CC BY
9
Челябинский физико-математический журнал. 2023. Т. 8, вып. 1. С. 129-139.
УДК 532.5:004.032.26 БОТ: 10.47475/2500-0101-2023-18112
ЭМУЛЯЦИЯ ВЫСОКОСКОРОСТНОГО СОУДАРЕНИЯ ПЛАСТИН С ПОМОЩЬЮ ИСКУССТВЕННОЙ НЕЙРОННОЙ СЕТИ
В. В. Погорелко", А. Е. Майерь, Е. В. Фоминс, Е. В. Федоров^
Челябинский государственный университет, Челябинск, Россия "vik_ko83@mail.ru, ьmayer.al.evg@gmail.com, сfomin33312@gmail.com, Лermine2001@mail.ru
На основе континуальной модели высокоскоростного соударения пластин построен набор обучающих данных, по которым искусственная нейронная сеть обучена определять профиль скорости тыльной поверхности пластины-мишени исходя из параметров удара и параметров модели материала. Обученная нейронная сеть была использована в качестве быстрого эмулятора процесса высокоскоростного соударения пластин. Применение байесовского подхода калибровки модели позволило решить обратную задачу определения параметров модели материала по профилю скорости тыльной поверхности.
Ключевые слова: континуальная модель динамики вещества, искусственная нейронная сеть, байесовский подход калибровки модели.
Введение
Метод высокоскоростного соударения пластин с интерферометрической регистрацией [1] и последующим анализом профиля скорости тыльной поверхности [2-5] широко применяется для определения сдвиговой и откольной прочности вещества как свойств материала, которые зависят от скорости деформации, температуры и структуры материала. Высокоскоростное соударение пластин, в зависимости от их толщины, обеспечивает скорости деформации порядка (0.1-1)/мкс. Для описания высокоскоростного соударения пластин широко применяются феноменологические модели, требующие трудоёмкого подбора параметров [6; 7]. С другой стороны, в последние годы в механике материалов всё более широкое распространение находит применение искусственных нейронных сетей [8-12] как мощного дополнительного инструмента, позволяющего повысить точность используемых моделей. Нейронные сети эффективны при анализе трендов данных и построении аппроксимаций сложных зависимостей. Так, например, в работе [13] искусственная нейронная сеть была успешно применена для описания нелинейной связи компонент тензоров напряжения и деформации, а также начала пластического течения в алюминии при моделировании ударно-волновых процессов. Применение искусственной нейронной сети при моделировании высокоскоростного соударения пластин может существенно упростить процедуру определения параметров модели вещества и является актуальной задачей.
Исследование выполнено за счёт гранта Российского научного фонда № 22-21-00827, https://rscf.ru/project/22-21-00827/.
Другим эффективным способом машинного обучения является байесовский алгоритм калибровки моделей [14]. Он позволяет определять наборы параметров моделей, которые обеспечивают наибольшую вероятность совпадения результатов моделирования с эталонными значениями. Недостатком алгоритма Байеса является то, что для каждого разыгранного набора параметров модели необходимо проводить моделирование, что может быть сопряжено с большими временными затратами, когда необходимо провести большое количество расчётов.
В данной работе на модельных расчётах высокоскоростного соударения пластин мы обучили искусственную нейронную сеть по параметрам удара и модели материала вещества определять профиль скорости тыльной поверхности мишени. Обученная нейронная сеть послужила быстрым эмулятором континуальной модели высокоскоростного соударения пластин. Применение алгоритма Байеса для калибровки модели и искусственной нейронной сети в качестве эмулятора позволило решить обратную задачу определения параметров модели материала по профилю скорости тыльной поверхности.
1. Математическая модель
Для описания высокоскоростного соударения пластин будем использовать континуальную модель динамики вещества, состоящую из уравнения непрерывности
<1рп дь
= -Ри^Т, (1)
уравнения движения
¿Ь ""дг
¿ь 1 д !
~тт = (-Рп + п + а п) (2)
аЬ рп дг
и закона Гука в качестве уравнения состояния
Рп — Сзигг, п — 2с2 ^З3 и-г . (3)
Здесь введены обозначения: р,п — р/ро , Р,п — Р/ро , Б^п — Б--/ро , а',п — а'/ро , т. е. уравнения записаны в нормированном на начальную плотность виде. Уравнение (2) учитывает упругую добавку Бггп к давлению Рп и добавку а'п, обусловленную искусственной вязкостью. Закон Гука (3) записан с учётом разделения на макроскопическую и пластическую деформации, с3, с^ — объёмная и поперечная скорости звука.
Производная по времени от макроскопической деформации игг определяется скоростью макроскопического движения вещества:
аигг дь
—— — —. (4)
¿г дг ()
Скорость пластической деформации может быть определена из уравнения, предложенного в работе [7] на основе релаксационной модели Максвелла:
0и-г - и-г - | ■ sign (Б-г п)^ Т 1Н п| - СХ) , (5)
где Уп — У/О — статический предел текучести, нормированный на модуль сдвига; т — время релаксации, Н — функция Хэвисайда.
Вязкие напряжения определяются простым уравнением
„dv
0 n
П
dz
(6)
В работе [15] было показано, что в задаче по высокоскоростному соударению пластин обеспечивает хорошие результаты формула п* = ЗАги, где Аг — ширина ячейки, и — скорость удара.
Модель (1)-(6) была численно реализована в одномерной постановке методом конечных разностей. Она позволяет описывать динамику вещества в процессе высокоскоростного соударения пластин и отслеживать профиль скорости тыльной поверхности.
Для применения модели к обучению искусственной нейронной сети необходимо определиться со входными и выходными параметрами. В качестве входных параметров будут использованы параметры удара (толщина ударника Л^, толщина мишени к2, скорость удара и) и параметры модели вещества (е3,^г,Уп). Поперечная скорость звука с рассчитывалась из объёмной е3 и коэффициента Пуассона, который считался постоянным и равным ^ = 0.33. В качестве выходных параметров удобно взять два времени (¿1 — время достижения ударной волной тыльной поверхности, ¿2 = 2Н1 /с3 — характерное время действия ударной волны) и 20 ре-перных точек скорости тыльной поверхности, расположенных в арифметической прогрессии в интервале времени наблюдения ¿2 — ¿1.
значения h1(mm) h2(mm) U (m/s) Cs (m/s) lg T y 1 n
минимальные 0.1 1.0 200.0 2000.0 —9.0 0.0
максимальные 1.0 10.0 1000.0 7000.0 —7.0 0.02
С помощью модели было насчитано два набора данных по 15000 расчётов. Один набор был использован для обучения искусственной нейронной сети, а второй для проверки качества обученной нейронной сети. Диапазон входных значений, используемых для обучений искусственной нейронной сети, приведён в таблице.
2. Искусственная нейронная сеть
и байесовский подход калибровки модели
В качестве искусственной нейронной сети была выбрана полносвязная нейронная сеть прямого распространения, схема которой представлена на рис. 1. Она состоит из 6 нейронов входного слоя, 22 нейронов выходного слоя и 15 скрытых слоёв по 30 нейронов.
Искусственная нейронная сеть отображает набор входных параметров в набор выходных параметров. Каждый нейрон вычисляет простую функцию, суммируя сигналы, полученные от нейронов предыдущего слоя:
N(j
(j-1)
X
jk
fj I -bjk + ^^ ajk,mXl
(j-1)m
1,..., L,
m=1
где ajk,m и bjk — веса и смещения нейронов, которые необходимо подобрать в процессе обучения. Эта функция называется функцией активации нейронов. Мы используем "Leaky ReLU" для нейронов скрытых слоёв j G [2,L — 1]:
fj (z) =
z, z ^ 0,
0.01 ■ z, z< 0,
j
Рис. 1. Структура искусственной нейронной сети и сигмоидальную функцию для выходного слоя:
fL (Z)
1
1 + exp (—z)
Процесс обучения нейронной сети заключается в подборе весов и смещений нейронов, которые будут обеспечивать минимальную ошибку отображения входных параметров в выходные. Изначально веса и смещения нейронов задаются случайным образом. Мы используем стандартный метод обучения искусственной нейронной сети — метод обратного распространения ошибки с пакетным градиентным спуском. Из обучающих данных выбирается пакет данных { (Xе, Ye) , в € В}, который подаётся на вход нейронной сети. Нейронная сеть по входным данным из пакета определяет выходные данные Xе ^ yann (Xе), и для них считается ошибка аппроксимации с помощью функции потерь (Loss Function). В качестве функции потерь мы используем кросс-энтропию, и ошибка аппроксимации в этом случае имеет вид
Nl
s = - К in у
вев n=i
ANN
п
(Xе) + (1 - у£) in(i - yAnn (Xе))]
Для минимизации ошибки аппроксимации необходимо сосчитать производные
от функции потерь по весам и смещениям нейронов
dS
и Лг". Обучение ис-
кусственной нейронной сети заключается в последовательном изменении весов и смещений нейронов в направлении, противоположном градиенту ошибки Б в пространстве весов и смещений.
Обученная искусственная нейронная сеть служит быстрым эмулятором модели высокоскоростного соударения пластин, к которой может быть применён байесовский алгоритм калибровки модели. Суть этого алгоритма сводится к подбору параметров модели вещества, обеспечивающих наибольшее совпадение результатов с эталонными данными. Изначально разыгрывается набор параметров модели, которые подаются на вход нейронной сети. По входным параметрам нейронная сеть быстро определяет выходные параметры. После этого производится расчёт вероятности совпадения полученных выходных данных с эталонными данными:
22
P = exp ^ - У
j=i
ANN
(Xв )У
(11)
где а — нормировочная константа. Так как отсутствует точное условие нормировки вероятности, а нормировка осуществляется путём подбора нормировочной константы, то формула (11) описывает «квазивероятность». Чем выше значение квазивероятности, тем лучше соотносятся выходные данные нейросети с эталонными данными. Затем этот процесс повторяется до тех пор, пока не будет разыграно достаточно наборов параметров модели, чтобы построить карту распределения вероятности и определить наиболее вероятные значения параметров модели.
3. Обсуждение результатов
На рис.2 представлены корреляционные кривые для времен , £2 и скоростей профиля тыльной поверхности V, Уд, У15, полученные на данных, которые не участвовали в обучении нейросети (валидационные данные). Корреляционные кривые для других скоростей имеют похожий вид. По оси абсцисс отложены значения, которые выдаёт искусственная нейронная сеть, по оси ординат — модель. Чем ближе корреляционные кривые к прямой, лежащей под углом 45°, тем лучше обучена искусственная нейронная сеть. Нам удалось обучить искусственную нейронную сеть до уровня 0.75% — средняя ошибка и 19% — максимальная ошибка определения отдельного выходного параметра.
V9ann (m/s) V15ANN (m/s)
Рис. 2. Корреляционные кривые, полученные на данных, не участвовавших в обучении,
для a) ti и t2 ; b) V3; c) Vg ; d) V15
Из рис. 2 видно, что нейросеть хорошо определяет время ¿1, когда ударная волна достигает тыльной поверхности мишени, и характерное время волны ¿2. Точность определения отдельных точек скорости тыльной поверхности ниже. Возможно, это связано с тем, что есть разреженные области значений скоростей тыльной поверхности, что препятствует лучшему обучению нейросети. С другой стороны, профиль скорости тыльной поверхности имеет область резкого роста скорости, и максимальная ошибка в 19 % для отдельной точки в этой области — не такая большая величина.
На рис. 3 приведено сравнение профилей скорости тыльной поверхности, полученных с помощью искусственной нейронной сети и модели. Мы выбрали случаи из областей с минимальной и максимальной ошибкой. В области минимальной ошибки (рис. 3 (а)) нейросеть очень хорошо описывает профиль скорости тыльной поверхности. Для области с максимальной ошибкой (рис. 3 (Ь)) можно отметить, что ошибка определения искусственной нейронной сетью какого-либо выходного параметра не влияет на определение других выходных параметров.
0,4 0,8 1,2 1,6 2 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1
й'те (цб) й'те (цб)
Рис. 3. Сравнение профилей скорости тыльной поверхности, полученных с помощью модели и искусственной нейронной сети. Профили скорости тыльной поверхности приведены для случаев минимальной (а) и максимальной (Ъ) ошибки искусственной нейронной сети
Байесовский подход калибровки модели, вместо которой использовалась обученная нейронная сеть, был использован для определения параметров модели вещества по профилям скорости тыльной поверхности. В роли эталонных данных были выбраны две кривые из пакета данных, не участвовавших в обучении нейронной сети, для минимальной и максимальной погрешности, соответствующие профилям, приведённым на рис. 3. Так как у нас есть эталонная кривая, значит, мы знаем, при каких условиях она была получена. Поэтому можно считать, что толщина ударника Н1, толщина мишени Н2, скорость удара и, а также объёмная скорость звука о8 известны (в реальной ситуации они заданы условиями эксперимента). Остаётся определить только два параметра модели вещества — ^ т и Уп.
На рис. 4 представлены карты вероятности параметров модели, полученные с помощью байесовского подхода. В случае минимальной ошибки искусственной нейронной сети алгоритм Байеса с эмулятором модели в виде искусственной нейронной сети с хорошей точностью определил ^т и Уп (рис. 4 (а)). В случае максимальной ошибки искусственной нейронной сети точность определения ^ т и Уп не превышает точности искусственной нейронной сети.
18 Т 1§ Т
Рис. 4. Карта параметров модели, полученная с помощью байесовского подхода калибровки
модели и искусственной нейронной сети. Результаты приведены для случая минимальной ошибки нейросети (а) и максимальной ошибки нейросети (Ъ)
Следует также отметить, что применение искусственной нейронной сети в качестве скоростного эмулятора модели позволило существенно сократить время проведения расчётов. Так, например, карта распределения вероятности параметров модели, представленная на рис. 4, была построена по 100000 розыгрышей наборов параметров. Построение этой карты на обычном офисном ноутбуке с процессором 15-8250И заняло порядка 10 мин. Один расчёт (один набор параметров) с помощью модели на этом процессоре занимает от 2 до 4 часов, в зависимости от толщин соударяющихся пластин.
Заключение
На основе континуальной модели динамики вещества, описывающей высокоскоростное соударение пластин, насчитаны профили скорости тыльной поверхности и сформированы наборы данных для обучения искусственной нейронной сети, а также проверки точности её работы. Каждый из этих наборов состоит из 15000 численных экспериментов по соударению пластин и включает входные параметры (параметры удара — толщины пластин, скорость удара — и параметры модели вещества — скорость звука, характерное время релаксации и статический предел текучести) и выходные параметры (время достижения ударной волной тыльной поверхности, характерное время ударной волны и 20 точек профиля скорости тыльной поверхности). Искусственную нейронную сеть удалось обучить до такого уровня, что на валидационных данных, не участвовавших в обучении, средняя ошибка составила 0.75 %, а максимальная ошибка — 19 % для определения отдельного выходного параметра.
Обученная искусственная нейронная сеть была использована как быстрый эмулятор модели. С помощью искусственной нейронной сети и байесовского алгоритма калибровки модели удалось определить параметры модели материала по профилю скорости тыльной поверхности, т. е. решить обратную задачу. Точность определения параметров модели материала соответствует точности, с которой обучена искусственная нейронная сеть.
Список литературы
1. Barker L.M., Hollenbach R. E. Laser interferometer for measuring high velocities of any reflecting surface // Journal of Applied Physics. 1972. Vol. 43, no. 11. P. 4669-4672.
2. Garkushin G. V., KannelG.I., Razorenov S. V., SavinykhA. S. Anomaly in the dynamic strength of austenitic stainless steel 12Cr19Ni10Ti under shock wave loading // Mechanics of Solids. 2017. Vol. 52, no. 4. P. 407-416.
3. De ResseguierT., HemeryS., LescouteE., VillechaiseP., KannelG.I., Razorenov S. V. Spall fracture and twinning in laser shock-loaded single-crystal magnesium // Journal of Applied Physics. 2017. Vol. 121, no. 16. P. 165104.
4. Zaretsky E. B., KannelG.I. The high temperature impact response of tungsten and chromium // Journal of Applied Physics. 2017. Vol. 122, no. 11. P. 115901.
5. Saveleva N. V., Bayandin Y. V., Savinykh A. S., Garkushin G. V., Razorenov S.V., NaimarkO.B. The formation of elastoplastic fronts and spall fracture in AMg6 alloy under shock-wave loading // Technical Physics Letters. 2018. Vol. 44, no. 9. P. 823-826.
6. Mayer A. E., Krasnikov V. S., Mayer P. N., Pogorelko V. V. Multiscale models of metal behavior and structural change under the action of high-current electron irradiation // Journal of Physics: Conference Series. 2017. Vol. 830, no. 1. P. 012072.
7. PopovaT.V., Mayer A. E., Khishchenko K. V. Evolution of shock compression pulses in polymethylmethacrylate and aluminum // Journal of Applied Physics. 2018. Vol. 123. P. 235902.
8. BeniwalA., DadhichR., AlankarA. Deep learning based predictive modeling for structure property linkages // Materialia. 2019. Vol. 8. P. 100435.
9. Frankel A. L., Jones R. E., Alleman C., Templeton J. A. Predicting the mechanical response of oligocrystals with deep learning // Computational Material Science. 2019. Vol. 169. P. 109099.
10. LiX., RothC.C., MohrD. Machine-learning based temperature- and rate-dependent plasticity model: Application to analysis of fracture experiments on DP steel // International Journal of Plasticity. 2019. Vol. 118. P. 320-344.
11. Pandya K. S., Roth C. C., Mohr D. Strain rate and temperature dependent fracture of aluminum alloy 7075: Experiments and neural network modeling // International Journal of Plasticity. 2020. Vol. 135. P. 102788.
12. Zhang A., MohrD. Using neural networks to represent von Mises plasticity with isotropic hardening // International Journal of Plasticity. 2020. Vol. 132. P. 102732.
13. Gracheva N. A., LekanovM.V., Mayer A. E., FominE.V. Application of neural networks for modeling shock-wave processes in aluminum // Mechanics of Solids. 2021. Vol. 56, no. 3. P. 326-342.
14. Tohme T., Vanslette K., Youcef-Toumi K. A generalized Bayesian approach to model calibration // Reliability Engineering and System Safety. 2020. Vol. 204. P. 107141.
15. Khishchenko K. V., Mayer A. E. High- and low-entropy layers in solids behind shock and ramp compression waves // International Journal of Mechanical Science. 2021. Vol. 189. P. 105971.
Поступила в редакцию 10.12.2022.
После переработки 21.01.2023.
Сведения об авторах
Погорелко Виктор Владимирович, кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник кафедры общей и теоретической физики, Челябинский государственный университет, Челябинск, Россия; e-mail: vik_ko83@mail.ru.
Майер Александр Евгеньевич, доктор физико-математических наук, ведущий научный сотрудник кафедры общей и теоретической физики, Челябинский государственный университет, Челябинск, Россия; e-mail: mayer.al.evg@gmail.com.
Фомин Евгений Владимирович, кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник кафедры общей и теоретической физики, Челябинский государственный университет, Челябинск, Россия; e-mail: fomin33312@gmail.com.
Федоров Евгений Владимирович, студент физического факультета, лаборант-исследователь кафедры общей и теоретической физики, Челябинский государственный университет, Челябинск, Россия; e-mail: ermine2001@mail.ru.
Chelyabinsk Physical and Mathematical Journal. 2023. Vol. 8, iss. 1. P. 129-139.
DOI: 10.47475/2500-0101-2023-18112
EMULATION OF HIGH-SPEED PLATE COLLISION WITH AN ARTIFICIAL NEURAL NETWORK
V.V. Pogorelkoa, A.E. Mayerb, E.V. Fominc, E.V. Fedorovd
Chelyabinsk State University, Chelyabinsk, Russia avik_ko83@mail.ru, bmayer.al.evg@gmail.com, cfomin33312@gmail.com, dermine2001@mail.ru
Based on a continuum model of high-speed impact of plates, a set of training data is constructed, according to which an artificial neural network was trained to determine the velocity profile of the rear surface of the target plate from the impact parameters and parameters of the material model. The trained neural network was used as a fast emulator of high speed plate impact. The use of the Bayesian approach to the model calibration made it possible to solve the inverse problem of determining the parameters of the material model from the velocity profile of the rear surface.
Keywords: continuum model of matter dynamics, artificial neural network, Bayesian approach to model calibration.
References
1. Barker L.M., Hollenbach R.E. Laser interferometer for measuring high velocities of any reflecting surface. Journal of Applied Physics, 1972, vol. 43, no. 11, pp. 4669-4672.
2. Garkushin G.V., KannelG.I., Razorenov S.V., SavinykhA.S. Anomaly in the dynamic strength of austenitic stainless steel 12Cr19Ni10Ti under shock wave loading. Mechanics of Solids, 2017, vol. 52, no. 4, pp. 407-416.
3. De Resseguier T., HemeryS., LescouteE., Villechaise P., KannelG.I., Razorenov S.V. Spall fracture and twinning in laser shock-loaded single-crystal magnesium. Journal of Applied Physics, 2017, vol. 121, no. 16, p. 165104.
4. Zaretsky E.B., Kannel G.I.The high temperature impact response of tungsten and chromium. Journal of Applied Physics, 2017, vol. 122, no. 11, p. 115901.
5. Saveleva N.V., Bayandin Y.V., SavinykhA.S., Garkushin G.V., Razorenov S.V., Naimark O.B. The formation of elastoplastic fronts and spall fracture in AMg6 alloy under shock-wave loading. Technical Physics Letters, 2018, vol. 44, no. 9, pp. 823-826.
6. Mayer A.E., Krasnikov V.S., Mayer P.N., Pogorelko V.V. Multiscale models of metal behavior and structural change under the action of high-current electron irradiation. Journal of Physics: Conference Series, 2017, vol. 830, no. 1, p. 012072.
7. PopovaT.V., Mayer A.E., Khishchenko K.V. Evolution of shock compression pulses in polymethylmethacrylate and aluminum. Journal of Applied Physics, 2018, vol. 123, p. 235902.
8. Beniwal A., Dadhich R., Alankar A. Deep learning based predictive modeling for structure property linkages. Materialia, 2019, vol. 8, p. 100435.
9. FrankelA.L., Jones R.E., AllemanC., Templeton J.A. Predicting the mechanical response of oligocrystals with deep learning. Computational Material Science, 2019, vol. 169, p. 109099.
10. LiX., RothC.C., MohrD. Machine-learning based temperature- and rate-dependent plasticity model: Application to analysis of fracture experiments on DP steel. International Journal of Plasticity, 2019, vol. 118, pp. 320-344.
11. Pandya K.S., Roth C.C., Mohr D. Strain rate and temperature dependent fracture of aluminum alloy 7075: Experiments and neural network modeling. International Journal of Plasticity, 2020, vol. 135, p. 102788.
12. Zhang A., MohrD. Using neural networks to represent von Mises plasticity with isotropic hardening. International Journal of Plasticity, 2020, vol. 132, p. 102732.
13. Gracheva N.A., LekanovM.V., Mayer A.E., FominE.V. Application of neural networks for modeling shock-wave processes in aluminum. Mechanics of Solids, 2021, vol. 56, no. 3, pp. 326-342.
14. TohmeT., VansletteK., Youcef-Toumi K. A generalized Bayesian approach to model calibration. Reliability Engineering and System Safety, 2020, vol. 204, p. 107141.
15. Khishchenko K.V., Mayer A.E. High- and low-entropy layers in solids behind shock and ramp compression waves. International Journal of Mechanical Science, 2021, vol. 189, p. 105971.
Accepted article received 10.12.2022.
Corrections received 21.01.2023.
