CC BY
27
МЕХАНИКА
Челябинский физико-математический журнал. 2016. Т. 1, вып. 3. С. 92-107. УДК 539.3
ДИНАМИЧЕСКАЯ ДЕФОРМАЦИЯ ПММА: ВЛИЯНИЕ ВЯЗКОУПРУГИХ СВОЙСТВ
Т. В. Попова1", А. Е. Майер16, К. В. Хищенко2с
1 Челябинский государственный университет, Челябинск, Россия
2 Объединённый институт высоких температур РАН, Москва, Россия "tatyana_maskaeva@mail.ru, 6mayer@csu.ru, сkonst@ihed.ras.ru
Ранее с использованием Ш моделирования на основе модели Максвелла было показано, что вязкоупругие свойства полиметилметакрилата, с одной стороны, влияют на скорость слабых ударных волн, с другой — имеют незначительное влияние на затухание импульса сжатия. В данной работе мы обобщаем модель деформации ПММА на 2Б случай и используем её для дальнейших исследований. Проводим 2Б моделирование динамики расходящейся ударной волны, генерируемой импульсом давления, приложенного к поверхности ПММА и высокоскоростного соударения пластин ПМ-МА. Эти расчёты также показывают, что вязкоупругие свойства слабо влияют на динамику импульса сжатия в ПММА, но, по существу, определяют форму сталкивающихся пластин. Полученные результаты означают, что расчёты в гидродинамическом приближении могут быть использованы для оценки экспериментальной отколь-ной прочности ПММА.
Ключевые слова: полимерный материал, полиметилметакрилат, ударная волна, вяз-коупругая среда, модель Максвелла.
Введение
Свойства полимерных материалов, таких как полиметилметакрилат (ПММА), меньше исследованы, чем свойства металлов [1-6]. В то же время ПММА получил широкое распространение в исследовании ударных процессов, применяется в нанотехнологиях и при проведении взрывных испытаний [6], что обусловливает необходимость исследования его динамических свойств [7]. Это соединение используется, в частности, в термоядерных мишенях, а также является промежуточной прослойкой в высокоскоростных метательных устройствах [8-17].
Одним из существенных явлений при динамическом нагружении материала является явление откола [18]. Это явление возникает на тыльной (свободной), стороне мишени в результате отражения импульса давления (сжатия), генерируемого действием ударника или импульса лазерного излучения на её лицевой поверхности. На некотором расстоянии от тыльной поверхности давление в мишени может стать отрицательным, причём растягивающее напряжение может превысить предел прочности материала на разрыв, что приведёт к образованию откольного слоя,
Работа выполнена при поддержке Министерства образования и науки РФ (проектная часть государственного задания, задание № 3.1334.2014/К) и грантов Президента РФ (МД-7481.2016.1, НШ-10174.2016.2), Российского фонда фундаментальных исследований (№ 14-08-00967).
который отделится и отлетит от исходного образца. Одним из методов определения откольной прочности, в том числе и ПММА, является лазерное короткоимпульс-ное облучение и наблюдение глубины откола. Численное моделирование динамики ударных волн с расчётом величины отрицательного давления и скорости деформации в точке нахождения откольной плоскости необходимы для интерпретации полученных данных в таких экспериментах [18; 19]. Такие подходы чувствительны к тому, насколько правильно проведены расчёты. Чаще всего расчёты проводятся в гидродинамическом приближении. В то же время известно, что полимеры проявляют себя как вязкоупругие вещества. В статье [20] для металлов было показано, что пластические свойства сильно влияют на затухание ударных волн. Следовательно, важным является вопрос, насколько влияют вязкоупругие свойства полимеров на изменение амплитуды ударной волны с глубиной.
Ранее в работе [21], используя Ш моделирование на основе модели Максвелла, показали, что вязкоупругие свойства полиметилметакрилата, с одной стороны, влияют на скорость слабых ударных волн, с другой — имеют незначительное влияние на затухание импульса сжатия. Боковая разгрузка становится существенной в случае лазерного облучения с конечным диаметром луча, что требует, по крайней мере, 2В моделирования. В данной работе мы обобщаем модель деформации ПММА на 2В случай и используем её для дальнейших исследований. Мы проводим 2В моделирование высокоскоростного соударения пластин ПММА и динамики расходящейся ударной волны, генерируемой импульсом давления, приложенного к поверхности ПММА. В последнем случае динамика вещества моделируется в рамках модели Максвелла по сравнению с гидродинамическим приближением.
1. Математическая модель
Запишем основную систему уравнений механики сплошных сред [22]
dp dvk
~dt — dxk'
dvi — d<7ik
plt dxk '
dE dvi
}~dt — - 7ik n dxk
(3)
где — вектор скорости вещества; р — плотность; = —РЬгк + Бгк — полное напряжение; Р — давление; Бц- — девиатор напряжения; Е — внутренняя энергия; здесь и далее используется правило суммирования по немым индексам. Система состоит из уравнения непрерывности (1), уравнения движения (2) и уравнения для внутренней энергии (3). Систему следует дополнить уравнением для девиатора напряжений (закон Гука) [23]
Sik — 2G
Uik - 3 bikUii - Wik
(4)
где Wik — компонента тензора пластической деформации, G — модуль сдвига; Uik — компонента тензора макроскопической деформации, определяемая макроскопическим движением вещества
duik 1 (dvi 3vk\ ,
+ + Oik,
dt 2 \ dxk dx.
где вгк — добавочная компонента, которая учитывает вращение элемента объёма по отношению к системе координат.
Скорость, давление и плотность будем относить к определённым частицам сплошной среды, передвигающимся в пространстве с течением времени. Уравнения (1)-(5) следует дополнить уравнением состояния полимерных материалов и уравнением для девиатора напряжений с моделью вязкоупругости, тогда мы получим полную систему, которая позволит описать деформацию ПММА.
2. Модель вязкоупругости
Поведение полимерных материалов можно классифицировать как вязкоупру-гое [24-26]. В работе [21] мы использовали модель Максвелла для принятия этого свойства во внимание. В случае одноосной деформации ПММА эта модель даёт следующее соотношение для компоненты тензора пластической деформации:
- 1 ( 2ихх - тхх - ^ ) х в (|5Хх| - Уь) , (6)
<И т V3 20,
где т = п/0 — характерное время релаксации сдвиговых напряжений, ц — коэффициент вязкости, уь — статический предел текучести, в — функция Хевисайда.
Обобщим уравнение (6) на двумерный случай. Это уравнение считаем записанным в главных осях. Поворот необходим для перехода к главным осям. Рассмотрим вспомогательную систему координат, которая повёрнута относительно лабораторной системы координат на угол (р. Следующее значение угла необходимо для перехода к главным осям:
<Р =-агс1ап( ^—х^г). (7)
2 V £УУ £хх /
Максимальное касательное напряжение в главных осях равно полуразности главных напряжений
Бх'х' — £у'у' /п\
=-2-' (8)
где _
£х'х' = 2(^УУ + ^хх) + , (9)
£у'у' = -(£УУ + £хх) — -У^уу — £хх) + 45^. (10)
Дифференциальная формулировка приращения тензора пластической деформации, которая определяет касательное напряжение из закона Гука, имеет следующий вид:
dwx/x/ 1/4 .
-От - Уь) X в
<1 20т " ^ - УИ . (11)
Пластическая деформация сохраняет объём, предполагаем /шх'х' = 0, тогда имеем
Ашх'х' _ Ашу'у' (12)
dt dt
Наконец, уравнения для пластической деформации в лабораторной системе координат
dw dw
cos (2^) + Oxx,
sin(2^) + Oxy, (13)
— cos (2^) + Oyy,
dwxx dwxixi
dt = dt
dwxy dwxixi
dt dt
dwyy dwx'
dt dt
где Огк — добавочная компонента, которая учитывает вращение элемента объёма по отношению к системе координат, аналогично в уравнении (5). Полученные уравнения представляют собой модель вязкоупругости для 2В случая.
3. Калорическое уравнение состояния
Для расчёта зависимости давления от удельного объёма и внутренней энергии Е используется калорическое уравнение состояния [27; 28]. Калорическая модель уравнения состояния [27] задаётся в простом аналитическом виде и выражает связь внутренней энергии, давления и объёма, позволяя эффективно описать термодинамические свойства различных материалов как при сжатии, так и при расширении
Р (V, Е) = Рс (V) + Г (V, Е)/У [Е - Ес (V)] , (14)
где Ес (V) и Рс (V) = —dEc/dV — упругие составляющие энергии и давления; а коэффициент Г (V, Е) задаёт вклад тепловых компонент в уравнение состояния. В качестве объёмной зависимости энергии упругого сжатия используется потенциал
Ес (V) = БCУC (< - \ + Еа, (15)
т — п \ т п )
где ос = V0c/V , Ц0с и Б0с — удельный объём и модуль упругого сжатия при Р = 0 и Т = 0К. Величина Е^, имеющая смысл характерной энергии деструкции вещества, определяется из нормировочного условия Ес (Voc) = 0, которое приводит к соотношению
ЕЛ = БCУC. (16)
тп
Зависимость коэффициента Г от объёма и энергии определяется в виде
Г^,Е) = Ъ +-Лс ^) — 7г-, (17)
1 + о- [Е — Ес (V)]/Е0
(T2n + ln2 (7m
Yc (V) = 2/3 + (yoc - 2/3) 2 + ,'2 ( / ), (18)
722 + ln2 (7/7m)
где 7 = V0/V, V0 — значение удельного объёма при нормальных условиях. В рамках калорического потенциала также может быть определена адиабатическая скорость звука
cs = V (-dP/dV)f = V[P(дР/дЕ)v - (dP/dV)E]1/2. (19)
Аналитическое выражение для коэффициента Грюнайзена [27; 28] следующее:
Y = V(дР/дЕ)v = Yi + (Г (V, Е) - 7г)/(1 + 7С"2/3[Е - Ес (V)]/Еа). (20) 4. Результаты и обсуждение
Численное решение уравнений механики сплошной среды осуществляется с использованием численного метода, предложенного в работе [29] . Стандартная схема испытаний состоит в плоском высокоскоростном соударении пластины ударника и пластины мишени [30]: ударник налетает на образец, инициируя ударную волну. Ударная волна представляет собой скачок уплотнения, распространяющийся со сверхзвуковой скоростью, — это тонкая переходная область, в которой происходит резкое увеличение плотности, давления и скорости вещества. После циркуляции
ГЧши
ударной волны в ударнике образуется волна разрежения, которая затем распространяется в образце вслед за ударной волной.
В экспериментах [10] ударная волна распространяется по образцу толщиной 6.35 мм; тыльная поверхность образца была прикреплена к окну, через которое осуществлялось наблюдение. Толщина ударника также составляет 6.35 мм (см рис. 1). Материалом ударника, мишени и окна является ПММА. В опытах реализуется непрерывная регистрация скорости границы образца и окна для различных скоростей удара. В работе [21] мы получили хорошее совпадение профиля скорости, рассчитанного с использованием модели Максвелла, и экспериментальных данных работы [10] для фронта ударной волны. Для формы волны разгрузки совпадение несколько хуже. Результаты работы [21] качественно соответствуют результатам расчётов [24; 25], где также использовалась модель Максвелла. Результаты, представленные в работе [21], были рассчитаны со следующими параметрами: О = 1.5 ГПа , т = 0.4 мкс, уь = 38МПа. Последние два параметра были найдены в работе [21] для наилучшего совпадения с экспериментальными данными работы [10]. Этот набор параметров используется в настоящей работе.
Разработанная 2В модель проверена путём сравнения с экспериментальными результатами и Ш моделированием. Для сравнения с экспериментальными данными работы [10] постановка задачи такая же, как обсуждалось в работе [21], за исключением конечного размера мишени и ударника в направлении, поперечном к направлению удара. Размер расчётной области составляет 25 мм х 50 мм; используется численная сетка 100 х 200 ячеек. Толщина расчётной области 25 мм включает в себя толщину ударника 6.35 мм, толщину мишени 6.35 мм и толщину окна 12.3 мм (рис. 1); все части выполнены из ПММА.
Влияние боковой разгрузкой показано на рис. 2-4 для скорости удара 645 м/с. На рис. 2 приведено пространственное распределение давления в моменты времени 1.5 и 9 мкс от начала воздействия. Графики показывают распространение ударной волны в мишени вдоль оси х с течением времени. На первом графике показано, как ударная волна возникает, на втором — Рис 1 Стандартная схема
испытаний свойств материала
её распр°странение, на третьем — её отражение состоит в плоском высокоскоростном от свободной поверхности с образованием волны соударении пластины мишени и разрежения. Рис. 3 показывает пространственное пластины ударника
распределение компонент девиатора напряжений. Боковая разгрузка изменяет диагональные компоненты (рис. 3 (а, Ь)) и приводит к возникновению недиагональных (рис. 3 (с)). На рис. 4 показано пространственное распределение компонент тензора пластической деформации. Пластическая деформация максимальна вблизи боковой поверхности, где изменяется форма образца ПММА (это изменение не отображается на графиках с интерполяцией на прямоугольной области).
Рисунок 5 показывает сравнение с экспериментальными профилями скорости из работы [21]. В 2В-моделировании скорость тыльной поверхности берётся на границе между мишенью и окном в центральной плоскости системы, с тем чтобы исключить влияние боковой разгрузки. Наблюдается хорошее совпадение расчётных и экспериментальных данных, как и в Ш случае [21]. Профиль волны характеризуется первоначальным резким (в течение порядка наносекунды) ростом скорости вещества до значения около двух третей от максимальной величины. Далее следует плавное нарастание скорости вещества до пикового значения, затем скорость некоторое время остаётся постоянной вплоть до прихода волны разрежения.
■4-М-
I
зс О
Рис. 2. Пространственное распределение давления в последующие моменты времени: пластина
ПММА налетает со скоростью 645 м/с
Рис. 3. Пространственное распределение компонент девиатора напряжений: пластина ПММА
налетает со скоростью 645 м/с
На рис. 6 показаны профили внешних границ расчётной области, полученные в гидродинамическом и вязкоупругом приближении. Начальная форма области до столкновения была прямоугольная; деформация вещества изменила эту форму. В случае гидродинамического приближения полученный профиль имеет типичную форму: есть выступ вблизи плоскости соударения, вызванный градиентом давления. В случае вязкоупругого приближения профиль сохраняет свою форму в большей степени. В этом случае также есть пластическое течение, но оно ограничено эластичностью и имеет тенденцию поддерживать форму.
В работе [21] представлены результаты сравнения численных расчётов с экспериментальными данными [10; 32-37] для зависимости скорости ударной волны от скачка скорости вещества на ней. Поскольку результаты интересны и важны для общей картины, они показаны на рис. 7. Расчёты выполнены в вязкоупругом приближении (модель Максвелла), а также в гидродинамическом приближении. Для
Рис.
4. Пространственное распределение компонент тензора пластической деформации: пластина ПММА налетает со скоростью 645 м/с
Рис. 5. Профили скорости тыльной поверхности образцов ПММА: расчёты с использованием представленной модели в сравнении с экспериментальными данными
интенсивных ударных волн результаты расчётов по обеим моделям различаются несущественно и соответствуют экспериментальным данным. В интервале низких скоростей частиц учёт вязкоупругих свойств позволяет добиться лучшего совпадения с экспериментальными данными. При стремлении интенсивности ударной волны к нулю её скорость стремится к величине, превышающей объёмную скорость звука.
О 10 20 30
X (мм)
Рис. 6. Профиль образца и ударника после столкновения: сравнение вязкоупругого
Т.Т I'll IT W I I I f [ I VI \ I I f I It <1 -I,-1 ,11 , I IT 1 I f I I f -.!<'! 4111 <.[ UT U > \ T <.[
1 a
5 i—
о M
=
t! О a
is о К Q. cd 4
нЭ H o о
Рн
о Ьй о
4.5 -
□ □ □ др. данные - числ. расчет
числ. расчет G=0 Barker, Hollenbach
0.4 0.8 1.2 1.6
скорость частицы (мм /мкс) Рис. 7. Зависимость скорости ударной волны от скачка скорости вещества на ней из работы [21]: сравнение численного моделирования в гидродинамическом и вязкоупругом приближении с экспериментальными данными: Barker and Hollenbach — из [10], «др. данные» — из [31-36]
Г'
На рис. 8 представлены зависимости амплитуды ударной волны от глубины, которые отражают ослабление импульса сжатия вследствие взаимодействия удар-
Рис. 8. Пространственное распределение максимальных значений полного напряжения в ПММА для плоских ударных волн. Импульс давления амплитуды 1 ГПа (а) и 10 ГПа (Ь); длительность
импульса 2.5 нс, 0.5 нс и 70 пс
ной волны и волны разгрузки в процессе распространения в глубь мишени. Эти зависимости рассчитаны в одномерной постановке и связаны с плоскими ударными волнами.
На границе создаётся импульс давления на поверхности ПММА конечного времени воздействия величиной нано- и пикосекундного диапазона. После окончания импульса давления волна разгрузки формируется и распространяется вслед за ударной волной. Приведены результаты расчётов в гидродинамическом (пунктирная линия) и вязкоупругом (сплошная линия) приближениях. По оси ординат и абсцисс используется логарифмическая шкала. Амплитуда ударной волны сначала остаётся постоянной вплоть до точки, в которой волна разгрузки от свободной поверхности догоняет фронт ударной волны. Далее после взаимодействия ударной волны с волной разгрузки амплитуда начинает уменьшаться, наблюдается резкий спад напряжения, который можно увидеть на рис. 8. Волна разгрузки достигает ударную волну на глубине от 1 до 50 мкм для рассматриваемых длительностей импульсов. Рис. 8 показывает, что динамика ударной волны не сильно отличается в вязкоупругом и гидродинамическом случаях в исследованном диапазоне длительностей импульса.
Подобно Ш случаю мы исследуем влияние вязкоупругих свойств ПММА на затухание ударной волны. Расходящаяся ударная волна инициируется импульсом давления, приложенного к передней поверхности мишени ПММА линейным раз-
м
Рис. 9. Схема импульсного воздействия давления на мишень в 2Б-моделировании
10 20 30 "0 10 20 30 "0 10 20 30
х(мкм) х(мкм) х(мкм)
Рис. 10. Пространственное распределение давления Р и интенсивности сдвиговых напряжений Эту. Действие импульса давления с амплитудой 45 ГПа и длительностью 0.5 нс на площадке линейным размером 33 мкм на передней поверхности образца ПММА
мером 33 мкм вблизи центра передней поверхности (см. рис. 9). Давление на этой области сохраняется постоянным в течение длительности импульса и становится равным нулю после этого. На рис. 10 приведены результаты расчётов для импульса давления амплитудой 45 ГПа и длительностью импульса 0.5 нс, а также 10 ГПа и 1.5 нс. Показано пространственное распределение давления и интенсивности сдви-
0.001 0.01
х (мм)
Рис. 11. Глубина распределения максимального значения напряжения в ПММА для цилиндрически расходящейся ударной волны. Представлены два импульса давления с параметрами 45 ГПа, 0.5 нс и 10 ГПа, 1.5 нс. Расчёты в гидродинамическом (пунктирная линия) и вязкоупругом (сплошная линия) приближении
говых напряжений = (£Хх + Буу + Бхх • Буу + $Ху) . Плоская ударная волна становится цилиндрически расходящейся с течением времени; её амплитуда быстро убывает. Сдвиговые напряжения пренебрежимо малы на начальном этапе, но постепенно они становятся сравнимыми с давлением.
На рис. 11 показаны зависимости амплитуды ударной волны от глубины; приведены результаты расчётов в гидродинамическом и вязкоупругом приближении. Распределения по глубине приведены вдоль оси х в центральном поперечном сечении образца (см. рис. 10); максимальное продольное напряжение — атах = Р — Бхх представлено в случае вязкоупругих расчётов. Расчётные зависимости для гидродинамических и вязкоупругих случаев практически одинаковы. Таким образом, аналогично Ш случаю в 2Б случае динамика ударных волн не сильно отличается для вязкоупругого и гидродинамического приближения. Эти результаты отличаются от ранее исследованного случая для металлов [20], где была обнаружена значительная разница.
Заключение
Представлено обобщение модели деформации полимерного материала на 2Б случай. Исследовано затухание расходящихся ударных волн. Динамика вещества моделируется в рамках модели Максвелла в сравнении с гидродинамическим приближением. Показано, что упругопластические свойства влияют на скорость слабых ударных волн и на форму, которую примут мишень и ударник в результате соударения (в 2Б случае). С другой стороны, особого влияния на затухания ударных волн нет как в одномерном, так и в двумерном случае. Это означает, что расчёты в гидродинамическом приближении могут быть использованы для оценки экспериментальной откольной прочности ПММА. Это поведение отличается от ранее исследованного случая для металлов, где пластические свойства являются более важными.
Список литературы
1. Kanel, G. I. Shock response of magnesium single crystals at normal and elevated temperatures / G. I. Kanel, A. S. Garkushin // J. of Applied Physics. — 2014. — Vol. 116. — P. 143504.
2. Kanel, G. I. Deformation resistance and fracture of iron over a wide strain rate range / G. I. Kanel, S. V. Razorenov // Physics of Solid State. — 2014. — No. 564. — P. 1569-1573.
3. Razorenov, S. V. Shock-wave response of Ni-Ti shape memory alloys in the transformation temperature range / S. V. Razorenov, G. V. Garkushin // AIP Conf. Proc. — 2009. — Vol. 1195. — P. 1027.
4. Garkushin, G. The resistance to deformation and facture of magnesium ma2-1 under shock-wave loading at 293 K and 823 K of the temperature / G. Garkushin, G. I. Kanel, S. V. Razorenov // AIP Conf. Proc. — 2012. — No. 1426. — P. 935-938.
5. Response of seven crystallographic orientations of sapphire crystals to shock stresses of 1686 GPa / G. I. Kanel, W. J. Nellis, A. S. Savinykh, S. V. Razorenov, A. M. Rajendran // J. of Applied Physics. — 2009. — Vol. 106. — P. 043524.
6. Ударно-волновые явления в конденсированных средах / Г. И. Канель, С. В. Разоренов, А. В. Уткин, В. Е. Фортов. — М. : Янус-К, 1996. — 408 с.
7. Глухих, В. А. Физико-технические основы УТС / В. А. Глухих, В. А. Беляков, А. Б. Минеев. — СПб. : Изд-во Политехн. ун-та, 2006. — 348 с.
8. Preparation of polymer nanocomposites by explosive processing / N. A. Adamenko, A. V. Kazurov, A. V. Fetisov, G. V. Agafonova // Nanotechnology. — 2009. — Vol. 45. — P. 85-92.
9. Liddiard Jr., T. P. The compression of polymethyl methacrylate by low amplitude shock waves / T. P. Liddiard Jr. // Fourth Symp. on Detonation. — 1965. — P. 214-221.
10. Barker, L. M. Shock-Wave Studies of PMMA, Fused Silica, and Sapphire / L. M. Barker, R. E. Hollenbach // J. of Applied Physics. — 1970. — Vol. 41, no. 10. — P. 4208-4226.
11. Пархоменко, И. П. Откольная прочность плексигласа / И. П. Пархоменко, А. В. Уткин // Исследование свойств веществ в экстремальных условиях : сб. науч. тр. — М. : ИВТАН, 1990. — С. 126-130.
12. Arzhakov, M. S. Features of the physicomechanical behavior of polymethyl methacrylat under compression / M. S. Arzhakov, G. M. Lukovkin, S. A. Arzhakov // Doklady Chemistry. — 2002. — Vol. 382, no. 1-3. — P. 1-4.
13. Куготова, А. М. Сравнительный анализ процессов разрушения полиметил-метакрилата высокоскоростным ударом и импульсным лазерным воздействием /
A. М. Куготова, Б. И. Кунижев // Изв. Кабардино-Балкар. гос. ун-та. — 2014. — Т. 4, № 3. — С. 44-47.
14. Лазерное разрушение пластифицированного полиметилметакрилата / В. Н. Генкин,
B. А. Извозчикова, М. С. Китай, М. Ю. Мыльников // Квантовая электроника. — 1985. — T. 12, № 11. — С. 2282-2289.
15. Исследование механических свойств алюминия, сплава AMg6M и полиметилмета-крилата при высоких скоростях деформирования под действием лазерного излучения пикосекундной длительности / С. А. Абросимов [и др.] // Докл. Акад. наук. — 2012. — Т. 442, № 6. — С. 752-754.
16. Особенности поведения вещества в области отрицательных давлений, создаваемых действием лазерного импульса пикосекундной длительности / С. А. Абросимов [и др.] // Квант. электроника. — 2013. — Т. 43, № 3. — C. 246-251.
17. Specific features of spallation processes in polymethylmethacrylate / A. A. Geras'kin [et al.] // Contributions to Plasma Physics. — 2009. — Vol. 49, no. 7. — P. 451-454.
18. Zel'dovich, Ya. B. Physics of shock waves and high-temperature hydrodynamic phenomena / Ya. B. Zel'dovich, Yu. P. Raizer. — New York : Academic Press, 1967. — 478 p.
19. McQueen, R. G. Ultimate Yield Strength of Copper / R. G. McQueen, S. P. Marsh // J. of Applied Physics. — 1962. — Vol. 33, no. 2. — P. 654-665.
20. Modeling of plasticity and fracture of metals at shock loading / A. E. Mayer, K. V. Khishchenko, P. R. Levashov, P. N. Mayer // J. of Applied Physics. — 2013. — Vol. 113. — P. 193508.
21. Popova, T. V. Numerical investigations of shock wave propagation in polymethylmethacrylate / T. V. Popova, A. E. Mayer, K. V. Khishchenko // J. of Physics: Conf. Ser. — 2015. — Vol. 653.
22. Ландау, Л. Д. Теоретическая физика. Т. VI. Гидродинамика / Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. — Изд. 4-е., стер. — М. : Наука, 1988. — 736 с.
23. Ландау, Л. Д. Теоретическая физика. Т. VII. Теория упругости / Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. — М. : Наука, 1965. — 204 c.
24. Мержиевский, Л. А. Моделирование деформирования и разрушения полимеров на основе максвелловского подхода / Л. А. Мержиевский, М. С. Воронин // Изв. Алтайс. гос. ун-та. — 2012. — № 1-1. — С. 95-98.
25. Мержиевский, Л. А. Моделирование ударно-волнового деформирования полиме-тилметакрилата / Л. А. Мержиевский, М. С. Воронин // Физика горения и взрыва. — 2012. — Т. 48, № 2. — C. 113-123.
26. Биргер, И. А. Сопротивление материалов : учеб. пособие / И. А. Биргер, Р. Р. Мав-лютов. — М. : Наука, 1986. — 560 с.
27. Lomonosov, I. V. A model of wide-range equations of state of polymeric materials at high energy densities / I. V. Lomonosov, V. E. Fortov, K. V. Khishchenko // Chemical Physics Rep. — 1995. — Vol. 14, no. 1-3. — P. 51-57.
28. Khishchenko, K. V. Equations of state for organic compounds over wide range of densities and pressures / K. V. Khishchenko, I. V. Lomonosov, V. E. Fortov // Shock Compression of Condensed Matter — 1995 / eds. S. C. Schmidt, W. C. Tao. — New York : AIP Press, 1996. — P. 125-128.
29. Яловец, А. П. Расчёт течений среды при воздействии интенсивных потоков заряженных частиц / А. П. Яловец // Приклад. механика и техн. физика. — 1997. — № 1. — С. 151-166.
30. Канель, Г. И. Ударные волны в физике конденсированного состояния / Г. И. Ка-нель, В. Е. Фортов, С. В. Разоренов // Успехи физ. наук. — 2007. — Т. 177, вып. 8. — С. 809-830.
31. Farshad, M. Determination of shear modulus and Poisson's ratio of polymers and foams by the anticlastic plate-bending method / M. Farshad, M. W. Wildenberg, P. Fliieler // Materials and Structures. — 1997. — Vol. 30. — P. 377-382.
32. Баканова, А. А. Сжатие щелочных металлов сильными ударными волнами / А. А. Баканова, И. П. Дудоладов, Р. Ф. Трунин // Физика твёрдого тела. — 1965. — Т. 27. — C. 42-51.
33. The equation of state of solids from shock wave studies / R. G. McQueen, S. P. Marsh, J. W. Taylor, J. N. Fritz, W. J. Carter // High Velocity Impact Phenomena / ed. R. Kinslow. — New York : Academic Press, 1970. — P. 293-417.
34. Van Thiel, M. Compendium of Shock Wave Data. Compendium Index / M. Van Thiel, J. Shaner, E. Salinas. — Lawrence Livermore National Lab Ca, 1977. — P. 528-539.
35. Marsh, S. P. LASL Shock Hugoniot Data / S. P. Marsh // Los Alamos Series on Dynamic Material Properties. — Berkeley : Univ. California Press, 1980. — 658 p.
36. Трунин, Р. Ф. Ударная сжимаемость конденсированных веществ в мощных ударных волнах подземных ядерных взрывов // Успехи физ. наук. — 1994. — Т. 164, № 11. — C. 1215-1237.
37. Максанова, Л. А. Полимерные соединения и их применения : учеб. пособие / Л. А. Максанова, О. Ж. Аюрова. — Улан-Удэ : Изд-во ВСГТУ, 2005. — 356 c.
38. Khishchenko, K. V. Shock Wave Database [Электронный ресурс] / K. V. Khishchenko, P. R. Levashov, I. V. Lomonosov. — URL: http:// www.ihed.ras.ru/rusbank/ (дата обращения: 21.08.2016).
Поступила в 'редакцию 14-09.2016 После переработки 09.10.2016
Сведения об авторах Попова Татьяна Васильевна, аспирантка, Челябинский государственный университет, Челябинск, Россия; e-mail: tatyana_maskaeva@mail.ru.
Майер Александр Евгеньевич, доктор физико-математических наук, заведующий кафедрой общей и прикладной физики, Челябинский государственный университет, Челябинск, Россия; e-mail: mayer@csu.ru.
Хищенко Константин Владимирович, кандидат физико-математических наук, заведующий лабораторией широкодиапазонных уравнений состояния, Объединённый институт высоких температур РАН, Москва, Россия; e-mail: konst@ihed.ras.ru.
Chelyabinsk Physical and Mathematical Journal. 2016. Vol. 1, iss. 3. P. 92-107.
DYNAMIC DEFORMATION OF PMMA:
THE INFLUENCE OF VISCOELASTIC PROPERTIES
T.V. Pop ova1", A.E. Mayer1'6, K.V. Khishchenko2c
1 Chelyabinsk State University, Chelyabinsk, Russia
2 Joint Institute for High Temperatures of the Russian Academy of Sciences, Moscow,
Russia
"tatyana_maskaeva@mail.ru, bmayer@csu.ru, ckonst@ihed.ras.ru
Earlier using 1D simulation within the framework of Maxwell model we showed that the viscoelastic properties of PMMA, on the one hand, affect velocity of weak shock waves, on the other hand, have a little influence on the compression pulse attenuation. In this paper we generalize the model of PMMA deformation onto 2D case and use it for further investigations. We perform 2D simulations of dynamics of a diverging shock wave generated by a pressure pulse applied to PMMA surface and high-velocity impact of PMMA plates. These simulations also show that the viscoelastic properties slightly affect the compression pulse dynamics in PMMA, but substantially determine the shape of colliding plates. The obtained results mean that calculations within the hydrodynamic approximation can be used for interpretation of the experiments on the rear spallation of PMMA.
Keywords: polymeric material, polymethylmethacrylate, shock wave, viscoelastic media,
Maxwell model.
References
1. Kanel G.I., Garkushin A.S. Shock response of magnesium single crystals at normal and elevated temperatures. Journal of Applied Physics, 2014, vol. 116, p. 143504.
2. Kanel G.I., Razorenov S.V. Deformation resistance and fracture of iron over a wide strain rate range. Physics of Solid State, 2014, no. 564, pp. 1569-1573.
3. Razorenov S.V., Garkushin G.V. Shock-wave response of Ni-Ti shape memory alloys in the transformation temperature range. AIP Conference Proceedings, 2009, vol. 1195, p. 1027.
106
T. B. nonoBa, A. E. Mafiep, K. B. XHm,eHKo
4. Garkushin G., Kanel G.I., and Razorenov S.V. The resistance to deformation and facture of magnesium ma2-1 under shock-wave loading at 293 K and 823 K of the temperature. AIP Conference Proceedings, 2012, no. 1426, pp. 935-938.
5. Kanel G.I., Nellis W.J., Savinykh A.S., Razorenov S.V., Rajendra A.M. Response of seven crystallographic orientations of sapphire crystals to shock stresses of 16-86 GPa. Journal of Applied Physics, 2009, vol. 106, p. 043524.
6. Kanel G.I., Razorenov S.V., Utkin A.V., Fortov V.E. Udarno-volnovye yavleniya v kondensirovannykh sredakh [Shock-Wave Phenomena in Condensed Media]. Moscow, Janus-K Publ., 1996. 408 p. (In Russ.).
7. Glukhikh V.A., Belyakov V.A., Mineev A.B. Fiziko-tekhnicheskiye osnovy upravlyayemogo termoyadernogo sinteza [Physical and Technical Foundations of the Controlled Thermonuclear Fusion]. St. Petersburg, St. Petersburg State Polytechnical University Press Publ., 2006. 348 p. (In Russ.).
8. Adamenko N.A., Kazurov A.V., Fetisov A.V., Agafonova G.V. Preparation of polymer nanocomposites by explosive processing. Nanotechnology, 2009, vol. 45, pp. 85-92.
9. Liddiard T.P., Jr. The compression of polymethyl methacrylate by low amplitude shock waves. Fourth Symposium on Detonation, 1965, pp. 214-221.
10. Barker L.M., Hollenbach R.E. Shock-Wave Studies of PMMA, fused silica, and sapphire. Journal of Applied Physics, 1970, no. 41, p. 4208.
11. Parkhomenko I.P., Utkin A.V. Otkol'naya prochnost' pleksiglasa [Spall strength of plexiglass]. Issledovaniye svoystv veshchestv v ekstremal'nykh usloviyakh [Investigations of material properties under extremal conditions]. Moscow, IVTAN Publ., 1990, pp. 126130. (In Russ.).
12. Arzhakov M.S., Lukovkin G.M., Arzhakov S.A. Features of the physicomechanical behavior of polymethylmethacrylate under compression. Doklady Chemistry, 2002, vol. 382, no. 1-3, pp. 1-4.
13. Kugotova A.M., Kunizhev B.I. Sravnitel'nyy analiz protsessov razrusheniya polimetilmetakrilata vysokoskorostnym udarom i impul'snym lazernym vozdeystviyem [Comparative study of the destruction of polymethylmethacrylate by the highspeed impact and by the impulse laser influence]. Izvestiya Kabardino-Balkarskogo gosudarstvennogo universiteta [Proceedings of Kabardino-Balkaria State University], 2014, vol. 4, no. 3, pp. 44-47. (In Russ.).
14. Genkin V.N., Izvozchikova V.A., Kitai M.S., Myl'nikov M.Yu. Laser damage to plasticized polymethylmethacrylate. Soviet Journal of Quantum Electronics, 1985, vol. 12, no. 11, p. 1504-1508.
15. Abrosimov S.A. [et al.]. Study of mechanical properties of aluminum, AMg6M alloy, and polymethyl methacrylate at high strain rates under the action of picosecond laser radiation. Doklady Physics, 2012, vol. 57, pp. 64-66.
16. Abrosimov S.A. [et al.]. Specific features of the behaviour of targets under negative pressures created by a picosecond laser pulse. Quantum Electronics, 2013, vol. 43, no. 3, pp. 246-251.
17. Geras'kin A.A. [et al.]. Specific features of spallation processes in polymethylmethacrylate under high strain rate. Contributions to Plasma Physics, 2009, vol. 49, no. 7, pp. 451-454.
18. Zel'dovich Ya.B., Raizer Yu.P. Physics of Shock Waves and High-Temperature Hydrodynamic Phenomena. New York, Academic Press, 1967. 478 p.
19. McQueen R.G., March D. Ultimate yield strength of copper. Journal of Applied Physics, 1962, vol. 33, no. 2, pp. 654-665.
20. Mayer A.E., Khishchenko K.V., Levashov P.R., Mayer P.N. Modeling of plasticity and fracture of metals at shock loading. Journal of Applied Physics, 2013, vol. 113, p. 193508.
21. Popova T.V., Mayer A.E., Khishchenko K.V. Numerical investigations of shock wave propagation in polymethylmethacrylate. Journal of Physics: Conference Series, 2015, vol. 653.
22. Landau L.D., Lifshitz E.M. Fluid Mechanics. Vol. 6. 2nd edition. Butterworth — Heinemann, 1987. 552 p.
23. Landau L.D., Lifshitz E.M. Theory of Elasticity. Vol. 7. 3rd edition. Butterworth — Heinemann, 1986. 172 p.
24. Merzhievsky L.A., Voronin M.S. Modelirovaniye deformirovaniya i razrusheniya polimerov na osnove maksvellovskogo podkhoda [Modeling of deformation and fracture of polymers using Maxwellian approach]. Izvestiya Altayskogo gosudarstvennogo universiteta [Proceedings of the Altai State University], 2012, vol. 1-1, pp. 95-98. (In Russ.).
25. Merzhievskii L.A., Voronin M.S. Modeling of shock-wave deformation of polymethyl metacrylate. Combustion, Explosion and Shock Waves, 2012, vol. 48, pp. 226-235.
26. Birger I.A., Mavlyutov R.R. Soprotivleniye materialov [Strength of Materials]. Moscow, Nauka Publ., 1986. 560 p. (In Russ.).
27. Lomonosov I.V., Fortov V.E., Khishchenko K.V. A model of wide-range equations of state of polymeric materials at high energy densities. Chemical Physics Reports, 1995, vol. 14, no. 1-3, pp. 51-57.
28. Khishchenko K.V., Lomonosov I.V., Fortov V.E. Equations of state for organic compounds over wide range of densities and pressures. Shock Compression of Condensed Matter - 1995, eds. S. C. Schmidt, W. C. Tao. New York, AIP Press, 1996. Pp. 125-128.
29. Yalovets A.P. Calculation of fluid flow under the influence of intense beams of charged particles. Journal of Applied Mechanics and Technical Physics, 1997, vol. 38, no. 1, pp. 137-150.
30. Kanel G.I., Fortov V.E., Razorenov S.V. Shock waves in condensed-state physics. Physics-Uspekhi, 2007, vol. 50, p. 771-791.
31. Farshad M., Wildenberg M.W., Flueler P. Determination of shear modulus and Poisson's ratio of polymers and foams by the anticlastic plate-bending method. Materials and Structures, 1997, vol. 30, pp. 377-382.
32. Bakanova A.A., Dudoladov I.P., Trunin R.F. Compression of alkali metals by strong shock waves. Physics of Solid State, 1965, vol. 7, p. 1615.
33. McQueen R.G., Marsh S.P., Taylor J.W., Fritz J.N., Carter W.J. The equation of state of solids from shock wave studies. High Velocity Impact Phenomena, ed. R. Kinslow. New York, Academic Press, 1970. Pp. 293-417.
34. Van Thiel M., Shaner J, Salinas E. Compendium of shock wave data. Lawrence Livermore Laboratory Report UCRL-50108. Livermore, 1977. Pp. 528-539.
35. Marsh S.P. LASL Shock Hugoniot Data. Los Alamos Series on Dynamic Material Properties. Berkeley, University California Press, 1980. 658 p.
36. Trunin R.F. Shock compressibility of condensed matters in strong shock waves caused by un-derground nuclear explosions. Physics-Uspekhi, 1994, vol. 37, pp. 1123-1145.
37. Maksanova L.A., Oyurova A.Zh. Polimernye soyedineniya i ikh primeneniye [Polymer compounds and their use]. Ulan-Ude, ESSTU Publ., 2005. 356 p. (In Russ.).
38. Khishchenko K.V., Levashov P.R., Lomonosov I.V. Shock Wave Database. Available at http://www.ihed.ras.ru/rusbank/, accessed 21.08.2016.
Accepted article received 14.09.2016 Corrections received 09.10.2016
