CC BY
234
Электрореологические жидкости. Теоретические и экспериментальные подходы к их описанию
Ю.Г. Яновский, В.Э. Згаевский, Ю.Н. Карнет, И.Ф. Образцов
Институт прикладной механики РАН, Москва, 119991, Россия
Рассматривается один из новых классов «умных» материалов, а именно, электрореологические жидкости — суспензии диэлектрических частиц различной концентрации в вязкой среде, которые обладают уникальными свойствами и способны изменять свои реологические характеристики в сотни тысяч раз при наложении электрических полей. Указанные материалы чрезвычайно перспективны с практической точки зрения (уже сегодня они нашли применение в космической технике, биомеханике и биомедицине). Эксперименты показывают, что электрореологический эффект в своей основе связан с электростатическим взаимодействием частиц и динамикой изменения структуры размещения дисперсных частиц под действием электрического поля и градиентов скоростей деформации. Ниже приведен краткий обзор известных теоретических и экспериментальных работ по реологии таких сред, дается их критический анализ. Обсуждается оригинальный подход авторов, основанный на физической кристаллической модели (трехмерная многочастичная упорядоченная модель), позволяющий, в частности, использовать хорошо разработанный математический аппарат теории кристаллов. Рассматривается приближение парного взаимодействия частиц как эквивалентных диполей и силы электростатического взаимодействия поляризованных внешним полем частиц с учетом ближайших соседей до третьего порядка включительно. Проводится анализ полученных на основе модели определяющих реологических соотношений, а также экспериментальная проверка предсказаний теории на основе модельных сред в широком диапазоне изменения диэлектрических и структурно-реологических свойств компонентов. Обсуждаются преимущества теории, проводится сопоставление с результатами зарубежных авторов, обозначается направление дальнейшего развития и обобщения теории на случаи больших (предельных) деформаций.
1. Введение
Электрореологические жидкости, благодаря своим уникальным свойствам, а именно, способности резко изменять реологические характеристики в электрическом поле, нашли широкое применение в технике и промышленности. Типичная электрореологическая жидкость представляет собой жидкость со слабой диэлектрической проницаемостью, содержащую заданную концентрацию мелких частиц диэлектрика (дисперсная фаза) с повышенной диэлектрической проницаемостью.
Практика широкого использования электрореологических жидкостей активно стимулирует теоретические и экспериментальные исследования этих систем. Появившиеся в последнее время публикации, посвященные теоретическому исследованию реологических свойств электрореологических жидкостей, базируются на различных подходах. Известен феноменологический подход, основанный на уравнении Бингама [1], и его модификации, например в виде Кессона [2] или в виде урав-
нения Шульмана [3] с дробными степенями. Примером континуального подхода может служить работа [4]. Известны также приближения на основе статистической физики [5, 6].
Непосредственные экспериментальные исследования показывают, что электрореологический эффект преимущественно связан с электростатическим взаимодействием частиц и динамикой изменения структуры размещения дисперсных частиц под действием электрического поля и градиентов скоростей деформации электрореологических жидкостей. В связи с этим в ряде теоретических работ анализируют модели, содержащие цепочки частиц наполнителя, ориентированные вдоль электрического поля до приложения градиентов скоростей течения [7-10].
Широко используются методы прямого численного моделирования. Методом молекулярной динамики в работах [11, 12] описаны структура и свойства электрореологических жидкостей. В работе [11] с помощью
в Яновский Ю.Г., Згаевский В.Э., Карнет Ю.Н., Образцов И.Ф., 2003
численного интегрирования уравнении движения взаимодействующих частиц в двухмерном случае при малых деформациях сдвига рассмотрена динамика структурных перестроек дисперсных частиц и зависимость предельных напряжений от концентрации частиц. Отмечается хорошее согласие полученных результатов с экспериментом. В работе [12] методом численного моделирования описана эволюция структуры из 122 частиц в ящике размером 5ах5ах14а, где а—диаметр частицы. На каждую частицу действуют броуновская сила, вязкая сила и сила взаимодействия частиц между собой как наведенных внешним электрическим полем диполей. Вязкая сила определяется в виде взаимодействия сферической частицы с вязкой жидкостью (формула Стокса). Последнее справедливо для малых концентраций, когда можно не учитывать гидродинамическое взаимодействие частиц. (Однако, как известно, последнее может быть существенным при агрегации частиц.) В работе [12] также показано, что в широком интервале отношения броуновской силы к силе электростатического взаимодействия поляризованных частиц последние агрегируются в толстые колонны, которые представляют собой тетрагональную объемно-центрированную кристаллическую решетку.
В настоящей работе реологические свойства электрореологических жидкостей описываются на основе трехмерной, упорядоченной, многочастичной модели (кристаллической модели) [13]. При этом учитывается гидродинамическое взаимодействие частиц, что позволяет рассматривать большие концентрации (более 10% по объему в соответствии с классификацией, предложенной в работах [14, 15]).
2. Описание модели
Суспензия диэлектрических частиц в вязкой жидкости (электрореологическая жидкость) моделируется жесткими одинаковыми частицами, размещенными до начала движения (в отсутствии электрического поля и градиентов скоростей) в узлах решетки заданной симметрии. Диэлектрическая проницаемость частиц 8р отличается от диэлектрической проницаемости жидкости 8х. На электрореологическую жидкость накладывается однородное электрическое поле напряженностью Е. Вектор Е имеет проекции в лабораторной системе координат Е{ ( принимает значения 1, 2, 3). Наложенное поле приводит к поляризации частиц. Между поляризованными частицами возникают силы электростатического взаимодействия. Рассматривается приближение парного взаимодействия частиц как эквивалентных диполей (аналогично можно рассмотреть взаимодействие заряженных частиц). Кроме электростатических сил на частицы действуют вязкие силы, вызванные перемещениями частиц в вязкой жидкости под действием градиентов скоростей. Макроскопические градиенты ско-
ростей предполагаются постоянными по всему объему электрореологической жидкости.
На рис. 1 приведена схема представительного элемента структуры электрореологической жидкости, когда последняя находится под действием электрического поля (пластины являются электродами, положительный электрод расположен слева) и задаваемой деформации с различными градиентами скорости сдвига.
Левый электрод неподвижен, а правый электрод смещается из первоначального положения с заданной скоростью и. Таким образом, на каждую частицу действуют электрические и гидродинамические силы.
Кроме указанных сил на частицы могут действовать силы отталкивания, связанные с броуновскими силами, если частицы малы, и силы стерического взаимодействия частиц, вызванные геометрическими размерами частиц. Эти силы противодействуют электростатическим силам и исключают стягивание частиц решетки в точку. Такие силы могут быть введены единообразно в обобщенном виде. Однако такое уточнение требует отдельного анализа и в данной работе не рассматривается.
В центре схемы на рис. 1 расположена прямоугольная лабораторная система координат с осями Х( (/' принимает значения 1, 2, 3).
Для построения определяющего уравнения движения частиц, которое представляет собой баланс сил, действующих на выбранный элемент объема модели, необходимо вначале получить выражение для плотности электростатической потенциальной энергии модели.
3. Плотность электростатической потенциальной энергии
Рассмотрим пару соседних частиц модели и поместим начало локальной системы координат в центр одной из частиц. Под воздействием внешнего электрического поля частицы поляризуются и потенциальная энергия Ж их взаимодействия как эквивалентных диполей записывается в виде [16]:
Рис. 1. Схема эксперимента
Ж =
(Ръ Р2) 3(г, Р1)(г, Р2)
4пе0е1г
4пе0е1г
(1)
где рг — дипольныи момент частицы с номером г; г и г — вектор, направленный из центра выбранноИ частицы в центр ближаИшеИ соседнеИ частицы, и расстояние между центрами этих частиц соответственно; е0 — константа, равная в системе СИ величине 8.85 • 10-12 Ф/м; круглые скобки означают скалярное произведение векторов, заключенных в них и разделенных запятоИ.
ДипольныИ момент поляризованноИ сферы модели записывается в виде [4]:
,3
(2)
п (ер-е 1)а г р = — е 0 е 1 —--Е,
Р 2 0 1 (ер + 2е 1) '
где а — диаметр сферы.
Поскольку в модели предполагается, что все частицы дисперсноИ фазы одинаковы, то дипольные моменты эквивалентных диполеИ равны и ориентированы одинаково. Подставляя (2) в (1), получаем
Ж = А
3(г, Е)2
(3)
где А =
пе,
>е1(ер -е 1)
2 „6
16(е р + 2е1)2
При малом произвольном смещении частиц друг относительно друга (г = г0 + и, где и << г0 и г0 — исходное расстояние между центрами частиц) потенциальная энергия диполеИ с точностью до второго порядка малости равна (см. Приложение I работы [17]):
Ж = А
1
11
(Е - 3 ег ек ЕгЕк) -
(
0
11
04
г "
3(
Е - 5 егекЕЕк
6 1 р ,, —ек ЕкЕгиг -
2г 15
11
Е - 5 егекЕЕ
Ек
2г
05
11
Е - 7 егекЕгЕк
11
еп ет ипит
11 Егиг -10 етитек Ек
Епип
(4)
где по дважды повторяющимся индексам проводится
- 1 г0
суммирование и введен единичньш вектор ег = —0.
г0
Принадлежность единичного вектора выбранноИ паре ближаИших частиц будем обозначать так, как принято в микроскопическоИ теории кристаллов, а именно:
1 (1 О
, , где I и I — номера элементарных ячеек
У /
решетки двух соседних частиц; я и 5 — номера частиц
в соответствующих ячеИках. Аналогично будут обозначаться и смещения частиц друг относительно друга.
Для записи плотности электростатическоИ энергии модели необходимо просуммировать выражение (4) по ближаИшим соседям выбранноИ частицы в пределах элементарноИ ячеИки и разделить на удвоенныИ объем элементарноИ ячеИки V (цифра 2 учитывает долю энергии парного взаимодеИствия, отнесенную к одноИ частице). Таким образом, плотность электростатическоИ энергии Ф для анализируемоИ модели запишется в следующем виде:
' (' "Ч' (' ' IЕЕ I-
Е2 -5е,
6 1 (I ¡' —4Г ек\
3
"V
15
г (Е ■ - =Н ¡Г
'(5') е (5 ;•)
| ЕкЕгЩ (5 ?)-
К1 1 )ек ( 5 5
е 1 5 5
ЕгЕк
1 (1 ¡',
5 5'
Е.Е, I и
1 Г
55
1 /
55
1 1\
55
ф- (. • - 7е (5 5)е. (ь)(^)е ^(**(5 5)-»ет(5),т(;);,(; ^]е
1 1'
1 1'
11
55
(5)
ПервыИ член (первая строка) суммы в квадратных скобках выражения (5) представляет собоИ энергию взаимодеИствия выбранного диполя с диполями его бли-жаИшего окружения. Эта часть суммы равна нулю для изотропного тела и кристалла кубическоИ симметрии [18], а также для объемно-центрированноИ, гранецент-рированноИ кубических решеток и гексагональноИ решетки. В этом можно убедиться непосредственно при
прямом вычислении сумм для указанных решеток с ис-
1
пользованием проекциИ единичных векторов ег, приведенных в работах [19, 20]. Последнее связано с тем, что суммарное поле от частиц ближаИшего окружения для данных решеток в точке нахождения выбранного диполя равно нулю.
Далее рассмотрим частныИ случаИ, когда электростатическое поле Е направлено по оси Х1 и, следовательно, имеет проекции Ег = Е8г1, где 8г1 — символ Кронекера, равныИ 1 при г = 1 и 0 при г Ф1 (см. рис. 1). Смещение будем считать однородным с постоянным по образцу градиентом смещения Эиг/дхк (иг — проекция смещения точки тела из первоначального положения), которыИ будем обозначать иг к. В соответствии с рис. 1 г = 2 и к = 1. Для этого случая линеИныИ член по смещениям (вторая строчка суммы формулы (5)) для указанных решеток обращается в нуль, в чем легко убедиться при непосредственном вычислении с использова-1
нием проекциИ векторов ег, приведенных в работах [19, 20]. Далее последняя строчка соотношения (5) также обращается в нуль, поскольку направления смещения и электрического поля выбраны нами взаимно перпендикулярными (рис. 1) и скалярное произведение
+
+
еп и.. -
ипип +
(Еп, ип) = 0. Последнее является частным случаем и в дальнейшем предполагается рассмотреть общий случай, который представляет важный практический интерес.
Окончательно плотность электростатической энергии взаимодействия частиц модели для указанного случая (рис. 1) равна
ф=-Е
(
2r0
E 2 - 5 ei
l l'
Л
+ -
15
(
2r 0
E 2 - 7 ei
l l'
l l' /
s s
l l' /
s s
l К
ss
+
(6)
Следует отметить, что в соотношение (6) входят только квадратичные по смещению частиц члены, что находится в соответствии с микроскопической теорией ионных кристаллов [19].
В общем случае смещение частиц связано с градиентом смещений соотношением
0 1 tn\
un = r un,k ek . (7)
Плотность работы F внешних сил, обеспечивающих градиент смещения в теле u21, равна электростатической энергии поля (6), взятой с обратным знаком [18]. (В дальнейшем будем опускать индексы, обозначающие номера ячеек и частиц в них, и в связи с этим суммирование по ближайшим соседям будем обозначать сокращенно б.с.)
Подставляя (7) в (6), после преобразований получаем
F =
3 AE 2
03
4Vr 0
U2,1 X
*Е
б.с.
( 11 Л11 ( 11 Л1111 1 — 5 e1 e1 e1 e1 — 5 1 — 7 e1 e1 e1 e1 e2 e2
. (8)
Поскольку градиент смещений постоянен по всему образцу, то он вынесен из-под знака суммы. Непосредственное суммирование (8) по ближайшим соседям с ис-
1
пользованием проекций единичных векторов е1, приведенных в работах [19, 20], дает отрицательные значения F для простой кубической решетки выбранной ориентации (см. рис. I Приложения). Последнее означает, что такая решетка не устойчива по отношению к данному смещению. Разумеется, данный вывод справедлив при учете взаимодействия только ближайших соседей. Объемно-центрированная и гранецентрированная решетки оказываются устойчивыми.
Как отмечено выше, численное моделирование [12] указывает на агрегацию частиц электрореологических жидкостей в тетрагональную объемно-центрированную кристаллическую решетку. В связи с этим остановимся далее на объемно-центрированной кубической решетке и опишем реологические свойства такой модели.
Итак, непосредственные вычисления (8) с использованием данных [19, 20] позволяют для кубической объемно-центрированной решетки получить следующее выражение для плотности работы внешних сил [17]:
„ 7п e0el(ep — el)2a6 „2 2 F =----— E u21.
36
2 03
(9)
(e p + 2ei)2 Vr
На базе полученного соотношения определим далее некоторые реологические (вязкоупругие) свойства системы, описываемой вышеприведенной моделью.
4. Вязкоупругие свойства электрореологических жидкостей
Из соотношения (9) стандартным образом [21] вычисляем силу а 21 (направление силы совпадает с осью X2, а приложена она к плоскости, перпендикулярной оси Х1), которую нужно приложить к единице поверхности модели, чтобы обеспечить градиент смещения и21 (см. рис. 1):
dF = 14л eoei(ep —ei)2a6
a21 =
du2,1 36 (ep + 2el)2Vr0
E u21. (10)
Используя полученное ранее в работах [19, 20] выражение для величины объема элементарной ячейки
V = r0 для комплекса
3л/3
Vr 0
получаем
16 V?
-ф
Гг° п
где ф — объемная доля наполнения, равная отношению объема частицы к объему элементарной ячейки объемно-центрированной кубической решетки. Подставляя последнее выражение в формулу (10), окончательно имеем
а21 = 3.43р2ф2 Е Чд,
(11)
ep — e
где ß = ^-
e p + 2ei
Тензор вязких напряжений для кубической объемно-
центрированной решетки согласно [13, 20] равен
ст'21 = 0.21пТ(ф)пг&2,1,
(
где ¥(ф) =
ф
Л4/3
Фп
1—
ф
V/3'
Фп
(12)
и Фтах — пре-
1 111С1/1. ^
дельное наполнение.
Выражение (12) получено для значений ф, близких к Фтах (приближение больших объемных наполнений) [13, 20]. При стремлении ф к нулю Т(ф) стремится также к нулю. Однако при ф = 0 соотношение (12) должно переходить в соотношение а'21 = пм21 для чистой жидкости. Этим условиям удовлетворяет следующая функция
~~21 = [0.21ттТ(ф) + 1^2,1- (13)
Запишем теперь уравнение движения системы, представляющее собой баланс внешних и внутренних упругих (11) и вязких (13) сил, действующих на единичный объем тела:
/21(0 = ЗЛЗадР2 Е У^д +
+ [0.21пТ(ф) +1] ли2Д, (14)
где /21 (0 — зависящая от времени внешняя сила, рассчитанная на единицу площади поверхности, приложенная к плоскости, перпендикулярной оси Х1, и направленная вдоль оси X 2.
Решение уравнения (14) для произвольно заданной функции /21 (г) известно. В частности, если нагрузка изменяется по периодическому закону (динамический режим) / = /201егю1 с угловой скоростью (частотой) ю, то имеем [22]
/21 =
"2,1 (t) = 0.29-
f21
1
2 2 2 . (15)
e0elp292 E2 1 + ¿ют
Последнее позволяет записать выражение для комплексного динамического модуля сдвига G* в виде
G* = 3.43e0ejP2EУ + ¿ю[0.21лТ(ф) +1] п (16)
Из полученного выражения (16) видно, что при малых градиентах смещения в указанном режиме деформирования электрореологическая жидкость ведет себя как вязкоупругое тело.
5. Произвольные градиенты смещения
Одним из важных преимуществ развиваемого подхода является возможность на основе микроскопической теории кристаллов и приведенных выше результатов в приближении малых градиентов смещения (14) получить выражение для напряжения и при произвольных градиентах смещения. Последнее позволит описать зависимость напряжения от градиента скорости сдвига.
Для решения указанной задачи воспользуемся подходом Пайерлса, изложенным в монографии [19]. В соответствии с кристаллической моделью (рис. 1) упругая часть напряжения (11), связанного со смещением плоскостей кристалла, должна быть периодической нечетной функцией смещения S2 = уХ1 по оси X2, где Y — градиент смещения. Разложим эту функцию в ряд Фурье и ограничимся первым членом ряда ст21 (S2) ~
= a1 sin| 2п|, где с — период решетки. При малых
смещениях это выражение должно переходить в (11).
Следовательно, а1 = ё0ё1Р2ф2 Е2 и максимальное 2п
напряжение смещения (аналог напряжения пластического течения кристалла) оценивается следующим вы-
ражением: стп
3.43 2п
e0elP ф E . Таким образом,
3.43 2п
е0е1р2ф2 E2 + [0.21пТ(ф) + 1]n"21. (17)
В соответствии с (17) при малых градиентах скоростей смещения вторым членом уравнения в левой части можно пренебречь и напряжение определяется первым членом выражения (17). В этом случае напряжение не зависит от градиента скорости и кривая «напряжение -градиент скорости» представляет собой прямую, параллельную оси абсцисс. При больших градиентах скорости можно пренебречь первым членом и кривая будет соответствовать ньютоновскому течению.
Уместно заметить, что оценка плотности работы внешних сил F от электростатического взаимодействия наведенных диполей не должна ограничиваться приближением только ближайших соседей.
6. Учет парного взаимодействия частиц до третьего порядка включительно
Необходимость учета соседей второго и последующих порядков определяется численным значением этого вклада в F. Действительно, хотя расстояние между соседями дальних порядков и возрастает с увеличением порядка, но меняется и число ближайших соседей. Так, для кубической объемно-центрированной решетки расстояние между соседними частицами первого, второго и третьего порядков изменяется в следующей после-о 2 о 2л/2 о
довательности: r
-r , в то время как чис-
л/3 ' л/3
ло соседей изменяется как 8, 6, 12 соответственно (см. Приложение). При этом оказывается, что сумма, указанная в правой части формулы (8) для соседей второго порядка кубической объемно-центрированной решетки, совпадает с суммой соседей первого порядка для простой кубической решетки, а сумма для соседей третьего порядка кубической объемно-центрированной решетки — с суммой для гранецентрированной решетки первого порядка [17, 19, 23] (см. Приложение). Использование результатов расчетов работ [12, 17, 19, 23] позволяет провести указанное суммирование и получить следующее выражение для плотности работы внешних сил F (см. Приложение):
„ 3АЕ\пл 2 4^ 0
Подставляя в последнее соотношение выражение для А, после преобразований получаем
F = 2.771е0е1р2ф2 E 2ы2д
(18)
окончательно получаем
Следует обратить внимание на то, что в случае ограничения рассмотрения лишь учетом ближайших соседей первого порядка числовой коэффициент в выражении (18) равен 1.713. Учетом соседей четвертого и последующих порядков можно пренебречь, поскольку он уже не дает существенного вклада в значения F.
Из соотношения (18) стандартным образом вычисляем напряжение а21:
дF
5.542е081р2ф2Е2и2д. (19)
ди
2,1
Таким образом, приведенное уточнение показывает, что в соотношениях (16) и (17) вместо коэффициента 3.43 следует использовать коэффициент 5.542. Окончательно соотношение (17) должно иметь вид:
5.542 о2 2_2
/21 о8 1Р2 ф2 Е2 +
2п
+ [0.21 (ф) +1] пи21.
(20)
7. Обсуждение полученных результатов и их сравнение с экспериментом
Экспериментальные данные, пригодные для сравнения с полученными теоретическими результатами, должны обладать достаточной полнотой характеристик компонентов электрореологической жидкости и контролируемой точностью эксперимента. Таким требованиям удовлетворяет, например, работа [1]. Исследованные в [1] электрореологические жидкости представляют собой частицы гидрата поли(метакрилата) в гидрокарбо-новом масле. Объемное содержание частиц ф изменяется в интервале 0-0.34. Диэлектрическая проницаемость масла 81 равна 7.3, а частиц 81 — 23.2. Вязкость жидкости п = 8.29 • 10-2 Па • с. Измерение реологических свойств электрореологических жидкостей проводилось при постоянных градиентах скоростей сдвига в интервале 10-4-10 с-1 и при изменении напряженности электрического поля от 50 до 400 кВ/м.
Зависимость вязкости данной электрореологической жидкости от объемной доли наполнения в отсутствие электрического поля (Е = 0) представлена на рис. 2, где сплошная линия соответствует теоретическому выражению (20), когда Е = 0, а точками обозначены данные эксперимента работы [1] при больших градиентах скоростей сдвига. Судя по рисунку, можно говорить о хорошем соответствии теории и эксперимента.
При наложении электрического поля теоретические зависимости напряжения сдвига от величины скорости сдвига и напряженности поля для ф = 0.13, рассчитанные по формуле (20), имеют вид, представленный на рис. 3.
Здесь же слева приведены результаты эксперимента, полученные в [1], при тех же значениях напряженности электрического поля. Видно, что при хорошем качественном соответствии наблюдаются определенные количественные различия, а именно: при малом значении напряженности поля эксперимент дает значения приблизительно в два раза выше теоретических расчетов, а при больших значениях напряженности поля расхождение достигает пятикратного значения. Хотя совпадение теоретических оценок, полученных из первых прин-
Рис. 2. Зависимость вязкости электрореологической жидкости от объемной доли наполнения в отсутствие электрического поля (Е = = 0). Сплошная линия соответствует теоретическому расчету. Точки — данные эксперимента [1]
ципов, т.е. без феноменологических и подгоночных параметров, и данных прямого натурного эксперимента, даже в пределах десятичного порядка, иногда считается удовлетворительным (например, при описании прочности кристаллов), подобное расхождение можно объяснить одной очевидной особенностью электрореологических жидкостей, учет которой позволяет добиться лучшего совпадения результатов и объяснить особенности формирования реологических свойств подобных дисперсных систем. Остановимся подробнее на этой особенности.
На рис. 3, б в отсутствие поля согласно формуле (20) напряжение сдвига линейно зависит от градиента скорости сдвига (линия, отмеченная крестиками). При наложении поля появляется плато при малых градиентах, связанное с взаимодействием частиц. Однако эксперимент на рис. 3, а и при отсутствии поля (данные отмечены крестиками) указывает на наличие взаимодействия частиц — наблюдается область, в которой напряжения постоянны, т.е. не зависят от скорости сдвига. Такая зависимость т( у) отвечает наличию предела текучести системы и хорошо известна в реологии наполненных систем [24]. Данный эффект связан с дисперсионным взаимодействием частиц наполнителя и образованием некоторой структуры, которая разрушается при более высоких градиентах скорости сдвига, после чего жидкость ведет себя как ньютоновская. Таким образом, реальная вязкость электрореологической жидкости в отсутствие поля описывается точками, обозначенными крестиками на рис. 3, а, а не зависимостью, обозначенной крестиками на рис. 3, б. Следовательно, исходная вязкость системы в отсутствие поля, от которой должен вестись отсчет, должна соответствовать кривой, обозначенной на рис. 3, а крестиками. Интересно отметить, что дисперсионное взаимодействие частиц
а
Рис. 3. Зависимость сдвигового напряжения электрореологической жидкости от скорости сдвига и напряженности поля Е при ф = 0.13: а — эксперимент: 0 (+); 50 (о); 100 (□); 200 (>); 400 кВ • м-1 (о); б — теория: 0 (+); 50 (.......); 100 (--); 200 (----); 400 (о); 450 кВ • м-1 (о)
данной электрореологической жидкости в отсутствие поля согласно расчетам эквивалентно взаимодействию наведенных диполей при приложенном поле порядка 50 кВ/м. Если принять за исходную (отсутствие поля) кривую, показанную пунктиром на рис. 3, б, то при малых значениях поля будем наблюдать практически полное совпадение теории и эксперимента, а при значении Е порядка 400 кВ/м — расхождение приблизительно в два раза.
В дальнейшем представляется важным учет в описываемом теоретическом приближении реальных сил дисперсионного взаимодействия частиц в соотношении (20). Тем не менее, уже сейчас можно говорить о некотором новом методе оценки величины этих сил на основе полученных теоретических соотношений.
8. Заключение
На основе кристаллической модели композита описываются реологические свойства электрореологических жидкостей. На первом этапе рассматривается приближение малых градиентов смещения. При этом предполагается, что напряженность электрического поля ортогональна скорости сдвига слоев жидкости. Анализируется кубическая объемно-центрированная решетка. Показано, что в рамках развитых представлений электрореологическая жидкость является вязкоупругой средой и может быть описана в рамках линейной теории вязкоупругости. Получено выражение зависимости комплексного динамического модуля сдвига от напряженности поля, объемной доли наполнения, диэлектрических свойств компонентов электрореологической жидкости и вязкости жидкой фазы (дисперсионная среда). Действительная часть комплексного динамического модуля сдвига пропорциональна квадрату напряженнос-
ти электрического поля и квадрату объемной доли наполнения. Мнимая часть модуля зависит от объемной доли наполнения более сложным образом и резко возрастает при стремлении наполнения к предельным значениям. Различие в функциональной зависимости действительной и мнимой частей комплексного динамического модуля сдвига от объемной доли наполнения связано с различной природой упругих и вязких сил модели.
На втором этапе на основе приближения для малых градиентов смещения описаны свойства электрореологической жидкости для произвольных градиентов смещения. Получена зависимость реологических свойств электрореологической жидкости от микроструктурных характеристик, электрических и реологических свойств компонентов и величины внешнего электрического поля. Проводится сравнение результатов теоретического описания с экспериментом и отмечается хорошее совпадение теории и эксперимента.
Приложение
На рис. I представлен элемент кубической объемно-центрированной решетки. Номером 0 обозначена частица в элементарной ячейке, относительно которой ближайшая соседняя частица обозначена номером 1, ближайшие соседи второго порядка обозначены номерами 2 и ближайшие соседи третьего порядка обозначены номерами 3. Расстояние между частицами номер 0 и номер 1 (соседи первого порядка) равно г0. Из простых геометрических соотношений находим расстояние между соседями второго порядка (между частицами 0 2
и 2), равное г0. Аналогично, расстояние между
Рис. I. Элемент кубической объемно-центрированной решетки
частицами 0 и 3 равно г0. Число соседей первого л/3
порядка равно 8, второго порядка — 6 и третьего порядка — 12 [19, 20, 23], в чем легко убедиться с помощью рис. I.
Далее вычислим суммы, указанные в соотношении (8), для соседей первого, второго и третьего порядков:
^ 3 АЕ2 2 4Уг 0
( 1 1 > 11 ( 1 1 > 1111
1 - 5 e1 e1 e1 e1 - 5 1 - 7 e1 e1 e1 e1 e 2 e 2
6.C. _ v J vJ _
Для соседей первого порядка плотность работы внешних сил Р1 вычислена в работе [23]:
2
3 AE 2
4Vr
3 u2,1
V
27
у
Для соседей второго порядка следует в (1) заменить
А о
г0 на г (расстояние между соседями второго порядка) и взять значение суммы для ближайших соседей первого порядка простой кубической решетки [23], так как значение суммы для соседей второго порядка кубической объемно-центрированной решетки совпадает с суммой для соседей первого порядка простой кубической решетки [19, 23]. В результате после вычислений получаем
3 AE2 2 3л/30_ 3 AE2 2
4Vr 0
^Т и2У
4Vr 0
3л/3.
Для соседей третьего порядка кубической объемно-центрированной решетки следует заменить г0 на 2л/2 о й _
—=г- г и сумму по ближайшим соседям третьего пол/3
рядка на сумму по ближайшим соседям первого порядка кубической гранецентрированной решетки [19, 23]. В результате получаем
F3 =
3 AE 2
4Vr0
п3 u2,1
\3
2^2
• 6.5.
Окончательно запишем выражение для F
F = Fi + Fi + F3 =
3 AE2
4Vr 0 3 AE 2 4Vr 03
112 ~2j'
-^л/э -
6.5 • 27
16 • V2"
2,1
■6.71 • и2д.
Далее в последнем соотношении выразим r через объем элементарной ячейки кубической объемно-центрированной решетки [19, 20, 23] r0 = 3л^ V и шестую степень радиуса частиц, входящую в А, через объем часта^1 Vrnap
а 6 = ^ V2 ^ 2 шар' П
Подставляя полученные выражения и выражение для А в последнее соотношение, легко получаем соотношение (20).
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант № 02-01-01060) и Межсекционной программы фундаментальных исследований ОЭММПУ РАН (государственный контракт № 10002-251/0ЭММПУ-13/079-077/ 190603-772).
Литература
1. Marshall L., Zukoski C.F., Goodwin J. W. Effects of electric fields on the rheology of non-aqueous concentrated suspensions // J. Chem. Soc. Farad. Trans. I. - 1989. - V. 85. - No. 9. - P. 2785-2795.
2. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. - М.: Наука, 1973. -847 c.
3. Лыков А.В., Шулъман З.П. Электрореологический эффект. - Минск:
Наука и техника, 1972. - 210 c.
4. Shkel Yu.M., Klingenlerg D.J. A continuum approach to electrorheo-logy // J. Rheol. - 1999. - V. 43. - No. 5. - P. 1307-1322.
5. Мокеев А.А., Мокеев Ан.А. Уравнение движения электрореологических суспензий // Механика композиционных материалов и конструкций. - 2000. - Т. 6. - № 1. - С. 117-190.
6. Heyes D.M., Melrose J.R. Brownian dynamics simulations of electro-rheological fluids. II: Scaling Laws // Nol. Simul. - 1990. - V. 5. -P. 293-306.
7. Adriani P.M., Gast A.R. A microscopic model of electrorheology // Phys. Fluids. - 1988. - V. 31. - P. 2757-2768.
8. Bonnecaze R. T., Brady J.F. Dynamic simulation of an electrorheological
fluid // J. Chem. Phys. - 1992. - V. 96. - P. 2183-2202.
9. Kraynik A.M., Bonnecaze R.T., Brady J.F. Electrically induced stresses
in ER fluids: The role of particle chain structure // Electrorheological Fluids Mechanisms, Properties, Structure, Technology and Applications: Proceedings of the International Conference on Electrorheological Fluids, July 20-23, 1993, Feldkirch, Austria / Ed. by R. Tao, G.D. Roy. - Singapore: Word Scientific, 1994. - P. 59-74.
10. Martin J.E., Anderson R.A. Chain model electrorheology // J. Chem. Phys. - 1996. - V. 104. - P. 4814-4827.
11. Klindenberg D.J., Van Swol F., Zukoski C.F. The small shear rate
response of electrorheological suspensions simulation in the pointdipole limit // J. Chem. Phys. - 1991. - V. 94. - No. 9. - P. 61606169.
12. Tao R., Jiang Qi. Simulation of structure formation in electrorheological fluid // Phys. Rev. Lett. - 1994. - V. 73. - P. 205-208.
13. ЗгаевскийВ.Э. Вычисление эффективной вязкости концентрированных суспензий жестких частиц на основе кристаллической модели // ДАН РАН. - 1996. - Т. 350. - № 1. - С. 45-48.
14. Яновский Ю.Г., Коробко Е.В., Баранчеева В.В. Особенности реологического поведения электрочувствительных дисперсий различных структурно-реологических типов // Инженерно-физический журнал. - 1989. - Т. 57. - № 2. - С. 219-224.
15. Shulman Z.P., Korobko E. V., Yanovskii Yu.G. The mechanism of the viscoelastic behavior of electrorheological suspensions // J. Non-Newtonian Fluid Mech. - 1989. - V. 33. - P. 181-196.
16. Пановский В., Филипс M. Классическая электродинамика. - M.: Физматгиз, 1963. - 432 c.
17. Згаевский В.Э., Яновский Ю.Г. Описание реологических свойств электрореологических жидкостей на основе кристаллической модели композита // Механика композиционных материалов и конструкций. - 2001. - Т. 7. - № 3. - С. 344-362.
18. Тамм И.Е. Основы теории электричества. - М.: Наука, 1989. -504 с.
19. Лейбфрид Г. Микроскопическая теория механических и тепловык свойств кристаллов. - М.-Л.: Гос. изд. физ.-мат. литер., 1963. -312 с.
20. Leibfried G. Gittertheorie der mechanischen und thermischen Eigenschaften der Kristalle // Handbuch der Physik, Band VII, Teil 2. -Berlin-Göttingen-Heidelberg: Springer-Verlag, 1955. - P. 104-324.
21. Згаевский В.Э., Яновский Ю.Г. Выгаисление эффективной вязкости концентрированны« суспензий жестких частиц на основе кристаллической модели // Механика композиционны« материалов и конструкций. - 1996. - Т. 2. - № 1. - С. 137-167.
22. ЛандауЛ.Д., ЛифшицЕ.М. Теория упругости. - М.: Наука, 1987. -246 с.
23. Нарисава И. Прочносты полимерны« материалов. - М.: Химия, 1987. - 398 c.
24. Згаевский В.Э., Яновский Ю.Г. Описание реологических свойств электрореологических жидкостей на основе многочастичной, упорядоченной, трехмерной модели композита // Механика композиционных материалов и конструкций. - 2002. - Т. 8. - N° 4. - С. 577584.
Electrorheological fluids. Theoretical and experimental approaches to their description
Yu.G. Yanovskii, V.E. Zgaevskii, Yu.N. Karnet, and I.F. Obraztsov
Institute of Applied Mechanics RAS, Moscow, 119991, Russia
Consideration is given to one of the new classes of "smart" materials, namely, to electrorheological fluids. The latter are suspensions of dielectric particles of different concentration in a viscous medium, which have unique properties and may change their rheological characteristics by hundreds of thousand times in superposition of electric fields. The given materials hold much promise from the practical standpoint (they have been applied in space engineering, biomechanics and biomedicine). Experiments show that the electrorheological effect is basically related to electrostatic interaction of particles and dynamics of changes in the structure of disperse particle distribution under the action of the electric field and strain rate gradients. Below, the well-known theoretical and experimental papers on rheology of such media are briefly reviewed and analyzed critically. The paper deals with the original approach based on a physical crystal model (a 3D multiparticle ordered model), which allows a well-developed mathematical body of crystal theory to be used. Consideration is given to the approximation of pair interaction between particles as equivalent dipoles and the force of electrostatic interaction of particles polarized by the external field with regard to the nearest neighbors up to and including the third order. The defining rheological relationships derived in the framework of the model are analyzed. Besides, theoretical predictions based on model media are verified experimentally over a wide range of changes in dielectric and structural-rheological properties of components. The advantages of the theory are discussed and the results obtained are compared to those obtained by foreign scientists. The direction of further development and the way of theory generalization for high (ultimate) strains are considered.
