CC BY
1
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОГО УНИВЕРСИТЕТА. СЕРИЯ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
2023, Т. 165, кн. 1 С. 35-48
ISSN 2541-7746 (Print) ISSN 2500-2198 (Online)
ОРИГИНАЛЬНАЯ СТАТЬЯ
УДК 517.98 doi: 10.26907/2541-7746.2023.1.35-48
ЭНДОМОРФИЗМЫ АЛГЕБРЫ ТЕПЛИЦА
С. А. Григорян1, А. Ю. Кузнецова,2
1 Казанский государственный энергетический университет, г. Казань, 420066, Россия 2Казанский (Приволжский) федеральный университет, г. Казань, 420008, Россия
Аннотация
Описаны все инъективные эндоморфизмы классической алгебры Теплица, их связь с эндоморфизмами алгебры функций, непрерывных на единичной окружности, а также с накрытиями над единичной окружностью. Показано, что с каждой неунитарной изометрией V в алгебре Теплица связан сохраняющий единицу эндоморфизм и класс его компактных возмущений - не сохраняющих единицу эндоморфизмов, определяемых частичными изометриями {VP}, где P - проектор конечной коразмерности. Введены понятия T-эквивалентности эндоморфизмов и T-эквивалентности с точностью до компактного возмущения. Приведен пример, когда соответствующие унитарно эквивалентным изометриям эндоморфизмы лежат в разных классах эквивалентности. Среди всех эндоморфизмов выделен класс эндоморфизмов Бляшке, которые являются аналогами эндоморфизмов диск-алгебры и порождают неразветвленные накрытия над единичной окружностью.
Ключевые слова: C* -алгебра, алгебра Теплица, эндоморфизм, автоморфизм, конечное произведение Бляшке, оператор Фредгольма, частичная изометрия
Введение
Работа посвящена описанию инъективных эндоморфизмов классической алгебры Теплица, то есть алгебры, порожденной всеми теплицевыми операторами Т/ с непрерывными символами на пространстве Харди единичной окружности. В дальнейшем под эндоморфизмом будет понимать именно инъективный эндоморфизм. Алгебра Теплица является некоммутативным аналогом C(T)-алгебры функций, непрерывных на единичной окружности. Мы устанавливаем связь между полугруппами эндоморфизмов алгебры Теплица и C(T). Будем обозначать пространства Лебега и Харди на единичной окружности T как L2 и H2, а алгебру Теплица как T. В основном будем пользоваться двумя утверждениями, существованием короткой точной последовательности
0 -а K(H2) -АT—аC(T) -а 0, (1)
где i - вложение, а п - фактор-отображение, и хорошо известной теоремой Кобурна [1], которая утверждает, что все алгебры, порожденные неунитарными изометриями, канонически изоморфны. Использовав теорему Кобурна, мы опишем все эндоморфизмы, как сохраняющие единицу, так и не сохраняющие, а также автоморфизмы. Покажем, что эндоморфизмы можно градуировать по мультипликативной полугруппе N (индексу эндоморфизма). Использовав автоморфизмы алгебры Теплица, мы введем на множестве эндоморфизмов отношение T-эквивалентности
и более слабое отношение T-эквивалентности с точностью до компактного возмущения. Покажем, что достаточным условием для слабой эквивалентности эндоморфизмов ai является условие, что a.i(Tz) разделяют точки спектра T или (что то же самое) образы ai(Tz) при фактор-отображении разделяют точки спектра C(T). Также мы установим связь между эндоморфизмами T и накрытиями над единичной окружностью. Среди эндоморфизмов T выделим полугруппу эндоморфизмов Бляшке, аналог эндоморфизмов диск-алгебры, которые порождают неразветвленное накрытие над T.
1. Необходимые сведения.
Алгебра функций, непрерывных на окружности
Структура эндоморфизмов C(T) хорошо известна, но для удобства читателя напомним основные факты.
Пусть C(T) - коммутативная C*-алгебра всех непрерывных функций на единичной окружности T, наделенных равномерной нормой, ||/У = sup |/ (z)|,
zET
/ € C(T). Преобразование Гельфанда для C(T) является тождественным отображением, пространство линейных мультипликативных функционалов Mc(t) совпадает с единичной окружностью, то есть для каждого m € Mc(t) существует такое z € T, что т(/) = /(z). Поэтому эндоморфизм х '■ C(T) —> C(T) порождает двойственное отображение х : T <— T единичной окружности на себя, Х(/)(z) = /(X(z)). Пусть U(T) - множество таких отображений. Относительно операции суперпозиции U (T) образует полугруппу. С другой стороны, U (T) есть множество функций из C(T), модуль которых равен единице. По теореме Бора-ван Кампена [2], каждую функцию u € U(T) можно представить в виде zn exp(ig(z)), где n € Z и g € Cr(T) - алгебре всех непрерывных вещественных функций на окружности. Число n есть индекс ветвления функции u вокруг нуля, n = wn(u), то есть [u] = [zn] в фундаментальной группе ni(T). U(T) является группой относительно произведения, и Uo(T) = {u € U(T) : wn(u) = 0} - ее связная окрестность единицы. Любая функция из U0(T) имеет вид exp(ig(z)), и U(T) = У znU0(T). За-
Z
метим, что если u € U(T) и wn(u) = 0, то u : T —> T - сюръективное отображение.
Полугруппа U (T) является двойственной к полугруппе эндоморфизмов End C(T) алгебры C(T). Действительно, если х € End C(T), то х : T —> T, как двойственное отображение, является непрерывной функцией на T. С другой стороны, для u € U (T) определим х = х« : C(T) —> C(T),
х«(/)(z) = / (u(z)) = / СЕЕЕ (2)
Таким образом, отображение х ^ х есть полугрупповой изоморфизм между End C(T) и U(T). Если х € End C(T), то х € U(T) определяется как хЕ) € U(T), где z : T —> T - тождественная функция в C(T). Если эндоморфизм х инъективный, то образ х совпадает с единичной окружностью, и обратное тоже верно.
Действительно, предположим, что х^) = E ^ T. Пусть / € C(T) - такая функция, что /(E) = 0. Тогда х(/)(z) = /(хЕ)) = 0. Заметим, что если х инъективный, то из условия х(/) = 0 следует / = 0.
Пусть X - связный компакт. Сюръективное непрерывное отображение u : X —>• T называется накрывающим отображением, если мощность множества card u-1(z) конечна и не зависит от выбора z € T. По теореме Понтрягина [3, теорема 79], если u : X —> T - накрывающее отображение, то на множестве X можно задать такую групповую структуру, что отображение u : X —> T станет гомоморфизмом групп. Поэтому справедлива следующая лемма.
Лемма 1. Пусть u : T —н T - n -листное накрывающее отображение и тп : T —н T - гомоморфизм, Tn(z) = zn. Тогда существует такой гомеоморфизм у : T —н T, что диаграмма коммутативна
Т------------->■ Т
T
Множество всех накрывающих отображений u : T—hT обозначим через Cov(T). Множество всех n-листных накрывающих отображений обозначим через Covn(T).
Алгебра Теплица
Приведем основные факты об алгебре Теплица. Их доказательства можно найти, например, в [4,5].
Зададим на C(T) структуру предгильбертова пространства, определив на ней
L2-норму ||/||2 = |f (z)|2dp(z) , где р - мера Хаара на T. Пополнение C(T) в
\т /
этой норме есть гильбертово пространство L2 со скалярным произведением (/, д) = / f(z)g(z)dp(z). Семейство функций образует в L2 ортонормированный
т
базис. Пространство Харди H2 = {/G L2 : /п = 0, n < 0}, где /п - коэффициенты Фурье, является замкнутым подпространством в L2 с ортонормированным базисом {zn}°°. Оператор Лорана, или оператор умножения Mv : L2 —н L2 с символом р € L00, определяется соотношениями M^f = <pf, М* = М-^ и ||М^|| = ||р||1:;о.
Пусть Р - проектор из L2 на H2. Оператор Tv : H2 —н H2, T/ = Рр/ называется теплицевым оператором с символом р, Т* = и ||Т/|| = | |р|| 1ЭО. Алгеброй Теплица T называется C*-алгебра, порожденная всеми теплицевыми операторами с непрерывными символами. Оператор Tz = T является оператором правого сдвига на H2 , Tzn = zn+1. Нетрудно показать, что алгебра Теплица порождается оператором T, который является оператором Фредгольма с индексом — 1.
Коммутатором операторов A, B G B(H2) называется оператор [A,B] = AB — BA. Пусть K - идеал в T, порожденный всеми коммутаторами [A, B], A, B G T. Известно, что K совпадает с алгеброй K(H2) всех компактных операторов в B(H2). Свойства алгебры Теплица во многом определяются следующей теоремой.
Теорема 1. Отображение
C(T) —н T/К, р н Tv + K(H2)
является * -изоморфизмом.
Отсюда следует, что алгебра Теплица является расширением C(T) с помощью компактных операторов, то есть существует короткая точная последовательность (1). Можно определить вполне положительное отображение р : C(T) —н T, такое, что пор является тождественным отображением на C(T), то есть (1) расще-пима. Это равносильно условию, что алгебра Теплица как банахово пространство представима в виде K(H2) + C(T). Очевидно, что в (1) n(T) = z. Из теоремы 1 и теоремы Аткинсона также следует, что Tv фредгольмов тогда и только тогда, когда р обратим в C(T), при этом ind Tv = — wn(p) (теорема Гохберга-Крейна).
Теорема 2 (Кобурн). Пусть A - C* -алгебра и V G A - изометрия. Тогда существует такой единственный унитальный * -гомоморфизм у : T —н A, что у(T) = V. При этом, если VV* = I, то у - изометрический гомоморфизм.
Из теоремы Кобурна следует, что алгебра Теплица является универсальной C*-алгеброй, порожденной единственной неунитарной изометрией, то есть все C*-алгебры, порожденные неунитарными изометриями, канонически изоморфны.
2. Эндоморфизмы алгебры Теплица. Изометрии и эндоморфизмы алгебры Теплица
Пусть Iso T - множество всех неунитарных изометрий алгебры Теплица и Tsa -пространство всех самосопряженных элементов T.
Предложение 1. Пусть V £ Iso T. Тогда V - оператор Фредгольма, который с точностью до компактного возмущения имеет вид Тn exp(iA), A £ Tsa, n > 1, —n = ind V.
Доказательство. Из теоремы 1 сразу следует, что если V £ IsoT, то n(V) £ U(T), то есть V - оператор Фредгольма. По теореме Бора-ван Кампе-на n(V) = zn exp(ig(z)), причем n > 0. Пусть C £ T - такой оператор, что 7г(С) = g. Тогда А = с+г>° £ %а и к{А) = g. Поэтому ехр(*П) - унитарный эле-
мент T и n(exp(iA)) = exp(ig). Оператор Tn exp(iA) принадлежит IsoT тогда и только тогда, когда n > 1. Поскольку п(Тn exp(iA)) = n(V), получим, что V -компактное возмущение Тп ехр(*П) и indE = —wn(7r(E)) = —п. □
Через Tv обозначим C* -алгебру, порожденную изометрией V. Установим связь между изометриями в алгебре Теплица и эндоморфизмами. Опишем сначала эндоморфизмы алгебры Теплица, сохраняющие единицу. Покажем, что с каждой изометрией связан такой эндоморфизм. Пусть End T - полугруппа инъективных эндоморфизмов и Ende T С End T - полугруппа всех тех эндоморфизмов, которые сохраняют единицу.
Предложение 2. Следующие условия эквивалентны:
1) а £ Ende T;
2) а(Т) - неунитарная изометрия.
Доказательство. 1) у 2). Пусть а(Т) = V £ IsoT. Тогда V - унитарный оператор в T, так как I = а(Т*Т) = V*V. Тогда а(Т*Т — ТТ*) = 0. Пришли к противоречию, так как T* T — TT* - ненулевой проектор.
2) у 1). Пусть а(Т) = V £ Iso T. По теореме Кобурна отображение а : Т —у V расширяется до изоморфизма а : T —У TV. Поэтому а - инъективный эндоморфизм. □
Лемма 2. Существует полугрупповой изоморфизм между Ende T и Iso T.
Доказательство. Очевидно, что каждому а £ Ende T соответствует V = а(Т) £ Iso T. Покажем, что для любой изометрии V существует такой эндоморфизм а, что а(Т) = V. Рассмотрим коммутативную диаграмму
0 ---у K ----у T —-—У C(T)
Т
Т
Т
0 ---у Kv ---У Tv ———У Cv (T)
i
i
T
п
i
0
0
0
K
C(T)
э 0.
Здесь т - * -изоморфизм, согласно теореме Кобурна, а i - вложение, поскольку Tv С T, отсюда i о т = а : T —>• T - эндоморфизм, причем V = а(Т). Теперь зададим на множестве Iso T структуру полугруппы, чтобы отображение а ^ а(Т) = V было полугрупповым изоморфизмом между Ende T и Iso T. Пусть V = а(Т) и W = в(Т). Определим V* W := а(в(Т)). Введенная операция произведения совпадает с операцией произведения в Ende T. Действительно, (■о.13)(Т) = аЩТ)). □
Поскольку все изометрии в T - операторы Фредгольма, то мы можем определить индекс эндоморфизма. Индексом инъективного сохраняющего единицу эндоморфизма а назовем индекс образа оператора Т, ind а := ind а(Т), то есть отображение а ^ а(Т) - полугрупповой изоморфизм, сохраняющий индекс . Поскольку ind V = —wn(n(V)), то ind (а о в) = -ind а ind в и ind V*W = -ind V ind W. Поэтому на Ende T можно задать градуировку по мультипликативной полугруппе N. Действительно, пусть Endn T = {а G Ende T : ind а = — n} .
Лемма 3.
1) Endi T - полугруппа;
2) Endm T * End„ T С Endmn T;
3) Endm T П Endn T = 0, m = n;
TO
4) Ende T = Endn T.
n=1
Скажем, что эндоморфизм а является компактным возмущением эндоморфизма в, если а(А) — в(A) - компактный оператор для всех A G T.
Предложение 3. Следующие условия эквивалентны:
1) а - компактное возмущение в, а, в G EndeT;
2) а(Т) — в(Т) - компактный оператор.
Доказательство. Следует из того, что полиномы вида cnmTnT*m плот-
n,m
ны в Т ■ □
Наша цель - установить связь между полугруппами Ende T и End C(T). Поскольку для оператора Фредгольма Tv ind Tv = —wn (y>) и индекс эндоморфизма а определяется через индекс а(Т), определим понятие индекса и для эндоморфизмов C(T). Индексом х G End C(T) назовем индекс ветвления образа тождественной функции z G C(T), взятый с противоположным знаком, ind х := —wn x(z). Выделим подполугруппу эндоморфизмов End+ C(T) = {х G End C(T) : ind х < 0} . Пусть Endn C(T) = {х G End+ C(T) : ind х = — n}. Очевидно, что End+ C(T) =
TO
IJ Endn C(T), и имеют место все утверждения леммы 3.
П=1
Теорема 3. Существует такой полугрупповой сюръективный гомоморфизм
Y : EndeT —> End+C(T),
что Y(EndnT) = EndnC(T). При этом для любого х G End+ C(T) любые два а, в G y-1(х) являются компактным возмущением друг друга.
Доказательство. Доказательство следует из леммы 2.
Пусть а £ EndeT. Тогда a(T) £ Iso T и п(а(Т)) £ U(T), которая является двойственной к EndC(T). Получили последовательность а ^ а(Т) ^ п(а(Т)) ^ х, где х определяется из
X(f )(z) = f(п(а(Т ))(z)). (3)
Очевидно (предложение 1), что х £ End+ C(T). Таким образом, определили гомоморфизм
Y : EndeT —> End+C(T), а ^ х = Y(а).
Сюръективность следует из (1) и предложения 1. □
Автоморфизмы алгебры T. Понятие T-эквивалентности
Теперь рассмотрим группу автоморфизмов алгебры Теплица. Из (1) очевидно, что любой автоморфизм на T индуцирует автоморфизм на алгебре компактных операторов и автоморфизм на C(T). Поэтому любой автоморфизм T имеет вид а(А) = UAU*, A £ T и U - унитарный оператор на H2 и единственный с точностью до скалярного множителя с единичным модулем. Соответствующий автоморфизму на T автоморфизм на C(T) порождает гомеоморфизм единичной окружности, сохраняющий ориентацию.
Верно и обратное, пусть Ui(T) = {u £ U (T) : u(z 1)= u(z2) z1 = z2, wn(u) = 1},
то есть сохраняющие ориентацию гомеоморфизмы единичной окружности (лежащие в классе [z] фундаментальной группы, z - тождественное отображение).
Предложение 4. Пусть u £ U1. Тогда
1) найдется такой V £ Iso T, что n(V) = u;
2) существует автоморфизм а £ Aut T, п(а(Т)) = u.
Доказательство. Первое утверждение очевидно. Из BDF-теории следует, что если u - сохраняющий ориентацию гомеоморфизм, то найдется K £ K(H2), что Ти + K = V, где V - оператор правого сдвига.
Действительно, если u = z exp(ig), то найдется такой самосопряженный оператор А, что п(А) = g. Поэтому образ неунитарной изометрии Т exp(iA) £ Iso T есть u. Пусть V - такая изометрия, что n(V) = u. Согласно лемме 2 найдется эндоморфизм а, а(Т) = V. Покажем, что а - автоморфизм. Алгебра Tv изоморфна Т, и для нее существует короткая точная последовательность (1). Так как u разделяет точки окружности, то полиномами от n(V) = u и n(V) можно приблизить любую функцию из C(T), в том числе и z. Пусть B £ Tv - такой оператор, что n(B) = z .С другой стороны, п(Т) = z и B — Т £ K (H2). Но ind V = —1, следовательно, Tv содержит все компактные операторы, значит, Т £ Tv , и получили, что Т = Tv, то есть а - автоморфизм. □
Заметим, что относительно операции суперпозиции Ui(T) изоморфна подгруппе в End+ C(T). Таким образом, из предложения выше и теоремы 3 получим
Теорема 4. Существует сюръективный групповой гомоморфизм
у1 : Aut T —> Aute C(T),
где Aute C(T) - связная окрестность единицы группы автоморфизмов C(T), и ядро Yi совпадает с группой внутренних автоморфизмов алгебры Теплица.
Доказательство. Пусть 7 - гомоморфизм, определенный в теореме 3, и 71 -его ограничение на Aut T. Группа автоморфизмов C(T) изоморфна U1(T) х Z2, где группа Z2 порождается отображением г д г. Связная окрестность единицы Aut C(T) изоморфна U1(T) х {1} ~ U1(T). Поскольку п(а(Т)) G U1(T) для a G Aut T, то Y1(Aut T) С Aute C(T). Сюръективность следует из предложения 4.
Теперь покажем, что ker 71 - группа внутренних автоморфизмов. Пусть a G ker 71 и a(T) = V, причем n(V) = z. Поскольку a G Aut T, то существует такой унитарный оператор U G B(H2), что V = UTU*. По теореме Уолда-фон Неймана в H2 существует базис {en}^=0, на котором V является оператором правого сдвига, причем Uzn = en. Но n(UTU*) = п(Т), то есть UTU* — Т = K G K(H2), откуда ||zn — en|| ^ 0 при n ^ ж, следовательно, унитарный оператор U, который переводит один базис в другой, равен I + K. Таким образом, U G T, то есть a -внутренний автоморфизм. □
Заметим, что из доказательства предыдущей теоремы следует, что если a G Aut T и n(a(T)) = z, то существуют внутренний автоморфизм a' G Aut B(H2), a'(A) = UAU* для A G B(H2) и ограничение a'^ = a, но при этом U G T. Ниже мы приведем пример, когда ограничение внутреннего автоморфизма B(H2) на алгебру Теплица будет для последней эндоморфизмом.
Все внутренние автоморфизмы являются компактным возмущением тождественного автоморфизма. В общем случае группа автоморфизмов алгебры Теплица неустойчива относительно компактного возмущения. Согласно теореме Уолда-фон Неймана, каждая изометрия представляется в виде прямой суммы унитарного слагаемого и копий одностороннего сдвига. Рассмотрим a : T ^ T + K = Uf ® T', где Uf - унитарный конечномерный оператор, а T' - оператор правого сдвига. Очевидно, что a - эндоморфизм, являющийся компактным возмущением тождественного автоморфизма. Использовав автоморфизмы алгебры Теплица, введем отношения эквивалентности на множестве эндоморфизмов.
Определение 1. Эндоморфизмы a, в назовем T-эквивалентными, если найдется такой a G Aut T, что а о a = в. Эндоморфизмы a, в назовем T-эквивалентными c точностью до компактного возмущения, если найдется такой a G Aut T, что а о a является компактным возмущением в.
Соответственно, изометрии V, W будем называть T-эквивалентными, если найдется автоморфизм а, a(V) = W .В рассмотренном выше примере эндоморфизм a : T ^ Uf ® T' является T-эквивалентным тождественному автоморфизму с точностью до компактного возмущения. Заметим, что индексы у этих эндоморфизмов совпадают. Возникает вопрос, достаточно ли условия a, в G Endn T для того, чтобы эндоморфизмы были T-эквивалентными, хотя бы с точностью до компактного возмущения.
Рассмотрим правый сдвиг T и изометрию V без унитарной части, ind V = — 1, и пусть n(V) = z exp(ig(z)) = v G Ui. Поскольку не существует такого автоморфизма х G Aut C(T), что x(z) = v, то и не существует автоморфизма a G Aut T, a(T) = V. Операторы T и V являются унитарно эквивалентными в B(H2), алгебры T и Tv унитарно эквивалентны, но T и V не являются T-эквивалентными, эндоморфизм T ^ V и тождественный автоморфизм не являются T-эквивалентными даже с точностью до компактного возмущения, и Tv £ T.
Сформулируем достаточные условия T-эквивалентности с точностью до компактного возмущения для эндоморфизмов a, в G Endn T. Пусть Covn(T) = {u G Cov (T) : wn(u) = n, n > 1}. Все элементы Covn (T) являются сохраняющими ориентацию отображениями и образуют подполугруппу относительно суперпозиции среди всех накрывающих отображений Cov(T) .
Теорема 5. Пусть а, в G EndnT и пусть п(а(Т)),п(в(Т)) G Covn(T). Тогда а и в являются T -эквивалентными с точностью до компактного возмущения.
Доказательство. По лемме 1, если и = п(а(Т)) G Covn(T), то существует гомеоморфизм y : T —> T, такой, что и = п(а(Т)) = zn о j. Аналогично существует и гомеоморфизм j' : T —> T, и' = п(в(Т)) = zn о j', то есть и' = и о j-1 о j' = и оS, причем S G Ui(T) (сохраняет ориентацию). Гомеоморфизмы единичной окружности являются дуальными отображениями к автоморфизмам алгебры непрерывных функций на единичной окружности, поэтому существует автоморфизм (2) Xs G Aute C(T), xs(u)(z) = u(S(z)) = u'(z) , следовательно, по теореме 4 существует такой автоморфизм a G AutT, что п(а(а(Т)) = х(и) = п(в(Т)) = и', то есть ап /3 Т-эквивалентны с точностью до компактного возмущения. □
3. Эндоморфизмы Бляшке
В этом параграфе из полугруппы эндоморфизмов алгебры Теплица мы выделим подполугруппу, которая имеет хорошо известный образ в End C(T). Напомним, что подалгебра A(T) С C(T), состоящая из тех функций, которые имеют непрерывное аналитическое продолжение в открытый единичный диск {|z| < 1}, называется диск-алгеброй. Эндоморфизм x G End A(T) определяется функцией x(z) G A(T). Если x - изометричный эндоморфизм, т. е. \\x(f )|| = ||/1|, тогда x(z) есть конечное произведение Бляшке вида
bn(z)
л П(т—=~
11'1 - ZjZ
n
|zi| < 1, n = degbn
(4)
В частности, группа автоморфизмов алгебры A(T) порождается группой преобразований Мебиуса, если x G Aut A(T), тогда найдется такое преобразование
Мебиуса b(z) = егв (——J-), Uni < 1, что xiz) = b(z). Отображение Т —> Т,
1 - z0z
z ^ bn(z) есть n-листное неразветвленное накрытие, прообраз точки bn(z) состоит из n точек. Суперпозиция произведений Бляшке есть произведение Бляшке, поэтому произведения Бляшке образуют подполугруппу B С U (T), которой соответствует подполугруппа EndgC(T) С EndC(T).
m
Пусть A - замкнутая подалгебра T, порожденная полиномами вида Y1 спТп ,
о
cn G C. Отображение Т ^ z расширяется до изоморфизма A и A(T). Использовав (4), определим на алгебре A оператор
n
ЬП(Т) = ewl[(T - ZiI)(I -z^T)-1 1
JQ
n
П(
T-zJ
I-XT
Ы < 1.
Предложение 5.
1) Ьп(Т) G Iso T и ind Ьп(Т) = —wn bn(z) = —n.
2) Отображение Т ^ Ьп(Т) расширяется до эндоморфизма bn : T —>• T.
Доказательство. Из условия |^j| < 1 следует, что оператор (I—ZjT) обратим, тг „ T — zI
Для доказательства 1) достаточно показать, что ——является изометрией при
|z| < 1.
Действительно,
/ — zT
{{T-zI^I-zT^Y^T-zI^I-zT)-1 = ((/ -J.T)-1)*(T-zIYtT-zI^I-zT)-1 = = (Т - ziy ((/ -zT)-1)* (T - zl){l -zT)-1 =
= (T* -zl)(l - zT*)-l{I - zT*)V(I -zT)-1 =
= (T* - zI)T(I - zT)-1 = (/ - zT){I - zT)-1 = I.
Утверждение 2) сразу следует из леммы 2. □
Определение 2. Эндоморфизм bn, определенный в предложении 5, назовем эндоморфизмом Бляшке. Автоморфизм bi назовем автоморфизмом Мебиуса.
Очевидно, что все эндоморфизмы Бляшке образуют полугруппу, которую обозначим Endg T. Эндоморфизмы Бляшке были предложены в [6], где авторы рассматривали индуктивные пределы алгебры Теплица под действием таких эндоморфизмов. Поскольку алгебры A и A(T) изоморфны, полугруппа Endg T изоморфна полугруппе Endg C(T).
Теорема 6.
1) Пусть а £ Ende T и a(A) С A. Тогда а - эндоморфизм Бляшке.
2) Пусть в £ EndeT - эндоморфизм, T -эквивалентный некоторому эндоморфизму Бляшке bn . Тогда найдется такая u £ Covn(T), что п(в(Т)) = и.
3) Любые два эндоморфизма Бляшке индекса n являются T -эквивалентными с точностью до компактного возмущения.
Доказательство. Утверждение 1) следует из изоморфизма между Endg T и Endg C(T); 2) следует из определения 1 и теоремы 4.
Действительно, если существует автоморфизм на алгебре Теплица, то существует и автоморфизм на C(T), а произведение Бляшке bn(z) есть n-листное накрывающее отображение.
Утверждение 3) следует из теоремы 5. □
На вопрос, когда два эндоморфизма Бляшке являются T-эквивалентными, ответить сложнее. Очевидно, что bn и dn T-эквивалентны, если существует такой автоморфизм Мебиуса b1 £ Aut A(T), что b1(bn(z)) = dn(z). Условие существования такого автоморфизма дает классическая теорема Пика. Напомним, что если даны два набора точек {z1, z2,..., zn} и {w1, w2,..., wn}, то конечное произведение Бляшке b индекса не больше n, b(zj) = wi, существует тогда и только тогда, когда квадратичная форма с коэффициентами из заданных наборов является положительно определенной, при этом случай n = 1 возможен, когда определитель квадратичной формы равен 0, и ее ранг n — 1. Однако существуют автоморфизмы алгебры C(T) (соответственно, алгебры Теплица), которые не являются автоморфизмами Мебиуса. Если а £ Aut T и а £ Endg T, то эндоморфизм а о bn будет T-эквивалентен некоторому эндоморфизму Бляшке с точностью до компактного возмущения, но, вообще говоря, не обязан быть эндоморфизмом Бляшке.
4. Эндоморфизмы, не сохраняющие единицу
В этом параграфе приведем некоторые соображения об эндоморфизмах, не сохраняющих единицу. Мы установим связь между такими эндоморфизмами и эндоморфизмами из Ende T. В первую очередь заметим, что с каждой изометрией V G Iso T связан как минимум один не сохраняющий единицу эндоморфизм, а именно: pv : T —> T, pv(A) = VAV*. Действительно,
p(1) = p(T *T) = VT *V *VTV * = VV * = P,
где P - проектор меньше единицы конечной коразмерности. Образ T под действием эндоморфизма pv обозначим через Tv. Проектор P для Tv является единицей, для любого A G T имеем VAV*VV* = VAV* и VV*VAV* = VAV*. Рассмотрим
p(TT*)
VTV* VT*V*
VTT *V * = VT (VT )* = Q,
где Q - проектор коразмерности на единицу больше, чем P. Таким образом, получим, что при эндоморфизме pv образом T является частичная изометрия с начальным пространством PH2 и конечным пространством QH2, причем PQ = QP = Q.
Рассмотрим теперь произвольный эндоморфизм p : T —> T, p(T) = W, где W - частичная изометрия с начальным проектором P и конечным проектором Q. Поскольку при таком эндоморфизме единица перейдет в P, то очевидно, что PQ = QP, и, более того, PA = AP для любого A G p(T). Напомним, что для того чтобы произведение VW двух частичных изометрий V и W было частичной изометрией, необходимо и достаточно, чтобы начальный проектор V* V коммутировал с конечным проектором WW* [7, Lemma 2]. Поэтому, если p - эндоморфизм, то W = p(T) - степенная (power) частичная изометрия, то есть для всех n > 0 Wn -частичная изометрия, и {Wn(W*)n} U {(W*)nWn} - коммутирующее семейство проекторов. Для степенной частичной изометрии W существует аналог теоремы Уолда-фон Неймана [7,8]. Для удобства читателя приведем ее формулировку.
Теорема 7 (Халмош, Валлен). Пусть W - частичная изометрия на гильбертовом пространстве H, P и Q - ортогональные проекторы на p|))=i WnH и П^Li W*nH соответственно. Тогда PQ = QP и подпространства Hu = PQH, Hs := (I - P)QH; Hb := (I - Q)PH и
p
Hp := ^(Wn-iW*n-i
n=i
WnW*n)(W*p-nWP-n - W*p-n+iWP-n+i)H
(6)
являются неприводимыми для W и W*, и
Hu ® Hs ® Hb ® ( © Hp). (7)
p=i
Кроме того, существуют такие гильбертовы пространства Ms, Mb и {Mp:p > 1} (возможно, нулевые), что сужение
1) W |Hu унитарно;
2) W |Hs унитарно эквивалентно S ® I на 12(N) ® Ms;
3) W |яь унитарно эквивалентно S * ® I на 12(N) ® Mb;
4) W | нр унитарно эквивалентно Jp ® I на Cp ® Mp .
Здесь S и S* - операторы правого и левого сдвига, Jp - оператор усеченного сдвига, а пространства Ms, Mb и Mp единственны с точностью до изоморфизма и определяются своими размерностями.
Предложение 6. Пусть частичная изометрия W является образом T при некотором эндоморфизме. Тогда
СО 2
1) В разложении (7) пространства ® Hp и Hb нулевые, H2 = Hu ® Hs.
p=i
2) Сужение W на подпространство Hs унитарно эквивалентно S ® 1 на 12(N) ® Ms, где dim Ms = dim (P - Q)H2 .
Доказательство. Имеем p(T*nTn) = W*nWn = W*W. Таким образом, для любой частичной изометрии Wn начальное пространство совпадает с начальным пространством W , откуда следует, что в разложении W не может быть оператора усеченного сдвига.
Действительно, из (6) сразу получим Hp = 0. Аналогично не может быть и ко-изометрии, поскольку все функции из QH2 должны одновременно принадлежать и PH2. Действительно, проекторы {WnW*n} на подпространство WnH2 в сильной операторной топологии сходятся к проектору P на р|^=1 WnH и W*n Wn ^ Q [8], [9, Corollary 2.5.7]. Но W*nWn = P для всех n, поэтому Q = P и (I — Q)P = (I — P)P = P — P = 0, так как P коммутирует с любым проектором WnW*n, значит, и с P.
Доказательство 2) приведено в [8, Lemma 2.2]. Заметим, что P — Q = p(T*Т —
ТТ*), то есть Р — Q является образом одномерного проектора на г°. □
Таким образом, W является оператором Фредгольма с индексом — dim(P—Q)H2 . Обозначим коразмерности PH2 и QH2 через dP и dQ соответственно, тогда ind W = dp — dQ . Заметим, что конечномерная унитарная часть у W существовать может, но частичных изометрий с бесконечномерной унитарной частью в алгебре Теплица не существует.
Теорема 8. Пусть W е T - частичная изометрия. Для того чтобы существовал эндоморфизм p : T —>• T, p(T) = W, необходимо и достаточно, чтобы существовали такой проектор P и V е Iso T, что W = VP, причем PW = WP.
Доказательство. Необходимость сразу следует из предложения 6. Если W -образ T под действием эндоморфизма, то P - начальный проектор W , и поскольку dp конечна, то найдется изометрия V = W + K, где K - компактный оператор. Пусть теперь W = VP. Так как P коммутирует с W и W*, то получим
W *nWn = (PV *)n(VP)n = (PV *)n-1PV*VP (VP )n-1 =
= (PV * )n-1P (VP )-1 = (PV *)n-1 (VP )-1P = ••• = P,
то есть для любой степени Wn начальным проектором остается P, поэтому в разложении W отсутствует не только коизометрия, но и усеченный сдвиг, и W удовлетворяет условиям предложения 6. Таким образом, поскольку PVP = VP, то оператор VP на PH2 является неунитарной изометрией.
Определим гомоморфизм p : T —> , p(T) = VP, здесь - C*-алгебра,
порожденная оператором VP на PH2. По теореме Кобурна TVP канонически изоморфна Т, и поскольку получим эндоморфизм р : Т —>• Т ■ □
Заметим, что если Q - конечный проектор VP, то образом одномерного проектора T*T-TT* является P-Q и образом одномерного проектора Tn_-T*n_1—TnT*n является Qn_i — Qn, где Qk - конечный проектор частичной изометрии Wk. Из теоремы 8 и леммы 2 получим
Следствие 1. Все инъективные эндоморфизмы алгебры Теплица порождаются частичными изометриями вида VP, причем PVP = VP, где V € Iso T и P -ортогональный проектор. Если P = I, то соответствующий эндоморфизм сохраняет единицу, если P < I, то единица переходит в проектор P. Все эндоморфизмы а € End T определяются как суперпозиция i о т, где т : T —1 TVP -канонический изоморфизм и i : TVP '-с T - вложение.
В частности, pV (T) = VTV* = VTV* VV*, порождающая эндоморфизм pV изометрия имеет вид VTV * +K, K - компактный оператор и K | ph = 0, и соответствующий проектор P = VV*. Если V = T, то p(T) = TTT* = TP и pT (T) есть алгебра Теплица, порожденная оператором T', T'zn = zn+1 при n = 0 и T'z0 = 0. Можно также рассмотреть и эндоморфизм T ^ W = VTnV*, тогда W = V'P, где P = VV* и V' = VTnV* + K. Если при эндоморфизме pV образом одномерного проектора является одномерный проектор, то при эндоморфизме T ^ VTnV* одномерный проектор переходит в проектор ранга n.
Теорема 9. Полугруппа инъективных эндоморфизмов является градуированной по мультипликативной полугруппе N, то есть End T = |jEndn T, причем
1) End1 T - полугруппа;
2) Endm T * Endn T C Endmn T;
3) Endm T П Endn T = 0, m = n,
и существует такой полугрупповой сюръективный гомоморфизм
Y : EndT —о End+C(T),
что y(EndnT) = EndnC(T).
Доказательство. Из предложения 6 и теоремы 8 следует, что можно определить индекс для любого а € EndT, inda := ind a(T). Если a(T) = W - частичная изометрия с начальным и конечным проекторами P и Q, то inda = dp — dQ и Endn T = {a € End T : inda = — n}. Также очевидно, что если W = VP, то n(W) = n(V), то есть эндоморфизм T ^ W является компактным возмущением эндоморфизма Т нд V. □
Литература
1. Coburn L.A. The C* -algebra generated by an isometry I // Bull. Am. Math. Soc. 1967. V. 73, No 5. P. 722-726.
2. van Kampen E.R. On almost periodic functions of constant absolute value // J. London Math. Soc. 1937. V. 12, No 1. P. 3-6. doi: 10.1112/jlms/s1-12.45.3.
3. Понтрягин Л.С. Непрерывные группы // Математика в монографиях. Основная серия. Кн. III / Под. ред. С.Н. Бернштейна, И.М. Виноградова, А.Н. Колмогорова, Л.А. Люстерника, А.И. Плеснера, В.А. Тартаковского, Н.И. Чеботарева. М., Л.: ГОНТИ НКТП СССР, 1938. 316 c.
4. Murphy G.J. C*-Algebras and Operator Theory. Acad. Press, 1990. 296 p. doi: 10.1016/C2009-0-22289-6.
5. Douglas R.G. Banach Algebra Techniques in Operator Theory. 2nd ed. Ser.: Graduate Texts in Mathematics. N. Y., Springer New York, 1998. xvi, 198 p. doi: 10.1007/978-1-4612-1656-8.
6. Grigoryan T.A., Kuznetsova A.Yu. Blaschke C* -algebras // Lobachevskii J. Math. 2020. V. 41, No 4. P. 631-636. doi: 10.1134/S1995080220040113.
7. Halmos P.R., Wallen L.J. Powers of partial isometries // J. Math. Mech. 1970. V. 19, No 8. P. 657-663.
8. an Huef A., Raeburn I., Tolich I. Structure theorems for star-commuting power partial isometries // Linear Algebra Its Appl. 2015. V. 481. P. 107-114. doi: 10.1016/j.laa.2015.04.024.
9. Kadison R.V., Ringrose J.R. Fundamentals of the Theory of Operator Algebras. V. I: Elementary theory. Ser.: Graduate Studies in Mathematics. V. 15. Am. Math. Soc., 1997. 398 p.
Поступила в редакцию 26.11.2022 Принята к публикации 19.04.2023
Григорян Сурен Аршакович, доктор физико-математических наук, профессор кафедры высшей математики
Казанский государственный энергетический университет ул. Красносельская, д. 51, г. Казань, 420066, Россия E-mail: gsuren@inbox.ru
Кузнецова Алла Юрьевна, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры теории относительности и гравитации, институт физики
Казанский (Приволжский) федеральный университет ул. Кремлевская, д. 18, г. Казань, 420008, Россия E-mail: alla.kuznetsova@gmail.com
ISSN 2541-7746 (Print) ISSN 2500-2198 (Online)
UCHENYE ZAPISKI KAZANSKOGO UNIVERSITETA. SERIYA FIZIKO-MATEMATICHESKIE NAUKI (Proceedings of Kazan University. Physics and Mathematics Series)
2023, vol. 165, no. 1, pp. 35-48
ORIGINAL ARTICLE
doi: 10.26907/2541-7746.2023.1.35-48
Endomorphisms of the Toeplitz Algebra
S.A. Grigoryana*, A.Yu. Kuznetsovab**
aKazan State Power Engineering University, Kazan, 420066 Russia bKazan Federal University, Kazan, 420008 Russia E-mail: *gsuren@inbox.ru, **alla.kuznetsova@gmail.com
Received November 26, 2022; Accepted April 19, 2023
Abstract
This article describes all injective endomorphisms of the classical Toeplitz algebra. Their connection with endomorphisms of the algebra of continuous functions on the unit circle and with coverings over the unit circle was considered. It was shown that each non-unitary isometry V in the Toeplitz algebra determines the identity preserving endomorphism, as well as the class of its compact perturbations, i.e., identity non-preserving endomorphisms, defined by partial isometries {VP}, where P is a projection of finite codimension. The notions of T-equivalence of endomorphisms and T-equivalence up to a compact perturbation were introduced. An example was provided wherein the isometries are unitarily equivalent but the corresponding endomorphisms fall into different equivalence classes. Of all endomorphisms, the ones belonging to the class of Blaschke endomorphisms, which are analogous to endomorphisms of the disc-algebra and generate unbranched coverings over the unit circle, were singled out.
Keywords: C* -algebra, Toeplitz algebra, endomorphism, automorphism, finite Blaschke product, Fredholm operator, partial isometry
References
1. Coburn L.A. The C* -algebra generated by an isometry I. Bull. Am. Math. Soc., 1967, vol. 73, no. 5, pp. 722-726.
2. van Kampen E.R. On almost periodic functions of constant absolute value. J. London Math. Soc., 1937, vol. 12, no. 1, pp. 3-6. doi: 10.1112/jlms/s1-12.45.3.
3. Pontryagin L.S. Continuous groups. In: Bernshtein S.N., Vinogradov I.M.,
Kolmogorov A.N., Lyusternik L.A., Plesner A.I., Tartakovskii V.A., Chebotarev N.I. (Eds.) Mathematics in Monographs. Basic Ser. Book III. Moscow, Leningrad, GONTI NKTP SSSR, 1938. 316 p. (In Russian)
4. Murphy G.J. C* -Algebras and Operator Theory. Acad. Press, 1990. 296 p. doi: 10.1016/C2009-0-22289-6.
5. Douglas R.G. Banach Algebra Techniques in Operator Theory. 2nd ed. Ser.: Graduate Texts in Mathematics. New York, Springer New York, 1998. xvi, 198 p. doi: 10.1007/978-1-4612-1656-8.
6. Grigoryan T.A., Kuznetsova A.Yu. Blaschke C* -algebras. Lobachevskii J. Math., 2020, vol. 41, no. 4, pp. 631-636. doi: 10.1134/S1995080220040113.
7. Halmos P.R., Wallen L.J. Powers of partial isometries. J. Math. Mech., 1970, vol. 19, no. 8, pp. 657-663.
8. an Huef A., Raeburn I., Tolich I. Structure theorems for star-commuting power partial isometries. Linear Algebra Its Appl., 2015, vol. 481, pp. 107-114. doi: 10.1016/j.laa.2015.04.024.
9. Kadison R.V., Ringrose J.R. Fundamentals of the Theory of Operator Algebras. Vol. I: Elementary theory. Ser.: Graduate Studies in Mathematics. Vol. 15. Am. Math. Soc., 1997. 398 p.
Для цитирования: Григорян С.А., Кузнецова А.Ю. Эндоморфизмы алгебры Теплица // Учен. зап. Казан. ун-та. Сер. Физ.-матем. науки. 2023. Т. 165, кн. 1. С. 35-48. \ doi: 10.26907/2541-7746.2023.1.35-48.
For citation: Grigoryan S.A., Kuznetsova A.Yu. Endomorphisms of the Toeplitz algebra.
Uchenye Zapiski Kazanskogo Universiteta. Seriya Fiziko-Matematicheskie Nauki, 2023, vol. 165, no. 1, pp. 35-48. doi: 10.26907/2541-7746.2023.1.35-48. (In Russian)
