Показано, что в реальном для двухатомных газов диапазоне параметров режима течения минимальные критические значения числа Рейнольдса достигаются на модах продольных возмущений и с ростом числа Маха, объемной вязкости и времени колебательной релаксации увеличиваются в пределе приблизительно в два с половиной раза.

Ключевые слова: энергетическая теория, гидродинамическая устойчивость, колебательная релаксация, уравнения двухтемпературной аэродинамики, критическое число Рейнольдса.

В работе [1] выведено уравнение энергетического баланса для плоскопараллельных течений колебательно-возбужденного молекулярного газа. На основе этого уравнения получено асимптотическое решение вариационной задачи определения критического числа Рейнольдса ламинарно-турбулентного перехода Яес в течении Куэтта колебательно-возбужденного молекулярного газа. В пределе малых волновых чисел возмущений найдена зависимость главного члена асимптотики от числа Маха М, коэффициента объемной вязкостей Пь степени неравно-весности колебательной энергии уїіЬ и времени колебательной релаксации хут в виде

где а! = Пь/П, П - коэффициент сдвиговой вязкости, Рг - число Прандтля, у - показатель адиабаты.

В данной работе вариационная задача, сформулированная в [1], решается численно во всем диапазоне волновых чисел продольных и поперечных возмущений. Течение Куэтта колебательно-возбужденного молекулярного газа описывается системой уравнений двухтемпературной аэродинамики, в которых учитывается зависимость коэффициентов переноса от температуры потока. В качестве температурной зависимости коэффициентов переноса выбран степенной закон Тп с показателем п < 1. Выбранная зависимость соответствует условиям относительно холодного несущего потока (мягким потенциалам межмолекулярного взаимодей-

I

I 4 а1 + 3

* Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 11-01-00064).

ствия [2-4]). Предполагается, что удельные теплоемкости не зависят от статической и колебательной температур потока и постоянны. В соответствии с физическими представлениями [3, 4] модель двухтемпературной аэродинамики является общепринятой физико-математической моделью течений колебательновозбужденного молекулярного газа, когда диссоциацией молекул, возбуждением верхних колебательных уровней и поправками на ангармонизм колебаний можно пренебречь.

Основные уравнения и энергетический функционал

Задача устойчивости течения Куэтта колебательно-возбужденного молекулярного газа рассматривается в расчетной области О, представляющей собой прямоугольный параллелепипед, грани которого параллельны координатным плоскостям декартовой системы (х1, х2, х3), а центр совпадает с началом координат. Непроницаемые бесконечные пластины, вдоль которых направлено основное течение, перпендикулярны оси х2.

В качестве характерных величин для обезразмеривания использованы полуширина канала Ь по оси х2, модуль скорости потока и0 на непроницаемых стенках канала, постоянные плотность р0 и температура Т0 основного течения и образованные из них время р0 = Ь/и0 и давление р0 = р0и02. Коэффициенты переноса обезразмеривались на их значения при температуре Т0: сдвиговая и объемная вязкости на По и пь,0, а коэффициенты теплопроводности, обусловленные упругими энергообменами между поступательными степенями свободы молекул и неупругими обменами энергией вращательных и колебательных степеней свободы молекул с поступательными модами молекул, соответственно на Х4г0, Хго40, ХУ1Ь0. В безразмерных переменных система уравнений двухтемпературной аэродинамики с учетом зависимости коэффициентов переноса от температуры потока записывается в виде

Ф + д Р и д ґ д х

= 0,

(

д иг д и.

------- + и: --------1

. д ґ 1 д х,

\ і

д р 1 д +

дхг Яе дх,

П(Т)

д и

д X:

Яе

дТ дТ ^ д иг у

Р| 77 + иг т— 1 + (У-1)РТт— = я-р-

дґ дхі) дхі ЯеР-

а, +-

1А д

П(Т)

дТ д хг

у1Ь

УуіЬ Р

(1 - У у1Ь ) \ д 7

дТ

+ иг

дТ

у1Ь

д хг

Уа2

ЯеР-

п(Т )-

дТ

у1Ь

д хг

3 ) д хг

П(Т)

д и.

д х

+ Уу1Ь Р (ТуіЬ ~Т) ТУТ (1 - Уу1Ь )

Уу1Ь Р (ТуіЬ - Т) ТУТ (1 - Уу1Ь )

і J

(1)

уМ2р = рТ, п(Т)= Тп, I = 1,2,3, у = 1,2,3,

где р, м„ р, Т, ТУ1Ь, тут - плотность, компоненты вектора скорости, давление, статическая и колебательные температуры газа и время колебательной релаксации соответственно, а по повторяющимся индексам подразумевается суммирование. В уравнении энергии системы (1) опущена группа нелинейных слагаемых, составляющих диссипативную функцию. Такое приближение является распространенным в задачах устойчивости сжимаемых течений [5].

Р

Параметры, входящие в уравнения системы (1), определяются следующим образом: а1 = nb0l По - отношение объемной и сдвиговой вязкостей;

а2 = 1 vib,0 /(^tr, 0 + 1 rot, 0 ) ; параметр Yvib = Cvib l(ctr + Crot + Cvib ) определяет долю

внутренней энергии газа, приходящуюся на колебательные моды молекул, и в каком-то смысле характеризует степень неравновесности последних [6-8]; безразмерные критерии Re=UоLpolПо , M=Uо^YRTo и Pr=ПоС +crot)/(^tr,0 + ^rot,0)

есть соответственно числа Рейнольдса, Маха и Прандтля несущего потока, где Y = (ctr + crot + R)l(ctr + crot) - показатель адиабаты, R - газовая постоянная и ctr, crot, cvib - соответственно удельные теплоемкости при постоянном объеме, определяющие энергоемкость поступательных, вращательных и колебательной мод молекул газа.

Система (1) описывает распространенную в аэродинамике ситуацию, когда характерные времена микроскопических процессов энергообмена между различными степенями свободы молекул газа оцениваются системой неравенств [3, 4]: TTT ~ trt << TVV << tVt ~ Т0. Причем в этом случае поступательные и вращательные степени свободы молекул с малыми соизмеримыми временами релаксации ttt ~ trt на временах порядка характерного времени течения т0 образуют квази-равновесный термостат с температурой потока T. В подсистеме же колебательных уровней энергии по истечению времени tvt устанавливается квазиравновесное распределение с колебательной температурой Tvib. Обмен энергией между колебательной модой и квазиравновесными степенями свободы молекул газа описывается релаксационным уравнением Ландау - Теллера с характерным временем tvt. Такое представление позволяет уменьшить число независимых параметров в системе (1) следующим образом.

Используя соотношения Эйкена [2-4], связывающие парциальные коэффициенты теплопроводности с коэффициентом сдвиговой вязкости, запишем параметр а2 в виде

а2 = ^vib,0/(V,0 + ^rot,0) = 12Yv(ctr + CrotV(25ctr + 12crot).

Так как поступательные и вращательные степени свободы молекул находятся в состоянии квазиравновесия, для их внутренней энергии справедливо равнораспределение по степеням свободы. Отсюда значения соответствующих теплоемкостей выражаются как ctr =3Rl2, crot = R. В результате имеем, что а2 = 20yvi^ /[33(1-yvib)].

Нижний предел Yvib=0 соответствует случаю невозбуждения колебательной моды молекул. С другой стороны, равнораспределение энергии по степеням свободы молекул не является здесь верхним пределом для параметра Yvib, поскольку закон равнораспределения энергии неприменим в неравновесной ситуации, описываемой системой уравнений (1), когда разрыв между статической температурой потока T и колебательной температурой Tvib может быть достаточно велик. В монографии [4] показано, что при T = 300 K неравновесная теплоемкость cvib«1,8R. Используя равнораспределение энергии в состоянии термодинамического квазиравновесия по поступательным и вращательным модам молекул, получаем, что параметр Yvib ~ 0,42. С ростом разрыва между температурами Tvib и T значение Yvib увеличивается, приближаясь в пределе к единице, когда энергия колебательной моды молекул существенно превышает температуру квазиравновесного термостата, определяемого поступательными и вращательными степенями свободы моле-

кул. В расчетах максимальное значение параметра уУ1Ь было выбрано уУ1Ь = 0,4 для того, чтобы остаться в рамках используемой модели, избежав возбуждения высоких колебательных уровней энергии.

В качестве основного (несущего) потока выбрано плоское течение Куэтта с линейным профилем скорости и однородным распределением плотности и температур:

и8(х2) = (*2,0,0), Т8 = ГУ1Ь,5 = р5 = 1, Ps = 1/(УМ2). (2)

Представляя мгновенные значения гидродинамических переменных в виде

щ = П8 г + ы\, р = 1 + р ', Т = 1 + Т', Т^ь = 1 + Т^, р = 1/(у М2) + р',

получим систему уравнений для возмущений р ', и' I , Т ' , Т ' уЛ, основного течения с точностью до членов первого порядка малости по возмущениям

д р ' д р ' д и

-+ иЯ:^~ + = 0,

д ґ

д х, д X,-

д и’г д ґ

-+и

д и’г

д х,

д и

д х,

д р' 1 д2 и, 1

— —+-------------------------Г +

д х, Яе д х2 Яе

1А д ии

3 у д х, д х,

1 У

п д

Яе д х,

т

( д и

. д х,

V 1

5, г д и8 ] А

+

д хг

У УЪ

д т д ґ (

г у 2

+и

д_П+( - ПМ=(туъ - т)

5’1 д х, дхг ЯеРг д х2 Тух(1 - Уу1ъ) '

(1 - У У1Ъ)

+и

д ґ

д Т'ъ

л

д х

20 УУуіЬ д2 тУъ УуЪ (ТУъ - т')

1 у

33ЯеРг(1 - УУ1Ъ ) д х2 Тух(1 - Уу1Ъ)

(3)

уМ2р' = р ' + Т', I = 1,2,3, ] = 1,2,3.

Предполагается, что при *1=+л /а и *1=+л /5 возмущения гидродинамических переменных удовлетворяют периодическим граничным условиям, а на непроницаемых границах х2=+1 принимают нулевые значения. Здесь а, 5 - модули проекций волнового вектора возмущения к на оси координат (хь х3).

Полная энергия возмущений в сжимаемом колебательно-неравновесном молекулярном газе помимо кинетической составляющей должна учитывать энергию внутренних степеней свободы молекул газа и степень сжимаемости течения. В работах [1, 8] для задачи (3) рассматривался положительно определенный для любых возмущений функционал полной пульсационной энергия возмущений

Еу (ґ) = и и’2 +

1

"Еч"' 2\"'г ' уМ2

Р '2 +

1

У -1

т ’ 2 +

уу1Ъ тУ

у1Ъ у1Ъ

1 - У

у1Ъ

где угловые скобки обозначают усреднение по пространству расчетной области О в виде

п/а п/5 1

<... >= | dx1 | ёх2 | dx3(...).

- п/а

- п/5

Для данного функционала уравнение энергетического баланса записывается в форме

Е ъ ' ' ди5,г

----— = Ф — -( и, и,

А \' 1

((Ту'ъ -Т )2)-

(4)

(у - 1)ЯеРгМ

Из уравнения (4) следует, что для фиксированных значений параметров М, а!, Тут и у У1Ь уменьшение числа Рейнольдса, начиная с некоторого критического значения Яес, сделает правую часть уравнения (4) отрицательной. При этом dEE/dt < 0 и любые возмущения будут затухать. Критическое число Рейнольдса Яес соответствует нейтральным возмущениям, когда dEE/dt = 0, и вычисляется как минимум функционала Ф в правой части энергетического уравнения (4).

Спектральная задача и ее качественные свойства

Из условия экстремума функционала Ф (4) на множестве допустимых функций следуют уравнения Эйлера - Лагранжа, определяющие обобщенную дифференциальную задачу на собственные значения со спектральным параметром Яе. С учетом профилей гидродинамических величин основного потока (2) эти уравнения принимают вид

к , ( 1 Ад Б п д Т Яе ,

А и~1 +1 $1 +— I---I-----— — и2 ,

3удх1 2 дх2

А , . 1 Ад Б п д Т = Яе , А , ( 1 Ад Б =

Аи2 +1 а1 + “ |д— + Т"д— = ~Ги1, Аи3 +1 а1 + 7 |д— = 0,

3удх2 2 дх^ 2 V 3удх3

А т’ - Єіі|т + дг] —- Яе( Ту1Ъ - т'), А Ту'ъ — Є2Яе( ТУъ - Т'), (5)

д д д А — —- +—- + -

д х2 д х^ д х^

Б —-

д и1 д и2 д и2

д х1 д х2

где параметры єь є2 и у у записываются следующим образом:

Єі — 2п (у- 1)М2 Рг, Є2 — -3^-, Уу - Уу1Ъ

2 20уТуТ

1 - У у1Ъ

Граничные условия, которым удовлетворяют амплитудные функции и',, Т и Т'у1ь в уравнениях системы (5), аналогичны условиям, поставленным для системы уравнений (3).

После подстановки в уравнения (5) вектора возмущений ц’ (х1, х2, х3) — ц (х2)ехр[-і (а х1 + 5 х3)]

(где ц' — (и1,и2,и’3,Т',Ту'1Ъ), ц (х2) — (и,V,-м,0,0у), а і - мнимая единица) спектральная задача сводится к системе обыкновенных дифференциальных уравнений для

амплитуд пульсаций и, V, м>, 9 и 9У:

(7)

где штрихи у неизвестных функций обозначают производные соответствующего порядка по переменной х2.

Спектральная задача (6), (7) имеет следующие свойства.

1. Спектр собственных значений Яе задачи (6), (7) вещественен. Это свойство следует из энергетического тождества для системы (6), (7), которое получается умножением уравнений (6) на комплексно-сопряженные функции и , V , м , 9 , 9„ , суммированием их и интегрированием по интервалу х2 е [-1, 1]. С учетом однородных граничных условий (7) имеет место следующее выражение:

где индексы г и / обозначают вещественную и мнимую части соответствующих комплекснозначных функций.

Вещественность спектрального параметра Яе определяется вещественностью всех слагаемых равенства (8). Вместе с тем квадратичная форма, которую определяет энергетическое тождество (8), не является положительно определенной. Это означает, что собственные значения могут быть также отрицательными, поэтому в расчетах следует искать минимальное по модулю собственное значение шш |Яе|.

2. Спектр собственных значений Яе(а, 5) задачи (6), (7) симметричен относительно осей а = 0, 5 = 0 на плоскости волновых чисел (а, 5). Действительно, из уравнений системы (6) следует, что каждому собственному значению Яе(а, 5) с собственными функциями и, V, м, 9, 9У соответствует равное ему собственное значение Яе(-а, -5) с собственными функциями и , V , м , 9 , 9„ . Также то же собст-

венное значение Яе(а, 5) соответствует паре волновых чисел (а, —5) с набором собственных функций u, v, —м, 9, 9у и паре волновых чисел (-а, 5) с набором собственных функций и , V , —м , 9 , 9У .

В [1] показано, что если в качестве молекул несущего газа рассматриваются «максвелловские» молекулы [2, 3], то для задачи (6), (7) в случае длинноволновых продольных (а << 1, 5 = 0) и поперечных (а = 0, 5 << 1) возмущений имеют место асимптотические оценки критических чисел Рейнольдса в виде

ьРглУа1 + 4/3

Е-еГ = — с 2

4 + —

3

1 -

(у -1) М2 Рг

2 п2

1 -

20 у

_________уіЬ__________________

10утут + 33Ргт/а + 4/3 ,

-па| а1 +—

Ке” = а'+3

1 -

(у -1) М2 Рг (

2 п2

1 -

20 УуіЬРгУ а1 + 4/3 10 утут + 33Рг,/ а1 + 4/3

(9)

Численное решение спектральной задачи

Для произвольных значений волновых чисел а, 5 спектральная задача (6), (7) решалась численно в среде пакета МаИаЬ. Использовался метод коллокаций, основанный на полиномиальной интерполяции собственных функций полиномами Чебышева [9, 10]. В качестве узлов коллокации (интерполяции) выбирались точки Гаусса - Лобатто х2,к = соє(пк/Л), к = 0, 1, ..., Л, в которых полином Чебышева Л-й степени имеет экстремумы на отрезке х2 є [—1, 1]. Дифференциальные операторы первого порядка, входящие в спектральную задачу, аппроксимируются на данном шаблоне матрицей коллокационных производных Б1Л [9, 10] размером

(Л+1)х(Л+1), элементы которой определяются по формулам

(-1)'+ч

бЛ

N Л]

(Х2,і - Х2, ] ) - Х2, ]

2(1-Х22,]) ’

2 Л2 +1

2 N2 +1

і * ],

1 < I = ] < N -1,

I = ] = 0,

I = ] = N,

Я =

{2,

] = 0,Л,

] = 1,2, ..., N -1.

При этом элементы 1-й строки матрицы Б1Л являются коэффициентами разностной аппроксимации первой производной в 1-м узле коллокации на шаблоне {х2,к}, к = 0, 1, ..., N. Дифференциальные операторы второго порядка аппроксимируются суперпозицией БЛ = Б1Л бЛ .

В терминах введенных аппроксимаций задача (6), (7) сводится к обобщенной задаче на собственные значения (линейному матричному пучку) относительно спектрального параметра 1 = Яе/2:

5 N+4

X (Ск] -1 )Г] = 0, к = 0,1,2, ...,5Л + 4.

(10)

]=0

Вектор неизвестных г размером 5(Ж+1) в (10) состоит из значений собственных функций в узлах коллокации:

г (х2) = (и0, и1

Ы’

'’І,---, "«> иу,^иу,1...............иу, N

а матрицы О, Е размером 5(Ж+1)х5(Ж+1) вычисляются с использованием специальной процедуры МаИаЪ по формулам

О = А ® ^ + В ® ^ + С ® , Е = к ® /^,

где знак ® обозначает прямое (тензорное) произведение матриц [11]; /ы - единичная матрица размером (Ж+1)х(Ж+1); А, В, С - матрицы размером 5х5:

А =

Г1 0 0 0 0

0 4 а1 + 13 0 0 0

0 0 1 0 0

0 0 0 1 0

0 0 0 0 20 у

уіЬ

33(1-у уіь X

в=

0

/а| а1 + з

- 2(У-1)м2 Рг 0

0

П 0

і5| а1 +з | 0 0

ґ

С =

-| 52 +( а1 +з ]а2

-а5| а, +1

0

-(а2 + 52)

-іап (у-1)М2Рг

-а5| а1 + з

0

-| а2 +(а1 +з ]52 0

і5| а1 +0 0

0

і ап ~2

0

-(а2 + 52)

0 0

10 0 0

к=

0 0 0

( 0 1 0 0 0

1 0 0 0 0

0 0 0 0 0

0 0 0 5-І Рч л '> г Р 1

У(1 - У уіЬ) т VI У(1-УуіЬ) VI

0 0 0 У уіЬ Рг г Р

У(1-УуіЬ) ^і У(1-УуіЬ)^і )

20у УіЬ (а2 +52)

33(1-Ууіь)

Однородные граничные условия (7) для уравнения (10) учитываются неявно через оператор и на дискретном уровне реализуются заменой матриц БЫ (к = 1, 2) на окаймленные матрицы размером (Ы-1)х(Ы-1) [9, 10]. Последние получаются при выполнении условий

Б,; = Б1Ы] = 0, БІ0 = = 0, і = 0,1,.,Ы, ] = 0,1,.,Ы, I = 1,2.

Для нахождения всех собственных значений и функций обобщенной спектральной задачи (10) использовалась процедура МаНаЬ, реализующая р2-алго-

0

ритм [12], который позволяет одновременным ортогональным преобразованием привести пару матриц О, Е к обобщенной верхней треугольной форме.

В результате применения данной процедуры для фиксированных значений числа Маха М, объемной вязкости аь степени неравновесности колебательной энергии у уіЬ, времени колебательной релаксации и каждой пары волновых чисел (а, 5) получался набор N+1 собственных значений, среди которых находилось минимальное по модулю число Рейнольдса Яе(а,5) =2 | ХШІП(а,5)|. Значение критического числа Рейнольдса Яес для данных М, аі, и у уіЬ принималось равным минимальному значению Яе во всем диапазоне волновых чисел Яе(а,5):

Яес = тіп Яе(а, 5). Затем вычислялись соответствующие Яес собственные функ-

(а 5)

ции и, V, ж, 0, 0у.

Вычисления спектров собственных значений Х(а, 5, М, а1, тVI, уїіЬ) выполнялись для случая, когда в качестве молекул несущего газа рассматриваются «максвелловские» молекулы, тогда п =1 [2, 3]. Все расчеты велись в диапазоне волновых чисел а = -5^5, 5 = -5^5 при следующих значениях параметров: уїіЬ = 0,1^0,4;

= 1^4; а1 = 0^2; М = 0,1^1; Рг = 3/4; у = 7/5. Шаги изменения волновых чисел были выбраны равными Иа = к5 = 0,1. Число узлов коллокации в интервале х2є[-1, 1] принималось равным N+1 = 50. Для проверки точности расчетов проводилось варьирование числа узлов коллокации в диапазоне N+1 = 32^100.

Расчеты показали, что при всех рассматриваемых значениях степени неравно-весности колебательной энергии уїіЬ, времени колебательной релаксации хэт, объемной вязкости а1 и числа Маха М минимальные по модулю собственные значения Яе(а,5) =2 | Хтіп(а,5)| достигаются на оси а^0 (при 5=0) в плоскости волновых чисел (а, 5). Изолинии Яе(а,5) приведены на рис. 1.

Результаты расчетов и их обсуждение

5

2

5

2

0

-2

-2

0

а

2а -2

о

б

2а

Рис. 1. Линии уровня поверхностей Яе(а,5) для М=0,5, а1=0, тУ1=1 (а - Ууіь=0,2; б - у„ь=0,4)

Как и в случае умеренного возбуждения, рассмотренном в [13], наиболее «опасными» являются возмущения продольной моды. С учетом периодичности полученного решения по продольной координате хх эти возмущения представля-

ют собой пары двумерных вихрей, вращающихся в противоположных направлениях, с осями, перпендикулярными несущему потоку. Распределение завихренности в этих вихрях вычисляется по формуле

ю(х1,х2) = -| асо$(ах1)-| ауг -Бт(ах1).

I ^х2 ) \ ^х2 )

Здесь иг (х2), м,(х2), уг(х2), у(х2) - вещественные и мнимые части собственных функций и, V. На рис. 2 представлены изолинии завихренностей ю(х1, х2), при различных критических числах Рейнольдса Яес(а, М, а1, хут, Уу1Ь) и значениях амплитуд возмущений скорости, составляющих 10 % значения модуля скорости несущего потока на непроницаемых границах.

Х2

4 ХУЛ' \ /0,51 0,38 \ \ 0'-0,25'п \ гШ ,8/^з\\^оМД

8 ОДЗ’п ’ п

Х2

1

о

а

а^і 1 %

/0,3б-ч0,2Т^\\ 0^-0,1

| °> ^-0,18 ^0, 18^0,274^/

-1

аХі

Рис. 2. Изолинии завихренности ю(хь х2) для М=0,5, а^0, Тут=1 (а - Ууіь=0,2, Яес=8,56; б - уїіь=0,4, Яес=9,66)

3’ ч _ 'Ч ч

^-^2 /

ч'-'^ і 1 ^ с-ї < ч II

! ; Тут 3

1,5

б

За

Рис. 3. Зависимости числа Рейнольдса Яе(а) для продольных мод возмущений при М = 0,5 (а - а1=0; б - а1=2; 1,1' - у„ь=0,2; 2, 2' - уїіь=0,3; 3,3' - уїіь=0,4; штрихпунктирная линия -зависимость критического числа Рейнольса Яес от волнового числа а)

Зависимость числа Рейнольдса для продольных мод возмущений от волнового числа а представлена на рис. 3, где штрихпунктирные линии соединяют значения

абсолютных минимумов на параметризованных по уУ1Ь и хут кривых Яе(а), что позволяет проследить эволюцию Яес. На рис. 4 приведена зависимость Яес от степени неравновесности у„1Ь. На рис. 1, 3, 4 видно, что с увеличением значений параметров М, а1, хут, уУ1ь критические числа Рейнольдса Яес и соответствующие им значения волнового числа а возрастают. Таким образом, результаты расчетов показывают, что представленные выше асимптотические выражения (9) качественно описывают зависимость Яес от параметров течения.

Критические значения числа Рейнольдса Кес(аьхуТ,уУ1Ь,М) приведены в табл. 1, а соответствующие им значения волнового числа а в табл. 2. В рассмотренном диапазоне значений параметров задачи число Рейнольдса Яес в пределе увеличивается примерно в два с половиной раза. При этом влияние каждого параметра на Яес при фиксированных значениях остальных параметров существенно различается. Следует отметить, что наиболее значительное влияние на Яес оказывает степень неравновесности колебательной моды у„1Ь. Оценки, выполненные в [6], показывают, что возбуждение колебательной моды уУ1Ь в рассмотренном диапазоне достаточно легко достигается с помощью лазера. Поэтому лазерная накачка колебательных мод может стать эффективным способом управления течениями молекулярных газов.

Кс,. Кес

15,4

10,4

5,51

У о< А > "" 4

/ /// 'У' 1'Я'/ Ьт=1 Тут=3

19,!

13,3

6,9

у у , 3' ^ 4

' у' '' / ^ ^ — — Тут=з

0,25 0,5 УиЬ 0 0,25 0,5 УиЬ

а 6

Рис. 4. Зависимости критических чисел Рейнольса Яес от степени неравновесности колебательной моды у„Ь (а - а!=0; б - а^2; 1, 1' - М=0,2; 2, 2' - М=0,4; 3, 3' - М=0,6; 4, 4' -М=0,8)

Т аблица 1

Критические значения числа Рейнольдса Кес( М, Тут, Ууш)

М Тут=1 Тут=4

Уу1Ь=0,1 1 Уу1Ь=0,2 1 у„ь=0,4 Уу1Ь=0,1 1 Уу1Ь=0,2 1 Уу1Ь=0,4

а!=0

0,2 Яес=7,469 8,213 9,264 9,264 10,75 12,85

0,5 Яес=7,785 8,560 9,656 9,656 11,21 13,40

0,8 Яес=8,366 9,199 10,38 10,38 12,04 14,40

а1=2

0,2 Яес=9,614 10,57 11,92 11,92 13,84 16,54

0,5 Яес=10,02 11,02 12,43 12,43 14,42 17,24

0,8 Яес=10,77 11,84 13,36 13,36 15,50 18,53

Т аблица 2

Значения волновых чисел а, соответствующие критическим значениям числа Рейнольдса Кес( М, аь Тут, уУш)

M tvt=1 tvt=4

Yvib=0,1 1 Yvib=0,2 | Yvib=0,4 Yvib=0,1 1 Yvib=0,2 1 Yvib=0,4

a1=0

0,2 a=0,482 0,52б 0,б13 0,б13 0,788 1,139

0,5 a=0,488 0,533 0,б21 0,б21 0,799 1,154

0,8 a=0,554 0,б04 0,705 0,705 0,90б 1,309

a1=2

0,2 a=1,111 1,211 1,413 1,413 1,817 2,б25

0,5 a=1,125 1,228 1,432 1,432 1,842 2,бб0

0,8 a=1,277 1,393 1,б25 1,б25 2,089 3,017

ЛИТЕРАТУРА

1. Ершов И.В. Энергетическая оценка критических чисел Рейнольдса в течении Куэтта колебательно-неравновесного молекулярного газа // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2012. № 2. С. 99-112 .

2. Чепмен С., Каулинг Т. Математическая теория неоднородных газов. М.: ИЛ, 1960. 510 с.

3. Жданов В. М., Алиевский М.Е. Процессы переноса и релаксации в молекулярных газах. М.: Наука, 1989. 336 с.

4. Нагнибеда Е. А., Кустова Е.В. Кинетическая теория процессов переноса и релаксации в потоках неравновесных реагирующих газов. СПб.: Изд-во С.-Петербурского ун-та, 2003. 272 с.

5. Гапонов С.А, Маслов А.А. Развитие возмущений в сжимаемых потоках. Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1980. 145 с.

6. Григорьев Ю.Н., Ершов И.В., Ершова Е.Е. Влияние колебательной релаксации на пуль-сационную активность в течениях возбужденного двухатомного газа // ПМТФ. 2004. Т. 45. № 3. С. 15-23.

7. Григорьев Ю.Н., Ершов И.В. Линейная устойчивость невязкого сдвигового течения колебательно возбужденного двухатомного газа // ПММ. 2011. Т. 45. Вып. 4. С. 581-593.

8. Григорьев Ю.Н., Ершов И.В. Устойчивость течений колебательно возбужденных газов. Энергетический подход // Вестн. Нижегородского гос. ун-та им. Н. И. Лобачевского. МЖГ. 2011. № 4 (3). С. 735-737.

9. Canuto C., HussainiM.Y., Quarteroni A., and Zang T.A. Spectral methods in fluid dynamics: Springer series in Computational Physics. Berlin: Springer Verlag, 1988. 564 p.

10. Trefethen L.N. Spectral Methods in Matlab. Philadelphia: Soc. for Industr. and Appl. Math., 2000. 160 p.

11. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике. М.: Наука, 1970. 720 с.

12. Moler C.B., Stewart G.W. An algorithm for generalized matrix eigenvalue problems // SIAM J. Numer. Anal. 1973. V. 10, № 2. P. 241-256.

13. Григорьев Ю.Н., Ершов И.В. Энергетическая оценка критических чисел Рейнольдса в сжимаемом течении Куэтта. Влияние объемной вязкости // ПМТФ. 2010. Т. 51, № 5. С. 59-67.

Статья поступила 25.09.2012 г.

Ershov I.V. STABILITY OF THE COUETTE FLOW OF A VIBRATIONALLY NONEQUILIBRIUM OF MOLECULAR GAS. ENERGY APPROACH. A variational problem of determining the critical Reynolds number of the laminar-turbulent transition is numerically solved in the context of the energy theory of hydrodynamic stability. Stability of various modes in the Cou-ette flow of a vibrationally excited molecular gas is estimated by the method of collocations. The

flow is described by a system of the equations of two-temperature aerodynamics. The transport coefficients depend on flow temperature. The calculations have shown that the critical Reynolds numbers depend on the Mach number, bulk viscosity, and vibrational relaxation time. In the realistic range of flow parameters for a diatomic gas, the minimum critical Reynolds numbers are reached on modes of streamwise disturbances and increase approximately by a factor of 2,5 as the flow parameters increase.

Keywords: energy theory, hydrodynamic stability, vibrational relaxation, equations of two-temperature aerodynamics, critical Reynolds number.

Ershov Igor Valer’evich (Novosibirsk State University of Architecture and Civil Engineering) E-mail: [email protected]