Электронные свойства модели Кронига - Пенни с полубесконечной решеткой случайных потенциальных барьеров Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 538.91 5

Д.В. Ковалевский

ЭЛЕКТРОННЫЕ СВОЙСТВА МОДЕЛИ КРОНИГА - ПЕННИ С ПОЛУБЕСКОНЕЧНОЙ РЕШЕТКОЙ СЛУЧАЙНЫХ ПОТЕНЦИАЛЬНЫХ БАРЬЕРОВ

Движение электронов в неупорядоченных средах качественно отличается от движения в идеальных периодических кристаллах. В пионерской работе Ф. Андерсона [1] было показано, что в трехмерной системе потенциальных ям случайной глубины при некотором значении относительной степени беспорядка происходит переход металл — изолятор, приводящий к локализации волновых функций электронов. Дальнейшие исследования показали, что в одномерном случае, в отличие от трехмерного, андерсоновская локализация имеет место при произвольной, сколь угодно малой величине беспорядка [2].

Популярной моделью одномерной системы с беспорядком является классическая модель Кронига — Пенни [3], модифицированная путем введения случайных добавок к мощности дельтообразных барьеров [4, 5]. Несложно показать (см. следующий раздел), что подобная модель математически эквивалентна модели сильно связанных электронов, с которой исторически началось изучение электронных свойств неупорядоченных систем. Исследование модифицированной модели Кронига — Пенни возможно как в рамках формализма матриц перехода (используемого в настоящей работе), так и с помощью изящной классической аналогии, сводящей рассматриваемую систему к классическому гармоническому осциллятору, на который воздействует случайная квазипериодическая внешняя сила [4—6].

В настоящей работе при помощи формализма матриц перехода решается задача о падении блоховской волны на полубесконечную одномерную решетку дельтообразных барьеров случайной мощности (модифицированная модель Кронига — Пенни). Показано, что сколь угодно малая случайная некоррелированная добавка к периодическому потенциалу приводит к невозможности распространения в глубь решетки незатухающих блоховских волн, характерных

для классической модели Кронига — Пенни; рассчитана глубина затухания.

Модель Кронига — Пенни со случайным потенциалом

Рассмотрим движение частицы в одномерном потенциале (-^ < I < +^>), образованном полубесконечной последовательностью дельтообразных барьеров, расположенных в узлах решетки 1п = п (п = 1, 2,..., ) (см. рисунок). Мощность барьеров в общем случае различна и порождает последовательность {гп } , при этом стационарное уравнение Шредингера принимает вид

Е ) =

й 2 )

(к2

+ Ееп - П)У(1) .

п =1

Несложно показать [4], что для данной модели значения волновых функций в узлах решетки связаны рекуррентным соотношением

Уп+1 + ¥п-1 = Vп¥п ,

и

—I-1-г-

-3 -2 -1

0

1

2 3

4

5 г

Одномерный потенциал, образованный полубесконечной последовательностью эквидистантных дельтообразных барьеров различной мощности

где введено обозначение vn = 2cos q + гп Вводя вектор

SÍn q (q2 = E).

q

(1)

Xn = (VB> ¥я-1 )T

(T — операция транспонирования), запишем соотношение (1) в матричной форме:

Xn+1 - QnXn,

где введена матрица

(2)

Qn

yn' 1,

-1 0

-2 < v < 2.

(3)

A+ V • A+ o. 1 v2 cosф~ = —; sinф~ =± 1--,

v 2 V 4

а собственные числа матрицы Q равны соответственно

Х± = cos ф± + i sin ф± . (4)

Предположим теперь, что мощности дельтообразных барьеров имеют малую некоррелированную случайную составляющую:

е« = е + Де«.

Тогда, в соответствии с выражением (1),

vn = v + bVn , (5)

причем будем полагать, что

(Av„) = 0 , (Av„Av^ = v28nk , где Бпк — символ Кронекера.

Как станет ясно из следующего раздела, наличие у потенциала случайной составляющей делает невозможным распространение бегущих волн в одномерном кристалле.

Ансамблевое усреднение

Выпишем в явном виде рекуррентное соотношение (2) для случайного потенциала (4), (5):

Xn+1 -

V + AVn, -1

1,

0

(6)

*

Вводя обозначение Xп для вектора, эрмитово сопряженного вектору Хп, можем записать с учетом соотношения (6):

Стандартная модель Кронига — Пенни соответствует случаю дельтообразных барьеров равной мощности:

= е , ^ = V , Ъп = 0 .

Хорошо известно, что для бесконечной решетки подобного вида решения в виде бегущих волн возможны лишь при выполнении условия

ХИ+1ХИ+1

= ( xlQlQn Хп

(7)

порождающего соответствующую зонную структуру. При этом на периоде решетки фазы компонентов вектора Х получают приращение ф ±, удовлетворяющее условию

где угловые скобки означают усреднение по ансамблю реализаций случайного потенциала, т. е. рассчитываются характеристики смешанного состояния.

Сделаем далее предположение о том, что усреднение в правой части (7) можно выполнить в два этапа (на первом усредняется случай-

т

ная матрица Qn Qn, на втором — вычисляется среднее значение соответствующей эрмитовой формы):

Xn+1Xn+1 ) -( Xn \QnQn) Xn

(8)

Фактически данное приближение означает

пренебрежение обратным рассеянием.

Усредняя непосредственно случайную мат

трицу Qn Qn, находим:

QTnQt

í 2 2 i ^ V2 + V2 + 1, -v

-V,

1

(9)

Подставляя затем (9) в (8), находим рекуррентное соотношение, связывающее корреляторы

Ув+1Ув+1/ , , \Vn-i4n-i) , Ке\УпУп-1

Необходимое рекуррентное соотношение для перекрестного коррелятора выводится из усредненного уравнения (6), согласно которому

откуда

VB+iVB) = П ¥и - V„-iV„

Re VB+iV J = A - Re Vn-i.

*

*

*

И наконец, вводя трехмерный вектор

модели Кронига — Пенни (см. раздел, посвя-т щенный описанию модели), а комбинация пар

Ъ = ((уП ¥п), (жП-гУп-г)' У*п Уп-г))' , X + - стоячую волну.

Вернемся к случаю наличия малого случайного возмущения периодического потенциала (10) (у?

уравнение (13). Из явного вида характеристического многочлена (13) немедленно вытекает, что

получаем для него рекуррентное соотношение

¥и+1 - ,

где матрица Я имеет вид

Я

V2 + V»2, 1, -2у

1,

V,

0, 0, 0, -1

(11)

Решением уравнения (10) является показательная функция

Уп = ЯпУ0, п = 1, 2, ..., ,

(12)

асимптотические свойства которой определяются спектром матрицы Я.

Спектральный анализ задачи

Непосредственное вычисление показывает, что для матрицы (11) характеристическое уравнение имеет вид

/(у*, X) = Х3 - (у2 + V2 -1) X2 +

+ (у2 -V*2 -1)X-1 = 0.

(13)

=1; х± =(х±) ,

/(V*2,1) = -2уИ < 0 ;

/(V*, X) ^ при X ^ ,

откуда следует наличие у возмущенной задачи вещественного собственного числа, большего единицы. Соответствующее частное решение имело бы нефизический вид бегущей волны с экспоненциально растущей амплитудой, а это свидетельствует о невозможности распространения делокализованных бегущих волн в модели Кронига - Пенни со случайным потенциалом.

Представляет интерес расчет поправок к собственным числам Х± . В первом порядке теории возмущений для уравнения (13) имеем:

ДХ = -

д//д (V2)] (0, X)

Рассмотрим сначала случай отсутствия беспорядка и идеального периодического потенциала = о). Корни невозмущенного уравнения / (0, X) = 0 будем помечать верхней горизонтальной чертой. Несложные выкладки приводят к следующему результату:

[д//дХ ](0, X)

-V*2 .

что после ряда преобразований приводит к простому результату:

= V2.

" V2 - 4

(14)

где Х± дается соотношением (4).

Соответствующие собственные векторы имеют вид

Хо =(1, 1, V/2)Т; X ± =((х±) , 1, X.

Формируя из них общее решение уравнения (12), мы должны (ввиду вещественности компонентов вектора У) составить веществен-нозначную линейную комбинацию векторов X + и X_. Несложно видеть, что пара Х0, X0 порождает бегущую волну, соответствующую хорошо известному решению классической

Согласно условию (3) знаменатель в правой части (14) оказывается отрицательным, откуда следует, что невозмущенным собственным числам Х± , имеющим единичный модуль, соответствуют возмущенные собственные числа Х± с модулем, меньшим единицы. Это означает, что соответствующая стоячая волна затухает в глубь полубесконечной случайной решетки. Переходя в (12) от показательной функции к экспоненте, легко находим характерную глубину затухания

Ь =

4 - V2

V*

Отметим в заключение, что, как следует из полученного выражения (14), развитая теория

1

возмущений становится неприменимой вблизи краев разрешенных зон модели Кронига — Пен-

л

ни, соответствующих условию V = 4.

Более тщательный анализ показывает, что сделанное выше заключение о невозможности распространения бегущих волн в случайной одномерной модели Кронига—Пенни существенным образом опирается на предположение о некоррелированности случайных добавок к потенциалу на различных узлах решетки. Так, в случае, когда система состоит из случайной последовательности дельтообразных барьеров с одним из двух возможных значений мощности, но барьеры сгруппированы парами, т. е. мощность первого

и второго, третьего и четвертого, ..., (2п -1)-го и 2п-го барьеров одинакова (так называемая димерная модель), возможно наличие делока-лизованных состояний [2, 4, 7].

Перспективным направлением дальнейших исследований может стать использование развитого выше формализма для случая модели Кронига — Пенни со структурным беспорядком, когда расстояние между соседними потенциальными барьерами является случайной величиной [5]. Наконец, представляет значительный интерес моделирование в рамках предложенного формализма неупорядоченных систем с РГ-симметрией, активно исследуемых в последние годы как теоретически, так и экспериментально [8, 9].

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Anderson, P.W. Absence of diffusion in certain random lattices [Text] / P.W. Anderson // Phys. Rev.- 1958.-Vol. 109.- No. 2.- P. 1492-1505.

2. Гантмахер, В.ф. Электроны в неупорядоченных средах [Текст] / В.Ф. Гантмахер.- М.: Физматлит, 2003.- 176 с.

3. Kronig, R. de L. Quantum mechanics of electrons in crystal lattices [Text] / R. de L. Kronig, W.G. Penney // Proc. Roy. Soc. London, Ser. A.- 1931.- Vol. 130.-No. 814.- P. 499-513.

4. Kottos, T. Transport properties of one-dimensional Kronig-Penney models with correlated disorder [Text] / T. Kottos, G.P. Tsironis, EM. Izrailev // J. Phys: Condens. Matter.- 1997.- Vol. 9.- P. 1777-1791.

5. Hernandez-Herrejon, J.C. Electronic states and transport properties in the Kronig-Penney model with correlated compositional and structural disorder [Text] /

J.C. Hernandez-Herrejon, EM. Izrailev, L. Tessieri // Physica E.- 2010. - Vol. 42.- P. 2203-2010.

6. Ossipov, A. Statistical properties of phases and delay times of the one-dimensional Anderson model with one open channel [Text] / A. Ossipov, T. Kottos, T. Geisel // Phys. Rev. B.- 2000.- Vol. 61.- No. 17.-P. 11411-11415.

7. Dunlap, D.H. Absence of localization in a random-dimer model [Text] / D.H. Dunlap, H.-L. Wu, P.W. Phillips // Phys. Rev. Lett.- 1990.- Vol. 65.- No. 1.- P. 88-91.

8. West, C.T. /T-symmetric wave chaos [Text] / C.T. West, T. Kottos, T. Prosen // Phys. Rev. Lett.- 2010.-Vol. 104.- P. 054102.

9. Lin, Zin. Unidirectional invisibility induced by /T-symmetric periodic structures [Text] / Zin Lin, H. Ramezani, T. Eichelkraut,[et al.] // Phys. Rev. Lett.-2011.- Vol. 106.- P. 213901.

УДК 535.323

А.А. Пастор, П.Ю. Сердобинцев, Н.А. Тимофеев, М.А. Ходорковский, А.А. Накозина

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЭЛЕКТРОКИНЕТИЧЕСКИХ СВОйСТВ ПОЛУПРОВОДНИКОВЫХ МАТЕРИАЛОВ ДЛЯ СОЗДАНИЯ НАНОКОМПОЗИТНЫХ КАТОДОВ

В настоящей работе проведено исследо- свободных носителей, создаваемых в объеме вание свойств наноструктурированных мате- и на поверхности твердотельного образца им-риалов; при этом измерены времена затухания пульсным излучением фемтосекундного ла-